MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tdeglem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tdeglem1 25941
Description: Functionality of the total degree helper function. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.) Remove sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
tdeglem.a 𝐴 = {π‘š ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin}
tdeglem.h 𝐻 = (β„Ž ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g β„Ž))
Assertion
Ref Expression
tdeglem1 𝐻:π΄βŸΆβ„•0
Distinct variable groups:   𝐴,β„Ž   β„Ž,𝐼,π‘š
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘š)   𝐻(β„Ž,π‘š)
Proof of Theorem tdeglem1
StepHypRef Expression
1 tdeglem.h . 2 𝐻 = (β„Ž ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g β„Ž))
2 cnfld0 21276 . . 3 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
3 cnring 21274 . . . 4 β„‚fld ∈ Ring
4 ringcmn 20178 . . . 4 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
53, 4mp1i 13 . . 3 (β„Ž ∈ 𝐴 β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
6 id 22 . . . 4 (β„Ž ∈ 𝐴 β†’ β„Ž ∈ 𝐴)
7 tdeglem.a . . . . . 6 𝐴 = {π‘š ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin}
87psrbagf 21807 . . . . 5 (β„Ž ∈ 𝐴 β†’ β„Ž:πΌβŸΆβ„•0)
98ffnd 6711 . . . 4 (β„Ž ∈ 𝐴 β†’ β„Ž Fn 𝐼)
106, 9fndmexd 7893 . . 3 (β„Ž ∈ 𝐴 β†’ 𝐼 ∈ V)
11 nn0subm 21311 . . . 4 β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld)
1211a1i 11 . . 3 (β„Ž ∈ 𝐴 β†’ β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld))
137psrbagfsupp 21809 . . 3 (β„Ž ∈ 𝐴 β†’ β„Ž finSupp 0)
142, 5, 10, 12, 8, 13gsumsubmcl 19836 . 2 (β„Ž ∈ 𝐴 β†’ (β„‚fld Ξ£g β„Ž) ∈ β„•0)
151, 14fmpti 7106 1 𝐻:π΄βŸΆβ„•0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426  Vcvv 3468   ↦ cmpt 5224  β—‘ccnv 5668   β€œ cima 5672  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ↑m cmap 8819  Fincfn 8938  0cc0 11109  β„•cn 12213  β„•0cn0 12473   Ξ£g cgsu 17392  SubMndcsubmnd 18709  CMndccmn 19697  Ringcrg 20135  β„‚fldccnfld 21235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14293  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-ur 20084  df-ring 20137  df-cring 20138  df-cnfld 21236
This theorem is referenced by:  mdegleb  25950  mdeglt  25951  mdegldg  25952  mdegxrcl  25953  mdegcl  25955  mdegnn0cl  25957  mdegaddle  25960  mdegle0  25963  mdegmullem  25964
  Copyright terms: Public domain W3C validator