Theorem psrbagf 22281

Description: A finite bag is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 30-Jul-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbagf	⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)

Proof of Theorem psrbagf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbag.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
2	1	eleq2i 2856	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ 𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
3		elrabi 3644	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} → 𝐹 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
4		elmapi 8907	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
6	2, 5	sylbi 220	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416  ^◡ccnv 5657   “ cima 5661  ⟶wf 6562  (class class class)co 7451   ↑_m cmap 8885  Fincfn 9011  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-map 8887

This theorem is used by:  psrbagfsupp  22282  psrbaglesupp  22285  psrbaglecl  22286  psrbagaddcl  22287  psrbagcon  22288  psrbaglefi  22289  psrbagconcl  22290  psrbagleadd1  22291  psrbagconf1o  22292  psrbagres  22293  gsumbagdiaglem  22294  psrass1lem  22296  rhmpsrlem2  22304  psrlidm  22324  psrridm  22325  psrass1  22326  psrcom  22330  mplsubrglem  22366  mplmonmul  22400  psrbagev1  22441  evlslem3  22444  evlslem1  22446  evlsvvvallem  22455  evlsvvval  22457  selvvvval  22506  mhpmulcl  22525  psdcl  22537  psdmplcl  22538  psdadd  22539  psdvsca  22540  psdmul  22542  psdmvr  22545  psropprmul  22610  tdeglem1  26431  tdeglem3  26432  tdeglem4  26433  mdegmullem  26451  mplvrpmfgalem  34287  psrmonmul  34293  evlselvlem  43882  evlselv  43883  mhphflem  43890  mhphf  43891