Theorem tdeglem1 26385

Description: Functionality of the total degree helper function. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.) Remove sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
tdeglem.a	⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
tdeglem.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))

Assertion

Ref	Expression
tdeglem1	⊢ 𝐻:𝐴⟶ℕ0

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   ℎ,𝐼,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐻(ℎ, 𝑚)

Proof of Theorem tdeglem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tdeglem.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
2		cnfld0 21711	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
3		cnring 21709	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
4		ringcmn 20520	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
5	3, 4	mp1i 14	. . 3 ⊢ (ℎ ∈ 𝐴 → ℂfld ∈ CMnd)
6		id 23	. . . 4 ⊢ (ℎ ∈ 𝐴 → ℎ ∈ 𝐴)
7		tdeglem.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
8	7	psrbagf 22235	. . . . 5 ⊢ (ℎ ∈ 𝐴 → ℎ:𝐼⟶ℕ0)
9	8	ffnd 6715	. . . 4 ⊢ (ℎ ∈ 𝐴 → ℎ Fn 𝐼)
10	6, 9	fndmexd 7920	. . 3 ⊢ (ℎ ∈ 𝐴 → 𝐼 ∈ V)
11		nn0subm 21737	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (ℎ ∈ 𝐴 → ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld))
13	7	psrbagfsupp 22236	. . 3 ⊢ (ℎ ∈ 𝐴 → ℎ finSupp 0)
14	2, 5, 10, 12, 8, 13	gsumsubmcl 20142	. 2 ⊢ (ℎ ∈ 𝐴 → (ℂfld Σg ℎ) ∈ ℕ0)
15	1, 14	fmpti 7117	1 ⊢ 𝐻:𝐴⟶ℕ0

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412  Vcvv 3450   ↦ cmpt 5185  ^◡ccnv 5650   “ cima 5654  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ↑_m cmap 8854  Fincfn 8980  0cc0 11207  ℕcn 12342  ℕ₀cn0 12613   Σ_g cgsu 17620  SubMndcsubmnd 18986  CMndccmn 20003  Ringcrg 20468  ℂ_fldccnfld 21687

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-addf 11286

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8184  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-er 8724  df-map 8856  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-fsupp 9361  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-seq 14152  df-hash 14482  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-starv 17452  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-unif 17460  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-submnd 18988  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-cntz 19540  df-cmn 20005  df-abl 20006  df-mgp 20370  df-ur 20417  df-ring 20470  df-cring 20471  df-cnfld 21688

This theorem is used by:  mdegleb  26391  mdeglt  26392  mdegldg  26393  mdegxrcl  26394  mdegcl  26396  mdegnn0cl  26398  mdegaddle  26401  mdegle0  26404  mdegmullem  26405