MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tdeglem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tdeglem1 26011
Description: Functionality of the total degree helper function. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.) Remove sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
tdeglem.a 𝐴 = {π‘š ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin}
tdeglem.h 𝐻 = (β„Ž ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g β„Ž))
Assertion
Ref Expression
tdeglem1 𝐻:π΄βŸΆβ„•0
Distinct variable groups:   𝐴,β„Ž   β„Ž,𝐼,π‘š
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘š)   𝐻(β„Ž,π‘š)
Proof of Theorem tdeglem1
StepHypRef Expression
1 tdeglem.h . 2 𝐻 = (β„Ž ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g β„Ž))
2 cnfld0 21327 . . 3 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
3 cnring 21325 . . . 4 β„‚fld ∈ Ring
4 ringcmn 20225 . . . 4 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
53, 4mp1i 13 . . 3 (β„Ž ∈ 𝐴 β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
6 id 22 . . . 4 (β„Ž ∈ 𝐴 β†’ β„Ž ∈ 𝐴)
7 tdeglem.a . . . . . 6 𝐴 = {π‘š ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin}
87psrbagf 21858 . . . . 5 (β„Ž ∈ 𝐴 β†’ β„Ž:πΌβŸΆβ„•0)
98ffnd 6728 . . . 4 (β„Ž ∈ 𝐴 β†’ β„Ž Fn 𝐼)
106, 9fndmexd 7918 . . 3 (β„Ž ∈ 𝐴 β†’ 𝐼 ∈ V)
11 nn0subm 21362 . . . 4 β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld)
1211a1i 11 . . 3 (β„Ž ∈ 𝐴 β†’ β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld))
137psrbagfsupp 21860 . . 3 (β„Ž ∈ 𝐴 β†’ β„Ž finSupp 0)
142, 5, 10, 12, 8, 13gsumsubmcl 19881 . 2 (β„Ž ∈ 𝐴 β†’ (β„‚fld Ξ£g β„Ž) ∈ β„•0)
151, 14fmpti 7127 1 𝐻:π΄βŸΆβ„•0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3430  Vcvv 3473   ↦ cmpt 5235  β—‘ccnv 5681   β€œ cima 5685  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ↑m cmap 8851  Fincfn 8970  0cc0 11146  β„•cn 12250  β„•0cn0 12510   Ξ£g cgsu 17429  SubMndcsubmnd 18746  CMndccmn 19742  Ringcrg 20180  β„‚fldccnfld 21286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-cnfld 21287
This theorem is referenced by:  mdegleb  26020  mdeglt  26021  mdegldg  26022  mdegxrcl  26023  mdegcl  26025  mdegnn0cl  26027  mdegaddle  26030  mdegle0  26033  mdegmullem  26034
  Copyright terms: Public domain W3C validator