MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegmullem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdegmullem 25443
Description: Lemma for mdegmulle2 25444. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegaddle.y 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegaddle.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegaddle.i (𝜑𝐼𝑉)
mdegaddle.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mdegmulle2.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
mdegmulle2.t · = (.r𝑌)
mdegmulle2.f (𝜑𝐹𝐵)
mdegmulle2.g (𝜑𝐺𝐵)
mdegmulle2.j1 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
mdegmulle2.k1 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
mdegmulle2.j2 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ 𝐽)
mdegmulle2.k2 (𝜑 → (𝐷𝐺) ≤ 𝐾)
mdegmullem.a 𝐴 = {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
mdegmullem.h 𝐻 = (𝑏𝐴 ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
Assertion
Ref Expression
mdegmullem (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐽 + 𝐾))
Distinct variable groups:   𝐼,𝑎,𝑏   𝑅,𝑏   𝑉,𝑏   𝐴,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐷(𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎)   · (𝑎,𝑏)   𝐹(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐻(𝑎,𝑏)   𝐽(𝑎,𝑏)   𝐾(𝑎,𝑏)   𝑉(𝑎)   𝑌(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mdegmullem
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑥 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegaddle.y . . . . . . . 8 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 mdegmulle2.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 eqid 2736 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4 mdegmulle2.t . . . . . . . 8 · = (.r𝑌)
5 mdegmullem.a . . . . . . . 8 𝐴 = {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
6 mdegmulle2.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝐵)
7 mdegmulle2.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺𝐵)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7mplmul 21415 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐f𝑑)))))))
98fveq1d 6844 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = ((𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐f𝑑))))))‘𝑥))
109adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = ((𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐f𝑑))))))‘𝑥))
11 breq2 5109 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑥 → (𝑒r𝑐𝑒r𝑥))
1211rabbidv 3415 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑥 → {𝑒𝐴𝑒r𝑐} = {𝑒𝐴𝑒r𝑥})
13 fvoveq1 7380 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑥 → (𝐺‘(𝑐f𝑑)) = (𝐺‘(𝑥f𝑑)))
1413oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑥 → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐f𝑑))) = ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))))
1512, 14mpteq12dv 5196 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑥 → (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐f𝑑)))) = (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑)))))
1615oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑥 → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐f𝑑))))) = (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))))))
17 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐f𝑑)))))) = (𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐f𝑑))))))
18 ovex 7390 . . . . . . 7 (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))))) ∈ V
1916, 17, 18fvmpt 6948 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → ((𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐f𝑑))))))‘𝑥) = (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))))))
2019ad2antrl 726 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → ((𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐f𝑑))))))‘𝑥) = (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))))))
21 mdegaddle.d . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
22 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (0g𝑅) = (0g𝑅)
23 mdegmullem.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (𝑏𝐴 ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
246ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → 𝐹𝐵)
25 elrabi 3639 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} → 𝑑𝐴)
2625adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝑑𝐴)
2726adantrr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → 𝑑𝐴)
2821, 1, 2mdegxrcl 25432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
296, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
3029ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
31 nn0ssre 12417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ⊆ ℝ
32 ressxr 11199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℝ ⊆ ℝ*
3331, 32sstri 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ⊆ ℝ*
34 mdegmulle2.j1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
3533, 34sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐽 ∈ ℝ*)
3635ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝐽 ∈ ℝ*)
375, 23tdeglem1 25420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐻:𝐴⟶ℕ0
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝐻:𝐴⟶ℕ0)
3938, 26ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐻𝑑) ∈ ℕ0)
4033, 39sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐻𝑑) ∈ ℝ*)
4130, 36, 403jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → ((𝐷𝐹) ∈ ℝ*𝐽 ∈ ℝ* ∧ (𝐻𝑑) ∈ ℝ*))
4241adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → ((𝐷𝐹) ∈ ℝ*𝐽 ∈ ℝ* ∧ (𝐻𝑑) ∈ ℝ*))
43 mdegmulle2.j2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ 𝐽)
4443ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐷𝐹) ≤ 𝐽)
4544anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑)) → ((𝐷𝐹) ≤ 𝐽𝐽 < (𝐻𝑑)))
4645anasss 467 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → ((𝐷𝐹) ≤ 𝐽𝐽 < (𝐻𝑑)))
47 xrlelttr 13075 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷𝐹) ∈ ℝ*𝐽 ∈ ℝ* ∧ (𝐻𝑑) ∈ ℝ*) → (((𝐷𝐹) ≤ 𝐽𝐽 < (𝐻𝑑)) → (𝐷𝐹) < (𝐻𝑑)))
4842, 46, 47sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → (𝐷𝐹) < (𝐻𝑑))
4921, 1, 2, 22, 5, 23, 24, 27, 48mdeglt 25430 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → (𝐹𝑑) = (0g𝑅))
5049oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))) = ((0g𝑅)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))))
51 mdegaddle.r . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
5251ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝑅 ∈ Ring)
53 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
541, 53, 2, 5, 7mplelf 21404 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺:𝐴⟶(Base‘𝑅))
5554ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝐺:𝐴⟶(Base‘𝑅))
56 ssrab2 4037 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ⊆ 𝐴
57 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝑥𝐴)
58 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑒𝐴𝑒r𝑥} = {𝑒𝐴𝑒r𝑥}
595, 58psrbagconcl 21336 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝐴𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝑥f𝑑) ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥})
6057, 59sylancom 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝑥f𝑑) ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥})
6156, 60sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝑥f𝑑) ∈ 𝐴)
6255, 61ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐺‘(𝑥f𝑑)) ∈ (Base‘𝑅))
6353, 3, 22ringlz 20011 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺‘(𝑥f𝑑)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g𝑅)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))) = (0g𝑅))
6452, 62, 63syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → ((0g𝑅)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))) = (0g𝑅))
6564adantrr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → ((0g𝑅)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))) = (0g𝑅))
6650, 65eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))) = (0g𝑅))
6766anassrs 468 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑)) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))) = (0g𝑅))
687ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))) → 𝐺𝐵)
6961adantrr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))) → (𝑥f𝑑) ∈ 𝐴)
7021, 1, 2mdegxrcl 25432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺𝐵 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
717, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
7271ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
73 mdegmulle2.k1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
7433, 73sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐾 ∈ ℝ*)
7574ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝐾 ∈ ℝ*)
7638, 61ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ∈ ℕ0)
7733, 76sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ∈ ℝ*)
7872, 75, 773jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → ((𝐷𝐺) ∈ ℝ*𝐾 ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ∈ ℝ*))
7978adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))) → ((𝐷𝐺) ∈ ℝ*𝐾 ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ∈ ℝ*))
80 mdegmulle2.k2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐷𝐺) ≤ 𝐾)
8180ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐷𝐺) ≤ 𝐾)
8281anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑))) → ((𝐷𝐺) ≤ 𝐾𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑))))
8382anasss 467 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))) → ((𝐷𝐺) ≤ 𝐾𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑))))
84 xrlelttr 13075 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷𝐺) ∈ ℝ*𝐾 ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ∈ ℝ*) → (((𝐷𝐺) ≤ 𝐾𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑))) → (𝐷𝐺) < (𝐻‘(𝑥f𝑑))))
8579, 83, 84sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))) → (𝐷𝐺) < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))
8621, 1, 2, 22, 5, 23, 68, 69, 85mdeglt 25430 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))) → (𝐺‘(𝑥f𝑑)) = (0g𝑅))
8786oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))) = ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(0g𝑅)))
881, 53, 2, 5, 6mplelf 21404 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:𝐴⟶(Base‘𝑅))
8988ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝑅))
9089, 26ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐹𝑑) ∈ (Base‘𝑅))
9153, 3, 22ringrz 20012 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹𝑑) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
9252, 90, 91syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
9392adantrr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
9487, 93eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))) = (0g𝑅))
9594anassrs 468 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑))) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))) = (0g𝑅))
96 simplrr 776 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))
9739nn0red 12474 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐻𝑑) ∈ ℝ)
9876nn0red 12474 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ∈ ℝ)
9934ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝐽 ∈ ℕ0)
10099nn0red 12474 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝐽 ∈ ℝ)
10173ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝐾 ∈ ℕ0)
102101nn0red 12474 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝐾 ∈ ℝ)
103 le2add 11637 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐻𝑑) ∈ ℝ ∧ (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ∈ ℝ) ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ)) → (((𝐻𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ≤ 𝐾) → ((𝐻𝑑) + (𝐻‘(𝑥f𝑑))) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
10497, 98, 100, 102, 103syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (((𝐻𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ≤ 𝐾) → ((𝐻𝑑) + (𝐻‘(𝑥f𝑑))) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
1055, 23tdeglem3 25422 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑𝐴 ∧ (𝑥f𝑑) ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑑f + (𝑥f𝑑))) = ((𝐻𝑑) + (𝐻‘(𝑥f𝑑))))
10626, 61, 105syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐻‘(𝑑f + (𝑥f𝑑))) = ((𝐻𝑑) + (𝐻‘(𝑥f𝑑))))
107 mdegaddle.i . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐼𝑉)
108107ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝐼𝑉)
1095psrbagf 21320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑑𝐴𝑑:𝐼⟶ℕ0)
1101093ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → 𝑑:𝐼⟶ℕ0)
111110ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑑𝑏) ∈ ℕ0)
112111nn0cnd 12475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑑𝑏) ∈ ℂ)
1135psrbagf 21320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥𝐴𝑥:𝐼⟶ℕ0)
1141133ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
115114ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑥𝑏) ∈ ℕ0)
116115nn0cnd 12475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑥𝑏) ∈ ℂ)
117112, 116pncan3d 11515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → ((𝑑𝑏) + ((𝑥𝑏) − (𝑑𝑏))) = (𝑥𝑏))
118117mpteq2dva 5205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → (𝑏𝐼 ↦ ((𝑑𝑏) + ((𝑥𝑏) − (𝑑𝑏)))) = (𝑏𝐼 ↦ (𝑥𝑏)))
119 simp1 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → 𝐼𝑉)
120 fvexd 6857 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑑𝑏) ∈ V)
121 ovexd 7392 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → ((𝑥𝑏) − (𝑑𝑏)) ∈ V)
122110feqmptd 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → 𝑑 = (𝑏𝐼 ↦ (𝑑𝑏)))
123 fvexd 6857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑥𝑏) ∈ V)
124114feqmptd 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → 𝑥 = (𝑏𝐼 ↦ (𝑥𝑏)))
125119, 123, 120, 124, 122offval2 7637 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → (𝑥f𝑑) = (𝑏𝐼 ↦ ((𝑥𝑏) − (𝑑𝑏))))
126119, 120, 121, 122, 125offval2 7637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → (𝑑f + (𝑥f𝑑)) = (𝑏𝐼 ↦ ((𝑑𝑏) + ((𝑥𝑏) − (𝑑𝑏)))))
127118, 126, 1243eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → (𝑑f + (𝑥f𝑑)) = 𝑥)
128108, 26, 57, 127syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝑑f + (𝑥f𝑑)) = 𝑥)
129128fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐻‘(𝑑f + (𝑥f𝑑))) = (𝐻𝑥))
130106, 129eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → ((𝐻𝑑) + (𝐻‘(𝑥f𝑑))) = (𝐻𝑥))
131130breq1d 5115 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (((𝐻𝑑) + (𝐻‘(𝑥f𝑑))) ≤ (𝐽 + 𝐾) ↔ (𝐻𝑥) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
132104, 131sylibd 238 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (((𝐻𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ≤ 𝐾) → (𝐻𝑥) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
13397, 100lenltd 11301 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → ((𝐻𝑑) ≤ 𝐽 ↔ ¬ 𝐽 < (𝐻𝑑)))
13498, 102lenltd 11301 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → ((𝐻‘(𝑥f𝑑)) ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑))))
135133, 134anbi12d 631 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (((𝐻𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ≤ 𝐾) ↔ (¬ 𝐽 < (𝐻𝑑) ∧ ¬ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))))
136 ioran 982 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝐽 < (𝐻𝑑) ∨ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑))) ↔ (¬ 𝐽 < (𝐻𝑑) ∧ ¬ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑))))
137135, 136bitr4di 288 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (((𝐻𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ≤ 𝐾) ↔ ¬ (𝐽 < (𝐻𝑑) ∨ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))))
13838, 57ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐻𝑥) ∈ ℕ0)
139138nn0red 12474 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐻𝑥) ∈ ℝ)
14034, 73nn0addcld 12477 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ ℕ0)
141140ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ℕ0)
142141nn0red 12474 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ℝ)
143139, 142lenltd 11301 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → ((𝐻𝑥) ≤ (𝐽 + 𝐾) ↔ ¬ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥)))
144132, 137, 1433imtr3d 292 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (¬ (𝐽 < (𝐻𝑑) ∨ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑))) → ¬ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥)))
14596, 144mt4d 117 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐽 < (𝐻𝑑) ∨ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑))))
14667, 95, 145mpjaodan 957 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))) = (0g𝑅))
147146mpteq2dva 5205 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑)))) = (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ (0g𝑅)))
148147oveq2d 7373 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))))) = (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ (0g𝑅))))
149 ringmnd 19974 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
15051, 149syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
151150adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → 𝑅 ∈ Mnd)
152 ovex 7390 . . . . . . . 8 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
1535, 152rab2ex 5292 . . . . . . 7 {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∈ V
15422gsumz 18646 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∈ V) → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ (0g𝑅))) = (0g𝑅))
155151, 153, 154sylancl 586 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ (0g𝑅))) = (0g𝑅))
156148, 155eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))))) = (0g𝑅))
15710, 20, 1563eqtrd 2780 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅))
158157expr 457 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅)))
159158ralrimiva 3143 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 ((𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅)))
1601mplring 21424 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ Ring)
161107, 51, 160syl2anc 584 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
1622, 4ringcl 19981 . . . 4 ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
163161, 6, 7, 162syl3anc 1371 . . 3 (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
16433, 140sselid 3942 . . 3 (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ ℝ*)
16521, 1, 2, 22, 5, 23mdegleb 25429 . . 3 (((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐽 + 𝐾) ∈ ℝ*) → ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐽 + 𝐾) ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅))))
166163, 164, 165syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐽 + 𝐾) ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅))))
167159, 166mpbird 256 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐽 + 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  {crab 3407  Vcvv 3445   class class class wbr 5105  cmpt 5188  ccnv 5632  cima 5636  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615  r cofr 7616  m cmap 8765  Fincfn 8883  cr 11050   + caddc 11054  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  cn 12153  0cn0 12413  Basecbs 17083  .rcmulr 17134  0gc0g 17321   Σg cgsu 17322  Mndcmnd 18556  Ringcrg 19964  fldccnfld 20796   mPoly cmpl 21308   mDeg cmdg 25415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-subrg 20220  df-cnfld 20797  df-psr 21311  df-mpl 21313  df-mdeg 25417
This theorem is referenced by:  mdegmulle2  25444
  Copyright terms: Public domain W3C validator