Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegmullem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdegmullem 24378
 Description: Lemma for mdegmulle2 24379. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegaddle.y 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegaddle.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegmulle2.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
mdegmulle2.t · = (.r𝑌)
mdegmulle2.f (𝜑𝐹𝐵)
mdegmulle2.g (𝜑𝐺𝐵)
mdegmulle2.j1 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
mdegmulle2.k1 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
mdegmulle2.j2 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ 𝐽)
mdegmulle2.k2 (𝜑 → (𝐷𝐺) ≤ 𝐾)
mdegmullem.a 𝐴 = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
mdegmullem.h 𝐻 = (𝑏𝐴 ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
Assertion
Ref Expression
mdegmullem (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐽 + 𝐾))
Distinct variable groups:   𝐼,𝑎,𝑏   𝑅,𝑏   𝑉,𝑏   𝐴,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐷(𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎)   · (𝑎,𝑏)   𝐹(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐻(𝑎,𝑏)   𝐽(𝑎,𝑏)   𝐾(𝑎,𝑏)   𝑉(𝑎)   𝑌(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mdegmullem
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑥 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegaddle.y . . . . . . . 8 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 mdegmulle2.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 eqid 2778 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4 mdegmulle2.t . . . . . . . 8 · = (.r𝑌)
5 mdegmullem.a . . . . . . . 8 𝐴 = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
6 mdegmulle2.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝐵)
7 mdegmulle2.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺𝐵)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7mplmul 19940 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐𝑓𝑑)))))))
98fveq1d 6503 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = ((𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐𝑓𝑑))))))‘𝑥))
109adantr 473 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = ((𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐𝑓𝑑))))))‘𝑥))
11 breq2 4934 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑥 → (𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟𝑥))
1211rabbidv 3403 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑥 → {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑐} = {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥})
13 fvoveq1 7001 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑥 → (𝐺‘(𝑐𝑓𝑑)) = (𝐺‘(𝑥𝑓𝑑)))
1413oveq2d 6994 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑥 → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐𝑓𝑑))) = ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))))
1512, 14mpteq12dv 5013 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑥 → (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐𝑓𝑑)))) = (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑)))))
1615oveq2d 6994 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑥 → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐𝑓𝑑))))) = (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))))))
17 eqid 2778 . . . . . . 7 (𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐𝑓𝑑)))))) = (𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐𝑓𝑑))))))
18 ovex 7010 . . . . . . 7 (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))))) ∈ V
1916, 17, 18fvmpt 6597 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → ((𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐𝑓𝑑))))))‘𝑥) = (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))))))
2019ad2antrl 715 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → ((𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐𝑓𝑑))))))‘𝑥) = (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))))))
21 mdegaddle.d . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
22 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (0g𝑅) = (0g𝑅)
23 mdegmullem.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (𝑏𝐴 ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
246ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → 𝐹𝐵)
25 elrabi 3590 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} → 𝑑𝐴)
2625adantl 474 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → 𝑑𝐴)
2726adantrr 704 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → 𝑑𝐴)
2821, 1, 2mdegxrcl 24367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
296, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
3029ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
31 nn0ssre 11714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ⊆ ℝ
32 ressxr 10486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℝ ⊆ ℝ*
3331, 32sstri 3869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ⊆ ℝ*
34 mdegmulle2.j1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
3533, 34sseldi 3858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐽 ∈ ℝ*)
3635ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → 𝐽 ∈ ℝ*)
37 mdegaddle.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐼𝑉)
385, 23tdeglem1 24358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼𝑉𝐻:𝐴⟶ℕ0)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐻:𝐴⟶ℕ0)
4039ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → 𝐻:𝐴⟶ℕ0)
4140, 26ffvelrnd 6679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐻𝑑) ∈ ℕ0)
4233, 41sseldi 3858 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐻𝑑) ∈ ℝ*)
4330, 36, 423jca 1108 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → ((𝐷𝐹) ∈ ℝ*𝐽 ∈ ℝ* ∧ (𝐻𝑑) ∈ ℝ*))
4443adantrr 704 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → ((𝐷𝐹) ∈ ℝ*𝐽 ∈ ℝ* ∧ (𝐻𝑑) ∈ ℝ*))
45 mdegmulle2.j2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ 𝐽)
4645ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐷𝐹) ≤ 𝐽)
4746anim1i 605 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑)) → ((𝐷𝐹) ≤ 𝐽𝐽 < (𝐻𝑑)))
4847anasss 459 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → ((𝐷𝐹) ≤ 𝐽𝐽 < (𝐻𝑑)))
49 xrlelttr 12369 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷𝐹) ∈ ℝ*𝐽 ∈ ℝ* ∧ (𝐻𝑑) ∈ ℝ*) → (((𝐷𝐹) ≤ 𝐽𝐽 < (𝐻𝑑)) → (𝐷𝐹) < (𝐻𝑑)))
5044, 48, 49sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → (𝐷𝐹) < (𝐻𝑑))
5121, 1, 2, 22, 5, 23, 24, 27, 50mdeglt 24365 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → (𝐹𝑑) = (0g𝑅))
5251oveq1d 6993 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))) = ((0g𝑅)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))))
53 mdegaddle.r . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
5453ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → 𝑅 ∈ Ring)
55 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
561, 55, 2, 5, 7mplelf 19930 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺:𝐴⟶(Base‘𝑅))
5756ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → 𝐺:𝐴⟶(Base‘𝑅))
58 ssrab2 3948 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ⊆ 𝐴
5937ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → 𝐼𝑉)
60 simplrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → 𝑥𝐴)
61 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥})
62 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} = {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}
635, 62psrbagconcl 19870 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑉𝑥𝐴𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝑥𝑓𝑑) ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥})
6459, 60, 61, 63syl3anc 1351 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝑥𝑓𝑑) ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥})
6558, 64sseldi 3858 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝑥𝑓𝑑) ∈ 𝐴)
6657, 65ffvelrnd 6679 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐺‘(𝑥𝑓𝑑)) ∈ (Base‘𝑅))
6755, 3, 22ringlz 19063 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺‘(𝑥𝑓𝑑)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g𝑅)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))) = (0g𝑅))
6854, 66, 67syl2anc 576 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → ((0g𝑅)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))) = (0g𝑅))
6968adantrr 704 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → ((0g𝑅)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))) = (0g𝑅))
7052, 69eqtrd 2814 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))) = (0g𝑅))
7170anassrs 460 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑)) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))) = (0g𝑅))
727ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)))) → 𝐺𝐵)
7365adantrr 704 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)))) → (𝑥𝑓𝑑) ∈ 𝐴)
7421, 1, 2mdegxrcl 24367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺𝐵 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
757, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
7675ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
77 mdegmulle2.k1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
7833, 77sseldi 3858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐾 ∈ ℝ*)
7978ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → 𝐾 ∈ ℝ*)
8040, 65ffvelrnd 6679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)) ∈ ℕ0)
8133, 80sseldi 3858 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)) ∈ ℝ*)
8276, 79, 813jca 1108 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → ((𝐷𝐺) ∈ ℝ*𝐾 ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)) ∈ ℝ*))
8382adantrr 704 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)))) → ((𝐷𝐺) ∈ ℝ*𝐾 ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)) ∈ ℝ*))
84 mdegmulle2.k2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐷𝐺) ≤ 𝐾)
8584ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐷𝐺) ≤ 𝐾)
8685anim1i 605 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))) → ((𝐷𝐺) ≤ 𝐾𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))))
8786anasss 459 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)))) → ((𝐷𝐺) ≤ 𝐾𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))))
88 xrlelttr 12369 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷𝐺) ∈ ℝ*𝐾 ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)) ∈ ℝ*) → (((𝐷𝐺) ≤ 𝐾𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))) → (𝐷𝐺) < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))))
8983, 87, 88sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)))) → (𝐷𝐺) < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)))
9021, 1, 2, 22, 5, 23, 72, 73, 89mdeglt 24365 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)))) → (𝐺‘(𝑥𝑓𝑑)) = (0g𝑅))
9190oveq2d 6994 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)))) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))) = ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(0g𝑅)))
921, 55, 2, 5, 6mplelf 19930 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:𝐴⟶(Base‘𝑅))
9392ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝑅))
9493, 26ffvelrnd 6679 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐹𝑑) ∈ (Base‘𝑅))
9555, 3, 22ringrz 19064 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹𝑑) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
9654, 94, 95syl2anc 576 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
9796adantrr 704 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)))) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
9891, 97eqtrd 2814 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)))) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))) = (0g𝑅))
9998anassrs 460 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))) = (0g𝑅))
100 simplrr 765 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))
10141nn0red 11771 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐻𝑑) ∈ ℝ)
10280nn0red 11771 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)) ∈ ℝ)
10334ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → 𝐽 ∈ ℕ0)
104103nn0red 11771 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → 𝐽 ∈ ℝ)
10577ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → 𝐾 ∈ ℕ0)
106105nn0red 11771 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → 𝐾 ∈ ℝ)
107 le2add 10925 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐻𝑑) ∈ ℝ ∧ (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)) ∈ ℝ) ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ)) → (((𝐻𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)) ≤ 𝐾) → ((𝐻𝑑) + (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
108101, 102, 104, 106, 107syl22anc 826 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (((𝐻𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)) ≤ 𝐾) → ((𝐻𝑑) + (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
1095, 23tdeglem3 24359 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑉𝑑𝐴 ∧ (𝑥𝑓𝑑) ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑑𝑓 + (𝑥𝑓𝑑))) = ((𝐻𝑑) + (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))))
11059, 26, 65, 109syl3anc 1351 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐻‘(𝑑𝑓 + (𝑥𝑓𝑑))) = ((𝐻𝑑) + (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))))
1115psrbagf 19862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼𝑉𝑑𝐴) → 𝑑:𝐼⟶ℕ0)
1121113adant3 1112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → 𝑑:𝐼⟶ℕ0)
113112ffvelrnda 6678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑑𝑏) ∈ ℕ0)
114113nn0cnd 11772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑑𝑏) ∈ ℂ)
1155psrbagf 19862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼𝑉𝑥𝐴) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
1161153adant2 1111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
117116ffvelrnda 6678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑥𝑏) ∈ ℕ0)
118117nn0cnd 11772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑥𝑏) ∈ ℂ)
119114, 118pncan3d 10803 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → ((𝑑𝑏) + ((𝑥𝑏) − (𝑑𝑏))) = (𝑥𝑏))
120119mpteq2dva 5023 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → (𝑏𝐼 ↦ ((𝑑𝑏) + ((𝑥𝑏) − (𝑑𝑏)))) = (𝑏𝐼 ↦ (𝑥𝑏)))
121 simp1 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → 𝐼𝑉)
122 fvexd 6516 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑑𝑏) ∈ V)
123 ovexd 7012 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → ((𝑥𝑏) − (𝑑𝑏)) ∈ V)
124112feqmptd 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → 𝑑 = (𝑏𝐼 ↦ (𝑑𝑏)))
125 fvexd 6516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑥𝑏) ∈ V)
126116feqmptd 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → 𝑥 = (𝑏𝐼 ↦ (𝑥𝑏)))
127121, 125, 122, 126, 124offval2 7246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → (𝑥𝑓𝑑) = (𝑏𝐼 ↦ ((𝑥𝑏) − (𝑑𝑏))))
128121, 122, 123, 124, 127offval2 7246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → (𝑑𝑓 + (𝑥𝑓𝑑)) = (𝑏𝐼 ↦ ((𝑑𝑏) + ((𝑥𝑏) − (𝑑𝑏)))))
129120, 128, 1263eqtr4d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → (𝑑𝑓 + (𝑥𝑓𝑑)) = 𝑥)
13059, 26, 60, 129syl3anc 1351 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝑑𝑓 + (𝑥𝑓𝑑)) = 𝑥)
131130fveq2d 6505 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐻‘(𝑑𝑓 + (𝑥𝑓𝑑))) = (𝐻𝑥))
132110, 131eqtr3d 2816 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → ((𝐻𝑑) + (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))) = (𝐻𝑥))
133132breq1d 4940 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (((𝐻𝑑) + (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))) ≤ (𝐽 + 𝐾) ↔ (𝐻𝑥) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
134108, 133sylibd 231 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (((𝐻𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)) ≤ 𝐾) → (𝐻𝑥) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
135101, 104lenltd 10588 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → ((𝐻𝑑) ≤ 𝐽 ↔ ¬ 𝐽 < (𝐻𝑑)))
136102, 106lenltd 10588 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → ((𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)) ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))))
137135, 136anbi12d 621 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (((𝐻𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)) ≤ 𝐾) ↔ (¬ 𝐽 < (𝐻𝑑) ∧ ¬ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)))))
138 ioran 966 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝐽 < (𝐻𝑑) ∨ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))) ↔ (¬ 𝐽 < (𝐻𝑑) ∧ ¬ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))))
139137, 138syl6bbr 281 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (((𝐻𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)) ≤ 𝐾) ↔ ¬ (𝐽 < (𝐻𝑑) ∨ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)))))
14040, 60ffvelrnd 6679 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐻𝑥) ∈ ℕ0)
141140nn0red 11771 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐻𝑥) ∈ ℝ)
14234, 77nn0addcld 11774 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ ℕ0)
143142ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ℕ0)
144143nn0red 11771 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ℝ)
145141, 144lenltd 10588 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → ((𝐻𝑥) ≤ (𝐽 + 𝐾) ↔ ¬ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥)))
146134, 139, 1453imtr3d 285 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (¬ (𝐽 < (𝐻𝑑) ∨ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))) → ¬ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥)))
147100, 146mt4d 154 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐽 < (𝐻𝑑) ∨ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))))
14871, 99, 147mpjaodan 941 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))) = (0g𝑅))
149148mpteq2dva 5023 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑)))) = (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ↦ (0g𝑅)))
150149oveq2d 6994 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))))) = (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ↦ (0g𝑅))))
151 ringmnd 19032 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
15253, 151syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
153152adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → 𝑅 ∈ Mnd)
154 ovex 7010 . . . . . . . 8 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
1555, 154rab2ex 5095 . . . . . . 7 {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∈ V
15622gsumz 17845 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∈ V) → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ↦ (0g𝑅))) = (0g𝑅))
157153, 155, 156sylancl 577 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ↦ (0g𝑅))) = (0g𝑅))
158150, 157eqtrd 2814 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))))) = (0g𝑅))
15910, 20, 1583eqtrd 2818 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅))
160159expr 449 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅)))
161160ralrimiva 3132 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 ((𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅)))
1621mplring 19949 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ Ring)
16337, 53, 162syl2anc 576 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
1642, 4ringcl 19037 . . . 4 ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
165163, 6, 7, 164syl3anc 1351 . . 3 (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
16633, 142sseldi 3858 . . 3 (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ ℝ*)
16721, 1, 2, 22, 5, 23mdegleb 24364 . . 3 (((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐽 + 𝐾) ∈ ℝ*) → ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐽 + 𝐾) ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅))))
168165, 166, 167syl2anc 576 . 2 (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐽 + 𝐾) ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅))))
169161, 168mpbird 249 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐽 + 𝐾))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∨ wo 833   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  ∀wral 3088  {crab 3092  Vcvv 3415   class class class wbr 4930   ↦ cmpt 5009  ◡ccnv 5407   “ cima 5411  ⟶wf 6186  ‘cfv 6190  (class class class)co 6978   ∘𝑓 cof 7227   ∘𝑟 cofr 7228   ↑𝑚 cmap 8208  Fincfn 8308  ℝcr 10336   + caddc 10340  ℝ*cxr 10475   < clt 10476   ≤ cle 10477   − cmin 10672  ℕcn 11441  ℕ0cn0 11710  Basecbs 16342  .rcmulr 16425  0gc0g 16572   Σg cgsu 16573  Mndcmnd 17765  Ringcrg 19023   mPoly cmpl 19850  ℂfldccnfld 20250   mDeg cmdg 24353 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-pre-sup 10415  ax-addf 10416  ax-mulf 10417 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-iin 4796  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-se 5368  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-isom 6199  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-of 7229  df-ofr 7230  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-supp 7636  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-1o 7907  df-2o 7908  df-oadd 7911  df-er 8091  df-map 8210  df-pm 8211  df-ixp 8262  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-fsupp 8631  df-sup 8703  df-oi 8771  df-card 9164  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-4 11508  df-5 11509  df-6 11510  df-7 11511  df-8 11512  df-9 11513  df-n0 11711  df-z 11797  df-dec 11915  df-uz 12062  df-fz 12712  df-fzo 12853  df-seq 13188  df-hash 13509  df-struct 16344  df-ndx 16345  df-slot 16346  df-base 16348  df-sets 16349  df-ress 16350  df-plusg 16437  df-mulr 16438  df-starv 16439  df-sca 16440  df-vsca 16441  df-tset 16443  df-ple 16444  df-ds 16446  df-unif 16447  df-0g 16574  df-gsum 16575  df-mre 16718  df-mrc 16719  df-acs 16721  df-mgm 17713  df-sgrp 17755  df-mnd 17766  df-mhm 17806  df-submnd 17807  df-grp 17897  df-minusg 17898  df-mulg 18015  df-subg 18063  df-ghm 18130  df-cntz 18221  df-cmn 18671  df-abl 18672  df-mgp 18966  df-ur 18978  df-ring 19025  df-cring 19026  df-subrg 19259  df-psr 19853  df-mpl 19855  df-cnfld 20251  df-mdeg 24355 This theorem is referenced by:  mdegmulle2  24379
 Copyright terms: Public domain W3C validator