Theorem tdeglem1 26036

Description: Functionality of the total degree helper function. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.) Remove sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
tdeglem.a	⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
tdeglem.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))

Assertion

Ref	Expression
tdeglem1	⊢ 𝐻:𝐴⟶ℕ0

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   ℎ,𝐼,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐻(ℎ,𝑚)

Proof of Theorem tdeglem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tdeglem.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
2		cnfld0 21385	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
3		cnring 21383	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
4		ringcmn 20257	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
5	3, 4	mp1i 13	. . 3 ⊢ (ℎ ∈ 𝐴 → ℂfld ∈ CMnd)
6		id 22	. . . 4 ⊢ (ℎ ∈ 𝐴 → ℎ ∈ 𝐴)
7		tdeglem.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
8	7	psrbagf 21911	. . . . 5 ⊢ (ℎ ∈ 𝐴 → ℎ:𝐼⟶ℕ0)
9	8	ffnd 6664	. . . 4 ⊢ (ℎ ∈ 𝐴 → ℎ Fn 𝐼)
10	6, 9	fndmexd 7849	. . 3 ⊢ (ℎ ∈ 𝐴 → 𝐼 ∈ V)
11		nn0subm 21415	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (ℎ ∈ 𝐴 → ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld))
13	7	psrbagfsupp 21912	. . 3 ⊢ (ℎ ∈ 𝐴 → ℎ finSupp 0)
14	2, 5, 10, 12, 8, 13	gsumsubmcl 19888	. 2 ⊢ (ℎ ∈ 𝐴 → (ℂfld Σg ℎ) ∈ ℕ0)
15	1, 14	fmpti 7059	1 ⊢ 𝐻:𝐴⟶ℕ0

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390  Vcvv 3430   ↦ cmpt 5167  ^◡ccnv 5624   “ cima 5628  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ↑_m cmap 8767  Fincfn 8887  0cc0 11032  ℕcn 12168  ℕ₀cn0 12431   Σ_g cgsu 17397  SubMndcsubmnd 18744  CMndccmn 19749  Ringcrg 20208  ℂ_fldccnfld 21347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-addf 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-hash 14287  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-submnd 18746  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-ur 20157  df-ring 20210  df-cring 20211  df-cnfld 21348

This theorem is referenced by:  mdegleb  26042  mdeglt  26043  mdegldg  26044  mdegxrcl  26045  mdegcl  26047  mdegnn0cl  26049  mdegaddle  26052  mdegle0  26055  mdegmullem  26056