MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tdeglem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tdeglem3 26006
Description: Additivity of the total degree helper function. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
tdeglem.a 𝐴 = {π‘š ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin}
tdeglem.h 𝐻 = (β„Ž ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g β„Ž))
Assertion
Ref Expression
tdeglem3 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜(𝑋 ∘f + π‘Œ)) = ((π»β€˜π‘‹) + (π»β€˜π‘Œ)))
Distinct variable groups:   𝐴,β„Ž   β„Ž,𝐼,π‘š   β„Ž,𝑋,π‘š   β„Ž,π‘Œ,π‘š
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘š)   𝐻(β„Ž,π‘š)

Proof of Theorem tdeglem3
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 21283 . . 3 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
2 cnfld0 21320 . . 3 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
3 cnfldadd 21285 . . 3 + = (+gβ€˜β„‚fld)
4 cnring 21318 . . . 4 β„‚fld ∈ Ring
5 ringcmn 20218 . . . 4 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
64, 5mp1i 13 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
7 simpl 482 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
8 tdeglem.a . . . . . . . 8 𝐴 = {π‘š ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin}
98psrbagf 21851 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„•0)
10 nn0sscn 12508 . . . . . . 7 β„•0 βŠ† β„‚
11 fss 6739 . . . . . . 7 ((𝑋:πΌβŸΆβ„•0 ∧ β„•0 βŠ† β„‚) β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„‚)
129, 10, 11sylancl 585 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„‚)
1312adantr 480 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„‚)
1413ffnd 6723 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 Fn 𝐼)
157, 14fndmexd 7912 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ 𝐼 ∈ V)
168psrbagf 21851 . . . . 5 (π‘Œ ∈ 𝐴 β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„•0)
17 fss 6739 . . . . 5 ((π‘Œ:πΌβŸΆβ„•0 ∧ β„•0 βŠ† β„‚) β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„‚)
1816, 10, 17sylancl 585 . . . 4 (π‘Œ ∈ 𝐴 β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„‚)
1918adantl 481 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„‚)
208psrbagfsupp 21853 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ 𝑋 finSupp 0)
2120adantr 480 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 finSupp 0)
228psrbagfsupp 21853 . . . 4 (π‘Œ ∈ 𝐴 β†’ π‘Œ finSupp 0)
2322adantl 481 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ finSupp 0)
241, 2, 3, 6, 15, 13, 19, 21, 23gsumadd 19878 . 2 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑋 ∘f + π‘Œ)) = ((β„‚fld Ξ£g 𝑋) + (β„‚fld Ξ£g π‘Œ)))
258psrbagaddcl 21861 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∘f + π‘Œ) ∈ 𝐴)
26 oveq2 7428 . . . 4 (β„Ž = (𝑋 ∘f + π‘Œ) β†’ (β„‚fld Ξ£g β„Ž) = (β„‚fld Ξ£g (𝑋 ∘f + π‘Œ)))
27 tdeglem.h . . . 4 𝐻 = (β„Ž ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g β„Ž))
28 ovex 7453 . . . 4 (β„‚fld Ξ£g (𝑋 ∘f + π‘Œ)) ∈ V
2926, 27, 28fvmpt 7005 . . 3 ((𝑋 ∘f + π‘Œ) ∈ 𝐴 β†’ (π»β€˜(𝑋 ∘f + π‘Œ)) = (β„‚fld Ξ£g (𝑋 ∘f + π‘Œ)))
3025, 29syl 17 . 2 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜(𝑋 ∘f + π‘Œ)) = (β„‚fld Ξ£g (𝑋 ∘f + π‘Œ)))
31 oveq2 7428 . . . 4 (β„Ž = 𝑋 β†’ (β„‚fld Ξ£g β„Ž) = (β„‚fld Ξ£g 𝑋))
32 ovex 7453 . . . 4 (β„‚fld Ξ£g 𝑋) ∈ V
3331, 27, 32fvmpt 7005 . . 3 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (π»β€˜π‘‹) = (β„‚fld Ξ£g 𝑋))
34 oveq2 7428 . . . 4 (β„Ž = π‘Œ β†’ (β„‚fld Ξ£g β„Ž) = (β„‚fld Ξ£g π‘Œ))
35 ovex 7453 . . . 4 (β„‚fld Ξ£g π‘Œ) ∈ V
3634, 27, 35fvmpt 7005 . . 3 (π‘Œ ∈ 𝐴 β†’ (π»β€˜π‘Œ) = (β„‚fld Ξ£g π‘Œ))
3733, 36oveqan12d 7439 . 2 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜π‘‹) + (π»β€˜π‘Œ)) = ((β„‚fld Ξ£g 𝑋) + (β„‚fld Ξ£g π‘Œ)))
3824, 30, 373eqtr4d 2778 1 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜(𝑋 ∘f + π‘Œ)) = ((π»β€˜π‘‹) + (π»β€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3429  Vcvv 3471   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β—‘ccnv 5677   β€œ cima 5681  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ∘f cof 7683   ↑m cmap 8845  Fincfn 8964   finSupp cfsupp 9386  β„‚cc 11137  0cc0 11139   + caddc 11142  β„•cn 12243  β„•0cn0 12503   Ξ£g cgsu 17422  CMndccmn 19735  Ringcrg 20173  β„‚fldccnfld 21279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-addf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-hash 14323  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-ur 20122  df-ring 20175  df-cring 20176  df-cnfld 21280
This theorem is referenced by:  mdegmullem  26027
  Copyright terms: Public domain W3C validator