Theorem tdeglem1 24159

Description: Functionality of the total degree helper function. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tdeglem.a	⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
tdeglem.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))

Assertion

Ref	Expression
tdeglem1	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐻:𝐴⟶ℕ0)

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   ℎ,𝐼,𝑚   ℎ,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐻(ℎ,𝑚)   𝑉(𝑚)

Proof of Theorem tdeglem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfld0 20092	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
2		cnring 20090	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
3		ringcmn 18897	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
4	2, 3	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝐴) → ℂfld ∈ CMnd)
5		simpl 475	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝐴) → 𝐼 ∈ 𝑉)
6		nn0subm 20123	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝐴) → ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld))
8		tdeglem.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
9	8	psrbagf 19688	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝐴) → ℎ:𝐼⟶ℕ0)
10	8	psrbagfsupp 19831	. . . 4 ⊢ ((ℎ ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ℎ finSupp 0)
11	10	ancoms 451	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝐴) → ℎ finSupp 0)
12	1, 4, 5, 7, 9, 11	gsumsubmcl 18634	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝐴) → (ℂfld Σg ℎ) ∈ ℕ0)
13		tdeglem.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
14	12, 13	fmptd 6610	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐻:𝐴⟶ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  {crab 3093   class class class wbr 4843   ↦ cmpt 4922  ^◡ccnv 5311   “ cima 5315  ⟶wf 6097  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878   ↑_𝑚 cmap 8095  Fincfn 8195   finSupp cfsupp 8517  0cc0 10224  ℕcn 11312  ℕ₀cn0 11580   Σ_g cgsu 16416  SubMndcsubmnd 17649  CMndccmn 18508  Ringcrg 18863  ℂ_fldccnfld 20068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-addf 10303  ax-mulf 10304

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-oi 8657  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-seq 13056  df-hash 13371  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-starv 16282  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-unif 16290  df-0g 16417  df-gsum 16418  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-submnd 17651  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-cntz 18062  df-cmn 18510  df-abl 18511  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-cring 18866  df-cnfld 20069

This theorem is referenced by:  mdegleb  24165  mdeglt  24166  mdegldg  24167  mdegxrcl  24168  mdegcl  24170  mdegnn0cl  24172  mdegaddle  24175  mdegle0  24178  mdegmullem  24179