MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumbagdiaglem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem gsumbagdiaglem 21714
Description: Lemma for gsumbagdiag 21715. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.) Remove a sethood hypothesis. (Revised by SN, 6-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumbagdiag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
gsumbagdiag.s 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹}
gsumbagdiag.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
gsumbagdiaglem ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ (π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘Œ)}))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐷   𝑦,𝐷   𝑓,𝐹   π‘₯,𝐹   𝑦,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝑋   π‘₯,𝑋   𝑦,𝑋   𝑓,π‘Œ   π‘₯,π‘Œ   𝑦,π‘Œ
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑓)   𝐼(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem gsumbagdiaglem
Dummy variables 𝑒 𝑣 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 770 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})
2 breq1 5151 . . . . . 6 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋) ↔ π‘Œ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)))
32elrab 3683 . . . . 5 (π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)} ↔ (π‘Œ ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)))
41, 3sylib 217 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)))
54simpld 494 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ π‘Œ ∈ 𝐷)
64simprd 495 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ π‘Œ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋))
7 gsumbagdiag.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
87adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
9 simprl 768 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
10 breq1 5151 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑋 β†’ (𝑦 ∘r ≀ 𝐹 ↔ 𝑋 ∘r ≀ 𝐹))
11 gsumbagdiag.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹}
1210, 11elrab2 3686 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ 𝑆 ↔ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∘r ≀ 𝐹))
139, 12sylib 217 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∘r ≀ 𝐹))
1413simpld 494 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
15 gsumbagdiag.d . . . . . . . 8 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
1615psrbagf 21691 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝐷 β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„•0)
1714, 16syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„•0)
1813simprd 495 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ 𝑋 ∘r ≀ 𝐹)
1915psrbagcon 21703 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝑋 ∘r ≀ 𝐹) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋) ∘r ≀ 𝐹))
208, 17, 18, 19syl3anc 1370 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋) ∘r ≀ 𝐹))
2120simprd 495 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋) ∘r ≀ 𝐹)
2215psrbagf 21691 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
238, 22syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
2423ffnd 6718 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
258, 24fndmexd 7901 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ 𝐼 ∈ V)
2615psrbagf 21691 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ 𝐷 β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„•0)
275, 26syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„•0)
2820simpld 494 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋) ∈ 𝐷)
2915psrbagf 21691 . . . . . 6 ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋) ∈ 𝐷 β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋):πΌβŸΆβ„•0)
3028, 29syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋):πΌβŸΆβ„•0)
31 nn0re 12486 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ β„•0 β†’ 𝑒 ∈ ℝ)
32 nn0re 12486 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ β„•0 β†’ 𝑣 ∈ ℝ)
33 nn0re 12486 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
34 letr 11313 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ ((𝑒 ≀ 𝑣 ∧ 𝑣 ≀ 𝑀) β†’ 𝑒 ≀ 𝑀))
3531, 32, 33, 34syl3an 1159 . . . . . 6 ((𝑒 ∈ β„•0 ∧ 𝑣 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑒 ≀ 𝑣 ∧ 𝑣 ≀ 𝑀) β†’ 𝑒 ≀ 𝑀))
3635adantl 481 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) ∧ (𝑒 ∈ β„•0 ∧ 𝑣 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0)) β†’ ((𝑒 ≀ 𝑣 ∧ 𝑣 ≀ 𝑀) β†’ 𝑒 ≀ 𝑀))
3725, 27, 30, 23, 36caoftrn 7712 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ ((π‘Œ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋) ∘r ≀ 𝐹) β†’ π‘Œ ∘r ≀ 𝐹))
386, 21, 37mp2and 696 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ π‘Œ ∘r ≀ 𝐹)
39 breq1 5151 . . . 4 (𝑦 = π‘Œ β†’ (𝑦 ∘r ≀ 𝐹 ↔ π‘Œ ∘r ≀ 𝐹))
4039, 11elrab2 3686 . . 3 (π‘Œ ∈ 𝑆 ↔ (π‘Œ ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∘r ≀ 𝐹))
415, 38, 40sylanbrc 582 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ π‘Œ ∈ 𝑆)
42 breq1 5151 . . 3 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘Œ) ↔ 𝑋 ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘Œ)))
4317ffvelcdmda 7086 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘§) ∈ β„•0)
4427ffvelcdmda 7086 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘Œβ€˜π‘§) ∈ β„•0)
4523ffvelcdmda 7086 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„•0)
46 nn0re 12486 . . . . . . . 8 ((π‘‹β€˜π‘§) ∈ β„•0 β†’ (π‘‹β€˜π‘§) ∈ ℝ)
47 nn0re 12486 . . . . . . . 8 ((π‘Œβ€˜π‘§) ∈ β„•0 β†’ (π‘Œβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
48 nn0re 12486 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘§) ∈ β„•0 β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
49 leaddsub2 11696 . . . . . . . . 9 (((π‘‹β€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ (π‘Œβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ) β†’ (((π‘‹β€˜π‘§) + (π‘Œβ€˜π‘§)) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ↔ (π‘Œβ€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘§))))
50 leaddsub 11695 . . . . . . . . 9 (((π‘‹β€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ (π‘Œβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ) β†’ (((π‘‹β€˜π‘§) + (π‘Œβ€˜π‘§)) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ↔ (π‘‹β€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘§))))
5149, 50bitr3d 281 . . . . . . . 8 (((π‘‹β€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ (π‘Œβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘§)) ↔ (π‘‹β€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘§))))
5246, 47, 48, 51syl3an 1159 . . . . . . 7 (((π‘‹β€˜π‘§) ∈ β„•0 ∧ (π‘Œβ€˜π‘§) ∈ β„•0 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„•0) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘§)) ↔ (π‘‹β€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘§))))
5343, 44, 45, 52syl3anc 1370 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘§)) ↔ (π‘‹β€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘§))))
5453ralbidva 3174 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐼 (π‘Œβ€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘§)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘§))))
55 ovexd 7447 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘§)) ∈ V)
5627feqmptd 6960 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ π‘Œ = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Œβ€˜π‘§)))
5717ffnd 6718 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ 𝑋 Fn 𝐼)
58 inidm 4218 . . . . . . 7 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
59 eqidd 2732 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
60 eqidd 2732 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘§) = (π‘‹β€˜π‘§))
6124, 57, 25, 25, 58, 59, 60offval 7683 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘§))))
6225, 44, 55, 56, 61ofrfval2 7695 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ (π‘Œ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐼 (π‘Œβ€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘§))))
63 ovexd 7447 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘§)) ∈ V)
6417feqmptd 6960 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ 𝑋 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘§)))
6527ffnd 6718 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ π‘Œ Fn 𝐼)
66 eqidd 2732 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘Œβ€˜π‘§) = (π‘Œβ€˜π‘§))
6724, 65, 25, 25, 58, 59, 66offval 7683 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘Œ) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘§))))
6825, 43, 63, 64, 67ofrfval2 7695 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ (𝑋 ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘Œ) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘§))))
6954, 62, 683bitr4d 311 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ (π‘Œ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋) ↔ 𝑋 ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘Œ)))
706, 69mpbid 231 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ 𝑋 ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘Œ))
7142, 14, 70elrabd 3685 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘Œ)})
7241, 71jca 511 1 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑋)})) β†’ (π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘Œ)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  {crab 3431  Vcvv 3473   class class class wbr 5148  β—‘ccnv 5675   β€œ cima 5679  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ∘f cof 7672   ∘r cofr 7673   ↑m cmap 8824  Fincfn 8943  β„cr 11113   + caddc 11117   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449  β„•cn 12217  β„•0cn0 12477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478
This theorem is referenced by:  gsumbagdiag  21715  psrass1lem  21716
  Copyright terms: Public domain W3C validator