Theorem mdegmullem 26429

Description: Lemma for mdegmulle2 26430. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegaddle.y	⊢ 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegaddle.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegaddle.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mdegaddle.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mdegmulle2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
mdegmulle2.t	⊢ · = (.r‘𝑌)
mdegmulle2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
mdegmulle2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
mdegmulle2.j1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
mdegmulle2.k1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
mdegmulle2.j2	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ 𝐽)
mdegmulle2.k2	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐾)
mdegmullem.a	⊢ 𝐴 = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
mdegmullem.h	⊢ 𝐻 = (𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg 𝑏))

Assertion

Ref	Expression
mdegmullem	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐽 + 𝐾))

Distinct variable groups:   𝐼,𝑎,𝑏   𝑅,𝑏   𝑉,𝑏   𝐴,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎, 𝑏)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎, 𝑏)   𝐷(𝑎, 𝑏)   𝑅(𝑎)   · (𝑎, 𝑏)   𝐹(𝑎, 𝑏)   𝐺(𝑎, 𝑏)   𝐻(𝑎, 𝑏)   𝐽(𝑎, 𝑏)   𝐾(𝑎, 𝑏)   𝑉(𝑎)   𝑌(𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem mdegmullem

Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑥 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdegaddle.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		mdegmulle2.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		mdegmulle2.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘𝑌)
5		mdegmullem.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
6		mdegmulle2.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
7		mdegmulle2.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	mplmul 22351	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (𝑐 ∈ 𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑐} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑐 ∘f − 𝑑)))))))
9	8	fveq1d 6913	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = ((𝑐 ∈ 𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑐} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑐 ∘f − 𝑑))))))‘𝑥))
10	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = ((𝑐 ∈ 𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑐} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑐 ∘f − 𝑑))))))‘𝑥))
11		breq2 5110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (𝑒 ∘r ≤ 𝑐 ↔ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥))
12	11	rabbidv 3423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑐} = {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥})
13		fvoveq1 7469	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (𝐺‘(𝑐 ∘f − 𝑑)) = (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑)))
14	13	oveq2d 7462	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑐 ∘f − 𝑑))) = ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑))))
15	12, 14	mpteq12dv 5196	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑐} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑐 ∘f − 𝑑)))) = (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑)))))
16	15	oveq2d 7462	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑐} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑐 ∘f − 𝑑))))) = (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑))))))
17		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑐} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑐 ∘f − 𝑑)))))) = (𝑐 ∈ 𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑐} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑐 ∘f − 𝑑))))))
18		ovex 7479	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑))))) ∈ V
19	16, 17, 18	fvmpt 7019	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝑐 ∈ 𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑐} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑐 ∘f − 𝑑))))))‘𝑥) = (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑))))))
20	19	ad2antrl 741	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) → ((𝑐 ∈ 𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑐} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑐 ∘f − 𝑑))))))‘𝑥) = (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑))))))
21		mdegaddle.d	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
22		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
23		mdegmullem.h	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐻 = (𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
24	6	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻‘𝑑))) → 𝐹 ∈ 𝐵)
25		elrabi 3644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} → 𝑑 ∈ 𝐴)
26	25	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑑 ∈ 𝐴)
27	26	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻‘𝑑))) → 𝑑 ∈ 𝐴)
28	21, 1, 2	mdegxrcl 26418	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
29	6, 28	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
30	29	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
31		nn0ssre 12640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
32		ressxr 11383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
33	31, 32	sstri 3922	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
34		mdegmulle2.j1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
35	33, 34	sselid 3911	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ*)
36	35	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝐽 ∈ ℝ*)
37	5, 23	tdeglem1 26409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐻:𝐴⟶ℕ0
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝐻:𝐴⟶ℕ0)
39	38, 26	ffvelcdmd 7112	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝐻‘𝑑) ∈ ℕ0)
40	33, 39	sselid 3911	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝐻‘𝑑) ∈ ℝ*)
41	30, 36, 40	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ 𝐽 ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘𝑑) ∈ ℝ*))
42	41	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻‘𝑑))) → ((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ 𝐽 ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘𝑑) ∈ ℝ*))
43		mdegmulle2.j2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ 𝐽)
44	43	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝐷‘𝐹) ≤ 𝐽)
45	44	anim1i 627	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) ∧ 𝐽 < (𝐻‘𝑑)) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 < (𝐻‘𝑑)))
46	45	anasss 472	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻‘𝑑))) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 < (𝐻‘𝑑)))
47		xrlelttr 13315	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ 𝐽 ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘𝑑) ∈ ℝ*) → (((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 < (𝐻‘𝑑)) → (𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑑)))
48	42, 46, 47	sylc 66	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻‘𝑑))) → (𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑑))
49	21, 1, 2, 22, 5, 23, 24, 27, 48	mdeglt 26416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻‘𝑑))) → (𝐹‘𝑑) = (0g‘𝑅))
50	49	oveq1d 7461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻‘𝑑))) → ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑))) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑))))
51		mdegaddle.r	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
52	51	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑅 ∈ Ring)
53		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
54	1, 53, 2, 5, 7	mplelf 22338	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶(Base‘𝑅))
55	54	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝐺:𝐴⟶(Base‘𝑅))
56		ssrab2 4008	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ⊆ 𝐴
57		simplrl 789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
58		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} = {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}
59	5, 58	psrbagconcl 22268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑥 ∘f − 𝑑) ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥})
60	57, 59	sylancom 600	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑥 ∘f − 𝑑) ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥})
61	56, 60	sselid 3911	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑥 ∘f − 𝑑) ∈ 𝐴)
62	55, 61	ffvelcdmd 7112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑)) ∈ (Base‘𝑅))
63	53, 3, 22	ringlz 20557	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑))) = (0g‘𝑅))
64	52, 62, 63	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑))) = (0g‘𝑅))
65	64	adantrr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻‘𝑑))) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑))) = (0g‘𝑅))
66	50, 65	eqtrd 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻‘𝑑))) → ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑))) = (0g‘𝑅))
67	66	anassrs 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) ∧ 𝐽 < (𝐻‘𝑑)) → ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑))) = (0g‘𝑅))
68	7	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)))) → 𝐺 ∈ 𝐵)
69	61	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)))) → (𝑥 ∘f − 𝑑) ∈ 𝐴)
70	21, 1, 2	mdegxrcl 26418	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
71	7, 70	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
72	71	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
73		mdegmulle2.k1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
74	33, 73	sselid 3911	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ*)
75	74	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝐾 ∈ ℝ*)
76	38, 61	ffvelcdmd 7112	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)) ∈ ℕ0)
77	33, 76	sselid 3911	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)) ∈ ℝ*)
78	72, 75, 77	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝐷‘𝐺) ∈ ℝ* ∧ 𝐾 ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)) ∈ ℝ*))
79	78	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)))) → ((𝐷‘𝐺) ∈ ℝ* ∧ 𝐾 ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)) ∈ ℝ*))
80		mdegmulle2.k2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐾)
81	80	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐾)
82	81	anim1i 627	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑))) → ((𝐷‘𝐺) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑))))
83	82	anasss 472	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)))) → ((𝐷‘𝐺) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑))))
84		xrlelttr 13315	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷‘𝐺) ∈ ℝ* ∧ 𝐾 ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)) ∈ ℝ*) → (((𝐷‘𝐺) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑))) → (𝐷‘𝐺) < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑))))
85	79, 83, 84	sylc 66	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)))) → (𝐷‘𝐺) < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)))
86	21, 1, 2, 22, 5, 23, 68, 69, 85	mdeglt 26416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)))) → (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑)) = (0g‘𝑅))
87	86	oveq2d 7462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)))) → ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑))) = ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
88	1, 53, 2, 5, 6	mplelf 22338	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝑅))
89	88	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝑅))
90	89, 26	ffvelcdmd 7112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝐹‘𝑑) ∈ (Base‘𝑅))
91	53, 3, 22	ringrz 20558	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹‘𝑑) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
92	52, 90, 91	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
93	92	adantrr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)))) → ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
94	87, 93	eqtrd 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)))) → ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑))) = (0g‘𝑅))
95	94	anassrs 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑))) → ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑))) = (0g‘𝑅))
96		simplrr 790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))
97	39	nn0red 12698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝐻‘𝑑) ∈ ℝ)
98	76	nn0red 12698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)) ∈ ℝ)
99	34	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝐽 ∈ ℕ0)
100	99	nn0red 12698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝐽 ∈ ℝ)
101	73	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝐾 ∈ ℕ0)
102	101	nn0red 12698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝐾 ∈ ℝ)
103		le2add 11828	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐻‘𝑑) ∈ ℝ ∧ (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)) ∈ ℝ) ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ)) → (((𝐻‘𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)) ≤ 𝐾) → ((𝐻‘𝑑) + (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑))) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
104	97, 98, 100, 102, 103	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (((𝐻‘𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)) ≤ 𝐾) → ((𝐻‘𝑑) + (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑))) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
105	5, 23	tdeglem3 26410	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∘f − 𝑑) ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑑 ∘f + (𝑥 ∘f − 𝑑))) = ((𝐻‘𝑑) + (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑))))
106	26, 61, 105	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝐻‘(𝑑 ∘f + (𝑥 ∘f − 𝑑))) = ((𝐻‘𝑑) + (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑))))
107		mdegaddle.i	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
108	107	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝐼 ∈ 𝑉)
109	5	psrbagf 22259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑑 ∈ 𝐴 → 𝑑:𝐼⟶ℕ0)
110	109	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑑:𝐼⟶ℕ0)
111	110	ffvelcdmda 7111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑑‘𝑏) ∈ ℕ0)
112	111	nn0cnd 12699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑑‘𝑏) ∈ ℂ)
113	5	psrbagf 22259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
114	113	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
115	114	ffvelcdmda 7111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑏) ∈ ℕ0)
116	115	nn0cnd 12699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑏) ∈ ℂ)
117	112, 116	pncan3d 11702	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((𝑑‘𝑏) + ((𝑥‘𝑏) − (𝑑‘𝑏))) = (𝑥‘𝑏))
118	117	mpteq2dva 5202	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑑‘𝑏) + ((𝑥‘𝑏) − (𝑑‘𝑏)))) = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑏)))
119		simp1 1154	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐼 ∈ 𝑉)
120		fvexd 6926	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑑‘𝑏) ∈ V)
121		ovexd 7481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑏) − (𝑑‘𝑏)) ∈ V)
122	110	feqmptd 6979	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑑 = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑑‘𝑏)))
123		fvexd 6926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑏) ∈ V)
124	114	feqmptd 6979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑏)))
125	119, 123, 120, 124, 122	offval2 7740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∘f − 𝑑) = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑏) − (𝑑‘𝑏))))
126	119, 120, 121, 122, 125	offval2 7740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑑 ∘f + (𝑥 ∘f − 𝑑)) = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑑‘𝑏) + ((𝑥‘𝑏) − (𝑑‘𝑏)))))
127	118, 126, 124	3eqtr4d 2808	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑑 ∘f + (𝑥 ∘f − 𝑑)) = 𝑥)
128	108, 26, 57, 127	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑑 ∘f + (𝑥 ∘f − 𝑑)) = 𝑥)
129	128	fveq2d 6915	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝐻‘(𝑑 ∘f + (𝑥 ∘f − 𝑑))) = (𝐻‘𝑥))
130	106, 129	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝐻‘𝑑) + (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑))) = (𝐻‘𝑥))
131	130	breq1d 5116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (((𝐻‘𝑑) + (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑))) ≤ (𝐽 + 𝐾) ↔ (𝐻‘𝑥) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
132	104, 131	sylibd 242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (((𝐻‘𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)) ≤ 𝐾) → (𝐻‘𝑥) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
133	97, 100	lenltd 11486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝐻‘𝑑) ≤ 𝐽 ↔ ¬ 𝐽 < (𝐻‘𝑑)))
134	98, 102	lenltd 11486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)) ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑))))
135	133, 134	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (((𝐻‘𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)) ≤ 𝐾) ↔ (¬ 𝐽 < (𝐻‘𝑑) ∧ ¬ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)))))
136		ioran 999	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (𝐽 < (𝐻‘𝑑) ∨ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑))) ↔ (¬ 𝐽 < (𝐻‘𝑑) ∧ ¬ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑))))
137	135, 136	bitr4di 292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (((𝐻‘𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)) ≤ 𝐾) ↔ ¬ (𝐽 < (𝐻‘𝑑) ∨ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)))))
138	38, 57	ffvelcdmd 7112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝐻‘𝑥) ∈ ℕ0)
139	138	nn0red 12698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝐻‘𝑥) ∈ ℝ)
140	34, 73	nn0addcld 12701	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ ℕ0)
141	140	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ℕ0)
142	141	nn0red 12698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ℝ)
143	139, 142	lenltd 11486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝐻‘𝑥) ≤ (𝐽 + 𝐾) ↔ ¬ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥)))
144	132, 137, 143	3imtr3d 296	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (¬ (𝐽 < (𝐻‘𝑑) ∨ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑))) → ¬ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥)))
145	96, 144	mt4d 118	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝐽 < (𝐻‘𝑑) ∨ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑))))
146	67, 95, 145	mpjaodan 973	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑))) = (0g‘𝑅))
147	146	mpteq2dva 5202	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) → (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑)))) = (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (0g‘𝑅)))
148	147	oveq2d 7462	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑))))) = (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (0g‘𝑅))))
149		ringmnd 20503	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
150	51, 149	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
151	150	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) → 𝑅 ∈ Mnd)
152		ovex 7479	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
153	5, 152	rab2ex 5308	. . . . . . 7 ⊢ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ∈ V
154	22	gsumz 19064	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ∈ V) → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (0g‘𝑅))) = (0g‘𝑅))
155	151, 153, 154	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (0g‘𝑅))) = (0g‘𝑅))
156	148, 155	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑))))) = (0g‘𝑅))
157	10, 20, 156	3eqtrd 2802	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g‘𝑅))
158	157	expr 462	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
159	158	ralrimiva 3158	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
160	1, 107, 51	mplringd 22363	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
161	2, 4	ringcl 20510	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
162	160, 6, 7, 161	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
163	33, 140	sselid 3911	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ ℝ*)
164	21, 1, 2, 22, 5, 23	mdegleb 26415	. . 3 ⊢ (((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐽 + 𝐾) ∈ ℝ*) → ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐽 + 𝐾) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
165	162, 163, 164	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐽 + 𝐾) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
166	159, 165	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐽 + 𝐾))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  {crab 3416  Vcvv 3454   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5190  ^◡ccnv 5655   “ cima 5659  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446   ∘_f cof 7718   ∘_r cofr 7719   ↑_m cmap 8878  Fincfn 9004  ℝcr 11229   + caddc 11233  ℝ^*cxr 11372   < clt 11373   ≤ cle 11374   − cmin 11571  ℕcn 12365  ℕ₀cn0 12636  Basecbs 17419  ._rcmulr 17461  0_gc0g 17642   Σ_g cgsu 17643  Mndcmnd 18955  Ringcrg 20492  ℂ_fldccnfld 21711   mPoly cmpl 22247   mDeg cmdg 26404

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308  ax-addf 11309

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-ofr 7721  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-map 8880  df-pm 8881  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-sup 9464  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-seq 14175  df-hash 14505  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-starv 17475  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-unif 17483  df-hom 17484  df-cco 17485  df-0g 17644  df-gsum 17645  df-prds 17650  df-pws 17652  df-mre 17788  df-mrc 17789  df-acs 17791  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-mhm 19010  df-submnd 19011  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-mulg 19310  df-subg 19365  df-ghm 19460  df-cntz 19564  df-cmn 20029  df-abl 20030  df-mgp 20394  df-rng 20408  df-ur 20441  df-ring 20494  df-cring 20495  df-subrng 20831  df-subrg 20855  df-cnfld 21712  df-psr 22250  df-mpl 22252  df-mdeg 26406

This theorem is used by:  mdegmulle2  26430