MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegmullem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdegmullem 25459
Description: Lemma for mdegmulle2 25460. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegaddle.y π‘Œ = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegaddle.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegaddle.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
mdegaddle.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
mdegmulle2.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
mdegmulle2.t Β· = (.rβ€˜π‘Œ)
mdegmulle2.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
mdegmulle2.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
mdegmulle2.j1 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ β„•0)
mdegmulle2.k1 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
mdegmulle2.j2 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) ≀ 𝐽)
mdegmulle2.k2 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΊ) ≀ 𝐾)
mdegmullem.a 𝐴 = {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
mdegmullem.h 𝐻 = (𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))
Assertion
Ref Expression
mdegmullem (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) ≀ (𝐽 + 𝐾))
Distinct variable groups:   𝐼,π‘Ž,𝑏   𝑅,𝑏   𝑉,𝑏   𝐴,𝑏
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘Ž,𝑏)   𝐴(π‘Ž)   𝐡(π‘Ž,𝑏)   𝐷(π‘Ž,𝑏)   𝑅(π‘Ž)   Β· (π‘Ž,𝑏)   𝐹(π‘Ž,𝑏)   𝐺(π‘Ž,𝑏)   𝐻(π‘Ž,𝑏)   𝐽(π‘Ž,𝑏)   𝐾(π‘Ž,𝑏)   𝑉(π‘Ž)   π‘Œ(π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem mdegmullem
Dummy variables 𝑐 𝑑 π‘₯ 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegaddle.y . . . . . . . 8 π‘Œ = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 mdegmulle2.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
3 eqid 2737 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
4 mdegmulle2.t . . . . . . . 8 Β· = (.rβ€˜π‘Œ)
5 mdegmullem.a . . . . . . . 8 𝐴 = {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
6 mdegmulle2.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
7 mdegmulle2.g . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7mplmul 21431 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 Β· 𝐺) = (𝑐 ∈ 𝐴 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ 𝑐} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑐 ∘f βˆ’ 𝑑)))))))
98fveq1d 6849 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐹 Β· 𝐺)β€˜π‘₯) = ((𝑐 ∈ 𝐴 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ 𝑐} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑐 ∘f βˆ’ 𝑑))))))β€˜π‘₯))
109adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) β†’ ((𝐹 Β· 𝐺)β€˜π‘₯) = ((𝑐 ∈ 𝐴 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ 𝑐} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑐 ∘f βˆ’ 𝑑))))))β€˜π‘₯))
11 breq2 5114 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = π‘₯ β†’ (𝑒 ∘r ≀ 𝑐 ↔ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯))
1211rabbidv 3418 . . . . . . . . 9 (𝑐 = π‘₯ β†’ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ 𝑐} = {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯})
13 fvoveq1 7385 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = π‘₯ β†’ (πΊβ€˜(𝑐 ∘f βˆ’ 𝑑)) = (πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)))
1413oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (𝑐 = π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑐 ∘f βˆ’ 𝑑))) = ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))))
1512, 14mpteq12dv 5201 . . . . . . . 8 (𝑐 = π‘₯ β†’ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ 𝑐} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑐 ∘f βˆ’ 𝑑)))) = (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)))))
1615oveq2d 7378 . . . . . . 7 (𝑐 = π‘₯ β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ 𝑐} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑐 ∘f βˆ’ 𝑑))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))))))
17 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ 𝐴 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ 𝑐} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑐 ∘f βˆ’ 𝑑)))))) = (𝑐 ∈ 𝐴 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ 𝑐} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑐 ∘f βˆ’ 𝑑))))))
18 ovex 7395 . . . . . . 7 (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))))) ∈ V
1916, 17, 18fvmpt 6953 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ ((𝑐 ∈ 𝐴 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ 𝑐} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑐 ∘f βˆ’ 𝑑))))))β€˜π‘₯) = (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))))))
2019ad2antrl 727 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) β†’ ((𝑐 ∈ 𝐴 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ 𝑐} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑐 ∘f βˆ’ 𝑑))))))β€˜π‘₯) = (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))))))
21 mdegaddle.d . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
22 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
23 mdegmullem.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))
246ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ∧ 𝐽 < (π»β€˜π‘‘))) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
25 elrabi 3644 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} β†’ 𝑑 ∈ 𝐴)
2625adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝑑 ∈ 𝐴)
2726adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ∧ 𝐽 < (π»β€˜π‘‘))) β†’ 𝑑 ∈ 𝐴)
2821, 1, 2mdegxrcl 25448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
296, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
3029ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
31 nn0ssre 12424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„•0 βŠ† ℝ
32 ressxr 11206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℝ βŠ† ℝ*
3331, 32sstri 3958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„•0 βŠ† ℝ*
34 mdegmulle2.j1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ β„•0)
3533, 34sselid 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ ℝ*)
3635ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝐽 ∈ ℝ*)
375, 23tdeglem1 25436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐻:π΄βŸΆβ„•0
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝐻:π΄βŸΆβ„•0)
3938, 26ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (π»β€˜π‘‘) ∈ β„•0)
4033, 39sselid 3947 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (π»β€˜π‘‘) ∈ ℝ*)
4130, 36, 403jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ ((π·β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ 𝐽 ∈ ℝ* ∧ (π»β€˜π‘‘) ∈ ℝ*))
4241adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ∧ 𝐽 < (π»β€˜π‘‘))) β†’ ((π·β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ 𝐽 ∈ ℝ* ∧ (π»β€˜π‘‘) ∈ ℝ*))
43 mdegmulle2.j2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) ≀ 𝐽)
4443ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (π·β€˜πΉ) ≀ 𝐽)
4544anim1i 616 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝐽 < (π»β€˜π‘‘)) β†’ ((π·β€˜πΉ) ≀ 𝐽 ∧ 𝐽 < (π»β€˜π‘‘)))
4645anasss 468 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ∧ 𝐽 < (π»β€˜π‘‘))) β†’ ((π·β€˜πΉ) ≀ 𝐽 ∧ 𝐽 < (π»β€˜π‘‘)))
47 xrlelttr 13082 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π·β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ 𝐽 ∈ ℝ* ∧ (π»β€˜π‘‘) ∈ ℝ*) β†’ (((π·β€˜πΉ) ≀ 𝐽 ∧ 𝐽 < (π»β€˜π‘‘)) β†’ (π·β€˜πΉ) < (π»β€˜π‘‘)))
4842, 46, 47sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ∧ 𝐽 < (π»β€˜π‘‘))) β†’ (π·β€˜πΉ) < (π»β€˜π‘‘))
4921, 1, 2, 22, 5, 23, 24, 27, 48mdeglt 25446 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ∧ 𝐽 < (π»β€˜π‘‘))) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = (0gβ€˜π‘…))
5049oveq1d 7377 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ∧ 𝐽 < (π»β€˜π‘‘))) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))) = ((0gβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))))
51 mdegaddle.r . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
5251ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
53 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
541, 53, 2, 5, 7mplelf 21420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐴⟢(Baseβ€˜π‘…))
5554ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝐺:𝐴⟢(Baseβ€˜π‘…))
56 ssrab2 4042 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} βŠ† 𝐴
57 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
58 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} = {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}
595, 58psrbagconcl 21352 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑) ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯})
6057, 59sylancom 589 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑) ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯})
6156, 60sselid 3947 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑) ∈ 𝐴)
6255, 61ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
6353, 3, 22ringlz 20018 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((0gβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))) = (0gβ€˜π‘…))
6452, 62, 63syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ ((0gβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))) = (0gβ€˜π‘…))
6564adantrr 716 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ∧ 𝐽 < (π»β€˜π‘‘))) β†’ ((0gβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))) = (0gβ€˜π‘…))
6650, 65eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ∧ 𝐽 < (π»β€˜π‘‘))) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))) = (0gβ€˜π‘…))
6766anassrs 469 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝐽 < (π»β€˜π‘‘)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))) = (0gβ€˜π‘…))
687ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ∧ 𝐾 < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)))) β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
6961adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ∧ 𝐾 < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)))) β†’ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑) ∈ 𝐴)
7021, 1, 2mdegxrcl 25448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺 ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜πΊ) ∈ ℝ*)
717, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΊ) ∈ ℝ*)
7271ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (π·β€˜πΊ) ∈ ℝ*)
73 mdegmulle2.k1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
7433, 73sselid 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ℝ*)
7574ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝐾 ∈ ℝ*)
7638, 61ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)) ∈ β„•0)
7733, 76sselid 3947 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)) ∈ ℝ*)
7872, 75, 773jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ ((π·β€˜πΊ) ∈ ℝ* ∧ 𝐾 ∈ ℝ* ∧ (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)) ∈ ℝ*))
7978adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ∧ 𝐾 < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)))) β†’ ((π·β€˜πΊ) ∈ ℝ* ∧ 𝐾 ∈ ℝ* ∧ (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)) ∈ ℝ*))
80 mdegmulle2.k2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΊ) ≀ 𝐾)
8180ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (π·β€˜πΊ) ≀ 𝐾)
8281anim1i 616 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝐾 < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))) β†’ ((π·β€˜πΊ) ≀ 𝐾 ∧ 𝐾 < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))))
8382anasss 468 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ∧ 𝐾 < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)))) β†’ ((π·β€˜πΊ) ≀ 𝐾 ∧ 𝐾 < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))))
84 xrlelttr 13082 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π·β€˜πΊ) ∈ ℝ* ∧ 𝐾 ∈ ℝ* ∧ (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)) ∈ ℝ*) β†’ (((π·β€˜πΊ) ≀ 𝐾 ∧ 𝐾 < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))) β†’ (π·β€˜πΊ) < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))))
8579, 83, 84sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ∧ 𝐾 < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)))) β†’ (π·β€˜πΊ) < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)))
8621, 1, 2, 22, 5, 23, 68, 69, 85mdeglt 25446 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ∧ 𝐾 < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)))) β†’ (πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)) = (0gβ€˜π‘…))
8786oveq2d 7378 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ∧ 𝐾 < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))) = ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)))
881, 53, 2, 5, 6mplelf 21420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢(Baseβ€˜π‘…))
8988ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝐹:𝐴⟢(Baseβ€˜π‘…))
9089, 26ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
9153, 3, 22ringrz 20019 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
9252, 90, 91syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
9392adantrr 716 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ∧ 𝐾 < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
9487, 93eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ∧ 𝐾 < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))) = (0gβ€˜π‘…))
9594anassrs 469 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝐾 < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))) = (0gβ€˜π‘…))
96 simplrr 777 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))
9739nn0red 12481 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (π»β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
9876nn0red 12481 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)) ∈ ℝ)
9934ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝐽 ∈ β„•0)
10099nn0red 12481 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝐽 ∈ ℝ)
10173ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
102101nn0red 12481 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
103 le2add 11644 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π»β€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)) ∈ ℝ) ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ)) β†’ (((π»β€˜π‘‘) ≀ 𝐽 ∧ (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)) ≀ 𝐾) β†’ ((π»β€˜π‘‘) + (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))) ≀ (𝐽 + 𝐾)))
10497, 98, 100, 102, 103syl22anc 838 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (((π»β€˜π‘‘) ≀ 𝐽 ∧ (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)) ≀ 𝐾) β†’ ((π»β€˜π‘‘) + (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))) ≀ (𝐽 + 𝐾)))
1055, 23tdeglem3 25438 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑) ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜(𝑑 ∘f + (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))) = ((π»β€˜π‘‘) + (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))))
10626, 61, 105syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (π»β€˜(𝑑 ∘f + (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))) = ((π»β€˜π‘‘) + (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))))
107 mdegaddle.i . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
108107ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
1095psrbagf 21336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑑 ∈ 𝐴 β†’ 𝑑:πΌβŸΆβ„•0)
1101093ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑑:πΌβŸΆβ„•0)
111110ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‘β€˜π‘) ∈ β„•0)
112111nn0cnd 12482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‘β€˜π‘) ∈ β„‚)
1135psrbagf 21336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ π‘₯:πΌβŸΆβ„•0)
1141133ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯:πΌβŸΆβ„•0)
115114ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯β€˜π‘) ∈ β„•0)
116115nn0cnd 12482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯β€˜π‘) ∈ β„‚)
117112, 116pncan3d 11522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‘β€˜π‘) + ((π‘₯β€˜π‘) βˆ’ (π‘‘β€˜π‘))) = (π‘₯β€˜π‘))
118117mpteq2dva 5210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘) + ((π‘₯β€˜π‘) βˆ’ (π‘‘β€˜π‘)))) = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯β€˜π‘)))
119 simp1 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
120 fvexd 6862 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‘β€˜π‘) ∈ V)
121 ovexd 7397 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯β€˜π‘) βˆ’ (π‘‘β€˜π‘)) ∈ V)
122110feqmptd 6915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑑 = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‘β€˜π‘)))
123 fvexd 6862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯β€˜π‘) ∈ V)
124114feqmptd 6915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯β€˜π‘)))
125119, 123, 120, 124, 122offval2 7642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑) = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯β€˜π‘) βˆ’ (π‘‘β€˜π‘))))
126119, 120, 121, 122, 125offval2 7642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∘f + (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)) = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘) + ((π‘₯β€˜π‘) βˆ’ (π‘‘β€˜π‘)))))
127118, 126, 1243eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∘f + (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)) = π‘₯)
128108, 26, 57, 127syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (𝑑 ∘f + (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)) = π‘₯)
129128fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (π»β€˜(𝑑 ∘f + (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))) = (π»β€˜π‘₯))
130106, 129eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ ((π»β€˜π‘‘) + (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))) = (π»β€˜π‘₯))
131130breq1d 5120 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (((π»β€˜π‘‘) + (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))) ≀ (𝐽 + 𝐾) ↔ (π»β€˜π‘₯) ≀ (𝐽 + 𝐾)))
132104, 131sylibd 238 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (((π»β€˜π‘‘) ≀ 𝐽 ∧ (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)) ≀ 𝐾) β†’ (π»β€˜π‘₯) ≀ (𝐽 + 𝐾)))
13397, 100lenltd 11308 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ ((π»β€˜π‘‘) ≀ 𝐽 ↔ Β¬ 𝐽 < (π»β€˜π‘‘)))
13498, 102lenltd 11308 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ ((π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)) ≀ 𝐾 ↔ Β¬ 𝐾 < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))))
135133, 134anbi12d 632 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (((π»β€˜π‘‘) ≀ 𝐽 ∧ (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)) ≀ 𝐾) ↔ (Β¬ 𝐽 < (π»β€˜π‘‘) ∧ Β¬ 𝐾 < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)))))
136 ioran 983 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ (𝐽 < (π»β€˜π‘‘) ∨ 𝐾 < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))) ↔ (Β¬ 𝐽 < (π»β€˜π‘‘) ∧ Β¬ 𝐾 < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))))
137135, 136bitr4di 289 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (((π»β€˜π‘‘) ≀ 𝐽 ∧ (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)) ≀ 𝐾) ↔ Β¬ (𝐽 < (π»β€˜π‘‘) ∨ 𝐾 < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)))))
13838, 57ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (π»β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
139138nn0red 12481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (π»β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
14034, 73nn0addcld 12484 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐽 + 𝐾) ∈ β„•0)
141140ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (𝐽 + 𝐾) ∈ β„•0)
142141nn0red 12481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (𝐽 + 𝐾) ∈ ℝ)
143139, 142lenltd 11308 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ ((π»β€˜π‘₯) ≀ (𝐽 + 𝐾) ↔ Β¬ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯)))
144132, 137, 1433imtr3d 293 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (Β¬ (𝐽 < (π»β€˜π‘‘) ∨ 𝐾 < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))) β†’ Β¬ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯)))
14596, 144mt4d 117 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (𝐽 < (π»β€˜π‘‘) ∨ 𝐾 < (π»β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))))
14667, 95, 145mpjaodan 958 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))) = (0gβ€˜π‘…))
147146mpteq2dva 5210 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) β†’ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑)))) = (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ↦ (0gβ€˜π‘…)))
148147oveq2d 7378 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ↦ (0gβ€˜π‘…))))
149 ringmnd 19981 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
15051, 149syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
151150adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
152 ovex 7395 . . . . . . . 8 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
1535, 152rab2ex 5297 . . . . . . 7 {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ∈ V
15422gsumz 18653 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ∈ V) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ↦ (0gβ€˜π‘…))) = (0gβ€˜π‘…))
155151, 153, 154sylancl 587 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ↦ (0gβ€˜π‘…))) = (0gβ€˜π‘…))
156148, 155eqtrd 2777 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ 𝐴 ∣ 𝑒 ∘r ≀ π‘₯} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑑))))) = (0gβ€˜π‘…))
15710, 20, 1563eqtrd 2781 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯))) β†’ ((𝐹 Β· 𝐺)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))
158157expr 458 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯) β†’ ((𝐹 Β· 𝐺)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…)))
159158ralrimiva 3144 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯) β†’ ((𝐹 Β· 𝐺)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…)))
1601mplring 21440 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ π‘Œ ∈ Ring)
161107, 51, 160syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Ring)
1622, 4ringcl 19988 . . . 4 ((π‘Œ ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 Β· 𝐺) ∈ 𝐡)
163161, 6, 7, 162syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 Β· 𝐺) ∈ 𝐡)
16433, 140sselid 3947 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐽 + 𝐾) ∈ ℝ*)
16521, 1, 2, 22, 5, 23mdegleb 25445 . . 3 (((𝐹 Β· 𝐺) ∈ 𝐡 ∧ (𝐽 + 𝐾) ∈ ℝ*) β†’ ((π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) ≀ (𝐽 + 𝐾) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯) β†’ ((𝐹 Β· 𝐺)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))))
166163, 164, 165syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) ≀ (𝐽 + 𝐾) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((𝐽 + 𝐾) < (π»β€˜π‘₯) β†’ ((𝐹 Β· 𝐺)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))))
167159, 166mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) ≀ (𝐽 + 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  {crab 3410  Vcvv 3448   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  β—‘ccnv 5637   β€œ cima 5641  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∘f cof 7620   ∘r cofr 7621   ↑m cmap 8772  Fincfn 8890  β„cr 11057   + caddc 11061  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  β„•cn 12160  β„•0cn0 12420  Basecbs 17090  .rcmulr 17141  0gc0g 17328   Ξ£g cgsu 17329  Mndcmnd 18563  Ringcrg 19971  β„‚fldccnfld 20812   mPoly cmpl 21324   mDeg cmdg 25431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-hash 14238  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-prds 17336  df-pws 17338  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-ghm 19013  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-subrg 20236  df-cnfld 20813  df-psr 21327  df-mpl 21329  df-mdeg 25433
This theorem is referenced by:  mdegmulle2  25460
  Copyright terms: Public domain W3C validator