MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbagf 21336
Description: A finite bag is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 30-Jul-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbagf (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)

Proof of Theorem psrbagf
StepHypRef Expression
1 psrbag.d . . 3 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
21eleq2i 2826 . 2 (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ 𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin})
3 elrabi 3640 . . 3 (𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ 𝐹 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼))
4 elmapi 8790 . . 3 (𝐹 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
53, 4syl 17 . 2 (𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
62, 5sylbi 216 1 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3406  β—‘ccnv 5633   β€œ cima 5637  βŸΆwf 6493  (class class class)co 7358   ↑m cmap 8768  Fincfn 8886  β„•cn 12158  β„•0cn0 12418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-map 8770
This theorem is referenced by:  psrbagfsupp  21338  psrbaglesupp  21342  psrbaglecl  21344  psrbagaddcl  21346  psrbagcon  21348  psrbaglefi  21350  psrbagconcl  21352  psrbagconf1o  21354  gsumbagdiaglem  21359  psrass1lem  21361  psrmulcllem  21371  psrlidm  21388  psrridm  21389  psrass1  21390  psrcom  21394  mplsubrglem  21426  mplmonmul  21453  psrbagev1  21501  evlslem3  21506  evlslem1  21508  mhpmulcl  21555  psropprmul  21625  tdeglem1  25436  tdeglem3  25438  tdeglem4  25440  mdegmullem  25459  rhmmpllem2  40781  rhmcomulmpl  40783  evlsbagval  40791  mhphflem  40813
  Copyright terms: Public domain W3C validator