MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegmullem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdegmullem 25148
Description: Lemma for mdegmulle2 25149. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegaddle.y 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegaddle.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegaddle.i (𝜑𝐼𝑉)
mdegaddle.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mdegmulle2.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
mdegmulle2.t · = (.r𝑌)
mdegmulle2.f (𝜑𝐹𝐵)
mdegmulle2.g (𝜑𝐺𝐵)
mdegmulle2.j1 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
mdegmulle2.k1 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
mdegmulle2.j2 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ 𝐽)
mdegmulle2.k2 (𝜑 → (𝐷𝐺) ≤ 𝐾)
mdegmullem.a 𝐴 = {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
mdegmullem.h 𝐻 = (𝑏𝐴 ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
Assertion
Ref Expression
mdegmullem (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐽 + 𝐾))
Distinct variable groups:   𝐼,𝑎,𝑏   𝑅,𝑏   𝑉,𝑏   𝐴,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐷(𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎)   · (𝑎,𝑏)   𝐹(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐻(𝑎,𝑏)   𝐽(𝑎,𝑏)   𝐾(𝑎,𝑏)   𝑉(𝑎)   𝑌(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mdegmullem
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑥 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegaddle.y . . . . . . . 8 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 mdegmulle2.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 eqid 2738 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4 mdegmulle2.t . . . . . . . 8 · = (.r𝑌)
5 mdegmullem.a . . . . . . . 8 𝐴 = {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
6 mdegmulle2.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝐵)
7 mdegmulle2.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺𝐵)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7mplmul 21125 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐f𝑑)))))))
98fveq1d 6758 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = ((𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐f𝑑))))))‘𝑥))
109adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = ((𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐f𝑑))))))‘𝑥))
11 breq2 5074 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑥 → (𝑒r𝑐𝑒r𝑥))
1211rabbidv 3404 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑥 → {𝑒𝐴𝑒r𝑐} = {𝑒𝐴𝑒r𝑥})
13 fvoveq1 7278 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑥 → (𝐺‘(𝑐f𝑑)) = (𝐺‘(𝑥f𝑑)))
1413oveq2d 7271 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑥 → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐f𝑑))) = ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))))
1512, 14mpteq12dv 5161 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑥 → (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐f𝑑)))) = (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑)))))
1615oveq2d 7271 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑥 → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐f𝑑))))) = (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))))))
17 eqid 2738 . . . . . . 7 (𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐f𝑑)))))) = (𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐f𝑑))))))
18 ovex 7288 . . . . . . 7 (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))))) ∈ V
1916, 17, 18fvmpt 6857 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → ((𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐f𝑑))))))‘𝑥) = (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))))))
2019ad2antrl 724 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → ((𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐f𝑑))))))‘𝑥) = (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))))))
21 mdegaddle.d . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
22 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . 13 (0g𝑅) = (0g𝑅)
23 mdegmullem.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (𝑏𝐴 ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
246ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → 𝐹𝐵)
25 elrabi 3611 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} → 𝑑𝐴)
2625adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝑑𝐴)
2726adantrr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → 𝑑𝐴)
2821, 1, 2mdegxrcl 25137 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
296, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
3029ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
31 nn0ssre 12167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ⊆ ℝ
32 ressxr 10950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℝ ⊆ ℝ*
3331, 32sstri 3926 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ⊆ ℝ*
34 mdegmulle2.j1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
3533, 34sselid 3915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐽 ∈ ℝ*)
3635ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝐽 ∈ ℝ*)
375, 23tdeglem1 25125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐻:𝐴⟶ℕ0
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝐻:𝐴⟶ℕ0)
3938, 26ffvelrnd 6944 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐻𝑑) ∈ ℕ0)
4033, 39sselid 3915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐻𝑑) ∈ ℝ*)
4130, 36, 403jca 1126 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → ((𝐷𝐹) ∈ ℝ*𝐽 ∈ ℝ* ∧ (𝐻𝑑) ∈ ℝ*))
4241adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → ((𝐷𝐹) ∈ ℝ*𝐽 ∈ ℝ* ∧ (𝐻𝑑) ∈ ℝ*))
43 mdegmulle2.j2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ 𝐽)
4443ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐷𝐹) ≤ 𝐽)
4544anim1i 614 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑)) → ((𝐷𝐹) ≤ 𝐽𝐽 < (𝐻𝑑)))
4645anasss 466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → ((𝐷𝐹) ≤ 𝐽𝐽 < (𝐻𝑑)))
47 xrlelttr 12819 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷𝐹) ∈ ℝ*𝐽 ∈ ℝ* ∧ (𝐻𝑑) ∈ ℝ*) → (((𝐷𝐹) ≤ 𝐽𝐽 < (𝐻𝑑)) → (𝐷𝐹) < (𝐻𝑑)))
4842, 46, 47sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → (𝐷𝐹) < (𝐻𝑑))
4921, 1, 2, 22, 5, 23, 24, 27, 48mdeglt 25135 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → (𝐹𝑑) = (0g𝑅))
5049oveq1d 7270 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))) = ((0g𝑅)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))))
51 mdegaddle.r . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
5251ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝑅 ∈ Ring)
53 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
541, 53, 2, 5, 7mplelf 21114 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺:𝐴⟶(Base‘𝑅))
5554ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝐺:𝐴⟶(Base‘𝑅))
56 ssrab2 4009 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ⊆ 𝐴
57 simplrl 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝑥𝐴)
58 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑒𝐴𝑒r𝑥} = {𝑒𝐴𝑒r𝑥}
595, 58psrbagconcl 21047 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝐴𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝑥f𝑑) ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥})
6057, 59sylancom 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝑥f𝑑) ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥})
6156, 60sselid 3915 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝑥f𝑑) ∈ 𝐴)
6255, 61ffvelrnd 6944 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐺‘(𝑥f𝑑)) ∈ (Base‘𝑅))
6353, 3, 22ringlz 19741 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺‘(𝑥f𝑑)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g𝑅)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))) = (0g𝑅))
6452, 62, 63syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → ((0g𝑅)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))) = (0g𝑅))
6564adantrr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → ((0g𝑅)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))) = (0g𝑅))
6650, 65eqtrd 2778 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))) = (0g𝑅))
6766anassrs 467 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑)) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))) = (0g𝑅))
687ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))) → 𝐺𝐵)
6961adantrr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))) → (𝑥f𝑑) ∈ 𝐴)
7021, 1, 2mdegxrcl 25137 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺𝐵 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
717, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
7271ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
73 mdegmulle2.k1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
7433, 73sselid 3915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐾 ∈ ℝ*)
7574ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝐾 ∈ ℝ*)
7638, 61ffvelrnd 6944 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ∈ ℕ0)
7733, 76sselid 3915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ∈ ℝ*)
7872, 75, 773jca 1126 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → ((𝐷𝐺) ∈ ℝ*𝐾 ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ∈ ℝ*))
7978adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))) → ((𝐷𝐺) ∈ ℝ*𝐾 ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ∈ ℝ*))
80 mdegmulle2.k2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐷𝐺) ≤ 𝐾)
8180ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐷𝐺) ≤ 𝐾)
8281anim1i 614 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑))) → ((𝐷𝐺) ≤ 𝐾𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑))))
8382anasss 466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))) → ((𝐷𝐺) ≤ 𝐾𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑))))
84 xrlelttr 12819 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷𝐺) ∈ ℝ*𝐾 ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ∈ ℝ*) → (((𝐷𝐺) ≤ 𝐾𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑))) → (𝐷𝐺) < (𝐻‘(𝑥f𝑑))))
8579, 83, 84sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))) → (𝐷𝐺) < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))
8621, 1, 2, 22, 5, 23, 68, 69, 85mdeglt 25135 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))) → (𝐺‘(𝑥f𝑑)) = (0g𝑅))
8786oveq2d 7271 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))) = ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(0g𝑅)))
881, 53, 2, 5, 6mplelf 21114 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:𝐴⟶(Base‘𝑅))
8988ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝑅))
9089, 26ffvelrnd 6944 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐹𝑑) ∈ (Base‘𝑅))
9153, 3, 22ringrz 19742 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹𝑑) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
9252, 90, 91syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
9392adantrr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
9487, 93eqtrd 2778 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))) = (0g𝑅))
9594anassrs 467 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑))) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))) = (0g𝑅))
96 simplrr 774 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))
9739nn0red 12224 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐻𝑑) ∈ ℝ)
9876nn0red 12224 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ∈ ℝ)
9934ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝐽 ∈ ℕ0)
10099nn0red 12224 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝐽 ∈ ℝ)
10173ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝐾 ∈ ℕ0)
102101nn0red 12224 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝐾 ∈ ℝ)
103 le2add 11387 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐻𝑑) ∈ ℝ ∧ (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ∈ ℝ) ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ)) → (((𝐻𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ≤ 𝐾) → ((𝐻𝑑) + (𝐻‘(𝑥f𝑑))) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
10497, 98, 100, 102, 103syl22anc 835 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (((𝐻𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ≤ 𝐾) → ((𝐻𝑑) + (𝐻‘(𝑥f𝑑))) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
1055, 23tdeglem3 25127 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑𝐴 ∧ (𝑥f𝑑) ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑑f + (𝑥f𝑑))) = ((𝐻𝑑) + (𝐻‘(𝑥f𝑑))))
10626, 61, 105syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐻‘(𝑑f + (𝑥f𝑑))) = ((𝐻𝑑) + (𝐻‘(𝑥f𝑑))))
107 mdegaddle.i . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐼𝑉)
108107ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝐼𝑉)
1095psrbagf 21031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑑𝐴𝑑:𝐼⟶ℕ0)
1101093ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → 𝑑:𝐼⟶ℕ0)
111110ffvelrnda 6943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑑𝑏) ∈ ℕ0)
112111nn0cnd 12225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑑𝑏) ∈ ℂ)
1135psrbagf 21031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥𝐴𝑥:𝐼⟶ℕ0)
1141133ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
115114ffvelrnda 6943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑥𝑏) ∈ ℕ0)
116115nn0cnd 12225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑥𝑏) ∈ ℂ)
117112, 116pncan3d 11265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → ((𝑑𝑏) + ((𝑥𝑏) − (𝑑𝑏))) = (𝑥𝑏))
118117mpteq2dva 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → (𝑏𝐼 ↦ ((𝑑𝑏) + ((𝑥𝑏) − (𝑑𝑏)))) = (𝑏𝐼 ↦ (𝑥𝑏)))
119 simp1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → 𝐼𝑉)
120 fvexd 6771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑑𝑏) ∈ V)
121 ovexd 7290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → ((𝑥𝑏) − (𝑑𝑏)) ∈ V)
122110feqmptd 6819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → 𝑑 = (𝑏𝐼 ↦ (𝑑𝑏)))
123 fvexd 6771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑥𝑏) ∈ V)
124114feqmptd 6819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → 𝑥 = (𝑏𝐼 ↦ (𝑥𝑏)))
125119, 123, 120, 124, 122offval2 7531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → (𝑥f𝑑) = (𝑏𝐼 ↦ ((𝑥𝑏) − (𝑑𝑏))))
126119, 120, 121, 122, 125offval2 7531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → (𝑑f + (𝑥f𝑑)) = (𝑏𝐼 ↦ ((𝑑𝑏) + ((𝑥𝑏) − (𝑑𝑏)))))
127118, 126, 1243eqtr4d 2788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → (𝑑f + (𝑥f𝑑)) = 𝑥)
128108, 26, 57, 127syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝑑f + (𝑥f𝑑)) = 𝑥)
129128fveq2d 6760 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐻‘(𝑑f + (𝑥f𝑑))) = (𝐻𝑥))
130106, 129eqtr3d 2780 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → ((𝐻𝑑) + (𝐻‘(𝑥f𝑑))) = (𝐻𝑥))
131130breq1d 5080 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (((𝐻𝑑) + (𝐻‘(𝑥f𝑑))) ≤ (𝐽 + 𝐾) ↔ (𝐻𝑥) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
132104, 131sylibd 238 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (((𝐻𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ≤ 𝐾) → (𝐻𝑥) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
13397, 100lenltd 11051 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → ((𝐻𝑑) ≤ 𝐽 ↔ ¬ 𝐽 < (𝐻𝑑)))
13498, 102lenltd 11051 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → ((𝐻‘(𝑥f𝑑)) ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑))))
135133, 134anbi12d 630 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (((𝐻𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ≤ 𝐾) ↔ (¬ 𝐽 < (𝐻𝑑) ∧ ¬ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))))
136 ioran 980 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝐽 < (𝐻𝑑) ∨ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑))) ↔ (¬ 𝐽 < (𝐻𝑑) ∧ ¬ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑))))
137135, 136bitr4di 288 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (((𝐻𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ≤ 𝐾) ↔ ¬ (𝐽 < (𝐻𝑑) ∨ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))))
13838, 57ffvelrnd 6944 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐻𝑥) ∈ ℕ0)
139138nn0red 12224 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐻𝑥) ∈ ℝ)
14034, 73nn0addcld 12227 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ ℕ0)
141140ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ℕ0)
142141nn0red 12224 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ℝ)
143139, 142lenltd 11051 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → ((𝐻𝑥) ≤ (𝐽 + 𝐾) ↔ ¬ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥)))
144132, 137, 1433imtr3d 292 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (¬ (𝐽 < (𝐻𝑑) ∨ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑))) → ¬ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥)))
14596, 144mt4d 117 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐽 < (𝐻𝑑) ∨ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑))))
14667, 95, 145mpjaodan 955 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))) = (0g𝑅))
147146mpteq2dva 5170 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑)))) = (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ (0g𝑅)))
148147oveq2d 7271 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))))) = (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ (0g𝑅))))
149 ringmnd 19708 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
15051, 149syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
151150adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → 𝑅 ∈ Mnd)
152 ovex 7288 . . . . . . . 8 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
1535, 152rab2ex 5254 . . . . . . 7 {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∈ V
15422gsumz 18389 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∈ V) → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ (0g𝑅))) = (0g𝑅))
155151, 153, 154sylancl 585 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ (0g𝑅))) = (0g𝑅))
156148, 155eqtrd 2778 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))))) = (0g𝑅))
15710, 20, 1563eqtrd 2782 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅))
158157expr 456 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅)))
159158ralrimiva 3107 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 ((𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅)))
1601mplring 21134 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ Ring)
161107, 51, 160syl2anc 583 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
1622, 4ringcl 19715 . . . 4 ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
163161, 6, 7, 162syl3anc 1369 . . 3 (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
16433, 140sselid 3915 . . 3 (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ ℝ*)
16521, 1, 2, 22, 5, 23mdegleb 25134 . . 3 (((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐽 + 𝐾) ∈ ℝ*) → ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐽 + 𝐾) ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅))))
166163, 164, 165syl2anc 583 . 2 (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐽 + 𝐾) ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅))))
167159, 166mpbird 256 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐽 + 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 843  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2108  wral 3063  {crab 3067  Vcvv 3422   class class class wbr 5070  cmpt 5153  ccnv 5579  cima 5583  wf 6414  cfv 6418  (class class class)co 7255  f cof 7509  r cofr 7510  m cmap 8573  Fincfn 8691  cr 10801   + caddc 10805  *cxr 10939   < clt 10940  cle 10941  cmin 11135  cn 11903  0cn0 12163  Basecbs 16840  .rcmulr 16889  0gc0g 17067   Σg cgsu 17068  Mndcmnd 18300  Ringcrg 19698  fldccnfld 20510   mPoly cmpl 21019   mDeg cmdg 25120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-subrg 19937  df-cnfld 20511  df-psr 21022  df-mpl 21024  df-mdeg 25122
This theorem is referenced by:  mdegmulle2  25149
  Copyright terms: Public domain W3C validator