MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegmullem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdegmullem 26131
Description: Lemma for mdegmulle2 26132. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegaddle.y 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegaddle.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegaddle.i (𝜑𝐼𝑉)
mdegaddle.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mdegmulle2.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
mdegmulle2.t · = (.r𝑌)
mdegmulle2.f (𝜑𝐹𝐵)
mdegmulle2.g (𝜑𝐺𝐵)
mdegmulle2.j1 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
mdegmulle2.k1 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
mdegmulle2.j2 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ 𝐽)
mdegmulle2.k2 (𝜑 → (𝐷𝐺) ≤ 𝐾)
mdegmullem.a 𝐴 = {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
mdegmullem.h 𝐻 = (𝑏𝐴 ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
Assertion
Ref Expression
mdegmullem (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐽 + 𝐾))
Distinct variable groups:   𝐼,𝑎,𝑏   𝑅,𝑏   𝑉,𝑏   𝐴,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐷(𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎)   · (𝑎,𝑏)   𝐹(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐻(𝑎,𝑏)   𝐽(𝑎,𝑏)   𝐾(𝑎,𝑏)   𝑉(𝑎)   𝑌(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mdegmullem
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑥 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegaddle.y . . . . . . . 8 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 mdegmulle2.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 eqid 2734 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4 mdegmulle2.t . . . . . . . 8 · = (.r𝑌)
5 mdegmullem.a . . . . . . . 8 𝐴 = {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
6 mdegmulle2.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝐵)
7 mdegmulle2.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺𝐵)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7mplmul 22048 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐f𝑑)))))))
98fveq1d 6908 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = ((𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐f𝑑))))))‘𝑥))
109adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = ((𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐f𝑑))))))‘𝑥))
11 breq2 5151 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑥 → (𝑒r𝑐𝑒r𝑥))
1211rabbidv 3440 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑥 → {𝑒𝐴𝑒r𝑐} = {𝑒𝐴𝑒r𝑥})
13 fvoveq1 7453 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑥 → (𝐺‘(𝑐f𝑑)) = (𝐺‘(𝑥f𝑑)))
1413oveq2d 7446 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑥 → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐f𝑑))) = ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))))
1512, 14mpteq12dv 5238 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑥 → (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐f𝑑)))) = (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑)))))
1615oveq2d 7446 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑥 → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐f𝑑))))) = (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))))))
17 eqid 2734 . . . . . . 7 (𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐f𝑑)))))) = (𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐f𝑑))))))
18 ovex 7463 . . . . . . 7 (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))))) ∈ V
1916, 17, 18fvmpt 7015 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → ((𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐f𝑑))))))‘𝑥) = (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))))))
2019ad2antrl 728 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → ((𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐f𝑑))))))‘𝑥) = (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))))))
21 mdegaddle.d . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
22 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (0g𝑅) = (0g𝑅)
23 mdegmullem.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (𝑏𝐴 ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
246ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → 𝐹𝐵)
25 elrabi 3689 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} → 𝑑𝐴)
2625adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝑑𝐴)
2726adantrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → 𝑑𝐴)
2821, 1, 2mdegxrcl 26120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
296, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
3029ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
31 nn0ssre 12527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ⊆ ℝ
32 ressxr 11302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℝ ⊆ ℝ*
3331, 32sstri 4004 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ⊆ ℝ*
34 mdegmulle2.j1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
3533, 34sselid 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐽 ∈ ℝ*)
3635ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝐽 ∈ ℝ*)
375, 23tdeglem1 26111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐻:𝐴⟶ℕ0
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝐻:𝐴⟶ℕ0)
3938, 26ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐻𝑑) ∈ ℕ0)
4033, 39sselid 3992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐻𝑑) ∈ ℝ*)
4130, 36, 403jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → ((𝐷𝐹) ∈ ℝ*𝐽 ∈ ℝ* ∧ (𝐻𝑑) ∈ ℝ*))
4241adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → ((𝐷𝐹) ∈ ℝ*𝐽 ∈ ℝ* ∧ (𝐻𝑑) ∈ ℝ*))
43 mdegmulle2.j2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ 𝐽)
4443ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐷𝐹) ≤ 𝐽)
4544anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑)) → ((𝐷𝐹) ≤ 𝐽𝐽 < (𝐻𝑑)))
4645anasss 466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → ((𝐷𝐹) ≤ 𝐽𝐽 < (𝐻𝑑)))
47 xrlelttr 13194 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷𝐹) ∈ ℝ*𝐽 ∈ ℝ* ∧ (𝐻𝑑) ∈ ℝ*) → (((𝐷𝐹) ≤ 𝐽𝐽 < (𝐻𝑑)) → (𝐷𝐹) < (𝐻𝑑)))
4842, 46, 47sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → (𝐷𝐹) < (𝐻𝑑))
4921, 1, 2, 22, 5, 23, 24, 27, 48mdeglt 26118 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → (𝐹𝑑) = (0g𝑅))
5049oveq1d 7445 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))) = ((0g𝑅)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))))
51 mdegaddle.r . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
5251ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝑅 ∈ Ring)
53 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
541, 53, 2, 5, 7mplelf 22035 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺:𝐴⟶(Base‘𝑅))
5554ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝐺:𝐴⟶(Base‘𝑅))
56 ssrab2 4089 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ⊆ 𝐴
57 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝑥𝐴)
58 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑒𝐴𝑒r𝑥} = {𝑒𝐴𝑒r𝑥}
595, 58psrbagconcl 21964 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝐴𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝑥f𝑑) ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥})
6057, 59sylancom 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝑥f𝑑) ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥})
6156, 60sselid 3992 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝑥f𝑑) ∈ 𝐴)
6255, 61ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐺‘(𝑥f𝑑)) ∈ (Base‘𝑅))
6353, 3, 22ringlz 20306 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺‘(𝑥f𝑑)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g𝑅)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))) = (0g𝑅))
6452, 62, 63syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → ((0g𝑅)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))) = (0g𝑅))
6564adantrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → ((0g𝑅)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))) = (0g𝑅))
6650, 65eqtrd 2774 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))) = (0g𝑅))
6766anassrs 467 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑)) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))) = (0g𝑅))
687ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))) → 𝐺𝐵)
6961adantrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))) → (𝑥f𝑑) ∈ 𝐴)
7021, 1, 2mdegxrcl 26120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺𝐵 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
717, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
7271ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
73 mdegmulle2.k1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
7433, 73sselid 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐾 ∈ ℝ*)
7574ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝐾 ∈ ℝ*)
7638, 61ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ∈ ℕ0)
7733, 76sselid 3992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ∈ ℝ*)
7872, 75, 773jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → ((𝐷𝐺) ∈ ℝ*𝐾 ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ∈ ℝ*))
7978adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))) → ((𝐷𝐺) ∈ ℝ*𝐾 ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ∈ ℝ*))
80 mdegmulle2.k2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐷𝐺) ≤ 𝐾)
8180ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐷𝐺) ≤ 𝐾)
8281anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑))) → ((𝐷𝐺) ≤ 𝐾𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑))))
8382anasss 466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))) → ((𝐷𝐺) ≤ 𝐾𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑))))
84 xrlelttr 13194 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷𝐺) ∈ ℝ*𝐾 ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ∈ ℝ*) → (((𝐷𝐺) ≤ 𝐾𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑))) → (𝐷𝐺) < (𝐻‘(𝑥f𝑑))))
8579, 83, 84sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))) → (𝐷𝐺) < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))
8621, 1, 2, 22, 5, 23, 68, 69, 85mdeglt 26118 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))) → (𝐺‘(𝑥f𝑑)) = (0g𝑅))
8786oveq2d 7446 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))) = ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(0g𝑅)))
881, 53, 2, 5, 6mplelf 22035 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:𝐴⟶(Base‘𝑅))
8988ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝑅))
9089, 26ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐹𝑑) ∈ (Base‘𝑅))
9153, 3, 22ringrz 20307 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹𝑑) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
9252, 90, 91syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
9392adantrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
9487, 93eqtrd 2774 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))) = (0g𝑅))
9594anassrs 467 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑))) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))) = (0g𝑅))
96 simplrr 778 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))
9739nn0red 12585 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐻𝑑) ∈ ℝ)
9876nn0red 12585 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ∈ ℝ)
9934ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝐽 ∈ ℕ0)
10099nn0red 12585 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝐽 ∈ ℝ)
10173ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝐾 ∈ ℕ0)
102101nn0red 12585 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝐾 ∈ ℝ)
103 le2add 11742 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐻𝑑) ∈ ℝ ∧ (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ∈ ℝ) ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ)) → (((𝐻𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ≤ 𝐾) → ((𝐻𝑑) + (𝐻‘(𝑥f𝑑))) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
10497, 98, 100, 102, 103syl22anc 839 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (((𝐻𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ≤ 𝐾) → ((𝐻𝑑) + (𝐻‘(𝑥f𝑑))) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
1055, 23tdeglem3 26112 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑𝐴 ∧ (𝑥f𝑑) ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑑f + (𝑥f𝑑))) = ((𝐻𝑑) + (𝐻‘(𝑥f𝑑))))
10626, 61, 105syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐻‘(𝑑f + (𝑥f𝑑))) = ((𝐻𝑑) + (𝐻‘(𝑥f𝑑))))
107 mdegaddle.i . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐼𝑉)
108107ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → 𝐼𝑉)
1095psrbagf 21955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑑𝐴𝑑:𝐼⟶ℕ0)
1101093ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → 𝑑:𝐼⟶ℕ0)
111110ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑑𝑏) ∈ ℕ0)
112111nn0cnd 12586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑑𝑏) ∈ ℂ)
1135psrbagf 21955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥𝐴𝑥:𝐼⟶ℕ0)
1141133ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
115114ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑥𝑏) ∈ ℕ0)
116115nn0cnd 12586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑥𝑏) ∈ ℂ)
117112, 116pncan3d 11620 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → ((𝑑𝑏) + ((𝑥𝑏) − (𝑑𝑏))) = (𝑥𝑏))
118117mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → (𝑏𝐼 ↦ ((𝑑𝑏) + ((𝑥𝑏) − (𝑑𝑏)))) = (𝑏𝐼 ↦ (𝑥𝑏)))
119 simp1 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → 𝐼𝑉)
120 fvexd 6921 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑑𝑏) ∈ V)
121 ovexd 7465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → ((𝑥𝑏) − (𝑑𝑏)) ∈ V)
122110feqmptd 6976 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → 𝑑 = (𝑏𝐼 ↦ (𝑑𝑏)))
123 fvexd 6921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑥𝑏) ∈ V)
124114feqmptd 6976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → 𝑥 = (𝑏𝐼 ↦ (𝑥𝑏)))
125119, 123, 120, 124, 122offval2 7716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → (𝑥f𝑑) = (𝑏𝐼 ↦ ((𝑥𝑏) − (𝑑𝑏))))
126119, 120, 121, 122, 125offval2 7716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → (𝑑f + (𝑥f𝑑)) = (𝑏𝐼 ↦ ((𝑑𝑏) + ((𝑥𝑏) − (𝑑𝑏)))))
127118, 126, 1243eqtr4d 2784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → (𝑑f + (𝑥f𝑑)) = 𝑥)
128108, 26, 57, 127syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝑑f + (𝑥f𝑑)) = 𝑥)
129128fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐻‘(𝑑f + (𝑥f𝑑))) = (𝐻𝑥))
130106, 129eqtr3d 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → ((𝐻𝑑) + (𝐻‘(𝑥f𝑑))) = (𝐻𝑥))
131130breq1d 5157 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (((𝐻𝑑) + (𝐻‘(𝑥f𝑑))) ≤ (𝐽 + 𝐾) ↔ (𝐻𝑥) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
132104, 131sylibd 239 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (((𝐻𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ≤ 𝐾) → (𝐻𝑥) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
13397, 100lenltd 11404 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → ((𝐻𝑑) ≤ 𝐽 ↔ ¬ 𝐽 < (𝐻𝑑)))
13498, 102lenltd 11404 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → ((𝐻‘(𝑥f𝑑)) ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑))))
135133, 134anbi12d 632 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (((𝐻𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ≤ 𝐾) ↔ (¬ 𝐽 < (𝐻𝑑) ∧ ¬ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))))
136 ioran 985 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝐽 < (𝐻𝑑) ∨ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑))) ↔ (¬ 𝐽 < (𝐻𝑑) ∧ ¬ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑))))
137135, 136bitr4di 289 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (((𝐻𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥f𝑑)) ≤ 𝐾) ↔ ¬ (𝐽 < (𝐻𝑑) ∨ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑)))))
13838, 57ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐻𝑥) ∈ ℕ0)
139138nn0red 12585 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐻𝑥) ∈ ℝ)
14034, 73nn0addcld 12588 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ ℕ0)
141140ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ℕ0)
142141nn0red 12585 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ℝ)
143139, 142lenltd 11404 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → ((𝐻𝑥) ≤ (𝐽 + 𝐾) ↔ ¬ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥)))
144132, 137, 1433imtr3d 293 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (¬ (𝐽 < (𝐻𝑑) ∨ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑))) → ¬ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥)))
14596, 144mt4d 117 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → (𝐽 < (𝐻𝑑) ∨ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥f𝑑))))
14667, 95, 145mpjaodan 960 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥}) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))) = (0g𝑅))
147146mpteq2dva 5247 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑)))) = (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ (0g𝑅)))
148147oveq2d 7446 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))))) = (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ (0g𝑅))))
149 ringmnd 20260 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
15051, 149syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
151150adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → 𝑅 ∈ Mnd)
152 ovex 7463 . . . . . . . 8 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
1535, 152rab2ex 5347 . . . . . . 7 {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∈ V
15422gsumz 18861 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ∈ V) → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ (0g𝑅))) = (0g𝑅))
155151, 153, 154sylancl 586 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ (0g𝑅))) = (0g𝑅))
156148, 155eqtrd 2774 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒r𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥f𝑑))))) = (0g𝑅))
15710, 20, 1563eqtrd 2778 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅))
158157expr 456 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅)))
159158ralrimiva 3143 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 ((𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅)))
1601, 107, 51mplringd 22060 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
1612, 4ringcl 20267 . . . 4 ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
162160, 6, 7, 161syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
16333, 140sselid 3992 . . 3 (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ ℝ*)
16421, 1, 2, 22, 5, 23mdegleb 26117 . . 3 (((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐽 + 𝐾) ∈ ℝ*) → ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐽 + 𝐾) ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅))))
165162, 163, 164syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐽 + 𝐾) ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅))))
166159, 165mpbird 257 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐽 + 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  {crab 3432  Vcvv 3477   class class class wbr 5147  cmpt 5230  ccnv 5687  cima 5691  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  f cof 7694  r cofr 7695  m cmap 8864  Fincfn 8983  cr 11151   + caddc 11155  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489  cn 12263  0cn0 12523  Basecbs 17244  .rcmulr 17298  0gc0g 17485   Σg cgsu 17486  Mndcmnd 18759  Ringcrg 20250  fldccnfld 21381   mPoly cmpl 21943   mDeg cmdg 26106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-ofr 7697  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-hash 14366  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-ghm 19243  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-cnfld 21382  df-psr 21946  df-mpl 21948  df-mdeg 26108
This theorem is referenced by:  mdegmulle2  26132
  Copyright terms: Public domain W3C validator