Theorem psrbagconcl 21812

Description: The complement of a bag is a bag. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 6-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagconf1o.s	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝐹}

Assertion

Ref	Expression
psrbagconcl	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘f − 𝑋) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑦,𝐷   𝑦,𝐹   𝑓,𝑋   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑦,𝑓)   𝐼(𝑦)

Proof of Theorem psrbagconcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐹 ∈ 𝐷)
2		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
3		breq1 5105	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 ∘r ≤ 𝐹 ↔ 𝑋 ∘r ≤ 𝐹))
4		psrbagconf1o.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝐹}
5	3, 4	elrab2 3659	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 ↔ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∘r ≤ 𝐹))
6	2, 5	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∘r ≤ 𝐹))
7	6	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝐷)
8		psrbag.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
9	8	psrbagf 21803	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
10	7, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
11	6	simprd 495	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∘r ≤ 𝐹)
12	8	psrbagcon 21810	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑋 ∘r ≤ 𝐹) → ((𝐹 ∘f − 𝑋) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f − 𝑋) ∘r ≤ 𝐹))
13	1, 10, 11, 12	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ((𝐹 ∘f − 𝑋) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f − 𝑋) ∘r ≤ 𝐹))
14		breq1 5105	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝐹 ∘f − 𝑋) → (𝑦 ∘r ≤ 𝐹 ↔ (𝐹 ∘f − 𝑋) ∘r ≤ 𝐹))
15	14, 4	elrab2 3659	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘f − 𝑋) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐹 ∘f − 𝑋) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f − 𝑋) ∘r ≤ 𝐹))
16	13, 15	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘f − 𝑋) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3402   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5630   “ cima 5634  ⟶wf 6495  (class class class)co 7369   ∘_f cof 7631   ∘_r cofr 7632   ↑_m cmap 8776  Fincfn 8895   ≤ cle 11185   − cmin 11381  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-ofr 7634  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419

This theorem is referenced by:  psrbagconf1o  21814  psrass1lem  21817  psrdi  21850  psrdir  21851  psrass23l  21852  psrcom  21853  psrass23  21854  resspsrmul  21861  mplsubrglem  21889  mplmonmul  21919  mhpmulcl  22012  psdmul  22029  psropprmul  22098  rhmcomulmpl  22245  mdegmullem  25959  rhmcomulpsr  42512