MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tdeglem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tdeglem3 25937
Description: Additivity of the total degree helper function. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
tdeglem.a 𝐴 = {π‘š ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin}
tdeglem.h 𝐻 = (β„Ž ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g β„Ž))
Assertion
Ref Expression
tdeglem3 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜(𝑋 ∘f + π‘Œ)) = ((π»β€˜π‘‹) + (π»β€˜π‘Œ)))
Distinct variable groups:   𝐴,β„Ž   β„Ž,𝐼,π‘š   β„Ž,𝑋,π‘š   β„Ž,π‘Œ,π‘š
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘š)   𝐻(β„Ž,π‘š)

Proof of Theorem tdeglem3
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 21238 . . 3 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
2 cnfld0 21274 . . 3 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
3 cnfldadd 21240 . . 3 + = (+gβ€˜β„‚fld)
4 cnring 21272 . . . 4 β„‚fld ∈ Ring
5 ringcmn 20177 . . . 4 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
64, 5mp1i 13 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
7 simpl 482 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
8 tdeglem.a . . . . . . . 8 𝐴 = {π‘š ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin}
98psrbagf 21801 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„•0)
10 nn0sscn 12476 . . . . . . 7 β„•0 βŠ† β„‚
11 fss 6725 . . . . . . 7 ((𝑋:πΌβŸΆβ„•0 ∧ β„•0 βŠ† β„‚) β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„‚)
129, 10, 11sylancl 585 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„‚)
1312adantr 480 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„‚)
1413ffnd 6709 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 Fn 𝐼)
157, 14fndmexd 7891 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ 𝐼 ∈ V)
168psrbagf 21801 . . . . 5 (π‘Œ ∈ 𝐴 β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„•0)
17 fss 6725 . . . . 5 ((π‘Œ:πΌβŸΆβ„•0 ∧ β„•0 βŠ† β„‚) β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„‚)
1816, 10, 17sylancl 585 . . . 4 (π‘Œ ∈ 𝐴 β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„‚)
1918adantl 481 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„‚)
208psrbagfsupp 21803 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ 𝑋 finSupp 0)
2120adantr 480 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 finSupp 0)
228psrbagfsupp 21803 . . . 4 (π‘Œ ∈ 𝐴 β†’ π‘Œ finSupp 0)
2322adantl 481 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ finSupp 0)
241, 2, 3, 6, 15, 13, 19, 21, 23gsumadd 19839 . 2 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑋 ∘f + π‘Œ)) = ((β„‚fld Ξ£g 𝑋) + (β„‚fld Ξ£g π‘Œ)))
258psrbagaddcl 21811 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∘f + π‘Œ) ∈ 𝐴)
26 oveq2 7410 . . . 4 (β„Ž = (𝑋 ∘f + π‘Œ) β†’ (β„‚fld Ξ£g β„Ž) = (β„‚fld Ξ£g (𝑋 ∘f + π‘Œ)))
27 tdeglem.h . . . 4 𝐻 = (β„Ž ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g β„Ž))
28 ovex 7435 . . . 4 (β„‚fld Ξ£g (𝑋 ∘f + π‘Œ)) ∈ V
2926, 27, 28fvmpt 6989 . . 3 ((𝑋 ∘f + π‘Œ) ∈ 𝐴 β†’ (π»β€˜(𝑋 ∘f + π‘Œ)) = (β„‚fld Ξ£g (𝑋 ∘f + π‘Œ)))
3025, 29syl 17 . 2 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜(𝑋 ∘f + π‘Œ)) = (β„‚fld Ξ£g (𝑋 ∘f + π‘Œ)))
31 oveq2 7410 . . . 4 (β„Ž = 𝑋 β†’ (β„‚fld Ξ£g β„Ž) = (β„‚fld Ξ£g 𝑋))
32 ovex 7435 . . . 4 (β„‚fld Ξ£g 𝑋) ∈ V
3331, 27, 32fvmpt 6989 . . 3 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (π»β€˜π‘‹) = (β„‚fld Ξ£g 𝑋))
34 oveq2 7410 . . . 4 (β„Ž = π‘Œ β†’ (β„‚fld Ξ£g β„Ž) = (β„‚fld Ξ£g π‘Œ))
35 ovex 7435 . . . 4 (β„‚fld Ξ£g π‘Œ) ∈ V
3634, 27, 35fvmpt 6989 . . 3 (π‘Œ ∈ 𝐴 β†’ (π»β€˜π‘Œ) = (β„‚fld Ξ£g π‘Œ))
3733, 36oveqan12d 7421 . 2 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜π‘‹) + (π»β€˜π‘Œ)) = ((β„‚fld Ξ£g 𝑋) + (β„‚fld Ξ£g π‘Œ)))
3824, 30, 373eqtr4d 2774 1 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜(𝑋 ∘f + π‘Œ)) = ((π»β€˜π‘‹) + (π»β€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3424  Vcvv 3466   βŠ† wss 3941   class class class wbr 5139   ↦ cmpt 5222  β—‘ccnv 5666   β€œ cima 5670  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   ∘f cof 7662   ↑m cmap 8817  Fincfn 8936   finSupp cfsupp 9358  β„‚cc 11105  0cc0 11107   + caddc 11110  β„•cn 12211  β„•0cn0 12471   Ξ£g cgsu 17391  CMndccmn 19696  Ringcrg 20134  β„‚fldccnfld 21234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-seq 13968  df-hash 14292  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18710  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-cnfld 21235
This theorem is referenced by:  mdegmullem  25958
  Copyright terms: Public domain W3C validator