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Theorem mdegmullem 26030
Description: Lemma for mdegmulle2 26031. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegaddle.y π‘Œ = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegaddle.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegaddle.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
mdegaddle.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
mdegmulle2.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
mdegmulle2.t Β· = (.rβ€˜π‘Œ)
mdegmulle2.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
mdegmulle2.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
mdegmulle2.j1 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ β„•0)
mdegmulle2.k1 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
mdegmulle2.j2 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) ≀ 𝐽)
mdegmulle2.k2 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΊ) ≀ 𝐾)
mdegmullem.a 𝐴 = {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
mdegmullem.h 𝐻 = (𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))
Assertion
Ref Expression
mdegmullem (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) ≀ (𝐽 + 𝐾))
Distinct variable groups:   𝐼,π‘Ž,𝑏   𝑅,𝑏   𝑉,𝑏   𝐴,𝑏
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘Ž,𝑏)   𝐴(π‘Ž)   𝐡(π‘Ž,𝑏)   𝐷(π‘Ž,𝑏)   𝑅(π‘Ž)   Β· (π‘Ž,𝑏)   𝐹(π‘Ž,𝑏)   𝐺(π‘Ž,𝑏)   𝐻(π‘Ž,𝑏)   𝐽(π‘Ž,𝑏)   𝐾(π‘Ž,𝑏)   𝑉(π‘Ž)   π‘Œ(π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem mdegmullem
Dummy variables 𝑐 𝑑 π‘₯ 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegaddle.y . . . . . . . 8 π‘Œ = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 mdegmulle2.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
3 eqid 2725 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
4 mdegmulle2.t . . . . . . . 8 Β· = (.rβ€˜π‘Œ)
5 mdegmullem.a . . . . . . . 8 𝐴 = {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
6 mdegmulle2.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
7 mdegmulle2.g . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7mplmul 21958 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 Β· 𝐺) = (𝑐 ∈ 𝐴 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ 𝑐} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑐 ∘f βˆ’ 𝑑)))))))
98fveq1d 6893 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐹 Β· 𝐺)β€˜π‘₯) = ((𝑐 ∈ 𝐴 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ 𝑐} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑐 ∘f βˆ’ 𝑑))))))β€˜π‘₯))
109adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) β†’ ((𝐹 Β· 𝐺)β€˜π‘₯) = ((𝑐 ∈ 𝐴 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ 𝑐} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑐 ∘f βˆ’ 𝑑))))))β€˜π‘₯))
11 breq2 5147 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = π‘₯ β†’ (𝑒 ∘r ≀ 𝑐 ↔ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯))
1211rabbidv 3427 . . . . . . . . 9 (𝑐 = π‘₯ β†’ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ 𝑐} = {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯})
13 fvoveq1 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = π‘₯ β†’ (πΊβ€˜(𝑐 ∘f βˆ’ 𝑑)) = (πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)))
1413oveq2d 7431 . . . . . . . . 9 (𝑐 = π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑐 ∘f βˆ’ 𝑑))) = ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))))
1512, 14mpteq12dv 5234 . . . . . . . 8 (𝑐 = π‘₯ β†’ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ 𝑐} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑐 ∘f βˆ’ 𝑑)))) = (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)))))
1615oveq2d 7431 . . . . . . 7 (𝑐 = π‘₯ β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ 𝑐} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑐 ∘f βˆ’ 𝑑))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))))))
17 eqid 2725 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ 𝐴 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ 𝑐} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑐 ∘f βˆ’ 𝑑)))))) = (𝑐 ∈ 𝐴 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ 𝑐} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑐 ∘f βˆ’ 𝑑))))))
18 ovex 7448 . . . . . . 7 (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))))) ∈ V
1916, 17, 18fvmpt 6999 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ ((𝑐 ∈ 𝐴 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ 𝑐} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑐 ∘f βˆ’ 𝑑))))))β€˜π‘₯) = (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))))))
2019ad2antrl 726 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) β†’ ((𝑐 ∈ 𝐴 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ 𝑐} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑐 ∘f βˆ’ 𝑑))))))β€˜π‘₯) = (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))))))
21 mdegaddle.d . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
22 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . 13 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
23 mdegmullem.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))
246ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ∧ 𝐽 < (π»β€˜π‘‘))) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
25 elrabi 3669 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} β†’ 𝑑 ∈ 𝐴)
2625adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝑑 ∈ 𝐴)
2726adantrr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ∧ 𝐽 < (π»β€˜π‘‘))) β†’ 𝑑 ∈ 𝐴)
2821, 1, 2mdegxrcl 26019 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
296, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
3029ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
31 nn0ssre 12504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„•0 βŠ† ℝ
32 ressxr 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℝ βŠ† ℝ*
3331, 32sstri 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„•0 βŠ† ℝ*
34 mdegmulle2.j1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ β„•0)
3533, 34sselid 3970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ ℝ*)
3635ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝐽 ∈ ℝ*)
375, 23tdeglem1 26007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐻:π΄βŸΆβ„•0
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝐻:π΄βŸΆβ„•0)
3938, 26ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (π»β€˜π‘‘) ∈ β„•0)
4033, 39sselid 3970 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (π»β€˜π‘‘) ∈ ℝ*)
4130, 36, 403jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ ((π·β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ 𝐽 ∈ ℝ* ∧ (π»β€˜π‘‘) ∈ ℝ*))
4241adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ∧ 𝐽 < (π»β€˜π‘‘))) β†’ ((π·β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ 𝐽 ∈ ℝ* ∧ (π»β€˜π‘‘) ∈ ℝ*))
43 mdegmulle2.j2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) ≀ 𝐽)
4443ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (π·β€˜πΉ) ≀ 𝐽)
4544anim1i 613 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝐽 < (π»β€˜π‘‘)) β†’ ((π·β€˜πΉ) ≀ 𝐽 ∧ 𝐽 < (π»β€˜π‘‘)))
4645anasss 465 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ∧ 𝐽 < (π»β€˜π‘‘))) β†’ ((π·β€˜πΉ) ≀ 𝐽 ∧ 𝐽 < (π»β€˜π‘‘)))
47 xrlelttr 13165 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π·β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ 𝐽 ∈ ℝ* ∧ (π»β€˜π‘‘) ∈ ℝ*) β†’ (((π·β€˜πΉ) ≀ 𝐽 ∧ 𝐽 < (π»β€˜π‘‘)) β†’ (π·β€˜πΉ) < (π»β€˜π‘‘)))
4842, 46, 47sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ∧ 𝐽 < (π»β€˜π‘‘))) β†’ (π·β€˜πΉ) < (π»β€˜π‘‘))
4921, 1, 2, 22, 5, 23, 24, 27, 48mdeglt 26017 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ∧ 𝐽 < (π»β€˜π‘‘))) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = (0gβ€˜π‘…))
5049oveq1d 7430 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ∧ 𝐽 < (π»β€˜π‘‘))) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))) = ((0gβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))))
51 mdegaddle.r . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
5251ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
53 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
541, 53, 2, 5, 7mplelf 21945 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐴⟢(Baseβ€˜π‘…))
5554ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝐺:𝐴⟢(Baseβ€˜π‘…))
56 ssrab2 4069 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} βŠ† 𝐴
57 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
58 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} = {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}
595, 58psrbagconcl 21869 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑) ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯})
6057, 59sylancom 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑) ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯})
6156, 60sselid 3970 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑) ∈ 𝐴)
6255, 61ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
6353, 3, 22ringlz 20231 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((0gβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))) = (0gβ€˜π‘…))
6452, 62, 63syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ ((0gβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))) = (0gβ€˜π‘…))
6564adantrr 715 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ∧ 𝐽 < (π»β€˜π‘‘))) β†’ ((0gβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))) = (0gβ€˜π‘…))
6650, 65eqtrd 2765 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ∧ 𝐽 < (π»β€˜π‘‘))) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))) = (0gβ€˜π‘…))
6766anassrs 466 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝐽 < (π»β€˜π‘‘)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))) = (0gβ€˜π‘…))
687ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ∧ 𝐾 < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)))) β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
6961adantrr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ∧ 𝐾 < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)))) β†’ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑) ∈ 𝐴)
7021, 1, 2mdegxrcl 26019 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺 ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜πΊ) ∈ ℝ*)
717, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΊ) ∈ ℝ*)
7271ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (π·β€˜πΊ) ∈ ℝ*)
73 mdegmulle2.k1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
7433, 73sselid 3970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ℝ*)
7574ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝐾 ∈ ℝ*)
7638, 61ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)) ∈ β„•0)
7733, 76sselid 3970 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)) ∈ ℝ*)
7872, 75, 773jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ ((π·β€˜πΊ) ∈ ℝ* ∧ 𝐾 ∈ ℝ* ∧ (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)) ∈ ℝ*))
7978adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ∧ 𝐾 < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)))) β†’ ((π·β€˜πΊ) ∈ ℝ* ∧ 𝐾 ∈ ℝ* ∧ (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)) ∈ ℝ*))
80 mdegmulle2.k2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΊ) ≀ 𝐾)
8180ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (π·β€˜πΊ) ≀ 𝐾)
8281anim1i 613 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝐾 < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))) β†’ ((π·β€˜πΊ) ≀ 𝐾 ∧ 𝐾 < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))))
8382anasss 465 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ∧ 𝐾 < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)))) β†’ ((π·β€˜πΊ) ≀ 𝐾 ∧ 𝐾 < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))))
84 xrlelttr 13165 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π·β€˜πΊ) ∈ ℝ* ∧ 𝐾 ∈ ℝ* ∧ (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)) ∈ ℝ*) β†’ (((π·β€˜πΊ) ≀ 𝐾 ∧ 𝐾 < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))) β†’ (π·β€˜πΊ) < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))))
8579, 83, 84sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ∧ 𝐾 < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)))) β†’ (π·β€˜πΊ) < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)))
8621, 1, 2, 22, 5, 23, 68, 69, 85mdeglt 26017 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ∧ 𝐾 < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)))) β†’ (πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)) = (0gβ€˜π‘…))
8786oveq2d 7431 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ∧ 𝐾 < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))) = ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)))
881, 53, 2, 5, 6mplelf 21945 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢(Baseβ€˜π‘…))
8988ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝐹:𝐴⟢(Baseβ€˜π‘…))
9089, 26ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
9153, 3, 22ringrz 20232 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
9252, 90, 91syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
9392adantrr 715 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ∧ 𝐾 < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
9487, 93eqtrd 2765 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ∧ 𝐾 < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))) = (0gβ€˜π‘…))
9594anassrs 466 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝐾 < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))) = (0gβ€˜π‘…))
96 simplrr 776 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))
9739nn0red 12561 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (π»β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
9876nn0red 12561 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)) ∈ ℝ)
9934ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝐽 ∈ β„•0)
10099nn0red 12561 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝐽 ∈ ℝ)
10173ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
102101nn0red 12561 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
103 le2add 11724 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π»β€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)) ∈ ℝ) ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ)) β†’ (((π»β€˜π‘‘) ≀ 𝐽 ∧ (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)) ≀ 𝐾) β†’ ((π»β€˜π‘‘) + (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))) ≀ (𝐽 + 𝐾)))
10497, 98, 100, 102, 103syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (((π»β€˜π‘‘) ≀ 𝐽 ∧ (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)) ≀ 𝐾) β†’ ((π»β€˜π‘‘) + (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))) ≀ (𝐽 + 𝐾)))
1055, 23tdeglem3 26009 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑) ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜(𝑑 ∘f + (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))) = ((π»β€˜π‘‘) + (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))))
10626, 61, 105syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (π»β€˜(𝑑 ∘f + (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))) = ((π»β€˜π‘‘) + (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))))
107 mdegaddle.i . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
108107ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
1095psrbagf 21853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑑 ∈ 𝐴 β†’ 𝑑:πΌβŸΆβ„•0)
1101093ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑑:πΌβŸΆβ„•0)
111110ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‘β€˜π‘) ∈ β„•0)
112111nn0cnd 12562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‘β€˜π‘) ∈ β„‚)
1135psrbagf 21853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ π‘₯:πΌβŸΆβ„•0)
1141133ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯:πΌβŸΆβ„•0)
115114ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯β€˜π‘) ∈ β„•0)
116115nn0cnd 12562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯β€˜π‘) ∈ β„‚)
117112, 116pncan3d 11602 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‘β€˜π‘) + ((π‘₯β€˜π‘) βˆ’ (π‘‘β€˜π‘))) = (π‘₯β€˜π‘))
118117mpteq2dva 5243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘) + ((π‘₯β€˜π‘) βˆ’ (π‘‘β€˜π‘)))) = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯β€˜π‘)))
119 simp1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
120 fvexd 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‘β€˜π‘) ∈ V)
121 ovexd 7450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯β€˜π‘) βˆ’ (π‘‘β€˜π‘)) ∈ V)
122110feqmptd 6961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑑 = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‘β€˜π‘)))
123 fvexd 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯β€˜π‘) ∈ V)
124114feqmptd 6961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯β€˜π‘)))
125119, 123, 120, 124, 122offval2 7701 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑) = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯β€˜π‘) βˆ’ (π‘‘β€˜π‘))))
126119, 120, 121, 122, 125offval2 7701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∘f + (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)) = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘) + ((π‘₯β€˜π‘) βˆ’ (π‘‘β€˜π‘)))))
127118, 126, 1243eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∘f + (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)) = π‘₯)
128108, 26, 57, 127syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (𝑑 ∘f + (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)) = π‘₯)
129128fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (π»β€˜(𝑑 ∘f + (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))) = (π»β€˜π‘₯))
130106, 129eqtr3d 2767 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ ((π»β€˜π‘‘) + (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))) = (π»β€˜π‘₯))
131130breq1d 5153 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (((π»β€˜π‘‘) + (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))) ≀ (𝐽 + 𝐾) ↔ (π»β€˜π‘₯) ≀ (𝐽 + 𝐾)))
132104, 131sylibd 238 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (((π»β€˜π‘‘) ≀ 𝐽 ∧ (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)) ≀ 𝐾) β†’ (π»β€˜π‘₯) ≀ (𝐽 + 𝐾)))
13397, 100lenltd 11388 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ ((π»β€˜π‘‘) ≀ 𝐽 ↔ Β¬ 𝐽 < (π»β€˜π‘‘)))
13498, 102lenltd 11388 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ ((π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)) ≀ 𝐾 ↔ Β¬ 𝐾 < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))))
135133, 134anbi12d 630 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (((π»β€˜π‘‘) ≀ 𝐽 ∧ (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)) ≀ 𝐾) ↔ (Β¬ 𝐽 < (π»β€˜π‘‘) ∧ Β¬ 𝐾 < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)))))
136 ioran 981 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ (𝐽 < (π»β€˜π‘‘) ∨ 𝐾 < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))) ↔ (Β¬ 𝐽 < (π»β€˜π‘‘) ∧ Β¬ 𝐾 < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))))
137135, 136bitr4di 288 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (((π»β€˜π‘‘) ≀ 𝐽 ∧ (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)) ≀ 𝐾) ↔ Β¬ (𝐽 < (π»β€˜π‘‘) ∨ 𝐾 < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)))))
13838, 57ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (π»β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
139138nn0red 12561 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (π»β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
14034, 73nn0addcld 12564 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐽 + 𝐾) ∈ β„•0)
141140ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (𝐽 + 𝐾) ∈ β„•0)
142141nn0red 12561 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (𝐽 + 𝐾) ∈ ℝ)
143139, 142lenltd 11388 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ ((π»β€˜π‘₯) ≀ (𝐽 + 𝐾) ↔ Β¬ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯)))
144132, 137, 1433imtr3d 292 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (Β¬ (𝐽 < (π»β€˜π‘‘) ∨ 𝐾 < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))) β†’ Β¬ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯)))
14596, 144mt4d 117 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (𝐽 < (π»β€˜π‘‘) ∨ 𝐾 < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))))
14667, 95, 145mpjaodan 956 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))) = (0gβ€˜π‘…))
147146mpteq2dva 5243 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) β†’ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)))) = (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ↦ (0gβ€˜π‘…)))
148147oveq2d 7431 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ↦ (0gβ€˜π‘…))))
149 ringmnd 20185 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
15051, 149syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
151150adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
152 ovex 7448 . . . . . . . 8 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
1535, 152rab2ex 5332 . . . . . . 7 {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ∈ V
15422gsumz 18790 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ∈ V) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ↦ (0gβ€˜π‘…))) = (0gβ€˜π‘…))
155151, 153, 154sylancl 584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ↦ (0gβ€˜π‘…))) = (0gβ€˜π‘…))
156148, 155eqtrd 2765 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))))) = (0gβ€˜π‘…))
15710, 20, 1563eqtrd 2769 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) β†’ ((𝐹 Β· 𝐺)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))
158157expr 455 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯) β†’ ((𝐹 Β· 𝐺)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…)))
159158ralrimiva 3136 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯) β†’ ((𝐹 Β· 𝐺)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…)))
1601mplring 21966 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ π‘Œ ∈ Ring)
161107, 51, 160syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Ring)
1622, 4ringcl 20192 . . . 4 ((π‘Œ ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 Β· 𝐺) ∈ 𝐡)
163161, 6, 7, 162syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 Β· 𝐺) ∈ 𝐡)
16433, 140sselid 3970 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐽 + 𝐾) ∈ ℝ*)
16521, 1, 2, 22, 5, 23mdegleb 26016 . . 3 (((𝐹 Β· 𝐺) ∈ 𝐡 ∧ (𝐽 + 𝐾) ∈ ℝ*) β†’ ((π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) ≀ (𝐽 + 𝐾) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯) β†’ ((𝐹 Β· 𝐺)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))))
166163, 164, 165syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) ≀ (𝐽 + 𝐾) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯) β†’ ((𝐹 Β· 𝐺)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))))
167159, 166mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) ≀ (𝐽 + 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  {crab 3419  Vcvv 3463   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  β—‘ccnv 5671   β€œ cima 5675  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   ∘f cof 7679   ∘r cofr 7680   ↑m cmap 8841  Fincfn 8960  β„cr 11135   + caddc 11139  β„*cxr 11275   < clt 11276   ≀ cle 11277   βˆ’ cmin 11472  β„•cn 12240  β„•0cn0 12500  Basecbs 17177  .rcmulr 17231  0gc0g 17418   Ξ£g cgsu 17419  Mndcmnd 18691  Ringcrg 20175  β„‚fldccnfld 21281   mPoly cmpl 21841   mDeg cmdg 26002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-sup 9463  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-hash 14320  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-prds 17426  df-pws 17428  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18737  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-mulg 19026  df-subg 19080  df-ghm 19170  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-cring 20178  df-subrng 20485  df-subrg 20510  df-cnfld 21282  df-psr 21844  df-mpl 21846  df-mdeg 26004
This theorem is referenced by:  mdegmulle2  26031
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