Theorem mdegmullem 25969

Description: Lemma for mdegmulle2 25970. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegaddle.y	⊢ 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegaddle.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegaddle.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mdegaddle.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mdegmulle2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
mdegmulle2.t	⊢ · = (.r‘𝑌)
mdegmulle2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
mdegmulle2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
mdegmulle2.j1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
mdegmulle2.k1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
mdegmulle2.j2	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ 𝐽)
mdegmulle2.k2	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐾)
mdegmullem.a	⊢ 𝐴 = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
mdegmullem.h	⊢ 𝐻 = (𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg 𝑏))

Assertion

Ref	Expression
mdegmullem	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐽 + 𝐾))

Distinct variable groups:   𝐼,𝑎,𝑏   𝑅,𝑏   𝑉,𝑏   𝐴,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐷(𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎)   · (𝑎,𝑏)   𝐹(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐻(𝑎,𝑏)   𝐽(𝑎,𝑏)   𝐾(𝑎,𝑏)   𝑉(𝑎)   𝑌(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mdegmullem

Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑥 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdegaddle.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		mdegmulle2.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		mdegmulle2.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘𝑌)
5		mdegmullem.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
6		mdegmulle2.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
7		mdegmulle2.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	mplmul 21912	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (𝑐 ∈ 𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑐} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑐 ∘f − 𝑑)))))))
9	8	fveq1d 6887	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = ((𝑐 ∈ 𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑐} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑐 ∘f − 𝑑))))))‘𝑥))
10	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = ((𝑐 ∈ 𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑐} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑐 ∘f − 𝑑))))))‘𝑥))
11		breq2 5145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (𝑒 ∘r ≤ 𝑐 ↔ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥))
12	11	rabbidv 3434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑐} = {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥})
13		fvoveq1 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (𝐺‘(𝑐 ∘f − 𝑑)) = (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑)))
14	13	oveq2d 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑐 ∘f − 𝑑))) = ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑))))
15	12, 14	mpteq12dv 5232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑐} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑐 ∘f − 𝑑)))) = (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑)))))
16	15	oveq2d 7421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑐} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑐 ∘f − 𝑑))))) = (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑))))))
17		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑐} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑐 ∘f − 𝑑)))))) = (𝑐 ∈ 𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑐} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑐 ∘f − 𝑑))))))
18		ovex 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑))))) ∈ V
19	16, 17, 18	fvmpt 6992	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝑐 ∈ 𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑐} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑐 ∘f − 𝑑))))))‘𝑥) = (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑))))))
20	19	ad2antrl 725	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) → ((𝑐 ∈ 𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑐} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑐 ∘f − 𝑑))))))‘𝑥) = (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑))))))
21		mdegaddle.d	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
22		eqid 2726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
23		mdegmullem.h	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐻 = (𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
24	6	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻‘𝑑))) → 𝐹 ∈ 𝐵)
25		elrabi 3672	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} → 𝑑 ∈ 𝐴)
26	25	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑑 ∈ 𝐴)
27	26	adantrr 714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻‘𝑑))) → 𝑑 ∈ 𝐴)
28	21, 1, 2	mdegxrcl 25958	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
29	6, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
30	29	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
31		nn0ssre 12480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
32		ressxr 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
33	31, 32	sstri 3986	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
34		mdegmulle2.j1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
35	33, 34	sselid 3975	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ*)
36	35	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝐽 ∈ ℝ*)
37	5, 23	tdeglem1 25946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐻:𝐴⟶ℕ0
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝐻:𝐴⟶ℕ0)
39	38, 26	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝐻‘𝑑) ∈ ℕ0)
40	33, 39	sselid 3975	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝐻‘𝑑) ∈ ℝ*)
41	30, 36, 40	3jca 1125	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ 𝐽 ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘𝑑) ∈ ℝ*))
42	41	adantrr 714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻‘𝑑))) → ((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ 𝐽 ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘𝑑) ∈ ℝ*))
43		mdegmulle2.j2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ 𝐽)
44	43	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝐷‘𝐹) ≤ 𝐽)
45	44	anim1i 614	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) ∧ 𝐽 < (𝐻‘𝑑)) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 < (𝐻‘𝑑)))
46	45	anasss 466	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻‘𝑑))) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 < (𝐻‘𝑑)))
47		xrlelttr 13141	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ 𝐽 ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘𝑑) ∈ ℝ*) → (((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 < (𝐻‘𝑑)) → (𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑑)))
48	42, 46, 47	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻‘𝑑))) → (𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑑))
49	21, 1, 2, 22, 5, 23, 24, 27, 48	mdeglt 25956	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻‘𝑑))) → (𝐹‘𝑑) = (0g‘𝑅))
50	49	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻‘𝑑))) → ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑))) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑))))
51		mdegaddle.r	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
52	51	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑅 ∈ Ring)
53		eqid 2726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
54	1, 53, 2, 5, 7	mplelf 21899	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶(Base‘𝑅))
55	54	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝐺:𝐴⟶(Base‘𝑅))
56		ssrab2 4072	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ⊆ 𝐴
57		simplrl 774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
58		eqid 2726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} = {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}
59	5, 58	psrbagconcl 21828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑥 ∘f − 𝑑) ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥})
60	57, 59	sylancom 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑥 ∘f − 𝑑) ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥})
61	56, 60	sselid 3975	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑥 ∘f − 𝑑) ∈ 𝐴)
62	55, 61	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑)) ∈ (Base‘𝑅))
63	53, 3, 22	ringlz 20192	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑))) = (0g‘𝑅))
64	52, 62, 63	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑))) = (0g‘𝑅))
65	64	adantrr 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻‘𝑑))) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑))) = (0g‘𝑅))
66	50, 65	eqtrd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻‘𝑑))) → ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑))) = (0g‘𝑅))
67	66	anassrs 467	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) ∧ 𝐽 < (𝐻‘𝑑)) → ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑))) = (0g‘𝑅))
68	7	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)))) → 𝐺 ∈ 𝐵)
69	61	adantrr 714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)))) → (𝑥 ∘f − 𝑑) ∈ 𝐴)
70	21, 1, 2	mdegxrcl 25958	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
71	7, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
72	71	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
73		mdegmulle2.k1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
74	33, 73	sselid 3975	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ*)
75	74	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝐾 ∈ ℝ*)
76	38, 61	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)) ∈ ℕ0)
77	33, 76	sselid 3975	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)) ∈ ℝ*)
78	72, 75, 77	3jca 1125	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝐷‘𝐺) ∈ ℝ* ∧ 𝐾 ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)) ∈ ℝ*))
79	78	adantrr 714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)))) → ((𝐷‘𝐺) ∈ ℝ* ∧ 𝐾 ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)) ∈ ℝ*))
80		mdegmulle2.k2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐾)
81	80	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐾)
82	81	anim1i 614	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑))) → ((𝐷‘𝐺) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑))))
83	82	anasss 466	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)))) → ((𝐷‘𝐺) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑))))
84		xrlelttr 13141	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷‘𝐺) ∈ ℝ* ∧ 𝐾 ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)) ∈ ℝ*) → (((𝐷‘𝐺) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑))) → (𝐷‘𝐺) < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑))))
85	79, 83, 84	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)))) → (𝐷‘𝐺) < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)))
86	21, 1, 2, 22, 5, 23, 68, 69, 85	mdeglt 25956	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)))) → (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑)) = (0g‘𝑅))
87	86	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)))) → ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑))) = ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
88	1, 53, 2, 5, 6	mplelf 21899	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝑅))
89	88	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝑅))
90	89, 26	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝐹‘𝑑) ∈ (Base‘𝑅))
91	53, 3, 22	ringrz 20193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹‘𝑑) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
92	52, 90, 91	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
93	92	adantrr 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)))) → ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
94	87, 93	eqtrd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)))) → ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑))) = (0g‘𝑅))
95	94	anassrs 467	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑))) → ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑))) = (0g‘𝑅))
96		simplrr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))
97	39	nn0red 12537	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝐻‘𝑑) ∈ ℝ)
98	76	nn0red 12537	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)) ∈ ℝ)
99	34	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝐽 ∈ ℕ0)
100	99	nn0red 12537	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝐽 ∈ ℝ)
101	73	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝐾 ∈ ℕ0)
102	101	nn0red 12537	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝐾 ∈ ℝ)
103		le2add 11700	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐻‘𝑑) ∈ ℝ ∧ (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)) ∈ ℝ) ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ)) → (((𝐻‘𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)) ≤ 𝐾) → ((𝐻‘𝑑) + (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑))) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
104	97, 98, 100, 102, 103	syl22anc 836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (((𝐻‘𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)) ≤ 𝐾) → ((𝐻‘𝑑) + (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑))) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
105	5, 23	tdeglem3 25948	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∘f − 𝑑) ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑑 ∘f + (𝑥 ∘f − 𝑑))) = ((𝐻‘𝑑) + (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑))))
106	26, 61, 105	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝐻‘(𝑑 ∘f + (𝑥 ∘f − 𝑑))) = ((𝐻‘𝑑) + (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑))))
107		mdegaddle.i	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
108	107	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝐼 ∈ 𝑉)
109	5	psrbagf 21812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑑 ∈ 𝐴 → 𝑑:𝐼⟶ℕ0)
110	109	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑑:𝐼⟶ℕ0)
111	110	ffvelcdmda 7080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑑‘𝑏) ∈ ℕ0)
112	111	nn0cnd 12538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑑‘𝑏) ∈ ℂ)
113	5	psrbagf 21812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
114	113	3ad2ant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
115	114	ffvelcdmda 7080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑏) ∈ ℕ0)
116	115	nn0cnd 12538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑏) ∈ ℂ)
117	112, 116	pncan3d 11578	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((𝑑‘𝑏) + ((𝑥‘𝑏) − (𝑑‘𝑏))) = (𝑥‘𝑏))
118	117	mpteq2dva 5241	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑑‘𝑏) + ((𝑥‘𝑏) − (𝑑‘𝑏)))) = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑏)))
119		simp1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐼 ∈ 𝑉)
120		fvexd 6900	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑑‘𝑏) ∈ V)
121		ovexd 7440	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑏) − (𝑑‘𝑏)) ∈ V)
122	110	feqmptd 6954	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑑 = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑑‘𝑏)))
123		fvexd 6900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑏) ∈ V)
124	114	feqmptd 6954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑏)))
125	119, 123, 120, 124, 122	offval2 7687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∘f − 𝑑) = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑏) − (𝑑‘𝑏))))
126	119, 120, 121, 122, 125	offval2 7687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑑 ∘f + (𝑥 ∘f − 𝑑)) = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑑‘𝑏) + ((𝑥‘𝑏) − (𝑑‘𝑏)))))
127	118, 126, 124	3eqtr4d 2776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑑 ∘f + (𝑥 ∘f − 𝑑)) = 𝑥)
128	108, 26, 57, 127	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑑 ∘f + (𝑥 ∘f − 𝑑)) = 𝑥)
129	128	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝐻‘(𝑑 ∘f + (𝑥 ∘f − 𝑑))) = (𝐻‘𝑥))
130	106, 129	eqtr3d 2768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝐻‘𝑑) + (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑))) = (𝐻‘𝑥))
131	130	breq1d 5151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (((𝐻‘𝑑) + (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑))) ≤ (𝐽 + 𝐾) ↔ (𝐻‘𝑥) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
132	104, 131	sylibd 238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (((𝐻‘𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)) ≤ 𝐾) → (𝐻‘𝑥) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
133	97, 100	lenltd 11364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝐻‘𝑑) ≤ 𝐽 ↔ ¬ 𝐽 < (𝐻‘𝑑)))
134	98, 102	lenltd 11364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)) ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑))))
135	133, 134	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (((𝐻‘𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)) ≤ 𝐾) ↔ (¬ 𝐽 < (𝐻‘𝑑) ∧ ¬ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)))))
136		ioran 980	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (𝐽 < (𝐻‘𝑑) ∨ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑))) ↔ (¬ 𝐽 < (𝐻‘𝑑) ∧ ¬ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑))))
137	135, 136	bitr4di 289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (((𝐻‘𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)) ≤ 𝐾) ↔ ¬ (𝐽 < (𝐻‘𝑑) ∨ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑)))))
138	38, 57	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝐻‘𝑥) ∈ ℕ0)
139	138	nn0red 12537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝐻‘𝑥) ∈ ℝ)
140	34, 73	nn0addcld 12540	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ ℕ0)
141	140	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ℕ0)
142	141	nn0red 12537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ℝ)
143	139, 142	lenltd 11364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝐻‘𝑥) ≤ (𝐽 + 𝐾) ↔ ¬ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥)))
144	132, 137, 143	3imtr3d 293	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (¬ (𝐽 < (𝐻‘𝑑) ∨ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑))) → ¬ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥)))
145	96, 144	mt4d 117	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝐽 < (𝐻‘𝑑) ∨ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥 ∘f − 𝑑))))
146	67, 95, 145	mpjaodan 955	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑))) = (0g‘𝑅))
147	146	mpteq2dva 5241	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) → (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑)))) = (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (0g‘𝑅)))
148	147	oveq2d 7421	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑))))) = (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (0g‘𝑅))))
149		ringmnd 20148	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
150	51, 149	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
151	150	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) → 𝑅 ∈ Mnd)
152		ovex 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
153	5, 152	rab2ex 5328	. . . . . . 7 ⊢ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ∈ V
154	22	gsumz 18761	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ∈ V) → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (0g‘𝑅))) = (0g‘𝑅))
155	151, 153, 154	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (0g‘𝑅))) = (0g‘𝑅))
156	148, 155	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑑))))) = (0g‘𝑅))
157	10, 20, 156	3eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥))) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g‘𝑅))
158	157	expr 456	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
159	158	ralrimiva 3140	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
160	1	mplring 21920	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ Ring)
161	107, 51, 160	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
162	2, 4	ringcl 20155	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
163	161, 6, 7, 162	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
164	33, 140	sselid 3975	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ ℝ*)
165	21, 1, 2, 22, 5, 23	mdegleb 25955	. . 3 ⊢ (((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐽 + 𝐾) ∈ ℝ*) → ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐽 + 𝐾) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
166	163, 164, 165	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐽 + 𝐾) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐽 + 𝐾) < (𝐻‘𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
167	159, 166	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐽 + 𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055  {crab 3426  Vcvv 3468   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ^◡ccnv 5668   “ cima 5672  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘_f cof 7665   ∘_r cofr 7666   ↑_m cmap 8822  Fincfn 8941  ℝcr 11111   + caddc 11115  ℝ^*cxr 11251   < clt 11252   ≤ cle 11253   − cmin 11448  ℕcn 12216  ℕ₀cn0 12476  Basecbs 17153  ._rcmulr 17207  0_gc0g 17394   Σ_g cgsu 17395  Mndcmnd 18667  Ringcrg 20138  ℂ_fldccnfld 21240   mPoly cmpl 21800   mDeg cmdg 25941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-cnfld 21241  df-psr 21803  df-mpl 21805  df-mdeg 25943

This theorem is referenced by:  mdegmulle2  25970