Theorem psrbagfsupp 21855

Description: Finite bags have finite support. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbagfsupp	⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 finSupp 0)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)

Proof of Theorem psrbagfsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 ∈ 𝐷)
2		psrbag.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
3	2	psrbagf 21853	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
4	3	ffnd 6717	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 Fn 𝐼)
5	1, 4	fndmexd 7908	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐼 ∈ V)
6	2	psrbag 21852	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
7	6	biimpa 475	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
8	5, 7	mpancom 686	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
9	8	simprd 494	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)
10		fcdmnn0fsuppg 12559	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
11	3, 10	mpdan 685	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → (𝐹 finSupp 0 ↔ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
12	9, 11	mpbird 256	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 finSupp 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3419  Vcvv 3463   class class class wbr 5143  ^◡ccnv 5671   “ cima 5675  ⟶wf 6538  (class class class)co 7415   ↑_m cmap 8841  Fincfn 8960   finSupp cfsupp 9383  0cc0 11136  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fsupp 9384  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-nn 12241  df-n0 12501

This theorem is referenced by:  psrbagaddcl  21863  psrbagev1  22026  mhpmulcl  22079  tdeglem1  26007  tdeglem3  26009  tdeglem4  26011  psrbagres  41831  evlsvvvallem  41858  evlsvvval  41860  selvvvval  41882  evlselvlem  41883  evlselv  41884  mhphflem  41893  mhphf  41894