MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegmullem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdegmullem 26117
Description: Lemma for mdegmulle2 26118. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegaddle.y 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegaddle.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegaddle.i (𝜑𝐼𝑉)
mdegaddle.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mdegmulle2.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
mdegmulle2.t · = (.r𝑌)
mdegmulle2.f (𝜑𝐹𝐵)
mdegmulle2.g (𝜑𝐺𝐵)
mdegmulle2.j1 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
mdegmulle2.k1 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
mdegmulle2.j2 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ 𝐽)
mdegmulle2.k2 (𝜑 → (𝐷𝐺) ≤ 𝐾)
mdegmullem.a 𝐴 = {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
mdegmullem.h 𝐻 = (𝑏𝐴 ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
Assertion
Ref Expression
mdegmullem (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐽 + 𝐾))
Distinct variable groups:   𝐼,𝑎,𝑏   𝑅,𝑏   𝑉,𝑏   𝐴,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐷(𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎)   · (𝑎,𝑏)   𝐹(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐻(𝑎,𝑏)   𝐽(𝑎,𝑏)   𝐾(𝑎,𝑏)   𝑉(𝑎)   𝑌(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mdegmullem
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑥 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegaddle.y . . . . . . . 8 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 mdegmulle2.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 eqid 2737 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4 mdegmulle2.t . . . . . . . 8 · = (.r𝑌)
5 mdegmullem.a . . . . . . . 8 𝐴 = {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
6 mdegmulle2.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝐵)
7 mdegmulle2.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺𝐵)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7mplmul 22031 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐f𝑑)))))))
98fveq1d 6908 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = ((𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐f𝑑))))))‘𝑥))
109adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = ((𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐f𝑑))))))‘𝑥))
11 breq2 5147 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑥 → (𝑒r𝑐𝑒r𝑥))
1211rabbidv 3444 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑥 → {𝑒𝐴𝑒r𝑐} = {𝑒𝐴𝑒r𝑥})
13 fvoveq1 7454 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑥 → (𝐺‘(𝑐f𝑑)) = (𝐺‘(𝑥f𝑑)))
1413oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑥 → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐f𝑑))) = ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))))
1512, 14mpteq12dv 5233 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑥 → (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐f𝑑)))) = (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑)))))
1615oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑥 → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐f𝑑))))) = (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))))))
17 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐f𝑑)))))) = (𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐f𝑑))))))
18 ovex 7464 . . . . . . 7 (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))))) ∈ V
1916, 17, 18fvmpt 7016 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → ((𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐f𝑑))))))‘𝑥) = (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))))))
2019ad2antrl 728 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → ((𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐f𝑑))))))‘𝑥) = (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))))))
21 mdegaddle.d . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
22 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (0g𝑅) = (0g𝑅)
23 mdegmullem.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (𝑏𝐴 ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
246ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → 𝐹𝐵)
25 elrabi 3687 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} → 𝑑𝐴)
2625adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝑑𝐴)
2726adantrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → 𝑑𝐴)
2821, 1, 2mdegxrcl 26106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
296, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
3029ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
31 nn0ssre 12530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ⊆ ℝ
32 ressxr 11305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℝ ⊆ ℝ*
3331, 32sstri 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ⊆ ℝ*
34 mdegmulle2.j1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
3533, 34sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐽 ∈ ℝ*)
3635ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝐽 ∈ ℝ*)
375, 23tdeglem1 26097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐻:𝐴⟶ℕ0
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝐻:𝐴⟶ℕ0)
3938, 26ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐻𝑑) ∈ ℕ0)
4033, 39sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐻𝑑) ∈ ℝ*)
4130, 36, 403jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → ((𝐷𝐹) ∈ ℝ*𝐽 ∈ ℝ* ∧ (𝐻𝑑) ∈ ℝ*))
4241adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → ((𝐷𝐹) ∈ ℝ*𝐽 ∈ ℝ* ∧ (𝐻𝑑) ∈ ℝ*))
43 mdegmulle2.j2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ 𝐽)
4443ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐷𝐹) ≤ 𝐽)
4544anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑)) → ((𝐷𝐹) ≤ 𝐽𝐽 < (𝐻𝑑)))
4645anasss 466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → ((𝐷𝐹) ≤ 𝐽𝐽 < (𝐻𝑑)))
47 xrlelttr 13198 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷𝐹) ∈ ℝ*𝐽 ∈ ℝ* ∧ (𝐻𝑑) ∈ ℝ*) → (((𝐷𝐹) ≤ 𝐽𝐽 < (𝐻𝑑)) → (𝐷𝐹) < (𝐻𝑑)))
4842, 46, 47sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → (𝐷𝐹) < (𝐻𝑑))
4921, 1, 2, 22, 5, 23, 24, 27, 48mdeglt 26104 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → (𝐹𝑑) = (0g𝑅))
5049oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))) = ((0g𝑅)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))))
51 mdegaddle.r . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
5251ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝑅 ∈ Ring)
53 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
541, 53, 2, 5, 7mplelf 22018 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺:𝐴⟶(Base‘𝑅))
5554ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝐺:𝐴⟶(Base‘𝑅))
56 ssrab2 4080 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ⊆ 𝐴
57 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝑥𝐴)
58 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑒𝐴𝑒r𝑥} = {𝑒𝐴𝑒r𝑥}
595, 58psrbagconcl 21947 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝐴𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝑥f𝑑) ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥})
6057, 59sylancom 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝑥f𝑑) ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥})
6156, 60sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝑥f𝑑) ∈ 𝐴)
6255, 61ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐺‘(𝑥f𝑑)) ∈ (Base‘𝑅))
6353, 3, 22ringlz 20290 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺‘(𝑥f𝑑)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g𝑅)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))) = (0g𝑅))
6452, 62, 63syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → ((0g𝑅)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))) = (0g𝑅))
6564adantrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → ((0g𝑅)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))) = (0g𝑅))
6650, 65eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))) = (0g𝑅))
6766anassrs 467 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑)) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))) = (0g𝑅))
687ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))) → 𝐺𝐵)
6961adantrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))) → (𝑥f𝑑) ∈ 𝐴)
7021, 1, 2mdegxrcl 26106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺𝐵 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
717, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
7271ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
73 mdegmulle2.k1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
7433, 73sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐾 ∈ ℝ*)
7574ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝐾 ∈ ℝ*)
7638, 61ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ∈ ℕ0)
7733, 76sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ∈ ℝ*)
7872, 75, 773jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → ((𝐷𝐺) ∈ ℝ*𝐾 ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ∈ ℝ*))
7978adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))) → ((𝐷𝐺) ∈ ℝ*𝐾 ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ∈ ℝ*))
80 mdegmulle2.k2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐷𝐺) ≤ 𝐾)
8180ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐷𝐺) ≤ 𝐾)
8281anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑))) → ((𝐷𝐺) ≤ 𝐾𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑))))
8382anasss 466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))) → ((𝐷𝐺) ≤ 𝐾𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑))))
84 xrlelttr 13198 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷𝐺) ∈ ℝ*𝐾 ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ∈ ℝ*) → (((𝐷𝐺) ≤ 𝐾𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑))) → (𝐷𝐺) < (𝐻‘(𝑥f𝑑))))
8579, 83, 84sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))) → (𝐷𝐺) < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))
8621, 1, 2, 22, 5, 23, 68, 69, 85mdeglt 26104 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))) → (𝐺‘(𝑥f𝑑)) = (0g𝑅))
8786oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))) = ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(0g𝑅)))
881, 53, 2, 5, 6mplelf 22018 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:𝐴⟶(Base‘𝑅))
8988ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝑅))
9089, 26ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐹𝑑) ∈ (Base‘𝑅))
9153, 3, 22ringrz 20291 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹𝑑) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
9252, 90, 91syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
9392adantrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
9487, 93eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))) = (0g𝑅))
9594anassrs 467 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑))) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))) = (0g𝑅))
96 simplrr 778 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))
9739nn0red 12588 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐻𝑑) ∈ ℝ)
9876nn0red 12588 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ∈ ℝ)
9934ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝐽 ∈ ℕ0)
10099nn0red 12588 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝐽 ∈ ℝ)
10173ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝐾 ∈ ℕ0)
102101nn0red 12588 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝐾 ∈ ℝ)
103 le2add 11745 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐻𝑑) ∈ ℝ ∧ (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ∈ ℝ) ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ)) → (((𝐻𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ≤ 𝐾) → ((𝐻𝑑) + (𝐻‘(𝑥f𝑑))) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
10497, 98, 100, 102, 103syl22anc 839 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (((𝐻𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ≤ 𝐾) → ((𝐻𝑑) + (𝐻‘(𝑥f𝑑))) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
1055, 23tdeglem3 26098 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑𝐴 ∧ (𝑥f𝑑) ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑑f + (𝑥f𝑑))) = ((𝐻𝑑) + (𝐻‘(𝑥f𝑑))))
10626, 61, 105syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐻‘(𝑑f + (𝑥f𝑑))) = ((𝐻𝑑) + (𝐻‘(𝑥f𝑑))))
107 mdegaddle.i . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐼𝑉)
108107ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝐼𝑉)
1095psrbagf 21938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑑𝐴𝑑:𝐼⟶ℕ0)
1101093ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → 𝑑:𝐼⟶ℕ0)
111110ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑑𝑏) ∈ ℕ0)
112111nn0cnd 12589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑑𝑏) ∈ ℂ)
1135psrbagf 21938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥𝐴𝑥:𝐼⟶ℕ0)
1141133ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
115114ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑥𝑏) ∈ ℕ0)
116115nn0cnd 12589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑥𝑏) ∈ ℂ)
117112, 116pncan3d 11623 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → ((𝑑𝑏) + ((𝑥𝑏) − (𝑑𝑏))) = (𝑥𝑏))
118117mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → (𝑏𝐼 ↦ ((𝑑𝑏) + ((𝑥𝑏) − (𝑑𝑏)))) = (𝑏𝐼 ↦ (𝑥𝑏)))
119 simp1 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → 𝐼𝑉)
120 fvexd 6921 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑑𝑏) ∈ V)
121 ovexd 7466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → ((𝑥𝑏) − (𝑑𝑏)) ∈ V)
122110feqmptd 6977 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → 𝑑 = (𝑏𝐼 ↦ (𝑑𝑏)))
123 fvexd 6921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑥𝑏) ∈ V)
124114feqmptd 6977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → 𝑥 = (𝑏𝐼 ↦ (𝑥𝑏)))
125119, 123, 120, 124, 122offval2 7717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → (𝑥f𝑑) = (𝑏𝐼 ↦ ((𝑥𝑏) − (𝑑𝑏))))
126119, 120, 121, 122, 125offval2 7717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → (𝑑f + (𝑥f𝑑)) = (𝑏𝐼 ↦ ((𝑑𝑏) + ((𝑥𝑏) − (𝑑𝑏)))))
127118, 126, 1243eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → (𝑑f + (𝑥f𝑑)) = 𝑥)
128108, 26, 57, 127syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝑑f + (𝑥f𝑑)) = 𝑥)
129128fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐻‘(𝑑f + (𝑥f𝑑))) = (𝐻𝑥))
130106, 129eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → ((𝐻𝑑) + (𝐻‘(𝑥f𝑑))) = (𝐻𝑥))
131130breq1d 5153 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (((𝐻𝑑) + (𝐻‘(𝑥f𝑑))) ≤ (𝐽 + 𝐾) ↔ (𝐻𝑥) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
132104, 131sylibd 239 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (((𝐻𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ≤ 𝐾) → (𝐻𝑥) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
13397, 100lenltd 11407 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → ((𝐻𝑑) ≤ 𝐽 ↔ ¬ 𝐽 < (𝐻𝑑)))
13498, 102lenltd 11407 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → ((𝐻‘(𝑥f𝑑)) ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑))))
135133, 134anbi12d 632 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (((𝐻𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ≤ 𝐾) ↔ (¬ 𝐽 < (𝐻𝑑) ∧ ¬ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))))
136 ioran 986 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝐽 < (𝐻𝑑) ∨ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑))) ↔ (¬ 𝐽 < (𝐻𝑑) ∧ ¬ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑))))
137135, 136bitr4di 289 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (((𝐻𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ≤ 𝐾) ↔ ¬ (𝐽 < (𝐻𝑑) ∨ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))))
13838, 57ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐻𝑥) ∈ ℕ0)
139138nn0red 12588 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐻𝑥) ∈ ℝ)
14034, 73nn0addcld 12591 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ ℕ0)
141140ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ℕ0)
142141nn0red 12588 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ℝ)
143139, 142lenltd 11407 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → ((𝐻𝑥) ≤ (𝐽 + 𝐾) ↔ ¬ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥)))
144132, 137, 1433imtr3d 293 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (¬ (𝐽 < (𝐻𝑑) ∨ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑))) → ¬ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥)))
14596, 144mt4d 117 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐽 < (𝐻𝑑) ∨ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑))))
14667, 95, 145mpjaodan 961 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))) = (0g𝑅))
147146mpteq2dva 5242 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑)))) = (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ (0g𝑅)))
148147oveq2d 7447 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))))) = (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ (0g𝑅))))
149 ringmnd 20240 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
15051, 149syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
151150adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → 𝑅 ∈ Mnd)
152 ovex 7464 . . . . . . . 8 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
1535, 152rab2ex 5342 . . . . . . 7 {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∈ V
15422gsumz 18849 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∈ V) → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ (0g𝑅))) = (0g𝑅))
155151, 153, 154sylancl 586 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ (0g𝑅))) = (0g𝑅))
156148, 155eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))))) = (0g𝑅))
15710, 20, 1563eqtrd 2781 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅))
158157expr 456 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅)))
159158ralrimiva 3146 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 ((𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅)))
1601, 107, 51mplringd 22043 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
1612, 4ringcl 20247 . . . 4 ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
162160, 6, 7, 161syl3anc 1373 . . 3 (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
16333, 140sselid 3981 . . 3 (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ ℝ*)
16421, 1, 2, 22, 5, 23mdegleb 26103 . . 3 (((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐽 + 𝐾) ∈ ℝ*) → ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐽 + 𝐾) ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅))))
165162, 163, 164syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐽 + 𝐾) ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅))))
166159, 165mpbird 257 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐽 + 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  {crab 3436  Vcvv 3480   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ccnv 5684  cima 5688  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  r cofr 7696  m cmap 8866  Fincfn 8985  cr 11154   + caddc 11158  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  cn 12266  0cn0 12526  Basecbs 17247  .rcmulr 17298  0gc0g 17484   Σg cgsu 17485  Mndcmnd 18747  Ringcrg 20230  fldccnfld 21364   mPoly cmpl 21926   mDeg cmdg 26092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-cnfld 21365  df-psr 21929  df-mpl 21931  df-mdeg 26094
This theorem is referenced by:  mdegmulle2  26118
  Copyright terms: Public domain W3C validator