MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tdeglem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tdeglem3 24979
Description: Additivity of the total degree helper function. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
tdeglem.a 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
tdeglem.h 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
Assertion
Ref Expression
tdeglem3 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝐻‘(𝑋f + 𝑌)) = ((𝐻𝑋) + (𝐻𝑌)))
Distinct variable groups:   𝐴,   ,𝐼,𝑚   ,𝑋,𝑚   ,𝑌,𝑚
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐻(,𝑚)

Proof of Theorem tdeglem3
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 20392 . . 3 ℂ = (Base‘ℂfld)
2 cnfld0 20412 . . 3 0 = (0g‘ℂfld)
3 cnfldadd 20393 . . 3 + = (+g‘ℂfld)
4 cnring 20410 . . . 4 fld ∈ Ring
5 ringcmn 19624 . . . 4 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
64, 5mp1i 13 . . 3 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → ℂfld ∈ CMnd)
7 simpl 486 . . . 4 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋𝐴)
8 tdeglem.a . . . . . . . 8 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
98psrbagf 20901 . . . . . . 7 (𝑋𝐴𝑋:𝐼⟶ℕ0)
10 nn0sscn 12120 . . . . . . 7 0 ⊆ ℂ
11 fss 6581 . . . . . . 7 ((𝑋:𝐼⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 𝑋:𝐼⟶ℂ)
129, 10, 11sylancl 589 . . . . . 6 (𝑋𝐴𝑋:𝐼⟶ℂ)
1312adantr 484 . . . . 5 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋:𝐼⟶ℂ)
1413ffnd 6565 . . . 4 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋 Fn 𝐼)
157, 14fndmexd 7703 . . 3 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝐼 ∈ V)
168psrbagf 20901 . . . . 5 (𝑌𝐴𝑌:𝐼⟶ℕ0)
17 fss 6581 . . . . 5 ((𝑌:𝐼⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 𝑌:𝐼⟶ℂ)
1816, 10, 17sylancl 589 . . . 4 (𝑌𝐴𝑌:𝐼⟶ℂ)
1918adantl 485 . . 3 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑌:𝐼⟶ℂ)
208psrbagfsupp 20903 . . . 4 (𝑋𝐴𝑋 finSupp 0)
2120adantr 484 . . 3 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋 finSupp 0)
228psrbagfsupp 20903 . . . 4 (𝑌𝐴𝑌 finSupp 0)
2322adantl 485 . . 3 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑌 finSupp 0)
241, 2, 3, 6, 15, 13, 19, 21, 23gsumadd 19333 . 2 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → (ℂfld Σg (𝑋f + 𝑌)) = ((ℂfld Σg 𝑋) + (ℂfld Σg 𝑌)))
258psrbagaddcl 20911 . . 3 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋f + 𝑌) ∈ 𝐴)
26 oveq2 7240 . . . 4 ( = (𝑋f + 𝑌) → (ℂfld Σg ) = (ℂfld Σg (𝑋f + 𝑌)))
27 tdeglem.h . . . 4 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
28 ovex 7265 . . . 4 (ℂfld Σg (𝑋f + 𝑌)) ∈ V
2926, 27, 28fvmpt 6837 . . 3 ((𝑋f + 𝑌) ∈ 𝐴 → (𝐻‘(𝑋f + 𝑌)) = (ℂfld Σg (𝑋f + 𝑌)))
3025, 29syl 17 . 2 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝐻‘(𝑋f + 𝑌)) = (ℂfld Σg (𝑋f + 𝑌)))
31 oveq2 7240 . . . 4 ( = 𝑋 → (ℂfld Σg ) = (ℂfld Σg 𝑋))
32 ovex 7265 . . . 4 (ℂfld Σg 𝑋) ∈ V
3331, 27, 32fvmpt 6837 . . 3 (𝑋𝐴 → (𝐻𝑋) = (ℂfld Σg 𝑋))
34 oveq2 7240 . . . 4 ( = 𝑌 → (ℂfld Σg ) = (ℂfld Σg 𝑌))
35 ovex 7265 . . . 4 (ℂfld Σg 𝑌) ∈ V
3634, 27, 35fvmpt 6837 . . 3 (𝑌𝐴 → (𝐻𝑌) = (ℂfld Σg 𝑌))
3733, 36oveqan12d 7251 . 2 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝐻𝑋) + (𝐻𝑌)) = ((ℂfld Σg 𝑋) + (ℂfld Σg 𝑌)))
3824, 30, 373eqtr4d 2788 1 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝐻‘(𝑋f + 𝑌)) = ((𝐻𝑋) + (𝐻𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2111  {crab 3066  Vcvv 3421  wss 3881   class class class wbr 5068  cmpt 5150  ccnv 5565  cima 5569  wf 6394  cfv 6398  (class class class)co 7232  f cof 7486  m cmap 8529  Fincfn 8647   finSupp cfsupp 9010  cc 10752  0cc0 10754   + caddc 10757  cn 11855  0cn0 12115   Σg cgsu 16970  CMndccmn 19195  Ringcrg 19587  fldccnfld 20388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-rep 5194  ax-sep 5207  ax-nul 5214  ax-pow 5273  ax-pr 5337  ax-un 7542  ax-cnex 10810  ax-resscn 10811  ax-1cn 10812  ax-icn 10813  ax-addcl 10814  ax-addrcl 10815  ax-mulcl 10816  ax-mulrcl 10817  ax-mulcom 10818  ax-addass 10819  ax-mulass 10820  ax-distr 10821  ax-i2m1 10822  ax-1ne0 10823  ax-1rid 10824  ax-rnegex 10825  ax-rrecex 10826  ax-cnre 10827  ax-pre-lttri 10828  ax-pre-lttrn 10829  ax-pre-ltadd 10830  ax-pre-mulgt0 10831  ax-addf 10833  ax-mulf 10834
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3423  df-sbc 3710  df-csb 3827  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4253  df-if 4455  df-pw 4530  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4835  df-int 4875  df-iun 4921  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5151  df-tr 5177  df-id 5470  df-eprel 5475  df-po 5483  df-so 5484  df-fr 5524  df-se 5525  df-we 5526  df-xp 5572  df-rel 5573  df-cnv 5574  df-co 5575  df-dm 5576  df-rn 5577  df-res 5578  df-ima 5579  df-pred 6176  df-ord 6234  df-on 6235  df-lim 6236  df-suc 6237  df-iota 6356  df-fun 6400  df-fn 6401  df-f 6402  df-f1 6403  df-fo 6404  df-f1o 6405  df-fv 6406  df-isom 6407  df-riota 7189  df-ov 7235  df-oprab 7236  df-mpo 7237  df-of 7488  df-om 7664  df-1st 7780  df-2nd 7781  df-supp 7925  df-wrecs 8068  df-recs 8129  df-rdg 8167  df-1o 8223  df-er 8412  df-map 8531  df-en 8648  df-dom 8649  df-sdom 8650  df-fin 8651  df-fsupp 9011  df-oi 9151  df-card 9580  df-pnf 10894  df-mnf 10895  df-xr 10896  df-ltxr 10897  df-le 10898  df-sub 11089  df-neg 11090  df-nn 11856  df-2 11918  df-3 11919  df-4 11920  df-5 11921  df-6 11922  df-7 11923  df-8 11924  df-9 11925  df-n0 12116  df-z 12202  df-dec 12319  df-uz 12464  df-fz 13121  df-fzo 13264  df-seq 13600  df-hash 13922  df-struct 16725  df-sets 16742  df-slot 16760  df-ndx 16770  df-base 16786  df-ress 16810  df-plusg 16840  df-mulr 16841  df-starv 16842  df-tset 16846  df-ple 16847  df-ds 16849  df-unif 16850  df-0g 16971  df-gsum 16972  df-mgm 18139  df-sgrp 18188  df-mnd 18199  df-submnd 18244  df-grp 18393  df-minusg 18394  df-cntz 18736  df-cmn 19197  df-abl 19198  df-mgp 19530  df-ur 19542  df-ring 19589  df-cring 19590  df-cnfld 20389
This theorem is referenced by:  mdegmullem  25000
  Copyright terms: Public domain W3C validator