Theorem psrbagfsupp 19869

Description: Finite bags have finite nonzero-support. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbagfsupp.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbagfsupp	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑋 finSupp 0)

Distinct variable groups:   ℎ,𝐼   ℎ,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐷(ℎ)   𝑉(ℎ)

Proof of Theorem psrbagfsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbagfsupp.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
2	1	psrbag 19725	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝑋 “ ℕ) ∈ Fin)))
3	2	biimpac 472	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑋:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝑋 “ ℕ) ∈ Fin))
4	3	simprd 491	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (◡𝑋 “ ℕ) ∈ Fin)
5		simpr 479	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ 𝑉)
6	1	psrbagf 19726	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷) → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
7	6	ancoms 452	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
8		frnnn0fsupp 11677	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋:𝐼⟶ℕ0) → (𝑋 finSupp 0 ↔ (◡𝑋 “ ℕ) ∈ Fin))
9	5, 7, 8	syl2anc 581	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑋 finSupp 0 ↔ (◡𝑋 “ ℕ) ∈ Fin))
10	4, 9	mpbird 249	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑋 finSupp 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  {crab 3121   class class class wbr 4873  ^◡ccnv 5341   “ cima 5345  ⟶wf 6119  (class class class)co 6905   ↑_𝑚 cmap 8122  Fincfn 8222   finSupp cfsupp 8544  0cc0 10252  ℕcn 11350  ℕ₀cn0 11618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-supp 7560  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fsupp 8545  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-nn 11351  df-n0 11619

This theorem is referenced by:  psrbagev1  19870  tdeglem1  24217  tdeglem3  24218  tdeglem4  24219