Theorem psrbaglecl 22286

Description: The set of finite bags is downward-closed. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 5-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbaglecl	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐺 ∈ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝐺

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)

Proof of Theorem psrbaglecl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1155	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
2		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐹 ∈ 𝐷)
3		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 ∈ 𝐷)
4		psrbag.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5	4	psrbagf 22281	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
6	5	ffnd 6740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 Fn 𝐼)
7	3, 6	fndmexd 7950	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐼 ∈ V)
8	7	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐼 ∈ V)
9	4	psrbag 22280	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
10	8, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
11	2, 10	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
12	11	simprd 501	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)
13	4	psrbaglesupp 22285	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → (◡𝐺 “ ℕ) ⊆ (◡𝐹 “ ℕ))
14	12, 13	ssfid 9298	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → (◡𝐺 “ ℕ) ∈ Fin)
15	4	psrbag 22280	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝐺 ∈ 𝐷 ↔ (𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐺 “ ℕ) ∈ Fin)))
16	8, 15	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → (𝐺 ∈ 𝐷 ↔ (𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐺 “ ℕ) ∈ Fin)))
17	1, 14, 16	mpbir2and 726	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐺 ∈ 𝐷)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416  Vcvv 3454   class class class wbr 5108  ^◡ccnv 5657   “ cima 5661  ⟶wf 6562  (class class class)co 7451   ∘_r cofr 7724   ↑_m cmap 8885  Fincfn 9011   ≤ cle 11383  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-ofr 7726  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647

This theorem is used by:  psrbaglefi  22289