Theorem onsbnd2 28695

Description: The surreals of a given birthday are bounded below by the negative of that ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 22-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
onsbnd2	⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ (M‘(bday‘𝐴))) → ( -s‘𝐴) ≤s 𝐵)

Proof of Theorem onsbnd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		madeno 28256	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (M‘(bday‘𝐴)) → 𝐵 ∈ No)
2	1	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ (M‘(bday‘𝐴))) → 𝐵 ∈ No)
3		negbday 28470	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ No → (bday‘( -s‘𝐵)) = (bday‘𝐵))
4	2, 3	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ (M‘(bday‘𝐴))) → (bday‘( -s‘𝐵)) = (bday‘𝐵))
5		madebdayim 28301	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (M‘(bday‘𝐴)) → (bday‘𝐵) ⊆ (bday‘𝐴))
6	5	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ (M‘(bday‘𝐴))) → (bday‘𝐵) ⊆ (bday‘𝐴))
7	4, 6	eqsstrd 3947	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ (M‘(bday‘𝐴))) → (bday‘( -s‘𝐵)) ⊆ (bday‘𝐴))
8		bdayon 28165	. . . . 5 ⊢ (bday‘𝐴) ∈ On
9	2	negscld 28450	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ (M‘(bday‘𝐴))) → ( -s‘𝐵) ∈ No)
10		madebday 28313	. . . . 5 ⊢ (((bday‘𝐴) ∈ On ∧ ( -s‘𝐵) ∈ No) → (( -s‘𝐵) ∈ (M‘(bday‘𝐴)) ↔ (bday‘( -s‘𝐵)) ⊆ (bday‘𝐴)))
11	8, 9, 10	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ (M‘(bday‘𝐴))) → (( -s‘𝐵) ∈ (M‘(bday‘𝐴)) ↔ (bday‘( -s‘𝐵)) ⊆ (bday‘𝐴)))
12	7, 11	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ (M‘(bday‘𝐴))) → ( -s‘𝐵) ∈ (M‘(bday‘𝐴)))
13		onsbnd 28694	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ ( -s‘𝐵) ∈ (M‘(bday‘𝐴))) → ( -s‘𝐵) ≤s 𝐴)
14	12, 13	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ (M‘(bday‘𝐴))) → ( -s‘𝐵) ≤s 𝐴)
15		onno 28668	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → 𝐴 ∈ No)
16	15	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ (M‘(bday‘𝐴))) → 𝐴 ∈ No)
17	16	negscld 28450	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ (M‘(bday‘𝐴))) → ( -s‘𝐴) ∈ No)
18	17, 2	lenegsd 28461	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ (M‘(bday‘𝐴))) → (( -s‘𝐴) ≤s 𝐵 ↔ ( -s‘𝐵) ≤s ( -s‘( -s‘𝐴))))
19		negnegs 28457	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -s‘( -s‘𝐴)) = 𝐴)
20	16, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ (M‘(bday‘𝐴))) → ( -s‘( -s‘𝐴)) = 𝐴)
21	20	breq2d 5118	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ (M‘(bday‘𝐴))) → (( -s‘𝐵) ≤s ( -s‘( -s‘𝐴)) ↔ ( -s‘𝐵) ≤s 𝐴))
22	18, 21	bitr2d 283	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ (M‘(bday‘𝐴))) → (( -s‘𝐵) ≤s 𝐴 ↔ ( -s‘𝐴) ≤s 𝐵))
23	14, 22	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ (M‘(bday‘𝐴))) → ( -s‘𝐴) ≤s 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106  Oncon0 6377  ‘cfv 6555  Nocsur 28024  bdaycbday 28026   ≤s cles 28128  Mcmade 28235   -_scnegs 28432  On_scons 28664

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-1o 8501  df-2o 8502  df-nadd 8700  df-no 28027  df-lts 28028  df-bday 28029  df-les 28129  df-slts 28171  df-cuts 28173  df-0s 28220  df-made 28240  df-old 28241  df-left 28243  df-right 28244  df-norec 28351  df-norec2 28362  df-adds 28373  df-negs 28434  df-ons 28665

This theorem is used by: (None)