Theorem psrbagf 21961

Description: A finite bag is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 30-Jul-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbagf	⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)

Proof of Theorem psrbagf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbag.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
2	1	eleq2i 2836	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ 𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
3		elrabi 3703	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} → 𝐹 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
4		elmapi 8907	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
6	2, 5	sylbi 217	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {crab 3443  ^◡ccnv 5699   “ cima 5703  ⟶wf 6569  (class class class)co 7448   ↑_m cmap 8884  Fincfn 9003  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-map 8886

This theorem is referenced by:  psrbagfsupp  21962  psrbaglesupp  21965  psrbaglecl  21966  psrbagaddcl  21967  psrbagcon  21968  psrbaglefi  21969  psrbagconcl  21970  psrbagleadd1  21971  psrbagconf1o  21972  gsumbagdiaglem  21973  psrass1lem  21975  rhmpsrlem2  21984  psrlidm  22005  psrridm  22006  psrass1  22007  psrcom  22011  mplsubrglem  22047  mplmonmul  22077  psrbagev1  22124  evlslem3  22127  evlslem1  22129  mhpmulcl  22176  psdcl  22188  psdmplcl  22189  psdadd  22190  psdvsca  22191  psdmul  22193  psropprmul  22260  tdeglem1  26117  tdeglem3  26118  tdeglem4  26119  mdegmullem  26137  psrbagres  42501  evlsvvvallem  42516  evlsvvval  42518  selvvvval  42540  evlselvlem  42541  evlselv  42542  mhphflem  42551  mhphf  42552