Theorem psrbagconcl 20611

Description: The complement of a bag is a bag. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagconf1o.1	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝐹}

Assertion

Ref	Expression
psrbagconcl	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘f − 𝑋) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑓,𝐹   𝑦,𝑉   𝑓,𝐼,𝑦   𝑦,𝐷   𝑓,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑦,𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrbagconcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐼 ∈ 𝑉)
2		simp2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐹 ∈ 𝐷)
3		simp3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
4		breq1 5033	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 ∘r ≤ 𝐹 ↔ 𝑋 ∘r ≤ 𝐹))
5		psrbagconf1o.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝐹}
6	4, 5	elrab2 3631	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 ↔ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∘r ≤ 𝐹))
7	3, 6	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∘r ≤ 𝐹))
8	7	simpld 498	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝐷)
9		psrbag.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
10	9	psrbagf 20603	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷) → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
11	1, 8, 10	syl2anc 587	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
12	7	simprd 499	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∘r ≤ 𝐹)
13	9	psrbagcon 20609	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑋 ∘r ≤ 𝐹)) → ((𝐹 ∘f − 𝑋) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f − 𝑋) ∘r ≤ 𝐹))
14	1, 2, 11, 12, 13	syl13anc 1369	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ((𝐹 ∘f − 𝑋) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f − 𝑋) ∘r ≤ 𝐹))
15		breq1 5033	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝐹 ∘f − 𝑋) → (𝑦 ∘r ≤ 𝐹 ↔ (𝐹 ∘f − 𝑋) ∘r ≤ 𝐹))
16	15, 5	elrab2 3631	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘f − 𝑋) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐹 ∘f − 𝑋) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f − 𝑋) ∘r ≤ 𝐹))
17	14, 16	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘f − 𝑋) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3110   class class class wbr 5030  ^◡ccnv 5518   “ cima 5522  ⟶wf 6320  (class class class)co 7135   ∘_f cof 7387   ∘_r cofr 7388   ↑_m cmap 8389  Fincfn 8492   ≤ cle 10665   − cmin 10859  ℕcn 11625  ℕ₀cn0 11885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-ofr 7390  df-om 7561  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886

This theorem is referenced by:  psrass1lem  20615  psrdi  20644  psrdir  20645  psrass23l  20646  psrcom  20647  psrass23  20648  resspsrmul  20655  mplsubrglem  20677  mplmonmul  20704  psropprmul  20867  mdegmullem  24679