Theorem tdeglem3 26011

Description: Additivity of the total degree helper function. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
tdeglem.a	⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
tdeglem.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))

Assertion

Ref	Expression
tdeglem3	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑋 ∘f + 𝑌)) = ((𝐻‘𝑋) + (𝐻‘𝑌)))

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   ℎ,𝐼,𝑚   ℎ,𝑋,𝑚   ℎ,𝑌,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐻(ℎ,𝑚)

Proof of Theorem tdeglem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldbas 21304	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
2		cnfld0 21338	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
3		cnfldadd 21306	. . 3 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
4		cnring 21336	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
5		ringcmn 20208	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
6	4, 5	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → ℂfld ∈ CMnd)
7		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
8		tdeglem.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
9	8	psrbagf 21865	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
10		nn0sscn 12397	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ⊆ ℂ
11		fss 6675	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋:𝐼⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 𝑋:𝐼⟶ℂ)
12	9, 10, 11	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋:𝐼⟶ℂ)
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋:𝐼⟶ℂ)
14	13	ffnd 6660	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋 Fn 𝐼)
15	7, 14	fndmexd 7843	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝐼 ∈ V)
16	8	psrbagf 21865	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌:𝐼⟶ℕ0)
17		fss 6675	. . . . 5 ⊢ ((𝑌:𝐼⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 𝑌:𝐼⟶ℂ)
18	16, 10, 17	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌:𝐼⟶ℂ)
19	18	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌:𝐼⟶ℂ)
20	8	psrbagfsupp 21866	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 finSupp 0)
21	20	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋 finSupp 0)
22	8	psrbagfsupp 21866	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌 finSupp 0)
23	22	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌 finSupp 0)
24	1, 2, 3, 6, 15, 13, 19, 21, 23	gsumadd 19843	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (ℂfld Σg (𝑋 ∘f + 𝑌)) = ((ℂfld Σg 𝑋) + (ℂfld Σg 𝑌)))
25	8	psrbagaddcl 21871	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∘f + 𝑌) ∈ 𝐴)
26		oveq2 7363	. . . 4 ⊢ (ℎ = (𝑋 ∘f + 𝑌) → (ℂfld Σg ℎ) = (ℂfld Σg (𝑋 ∘f + 𝑌)))
27		tdeglem.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
28		ovex 7388	. . . 4 ⊢ (ℂfld Σg (𝑋 ∘f + 𝑌)) ∈ V
29	26, 27, 28	fvmpt 6938	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∘f + 𝑌) ∈ 𝐴 → (𝐻‘(𝑋 ∘f + 𝑌)) = (ℂfld Σg (𝑋 ∘f + 𝑌)))
30	25, 29	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑋 ∘f + 𝑌)) = (ℂfld Σg (𝑋 ∘f + 𝑌)))
31		oveq2 7363	. . . 4 ⊢ (ℎ = 𝑋 → (ℂfld Σg ℎ) = (ℂfld Σg 𝑋))
32		ovex 7388	. . . 4 ⊢ (ℂfld Σg 𝑋) ∈ V
33	31, 27, 32	fvmpt 6938	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝐻‘𝑋) = (ℂfld Σg 𝑋))
34		oveq2 7363	. . . 4 ⊢ (ℎ = 𝑌 → (ℂfld Σg ℎ) = (ℂfld Σg 𝑌))
35		ovex 7388	. . . 4 ⊢ (ℂfld Σg 𝑌) ∈ V
36	34, 27, 35	fvmpt 6938	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → (𝐻‘𝑌) = (ℂfld Σg 𝑌))
37	33, 36	oveqan12d 7374	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘𝑋) + (𝐻‘𝑌)) = ((ℂfld Σg 𝑋) + (ℂfld Σg 𝑌)))
38	24, 30, 37	3eqtr4d 2778	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑋 ∘f + 𝑌)) = ((𝐻‘𝑋) + (𝐻‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3396  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  ^◡ccnv 5620   “ cima 5624  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   ∘_f cof 7617   ↑_m cmap 8759  Fincfn 8879   finSupp cfsupp 9256  ℂcc 11015  0cc0 11017   + caddc 11020  ℕcn 12136  ℕ₀cn0 12392   Σ_g cgsu 17351  CMndccmn 19700  Ringcrg 20159  ℂ_fldccnfld 21300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-addf 11096

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9257  df-oi 9407  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-seq 13916  df-hash 14245  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-starv 17183  df-tset 17187  df-ple 17188  df-ds 17190  df-unif 17191  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-submnd 18700  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-cntz 19237  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20067  df-ur 20108  df-ring 20161  df-cring 20162  df-cnfld 21301

This theorem is referenced by:  mdegmullem  26030