MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumbagdiaglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumbagdiaglem 21359
Description: Lemma for gsumbagdiag 21360. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.) Remove a sethood hypothesis. (Revised by SN, 6-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumbagdiag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
gsumbagdiag.s 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹}
gsumbagdiag.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
gsumbagdiaglem ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ (π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘Œ)}))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐷   𝑦,𝐷   𝑓,𝐹   π‘₯,𝐹   𝑦,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝑋   π‘₯,𝑋   𝑦,𝑋   𝑓,π‘Œ   π‘₯,π‘Œ   𝑦,π‘Œ
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑓)   𝐼(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem gsumbagdiaglem
Dummy variables 𝑒 𝑣 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 772 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})
2 breq1 5109 . . . . . 6 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋) ↔ π‘Œ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)))
32elrab 3646 . . . . 5 (π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)} ↔ (π‘Œ ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)))
41, 3sylib 217 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)))
54simpld 496 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ π‘Œ ∈ 𝐷)
64simprd 497 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ π‘Œ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋))
7 gsumbagdiag.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
87adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
9 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
10 breq1 5109 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑋 β†’ (𝑦 ∘r ≀ 𝐹 ↔ 𝑋 ∘r ≀ 𝐹))
11 gsumbagdiag.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹}
1210, 11elrab2 3649 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ 𝑆 ↔ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∘r ≀ 𝐹))
139, 12sylib 217 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∘r ≀ 𝐹))
1413simpld 496 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
15 gsumbagdiag.d . . . . . . . 8 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
1615psrbagf 21336 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝐷 β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„•0)
1714, 16syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„•0)
1813simprd 497 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ 𝑋 ∘r ≀ 𝐹)
1915psrbagcon 21348 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝑋 ∘r ≀ 𝐹) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋) ∘r ≀ 𝐹))
208, 17, 18, 19syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋) ∘r ≀ 𝐹))
2120simprd 497 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋) ∘r ≀ 𝐹)
2215psrbagf 21336 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
238, 22syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
2423ffnd 6670 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
258, 24fndmexd 7844 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ 𝐼 ∈ V)
2615psrbagf 21336 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ 𝐷 β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„•0)
275, 26syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„•0)
2820simpld 496 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋) ∈ 𝐷)
2915psrbagf 21336 . . . . . 6 ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋) ∈ 𝐷 β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋):πΌβŸΆβ„•0)
3028, 29syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋):πΌβŸΆβ„•0)
31 nn0re 12427 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ β„•0 β†’ 𝑒 ∈ ℝ)
32 nn0re 12427 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ β„•0 β†’ 𝑣 ∈ ℝ)
33 nn0re 12427 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
34 letr 11254 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ ((𝑒 ≀ 𝑣 ∧ 𝑣 ≀ 𝑀) β†’ 𝑒 ≀ 𝑀))
3531, 32, 33, 34syl3an 1161 . . . . . 6 ((𝑒 ∈ β„•0 ∧ 𝑣 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑒 ≀ 𝑣 ∧ 𝑣 ≀ 𝑀) β†’ 𝑒 ≀ 𝑀))
3635adantl 483 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) ∧ (𝑒 ∈ β„•0 ∧ 𝑣 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0)) β†’ ((𝑒 ≀ 𝑣 ∧ 𝑣 ≀ 𝑀) β†’ 𝑒 ≀ 𝑀))
3725, 27, 30, 23, 36caoftrn 7656 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ ((π‘Œ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋) ∘r ≀ 𝐹) β†’ π‘Œ ∘r ≀ 𝐹))
386, 21, 37mp2and 698 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ π‘Œ ∘r ≀ 𝐹)
39 breq1 5109 . . . 4 (𝑦 = π‘Œ β†’ (𝑦 ∘r ≀ 𝐹 ↔ π‘Œ ∘r ≀ 𝐹))
4039, 11elrab2 3649 . . 3 (π‘Œ ∈ 𝑆 ↔ (π‘Œ ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∘r ≀ 𝐹))
415, 38, 40sylanbrc 584 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ π‘Œ ∈ 𝑆)
42 breq1 5109 . . 3 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘Œ) ↔ 𝑋 ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘Œ)))
4317ffvelcdmda 7036 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘§) ∈ β„•0)
4427ffvelcdmda 7036 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘Œβ€˜π‘§) ∈ β„•0)
4523ffvelcdmda 7036 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„•0)
46 nn0re 12427 . . . . . . . 8 ((π‘‹β€˜π‘§) ∈ β„•0 β†’ (π‘‹β€˜π‘§) ∈ ℝ)
47 nn0re 12427 . . . . . . . 8 ((π‘Œβ€˜π‘§) ∈ β„•0 β†’ (π‘Œβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
48 nn0re 12427 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘§) ∈ β„•0 β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
49 leaddsub2 11637 . . . . . . . . 9 (((π‘‹β€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ (π‘Œβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ) β†’ (((π‘‹β€˜π‘§) + (π‘Œβ€˜π‘§)) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ↔ (π‘Œβ€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘§))))
50 leaddsub 11636 . . . . . . . . 9 (((π‘‹β€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ (π‘Œβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ) β†’ (((π‘‹β€˜π‘§) + (π‘Œβ€˜π‘§)) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ↔ (π‘‹β€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘§))))
5149, 50bitr3d 281 . . . . . . . 8 (((π‘‹β€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ (π‘Œβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘§)) ↔ (π‘‹β€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘§))))
5246, 47, 48, 51syl3an 1161 . . . . . . 7 (((π‘‹β€˜π‘§) ∈ β„•0 ∧ (π‘Œβ€˜π‘§) ∈ β„•0 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„•0) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘§)) ↔ (π‘‹β€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘§))))
5343, 44, 45, 52syl3anc 1372 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘§)) ↔ (π‘‹β€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘§))))
5453ralbidva 3169 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐼 (π‘Œβ€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘§)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘§))))
55 ovexd 7393 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘§)) ∈ V)
5627feqmptd 6911 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ π‘Œ = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Œβ€˜π‘§)))
5717ffnd 6670 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ 𝑋 Fn 𝐼)
58 inidm 4179 . . . . . . 7 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
59 eqidd 2734 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
60 eqidd 2734 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘§) = (π‘‹β€˜π‘§))
6124, 57, 25, 25, 58, 59, 60offval 7627 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘§))))
6225, 44, 55, 56, 61ofrfval2 7639 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ (π‘Œ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐼 (π‘Œβ€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘§))))
63 ovexd 7393 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘§)) ∈ V)
6417feqmptd 6911 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ 𝑋 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘§)))
6527ffnd 6670 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ π‘Œ Fn 𝐼)
66 eqidd 2734 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘Œβ€˜π‘§) = (π‘Œβ€˜π‘§))
6724, 65, 25, 25, 58, 59, 66offval 7627 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘Œ) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘§))))
6825, 43, 63, 64, 67ofrfval2 7639 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ (𝑋 ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘Œ) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘§))))
6954, 62, 683bitr4d 311 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ (π‘Œ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋) ↔ 𝑋 ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘Œ)))
706, 69mpbid 231 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ 𝑋 ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘Œ))
7142, 14, 70elrabd 3648 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘Œ)})
7241, 71jca 513 1 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ (π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘Œ)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  {crab 3406  Vcvv 3444   class class class wbr 5106  β—‘ccnv 5633   β€œ cima 5637  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∘f cof 7616   ∘r cofr 7617   ↑m cmap 8768  Fincfn 8886  β„cr 11055   + caddc 11059   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390  β„•cn 12158  β„•0cn0 12418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419
This theorem is referenced by:  gsumbagdiag  21360  psrass1lem  21361
  Copyright terms: Public domain W3C validator