Theorem tdeglem3 25574

Description: Additivity of the total degree helper function. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
tdeglem.a	⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
tdeglem.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))

Assertion

Ref	Expression
tdeglem3	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑋 ∘f + 𝑌)) = ((𝐻‘𝑋) + (𝐻‘𝑌)))

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   ℎ,𝐼,𝑚   ℎ,𝑋,𝑚   ℎ,𝑌,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐻(ℎ,𝑚)

Proof of Theorem tdeglem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldbas 20947	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
2		cnfld0 20968	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
3		cnfldadd 20948	. . 3 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
4		cnring 20966	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
5		ringcmn 20098	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
6	4, 5	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → ℂfld ∈ CMnd)
7		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
8		tdeglem.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
9	8	psrbagf 21470	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
10		nn0sscn 12476	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ⊆ ℂ
11		fss 6734	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋:𝐼⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 𝑋:𝐼⟶ℂ)
12	9, 10, 11	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋:𝐼⟶ℂ)
13	12	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋:𝐼⟶ℂ)
14	13	ffnd 6718	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋 Fn 𝐼)
15	7, 14	fndmexd 7896	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝐼 ∈ V)
16	8	psrbagf 21470	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌:𝐼⟶ℕ0)
17		fss 6734	. . . . 5 ⊢ ((𝑌:𝐼⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 𝑌:𝐼⟶ℂ)
18	16, 10, 17	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌:𝐼⟶ℂ)
19	18	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌:𝐼⟶ℂ)
20	8	psrbagfsupp 21472	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 finSupp 0)
21	20	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋 finSupp 0)
22	8	psrbagfsupp 21472	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌 finSupp 0)
23	22	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌 finSupp 0)
24	1, 2, 3, 6, 15, 13, 19, 21, 23	gsumadd 19790	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (ℂfld Σg (𝑋 ∘f + 𝑌)) = ((ℂfld Σg 𝑋) + (ℂfld Σg 𝑌)))
25	8	psrbagaddcl 21480	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∘f + 𝑌) ∈ 𝐴)
26		oveq2 7416	. . . 4 ⊢ (ℎ = (𝑋 ∘f + 𝑌) → (ℂfld Σg ℎ) = (ℂfld Σg (𝑋 ∘f + 𝑌)))
27		tdeglem.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
28		ovex 7441	. . . 4 ⊢ (ℂfld Σg (𝑋 ∘f + 𝑌)) ∈ V
29	26, 27, 28	fvmpt 6998	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∘f + 𝑌) ∈ 𝐴 → (𝐻‘(𝑋 ∘f + 𝑌)) = (ℂfld Σg (𝑋 ∘f + 𝑌)))
30	25, 29	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑋 ∘f + 𝑌)) = (ℂfld Σg (𝑋 ∘f + 𝑌)))
31		oveq2 7416	. . . 4 ⊢ (ℎ = 𝑋 → (ℂfld Σg ℎ) = (ℂfld Σg 𝑋))
32		ovex 7441	. . . 4 ⊢ (ℂfld Σg 𝑋) ∈ V
33	31, 27, 32	fvmpt 6998	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝐻‘𝑋) = (ℂfld Σg 𝑋))
34		oveq2 7416	. . . 4 ⊢ (ℎ = 𝑌 → (ℂfld Σg ℎ) = (ℂfld Σg 𝑌))
35		ovex 7441	. . . 4 ⊢ (ℂfld Σg 𝑌) ∈ V
36	34, 27, 35	fvmpt 6998	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → (𝐻‘𝑌) = (ℂfld Σg 𝑌))
37	33, 36	oveqan12d 7427	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘𝑋) + (𝐻‘𝑌)) = ((ℂfld Σg 𝑋) + (ℂfld Σg 𝑌)))
38	24, 30, 37	3eqtr4d 2782	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑋 ∘f + 𝑌)) = ((𝐻‘𝑋) + (𝐻‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ^◡ccnv 5675   “ cima 5679  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408   ∘_f cof 7667   ↑_m cmap 8819  Fincfn 8938   finSupp cfsupp 9360  ℂcc 11107  0cc0 11109   + caddc 11112  ℕcn 12211  ℕ₀cn0 12471   Σ_g cgsu 17385  CMndccmn 19647  Ringcrg 20055  ℂ_fldccnfld 20943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-hash 14290  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-cnfld 20944

This theorem is referenced by:  mdegmullem  25595