Theorem psrbagfsupp 22234

Description: Finite bags have finite support. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbagfsupp	⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 finSupp 0)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)

Proof of Theorem psrbagfsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 ∈ 𝐷)
2		psrbag.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
3	2	psrbagf 22233	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
4	3	ffnd 6713	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 Fn 𝐼)
5	1, 4	fndmexd 7918	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐼 ∈ V)
6	2	psrbag 22232	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
7	6	biimpa 482	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
8	5, 7	mpancom 701	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
9	8	simprd 501	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)
10		fcdmnn0fsuppg 12671	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
11	3, 10	mpdan 700	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → (𝐹 finSupp 0 ↔ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
12	9, 11	mpbird 260	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 finSupp 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412  Vcvv 3450   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5649   “ cima 5653  ⟶wf 6537  (class class class)co 7422   ↑_m cmap 8852  Fincfn 8978   finSupp cfsupp 9358  0cc0 11205  ℕcn 12340  ℕ₀cn0 12611

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8182  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-er 8722  df-map 8854  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fsupp 9359  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-nn 12341  df-n0 12612

This theorem is used by:  psrbagaddcl  22239  psrbagres  22245  psrbagev1  22393  evlsvvvallem  22407  evlsvvval  22409  selvvvval  22458  mhpmulcl  22477  tdeglem1  26383  tdeglem3  26384  tdeglem4  26385  extvfvcl  34216  mplvrpmfgalem  34224  mplvrpmrhm  34227  evlselvlem  43723  evlselv  43724  mhphflem  43731  mhphf  43732