Theorem psrbaglecl 22138

Description: The set of finite bags is downward-closed. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 5-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbaglecl	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐺 ∈ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝐺

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)

Proof of Theorem psrbaglecl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1155	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
2		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐹 ∈ 𝐷)
3		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 ∈ 𝐷)
4		psrbag.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5	4	psrbagf 22133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
6	5	ffnd 6703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 Fn 𝐼)
7	3, 6	fndmexd 7901	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐼 ∈ V)
8	7	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐼 ∈ V)
9	4	psrbag 22132	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
10	8, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
11	2, 10	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
12	11	simprd 501	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)
13	4	psrbaglesupp 22137	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → (◡𝐺 “ ℕ) ⊆ (◡𝐹 “ ℕ))
14	12, 13	ssfid 9239	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → (◡𝐺 “ ℕ) ∈ Fin)
15	4	psrbag 22132	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝐺 ∈ 𝐷 ↔ (𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐺 “ ℕ) ∈ Fin)))
16	8, 15	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → (𝐺 ∈ 𝐷 ↔ (𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐺 “ ℕ) ∈ Fin)))
17	1, 14, 16	mpbir2and 726	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐺 ∈ 𝐷)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412  Vcvv 3450   class class class wbr 5103  ^◡ccnv 5654   “ cima 5658  ⟶wf 6529  (class class class)co 7413   ∘_r cofr 7677   ↑_m cmap 8826  Fincfn 8952   ≤ cle 11268  ℕcn 12257  ℕ₀cn0 12528

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-ofr 7679  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529

This theorem is used by:  psrbaglefi  22141