MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tdeglem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tdeglem3 25992
Description: Additivity of the total degree helper function. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
tdeglem.a 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
tdeglem.h 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
Assertion
Ref Expression
tdeglem3 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝐻‘(𝑋f + 𝑌)) = ((𝐻𝑋) + (𝐻𝑌)))
Distinct variable groups:   𝐴,   ,𝐼,𝑚   ,𝑋,𝑚   ,𝑌,𝑚
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐻(,𝑚)

Proof of Theorem tdeglem3
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 21297 . . 3 ℂ = (Base‘ℂfld)
2 cnfld0 21331 . . 3 0 = (0g‘ℂfld)
3 cnfldadd 21299 . . 3 + = (+g‘ℂfld)
4 cnring 21329 . . . 4 fld ∈ Ring
5 ringcmn 20202 . . . 4 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
64, 5mp1i 13 . . 3 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → ℂfld ∈ CMnd)
7 simpl 482 . . . 4 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋𝐴)
8 tdeglem.a . . . . . . . 8 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
98psrbagf 21857 . . . . . . 7 (𝑋𝐴𝑋:𝐼⟶ℕ0)
10 nn0sscn 12393 . . . . . . 7 0 ⊆ ℂ
11 fss 6672 . . . . . . 7 ((𝑋:𝐼⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 𝑋:𝐼⟶ℂ)
129, 10, 11sylancl 586 . . . . . 6 (𝑋𝐴𝑋:𝐼⟶ℂ)
1312adantr 480 . . . . 5 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋:𝐼⟶ℂ)
1413ffnd 6657 . . . 4 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋 Fn 𝐼)
157, 14fndmexd 7840 . . 3 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝐼 ∈ V)
168psrbagf 21857 . . . . 5 (𝑌𝐴𝑌:𝐼⟶ℕ0)
17 fss 6672 . . . . 5 ((𝑌:𝐼⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 𝑌:𝐼⟶ℂ)
1816, 10, 17sylancl 586 . . . 4 (𝑌𝐴𝑌:𝐼⟶ℂ)
1918adantl 481 . . 3 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑌:𝐼⟶ℂ)
208psrbagfsupp 21858 . . . 4 (𝑋𝐴𝑋 finSupp 0)
2120adantr 480 . . 3 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋 finSupp 0)
228psrbagfsupp 21858 . . . 4 (𝑌𝐴𝑌 finSupp 0)
2322adantl 481 . . 3 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑌 finSupp 0)
241, 2, 3, 6, 15, 13, 19, 21, 23gsumadd 19837 . 2 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → (ℂfld Σg (𝑋f + 𝑌)) = ((ℂfld Σg 𝑋) + (ℂfld Σg 𝑌)))
258psrbagaddcl 21863 . . 3 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋f + 𝑌) ∈ 𝐴)
26 oveq2 7360 . . . 4 ( = (𝑋f + 𝑌) → (ℂfld Σg ) = (ℂfld Σg (𝑋f + 𝑌)))
27 tdeglem.h . . . 4 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
28 ovex 7385 . . . 4 (ℂfld Σg (𝑋f + 𝑌)) ∈ V
2926, 27, 28fvmpt 6935 . . 3 ((𝑋f + 𝑌) ∈ 𝐴 → (𝐻‘(𝑋f + 𝑌)) = (ℂfld Σg (𝑋f + 𝑌)))
3025, 29syl 17 . 2 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝐻‘(𝑋f + 𝑌)) = (ℂfld Σg (𝑋f + 𝑌)))
31 oveq2 7360 . . . 4 ( = 𝑋 → (ℂfld Σg ) = (ℂfld Σg 𝑋))
32 ovex 7385 . . . 4 (ℂfld Σg 𝑋) ∈ V
3331, 27, 32fvmpt 6935 . . 3 (𝑋𝐴 → (𝐻𝑋) = (ℂfld Σg 𝑋))
34 oveq2 7360 . . . 4 ( = 𝑌 → (ℂfld Σg ) = (ℂfld Σg 𝑌))
35 ovex 7385 . . . 4 (ℂfld Σg 𝑌) ∈ V
3634, 27, 35fvmpt 6935 . . 3 (𝑌𝐴 → (𝐻𝑌) = (ℂfld Σg 𝑌))
3733, 36oveqan12d 7371 . 2 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝐻𝑋) + (𝐻𝑌)) = ((ℂfld Σg 𝑋) + (ℂfld Σg 𝑌)))
3824, 30, 373eqtr4d 2778 1 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝐻‘(𝑋f + 𝑌)) = ((𝐻𝑋) + (𝐻𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1541  wcel 2113  {crab 3396  Vcvv 3437  wss 3898   class class class wbr 5093  cmpt 5174  ccnv 5618  cima 5622  wf 6482  cfv 6486  (class class class)co 7352  f cof 7614  m cmap 8756  Fincfn 8875   finSupp cfsupp 9252  cc 11011  0cc0 11013   + caddc 11016  cn 12132  0cn0 12388   Σg cgsu 17346  CMndccmn 19694  Ringcrg 20153  fldccnfld 21293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-addf 11092
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-oi 9403  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-seq 13911  df-hash 14240  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-starv 17178  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ds 17185  df-unif 17186  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-submnd 18694  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-ur 20102  df-ring 20155  df-cring 20156  df-cnfld 21294
This theorem is referenced by:  mdegmullem  26011
  Copyright terms: Public domain W3C validator