Theorem psrbagfsupp 20272

Description: Finite bags have finite nonzero-support. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbagfsupp.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbagfsupp	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑋 finSupp 0)

Distinct variable groups:   ℎ,𝐼   ℎ,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐷(ℎ)   𝑉(ℎ)

Proof of Theorem psrbagfsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbagfsupp.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
2	1	psrbag 20127	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝑋 “ ℕ) ∈ Fin)))
3	2	biimpac 481	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑋:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝑋 “ ℕ) ∈ Fin))
4	3	simprd 498	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (◡𝑋 “ ℕ) ∈ Fin)
5		simpr 487	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ 𝑉)
6	1	psrbagf 20128	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷) → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
7	6	ancoms 461	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
8		frnnn0fsupp 11941	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋:𝐼⟶ℕ0) → (𝑋 finSupp 0 ↔ (◡𝑋 “ ℕ) ∈ Fin))
9	5, 7, 8	syl2anc 586	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑋 finSupp 0 ↔ (◡𝑋 “ ℕ) ∈ Fin))
10	4, 9	mpbird 259	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑋 finSupp 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {crab 3142   class class class wbr 5052  ^◡ccnv 5540   “ cima 5544  ⟶wf 6337  (class class class)co 7142   ↑_m cmap 8392  Fincfn 8495   finSupp cfsupp 8819  0cc0 10523  ℕcn 11624  ℕ₀cn0 11884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-cnex 10579  ax-resscn 10580  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-mulcom 10587  ax-addass 10588  ax-mulass 10589  ax-distr 10590  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-1rid 10593  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596  ax-pre-lttri 10597  ax-pre-lttrn 10598  ax-pre-ltadd 10599

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-pss 3942  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-tp 4558  df-op 4560  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5446  df-eprel 5451  df-po 5460  df-so 5461  df-fr 5500  df-we 5502  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-pred 6134  df-ord 6180  df-on 6181  df-lim 6182  df-suc 6183  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-om 7567  df-supp 7817  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-map 8394  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fsupp 8820  df-pnf 10663  df-mnf 10664  df-xr 10665  df-ltxr 10666  df-le 10667  df-nn 11625  df-n0 11885

This theorem is referenced by:  psrbagev1  20273  tdeglem1  24638  tdeglem3  24639  tdeglem4  24640