Theorem psrbagf 21690

Description: A finite bag is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 30-Jul-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbagf	⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)

Proof of Theorem psrbagf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbag.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
2	1	eleq2i 2823	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ 𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
3		elrabi 3676	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} → 𝐹 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
4		elmapi 8845	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
6	2, 5	sylbi 216	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {crab 3430  ^◡ccnv 5674   “ cima 5678  ⟶wf 6538  (class class class)co 7411   ↑_m cmap 8822  Fincfn 8941  ℕcn 12216  ℕ₀cn0 12476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-map 8824

This theorem is referenced by:  psrbagfsupp  21692  psrbaglesupp  21696  psrbaglecl  21698  psrbagaddcl  21700  psrbagcon  21702  psrbaglefi  21704  psrbagconcl  21706  psrbagconf1o  21708  gsumbagdiaglem  21713  psrass1lem  21715  psrmulcllem  21725  psrlidm  21742  psrridm  21743  psrass1  21744  psrcom  21748  mplsubrglem  21782  mplmonmul  21810  psrbagev1  21857  evlslem3  21862  evlslem1  21864  mhpmulcl  21911  psropprmul  21980  tdeglem1  25808  tdeglem3  25810  tdeglem4  25812  mdegmullem  25831  psrbagres  41417  rhmmpllem2  41424  rhmcomulmpl  41426  evlsvvvallem  41435  evlsvvval  41437  selvvvval  41459  evlselvlem  41460  evlselv  41461  mhphflem  41470  mhphf  41471