Theorem psrbagf 22133

Description: A finite bag is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 30-Jul-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbagf	⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)

Proof of Theorem psrbagf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbag.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
2	1	eleq2i 2852	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ 𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
3		elrabi 3641	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} → 𝐹 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
4		elmapi 8848	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
6	2, 5	sylbi 220	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412  ^◡ccnv 5654   “ cima 5658  ⟶wf 6529  (class class class)co 7413   ↑_m cmap 8826  Fincfn 8952  ℕcn 12257  ℕ₀cn0 12528

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-map 8828

This theorem is used by:  psrbagfsupp  22134  psrbaglesupp  22137  psrbaglecl  22138  psrbagaddcl  22139  psrbagcon  22140  psrbaglefi  22141  psrbagconcl  22142  psrbagleadd1  22143  psrbagconf1o  22144  psrbagres  22145  gsumbagdiaglem  22146  psrass1lem  22148  rhmpsrlem2  22156  psrlidm  22176  psrridm  22177  psrass1  22178  psrcom  22182  mplsubrglem  22218  mplmonmul  22252  psrbagev1  22293  evlslem3  22296  evlslem1  22298  evlsvvvallem  22307  evlsvvval  22309  selvvvval  22358  mhpmulcl  22377  psdcl  22389  psdmplcl  22390  psdadd  22391  psdvsca  22392  psdmul  22394  psdmvr  22397  psropprmul  22462  tdeglem1  26283  tdeglem3  26284  tdeglem4  26285  mdegmullem  26303  mplvrpmfgalem  34054  psrmonmul  34060  evlselvlem  43434  evlselv  43435  mhphflem  43442  mhphf  43443