Theorem psrbagconcl 21478

Description: The complement of a bag is a bag. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 6-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagconf1o.s	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝐹}

Assertion

Ref	Expression
psrbagconcl	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘f − 𝑋) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑓,𝐹   𝑓,𝐼,𝑦   𝑦,𝐷   𝑓,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑦,𝑓)

Proof of Theorem psrbagconcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐹 ∈ 𝐷)
2		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
3		breq1 5150	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 ∘r ≤ 𝐹 ↔ 𝑋 ∘r ≤ 𝐹))
4		psrbagconf1o.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝐹}
5	3, 4	elrab2 3685	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 ↔ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∘r ≤ 𝐹))
6	2, 5	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∘r ≤ 𝐹))
7	6	simpld 495	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝐷)
8		psrbag.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
9	8	psrbagf 21462	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
10	7, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
11	6	simprd 496	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∘r ≤ 𝐹)
12	8	psrbagcon 21474	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑋 ∘r ≤ 𝐹) → ((𝐹 ∘f − 𝑋) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f − 𝑋) ∘r ≤ 𝐹))
13	1, 10, 11, 12	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ((𝐹 ∘f − 𝑋) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f − 𝑋) ∘r ≤ 𝐹))
14		breq1 5150	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝐹 ∘f − 𝑋) → (𝑦 ∘r ≤ 𝐹 ↔ (𝐹 ∘f − 𝑋) ∘r ≤ 𝐹))
15	14, 4	elrab2 3685	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘f − 𝑋) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐹 ∘f − 𝑋) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f − 𝑋) ∘r ≤ 𝐹))
16	13, 15	sylibr 233	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘f − 𝑋) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432   class class class wbr 5147  ^◡ccnv 5674   “ cima 5678  ⟶wf 6536  (class class class)co 7405   ∘_f cof 7664   ∘_r cofr 7665   ↑_m cmap 8816  Fincfn 8935   ≤ cle 11245   − cmin 11440  ℕcn 12208  ℕ₀cn0 12468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469

This theorem is referenced by:  psrbagconf1o  21480  psrass1lem  21487  psrdi  21517  psrdir  21518  psrass23l  21519  psrcom  21520  psrass23  21521  resspsrmul  21528  mplsubrglem  21554  mplmonmul  21582  mhpmulcl  21683  psropprmul  21751  mdegmullem  25587