MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagconcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbagconcl 21867
Description: The complement of a bag is a bag. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 6-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagconf1o.s 𝑆 = {𝑦𝐷𝑦r𝐹}
Assertion
Ref Expression
psrbagconcl ((𝐹𝐷𝑋𝑆) → (𝐹f𝑋) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑦,𝐷   𝑦,𝐹   𝑓,𝑋   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑦,𝑓)   𝐼(𝑦)

Proof of Theorem psrbagconcl
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . 3 ((𝐹𝐷𝑋𝑆) → 𝐹𝐷)
2 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐹𝐷𝑋𝑆) → 𝑋𝑆)
3 breq1 5151 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑋 → (𝑦r𝐹𝑋r𝐹))
4 psrbagconf1o.s . . . . . . 7 𝑆 = {𝑦𝐷𝑦r𝐹}
53, 4elrab2 3685 . . . . . 6 (𝑋𝑆 ↔ (𝑋𝐷𝑋r𝐹))
62, 5sylib 217 . . . . 5 ((𝐹𝐷𝑋𝑆) → (𝑋𝐷𝑋r𝐹))
76simpld 494 . . . 4 ((𝐹𝐷𝑋𝑆) → 𝑋𝐷)
8 psrbag.d . . . . 5 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
98psrbagf 21851 . . . 4 (𝑋𝐷𝑋:𝐼⟶ℕ0)
107, 9syl 17 . . 3 ((𝐹𝐷𝑋𝑆) → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
116simprd 495 . . 3 ((𝐹𝐷𝑋𝑆) → 𝑋r𝐹)
128psrbagcon 21863 . . 3 ((𝐹𝐷𝑋:𝐼⟶ℕ0𝑋r𝐹) → ((𝐹f𝑋) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹f𝑋) ∘r𝐹))
131, 10, 11, 12syl3anc 1369 . 2 ((𝐹𝐷𝑋𝑆) → ((𝐹f𝑋) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹f𝑋) ∘r𝐹))
14 breq1 5151 . . 3 (𝑦 = (𝐹f𝑋) → (𝑦r𝐹 ↔ (𝐹f𝑋) ∘r𝐹))
1514, 4elrab2 3685 . 2 ((𝐹f𝑋) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐹f𝑋) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹f𝑋) ∘r𝐹))
1613, 15sylibr 233 1 ((𝐹𝐷𝑋𝑆) → (𝐹f𝑋) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  {crab 3429   class class class wbr 5148  ccnv 5677  cima 5681  wf 6544  (class class class)co 7420  f cof 7683  r cofr 7684  m cmap 8845  Fincfn 8964  cle 11280  cmin 11475  cn 12243  0cn0 12503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-n0 12504
This theorem is referenced by:  psrbagconf1o  21870  psrass1lem  21877  psrdi  21908  psrdir  21909  psrass23l  21910  psrcom  21911  psrass23  21912  resspsrmul  21919  mplsubrglem  21946  mplmonmul  21974  mhpmulcl  22073  psdmul  22090  psropprmul  22156  mdegmullem  26027
  Copyright terms: Public domain W3C validator