Theorem tdeglem3 25940

Description: Additivity of the total degree helper function. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
tdeglem.a	⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
tdeglem.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))

Assertion

Ref	Expression
tdeglem3	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑋 ∘f + 𝑌)) = ((𝐻‘𝑋) + (𝐻‘𝑌)))

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   ℎ,𝐼,𝑚   ℎ,𝑋,𝑚   ℎ,𝑌,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐻(ℎ,𝑚)

Proof of Theorem tdeglem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldbas 21244	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
2		cnfld0 21280	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
3		cnfldadd 21246	. . 3 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
4		cnring 21278	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
5		ringcmn 20167	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
6	4, 5	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → ℂfld ∈ CMnd)
7		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
8		tdeglem.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
9	8	psrbagf 21803	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
10		nn0sscn 12423	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ⊆ ℂ
11		fss 6686	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋:𝐼⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 𝑋:𝐼⟶ℂ)
12	9, 10, 11	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋:𝐼⟶ℂ)
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋:𝐼⟶ℂ)
14	13	ffnd 6671	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋 Fn 𝐼)
15	7, 14	fndmexd 7860	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝐼 ∈ V)
16	8	psrbagf 21803	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌:𝐼⟶ℕ0)
17		fss 6686	. . . . 5 ⊢ ((𝑌:𝐼⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 𝑌:𝐼⟶ℂ)
18	16, 10, 17	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌:𝐼⟶ℂ)
19	18	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌:𝐼⟶ℂ)
20	8	psrbagfsupp 21804	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 finSupp 0)
21	20	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋 finSupp 0)
22	8	psrbagfsupp 21804	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌 finSupp 0)
23	22	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌 finSupp 0)
24	1, 2, 3, 6, 15, 13, 19, 21, 23	gsumadd 19829	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (ℂfld Σg (𝑋 ∘f + 𝑌)) = ((ℂfld Σg 𝑋) + (ℂfld Σg 𝑌)))
25	8	psrbagaddcl 21809	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∘f + 𝑌) ∈ 𝐴)
26		oveq2 7377	. . . 4 ⊢ (ℎ = (𝑋 ∘f + 𝑌) → (ℂfld Σg ℎ) = (ℂfld Σg (𝑋 ∘f + 𝑌)))
27		tdeglem.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
28		ovex 7402	. . . 4 ⊢ (ℂfld Σg (𝑋 ∘f + 𝑌)) ∈ V
29	26, 27, 28	fvmpt 6950	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∘f + 𝑌) ∈ 𝐴 → (𝐻‘(𝑋 ∘f + 𝑌)) = (ℂfld Σg (𝑋 ∘f + 𝑌)))
30	25, 29	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑋 ∘f + 𝑌)) = (ℂfld Σg (𝑋 ∘f + 𝑌)))
31		oveq2 7377	. . . 4 ⊢ (ℎ = 𝑋 → (ℂfld Σg ℎ) = (ℂfld Σg 𝑋))
32		ovex 7402	. . . 4 ⊢ (ℂfld Σg 𝑋) ∈ V
33	31, 27, 32	fvmpt 6950	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝐻‘𝑋) = (ℂfld Σg 𝑋))
34		oveq2 7377	. . . 4 ⊢ (ℎ = 𝑌 → (ℂfld Σg ℎ) = (ℂfld Σg 𝑌))
35		ovex 7402	. . . 4 ⊢ (ℂfld Σg 𝑌) ∈ V
36	34, 27, 35	fvmpt 6950	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → (𝐻‘𝑌) = (ℂfld Σg 𝑌))
37	33, 36	oveqan12d 7388	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘𝑋) + (𝐻‘𝑌)) = ((ℂfld Σg 𝑋) + (ℂfld Σg 𝑌)))
38	24, 30, 37	3eqtr4d 2774	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑋 ∘f + 𝑌)) = ((𝐻‘𝑋) + (𝐻‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3402  Vcvv 3444   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ^◡ccnv 5630   “ cima 5634  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∘_f cof 7631   ↑_m cmap 8776  Fincfn 8895   finSupp cfsupp 9288  ℂcc 11042  0cc0 11044   + caddc 11047  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12418   Σ_g cgsu 17379  CMndccmn 19686  Ringcrg 20118  ℂ_fldccnfld 21240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-addf 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-hash 14272  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-cntz 19225  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-cnfld 21241

This theorem is referenced by:  mdegmullem  25959