MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tdeglem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tdeglem3 26113
Description: Additivity of the total degree helper function. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
tdeglem.a 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
tdeglem.h 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
Assertion
Ref Expression
tdeglem3 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝐻‘(𝑋f + 𝑌)) = ((𝐻𝑋) + (𝐻𝑌)))
Distinct variable groups:   𝐴,   ,𝐼,𝑚   ,𝑋,𝑚   ,𝑌,𝑚
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐻(,𝑚)

Proof of Theorem tdeglem3
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 21386 . . 3 ℂ = (Base‘ℂfld)
2 cnfld0 21423 . . 3 0 = (0g‘ℂfld)
3 cnfldadd 21388 . . 3 + = (+g‘ℂfld)
4 cnring 21421 . . . 4 fld ∈ Ring
5 ringcmn 20296 . . . 4 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
64, 5mp1i 13 . . 3 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → ℂfld ∈ CMnd)
7 simpl 482 . . . 4 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋𝐴)
8 tdeglem.a . . . . . . . 8 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
98psrbagf 21956 . . . . . . 7 (𝑋𝐴𝑋:𝐼⟶ℕ0)
10 nn0sscn 12529 . . . . . . 7 0 ⊆ ℂ
11 fss 6753 . . . . . . 7 ((𝑋:𝐼⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 𝑋:𝐼⟶ℂ)
129, 10, 11sylancl 586 . . . . . 6 (𝑋𝐴𝑋:𝐼⟶ℂ)
1312adantr 480 . . . . 5 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋:𝐼⟶ℂ)
1413ffnd 6738 . . . 4 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋 Fn 𝐼)
157, 14fndmexd 7927 . . 3 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝐼 ∈ V)
168psrbagf 21956 . . . . 5 (𝑌𝐴𝑌:𝐼⟶ℕ0)
17 fss 6753 . . . . 5 ((𝑌:𝐼⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 𝑌:𝐼⟶ℂ)
1816, 10, 17sylancl 586 . . . 4 (𝑌𝐴𝑌:𝐼⟶ℂ)
1918adantl 481 . . 3 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑌:𝐼⟶ℂ)
208psrbagfsupp 21957 . . . 4 (𝑋𝐴𝑋 finSupp 0)
2120adantr 480 . . 3 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋 finSupp 0)
228psrbagfsupp 21957 . . . 4 (𝑌𝐴𝑌 finSupp 0)
2322adantl 481 . . 3 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑌 finSupp 0)
241, 2, 3, 6, 15, 13, 19, 21, 23gsumadd 19956 . 2 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → (ℂfld Σg (𝑋f + 𝑌)) = ((ℂfld Σg 𝑋) + (ℂfld Σg 𝑌)))
258psrbagaddcl 21962 . . 3 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋f + 𝑌) ∈ 𝐴)
26 oveq2 7439 . . . 4 ( = (𝑋f + 𝑌) → (ℂfld Σg ) = (ℂfld Σg (𝑋f + 𝑌)))
27 tdeglem.h . . . 4 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
28 ovex 7464 . . . 4 (ℂfld Σg (𝑋f + 𝑌)) ∈ V
2926, 27, 28fvmpt 7016 . . 3 ((𝑋f + 𝑌) ∈ 𝐴 → (𝐻‘(𝑋f + 𝑌)) = (ℂfld Σg (𝑋f + 𝑌)))
3025, 29syl 17 . 2 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝐻‘(𝑋f + 𝑌)) = (ℂfld Σg (𝑋f + 𝑌)))
31 oveq2 7439 . . . 4 ( = 𝑋 → (ℂfld Σg ) = (ℂfld Σg 𝑋))
32 ovex 7464 . . . 4 (ℂfld Σg 𝑋) ∈ V
3331, 27, 32fvmpt 7016 . . 3 (𝑋𝐴 → (𝐻𝑋) = (ℂfld Σg 𝑋))
34 oveq2 7439 . . . 4 ( = 𝑌 → (ℂfld Σg ) = (ℂfld Σg 𝑌))
35 ovex 7464 . . . 4 (ℂfld Σg 𝑌) ∈ V
3634, 27, 35fvmpt 7016 . . 3 (𝑌𝐴 → (𝐻𝑌) = (ℂfld Σg 𝑌))
3733, 36oveqan12d 7450 . 2 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝐻𝑋) + (𝐻𝑌)) = ((ℂfld Σg 𝑋) + (ℂfld Σg 𝑌)))
3824, 30, 373eqtr4d 2785 1 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝐻‘(𝑋f + 𝑌)) = ((𝐻𝑋) + (𝐻𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  Vcvv 3478  wss 3963   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ccnv 5688  cima 5692  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695  m cmap 8865  Fincfn 8984   finSupp cfsupp 9399  cc 11151  0cc0 11153   + caddc 11156  cn 12264  0cn0 12524   Σg cgsu 17487  CMndccmn 19813  Ringcrg 20251  fldccnfld 21382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-cnfld 21383
This theorem is referenced by:  mdegmullem  26132
  Copyright terms: Public domain W3C validator