Theorem tdeglem3 25992

Description: Additivity of the total degree helper function. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
tdeglem.a	⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
tdeglem.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))

Assertion

Ref	Expression
tdeglem3	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑋 ∘f + 𝑌)) = ((𝐻‘𝑋) + (𝐻‘𝑌)))

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   ℎ,𝐼,𝑚   ℎ,𝑋,𝑚   ℎ,𝑌,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐻(ℎ,𝑚)

Proof of Theorem tdeglem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldbas 21297	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
2		cnfld0 21331	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
3		cnfldadd 21299	. . 3 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
4		cnring 21329	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
5		ringcmn 20202	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
6	4, 5	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → ℂfld ∈ CMnd)
7		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
8		tdeglem.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
9	8	psrbagf 21857	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
10		nn0sscn 12393	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ⊆ ℂ
11		fss 6672	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋:𝐼⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 𝑋:𝐼⟶ℂ)
12	9, 10, 11	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋:𝐼⟶ℂ)
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋:𝐼⟶ℂ)
14	13	ffnd 6657	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋 Fn 𝐼)
15	7, 14	fndmexd 7840	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝐼 ∈ V)
16	8	psrbagf 21857	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌:𝐼⟶ℕ0)
17		fss 6672	. . . . 5 ⊢ ((𝑌:𝐼⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 𝑌:𝐼⟶ℂ)
18	16, 10, 17	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌:𝐼⟶ℂ)
19	18	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌:𝐼⟶ℂ)
20	8	psrbagfsupp 21858	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 finSupp 0)
21	20	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋 finSupp 0)
22	8	psrbagfsupp 21858	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌 finSupp 0)
23	22	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌 finSupp 0)
24	1, 2, 3, 6, 15, 13, 19, 21, 23	gsumadd 19837	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (ℂfld Σg (𝑋 ∘f + 𝑌)) = ((ℂfld Σg 𝑋) + (ℂfld Σg 𝑌)))
25	8	psrbagaddcl 21863	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∘f + 𝑌) ∈ 𝐴)
26		oveq2 7360	. . . 4 ⊢ (ℎ = (𝑋 ∘f + 𝑌) → (ℂfld Σg ℎ) = (ℂfld Σg (𝑋 ∘f + 𝑌)))
27		tdeglem.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
28		ovex 7385	. . . 4 ⊢ (ℂfld Σg (𝑋 ∘f + 𝑌)) ∈ V
29	26, 27, 28	fvmpt 6935	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∘f + 𝑌) ∈ 𝐴 → (𝐻‘(𝑋 ∘f + 𝑌)) = (ℂfld Σg (𝑋 ∘f + 𝑌)))
30	25, 29	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑋 ∘f + 𝑌)) = (ℂfld Σg (𝑋 ∘f + 𝑌)))
31		oveq2 7360	. . . 4 ⊢ (ℎ = 𝑋 → (ℂfld Σg ℎ) = (ℂfld Σg 𝑋))
32		ovex 7385	. . . 4 ⊢ (ℂfld Σg 𝑋) ∈ V
33	31, 27, 32	fvmpt 6935	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝐻‘𝑋) = (ℂfld Σg 𝑋))
34		oveq2 7360	. . . 4 ⊢ (ℎ = 𝑌 → (ℂfld Σg ℎ) = (ℂfld Σg 𝑌))
35		ovex 7385	. . . 4 ⊢ (ℂfld Σg 𝑌) ∈ V
36	34, 27, 35	fvmpt 6935	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → (𝐻‘𝑌) = (ℂfld Σg 𝑌))
37	33, 36	oveqan12d 7371	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘𝑋) + (𝐻‘𝑌)) = ((ℂfld Σg 𝑋) + (ℂfld Σg 𝑌)))
38	24, 30, 37	3eqtr4d 2778	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑋 ∘f + 𝑌)) = ((𝐻‘𝑋) + (𝐻‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3396  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5093   ↦ cmpt 5174  ^◡ccnv 5618   “ cima 5622  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352   ∘_f cof 7614   ↑_m cmap 8756  Fincfn 8875   finSupp cfsupp 9252  ℂcc 11011  0cc0 11013   + caddc 11016  ℕcn 12132  ℕ₀cn0 12388   Σ_g cgsu 17346  CMndccmn 19694  Ringcrg 20153  ℂ_fldccnfld 21293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-addf 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-oi 9403  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-seq 13911  df-hash 14240  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-starv 17178  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ds 17185  df-unif 17186  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-submnd 18694  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-ur 20102  df-ring 20155  df-cring 20156  df-cnfld 21294

This theorem is referenced by:  mdegmullem  26011