MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagconcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbagconcl 21847
Description: The complement of a bag is a bag. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 6-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
psrbagconf1o.s 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹}
Assertion
Ref Expression
psrbagconcl ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑓,𝐹   𝑓,𝐼,𝑦   𝑦,𝐷   𝑓,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑦,𝑓)

Proof of Theorem psrbagconcl
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
2 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
3 breq1 5145 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑋 β†’ (𝑦 ∘r ≀ 𝐹 ↔ 𝑋 ∘r ≀ 𝐹))
4 psrbagconf1o.s . . . . . . 7 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹}
53, 4elrab2 3683 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝑆 ↔ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∘r ≀ 𝐹))
62, 5sylib 217 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∘r ≀ 𝐹))
76simpld 494 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
8 psrbag.d . . . . 5 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
98psrbagf 21831 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐷 β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„•0)
107, 9syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„•0)
116simprd 495 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∘r ≀ 𝐹)
128psrbagcon 21843 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝑋 ∘r ≀ 𝐹) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋) ∘r ≀ 𝐹))
131, 10, 11, 12syl3anc 1369 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋) ∘r ≀ 𝐹))
14 breq1 5145 . . 3 (𝑦 = (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋) β†’ (𝑦 ∘r ≀ 𝐹 ↔ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋) ∘r ≀ 𝐹))
1514, 4elrab2 3683 . 2 ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋) ∘r ≀ 𝐹))
1613, 15sylibr 233 1 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3427   class class class wbr 5142  β—‘ccnv 5671   β€œ cima 5675  βŸΆwf 6538  (class class class)co 7414   ∘f cof 7675   ∘r cofr 7676   ↑m cmap 8834  Fincfn 8953   ≀ cle 11265   βˆ’ cmin 11460  β„•cn 12228  β„•0cn0 12488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-n0 12489
This theorem is referenced by:  psrbagconf1o  21849  psrass1lem  21856  psrdi  21887  psrdir  21888  psrass23l  21889  psrcom  21890  psrass23  21891  resspsrmul  21898  mplsubrglem  21924  mplmonmul  21952  mhpmulcl  22051  psropprmul  22130  mdegmullem  25988
  Copyright terms: Public domain W3C validator