Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simprr 772 |
. . . . 5
β’ ((π β§ (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) β π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)}) |
2 | | breq1 5109 |
. . . . . 6
β’ (π₯ = π β (π₯ βr β€ (πΉ βf β π) β π βr β€ (πΉ βf β π))) |
3 | 2 | elrab 3646 |
. . . . 5
β’ (π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)} β (π β π· β§ π βr β€ (πΉ βf β π))) |
4 | 1, 3 | sylib 217 |
. . . 4
β’ ((π β§ (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) β (π β π· β§ π βr β€ (πΉ βf β π))) |
5 | 4 | simpld 496 |
. . 3
β’ ((π β§ (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) β π β π·) |
6 | 4 | simprd 497 |
. . . 4
β’ ((π β§ (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) β π βr β€ (πΉ βf β π)) |
7 | | gsumbagdiag.f |
. . . . . . 7
β’ (π β πΉ β π·) |
8 | 7 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) β πΉ β π·) |
9 | | simprl 770 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) β π β π) |
10 | | breq1 5109 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π¦ = π β (π¦ βr β€ πΉ β π βr β€ πΉ)) |
11 | | gsumbagdiag.s |
. . . . . . . . . 10
β’ π = {π¦ β π· β£ π¦ βr β€ πΉ} |
12 | 10, 11 | elrab2 3649 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π β (π β π· β§ π βr β€ πΉ)) |
13 | 9, 12 | sylib 217 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) β (π β π· β§ π βr β€ πΉ)) |
14 | 13 | simpld 496 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) β π β π·) |
15 | | gsumbagdiag.d |
. . . . . . . 8
β’ π· = {π β (β0
βm πΌ)
β£ (β‘π β β) β
Fin} |
16 | 15 | psrbagf 21336 |
. . . . . . 7
β’ (π β π· β π:πΌβΆβ0) |
17 | 14, 16 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) β π:πΌβΆβ0) |
18 | 13 | simprd 497 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) β π βr β€ πΉ) |
19 | 15 | psrbagcon 21348 |
. . . . . 6
β’ ((πΉ β π· β§ π:πΌβΆβ0 β§ π βr β€ πΉ) β ((πΉ βf β π) β π· β§ (πΉ βf β π) βr β€ πΉ)) |
20 | 8, 17, 18, 19 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((π β§ (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) β ((πΉ βf β π) β π· β§ (πΉ βf β π) βr β€ πΉ)) |
21 | 20 | simprd 497 |
. . . 4
β’ ((π β§ (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) β (πΉ βf β π) βr β€ πΉ) |
22 | 15 | psrbagf 21336 |
. . . . . . . 8
β’ (πΉ β π· β πΉ:πΌβΆβ0) |
23 | 8, 22 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) β πΉ:πΌβΆβ0) |
24 | 23 | ffnd 6670 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) β πΉ Fn πΌ) |
25 | 8, 24 | fndmexd 7844 |
. . . . 5
β’ ((π β§ (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) β πΌ β V) |
26 | 15 | psrbagf 21336 |
. . . . . 6
β’ (π β π· β π:πΌβΆβ0) |
27 | 5, 26 | syl 17 |
. . . . 5
β’ ((π β§ (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) β π:πΌβΆβ0) |
28 | 20 | simpld 496 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) β (πΉ βf β π) β π·) |
29 | 15 | psrbagf 21336 |
. . . . . 6
β’ ((πΉ βf β
π) β π· β (πΉ βf β π):πΌβΆβ0) |
30 | 28, 29 | syl 17 |
. . . . 5
β’ ((π β§ (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) β (πΉ βf β π):πΌβΆβ0) |
31 | | nn0re 12427 |
. . . . . . 7
β’ (π’ β β0
β π’ β
β) |
32 | | nn0re 12427 |
. . . . . . 7
β’ (π£ β β0
β π£ β
β) |
33 | | nn0re 12427 |
. . . . . . 7
β’ (π€ β β0
β π€ β
β) |
34 | | letr 11254 |
. . . . . . 7
β’ ((π’ β β β§ π£ β β β§ π€ β β) β ((π’ β€ π£ β§ π£ β€ π€) β π’ β€ π€)) |
35 | 31, 32, 33, 34 | syl3an 1161 |
. . . . . 6
β’ ((π’ β β0
β§ π£ β
β0 β§ π€
β β0) β ((π’ β€ π£ β§ π£ β€ π€) β π’ β€ π€)) |
36 | 35 | adantl 483 |
. . . . 5
β’ (((π β§ (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) β§ (π’ β β0 β§ π£ β β0
β§ π€ β
β0)) β ((π’ β€ π£ β§ π£ β€ π€) β π’ β€ π€)) |
37 | 25, 27, 30, 23, 36 | caoftrn 7656 |
. . . 4
β’ ((π β§ (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) β ((π βr β€ (πΉ βf β π) β§ (πΉ βf β π) βr β€ πΉ) β π βr β€ πΉ)) |
38 | 6, 21, 37 | mp2and 698 |
. . 3
β’ ((π β§ (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) β π βr β€ πΉ) |
39 | | breq1 5109 |
. . . 4
β’ (π¦ = π β (π¦ βr β€ πΉ β π βr β€ πΉ)) |
40 | 39, 11 | elrab2 3649 |
. . 3
β’ (π β π β (π β π· β§ π βr β€ πΉ)) |
41 | 5, 38, 40 | sylanbrc 584 |
. 2
β’ ((π β§ (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) β π β π) |
42 | | breq1 5109 |
. . 3
β’ (π₯ = π β (π₯ βr β€ (πΉ βf β π) β π βr β€ (πΉ βf β π))) |
43 | 17 | ffvelcdmda 7036 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) β§ π§ β πΌ) β (πβπ§) β
β0) |
44 | 27 | ffvelcdmda 7036 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) β§ π§ β πΌ) β (πβπ§) β
β0) |
45 | 23 | ffvelcdmda 7036 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) β§ π§ β πΌ) β (πΉβπ§) β
β0) |
46 | | nn0re 12427 |
. . . . . . . 8
β’ ((πβπ§) β β0 β (πβπ§) β β) |
47 | | nn0re 12427 |
. . . . . . . 8
β’ ((πβπ§) β β0 β (πβπ§) β β) |
48 | | nn0re 12427 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΉβπ§) β β0 β (πΉβπ§) β β) |
49 | | leaddsub2 11637 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πβπ§) β β β§ (πβπ§) β β β§ (πΉβπ§) β β) β (((πβπ§) + (πβπ§)) β€ (πΉβπ§) β (πβπ§) β€ ((πΉβπ§) β (πβπ§)))) |
50 | | leaddsub 11636 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πβπ§) β β β§ (πβπ§) β β β§ (πΉβπ§) β β) β (((πβπ§) + (πβπ§)) β€ (πΉβπ§) β (πβπ§) β€ ((πΉβπ§) β (πβπ§)))) |
51 | 49, 50 | bitr3d 281 |
. . . . . . . 8
β’ (((πβπ§) β β β§ (πβπ§) β β β§ (πΉβπ§) β β) β ((πβπ§) β€ ((πΉβπ§) β (πβπ§)) β (πβπ§) β€ ((πΉβπ§) β (πβπ§)))) |
52 | 46, 47, 48, 51 | syl3an 1161 |
. . . . . . 7
β’ (((πβπ§) β β0 β§ (πβπ§) β β0 β§ (πΉβπ§) β β0) β ((πβπ§) β€ ((πΉβπ§) β (πβπ§)) β (πβπ§) β€ ((πΉβπ§) β (πβπ§)))) |
53 | 43, 44, 45, 52 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) β§ π§ β πΌ) β ((πβπ§) β€ ((πΉβπ§) β (πβπ§)) β (πβπ§) β€ ((πΉβπ§) β (πβπ§)))) |
54 | 53 | ralbidva 3169 |
. . . . 5
β’ ((π β§ (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) β (βπ§ β πΌ (πβπ§) β€ ((πΉβπ§) β (πβπ§)) β βπ§ β πΌ (πβπ§) β€ ((πΉβπ§) β (πβπ§)))) |
55 | | ovexd 7393 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) β§ π§ β πΌ) β ((πΉβπ§) β (πβπ§)) β V) |
56 | 27 | feqmptd 6911 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) β π = (π§ β πΌ β¦ (πβπ§))) |
57 | 17 | ffnd 6670 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) β π Fn πΌ) |
58 | | inidm 4179 |
. . . . . . 7
β’ (πΌ β© πΌ) = πΌ |
59 | | eqidd 2734 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) β§ π§ β πΌ) β (πΉβπ§) = (πΉβπ§)) |
60 | | eqidd 2734 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) β§ π§ β πΌ) β (πβπ§) = (πβπ§)) |
61 | 24, 57, 25, 25, 58, 59, 60 | offval 7627 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) β (πΉ βf β π) = (π§ β πΌ β¦ ((πΉβπ§) β (πβπ§)))) |
62 | 25, 44, 55, 56, 61 | ofrfval2 7639 |
. . . . 5
β’ ((π β§ (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) β (π βr β€ (πΉ βf β π) β βπ§ β πΌ (πβπ§) β€ ((πΉβπ§) β (πβπ§)))) |
63 | | ovexd 7393 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) β§ π§ β πΌ) β ((πΉβπ§) β (πβπ§)) β V) |
64 | 17 | feqmptd 6911 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) β π = (π§ β πΌ β¦ (πβπ§))) |
65 | 27 | ffnd 6670 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) β π Fn πΌ) |
66 | | eqidd 2734 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) β§ π§ β πΌ) β (πβπ§) = (πβπ§)) |
67 | 24, 65, 25, 25, 58, 59, 66 | offval 7627 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) β (πΉ βf β π) = (π§ β πΌ β¦ ((πΉβπ§) β (πβπ§)))) |
68 | 25, 43, 63, 64, 67 | ofrfval2 7639 |
. . . . 5
β’ ((π β§ (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) β (π βr β€ (πΉ βf β π) β βπ§ β πΌ (πβπ§) β€ ((πΉβπ§) β (πβπ§)))) |
69 | 54, 62, 68 | 3bitr4d 311 |
. . . 4
β’ ((π β§ (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) β (π βr β€ (πΉ βf β π) β π βr β€ (πΉ βf β π))) |
70 | 6, 69 | mpbid 231 |
. . 3
β’ ((π β§ (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) β π βr β€ (πΉ βf β π)) |
71 | 42, 14, 70 | elrabd 3648 |
. 2
β’ ((π β§ (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) β π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)}) |
72 | 41, 71 | jca 513 |
1
β’ ((π β§ (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) β (π β π β§ π β {π₯ β π· β£ π₯ βr β€ (πΉ βf β π)})) |