Theorem tdeglem1 25220

Description: Functionality of the total degree helper function. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.) Remove sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
tdeglem.a	⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
tdeglem.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))

Assertion

Ref	Expression
tdeglem1	⊢ 𝐻:𝐴⟶ℕ0

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   ℎ,𝐼,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐻(ℎ,𝑚)

Proof of Theorem tdeglem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tdeglem.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
2		cnfld0 20622	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
3		cnring 20620	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
4		ringcmn 19820	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
5	3, 4	mp1i 13	. . 3 ⊢ (ℎ ∈ 𝐴 → ℂfld ∈ CMnd)
6		id 22	. . . 4 ⊢ (ℎ ∈ 𝐴 → ℎ ∈ 𝐴)
7		tdeglem.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
8	7	psrbagf 21121	. . . . 5 ⊢ (ℎ ∈ 𝐴 → ℎ:𝐼⟶ℕ0)
9	8	ffnd 6601	. . . 4 ⊢ (ℎ ∈ 𝐴 → ℎ Fn 𝐼)
10	6, 9	fndmexd 7753	. . 3 ⊢ (ℎ ∈ 𝐴 → 𝐼 ∈ V)
11		nn0subm 20653	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (ℎ ∈ 𝐴 → ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld))
13	7	psrbagfsupp 21123	. . 3 ⊢ (ℎ ∈ 𝐴 → ℎ finSupp 0)
14	2, 5, 10, 12, 8, 13	gsumsubmcl 19520	. 2 ⊢ (ℎ ∈ 𝐴 → (ℂfld Σg ℎ) ∈ ℕ0)
15	1, 14	fmpti 6986	1 ⊢ 𝐻:𝐴⟶ℕ0

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068  Vcvv 3432   ↦ cmpt 5157  ^◡ccnv 5588   “ cima 5592  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ↑_m cmap 8615  Fincfn 8733  0cc0 10871  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233   Σ_g cgsu 17151  SubMndcsubmnd 18429  CMndccmn 19386  Ringcrg 19783  ℂ_fldccnfld 20597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-cnfld 20598

This theorem is referenced by:  mdegleb  25229  mdeglt  25230  mdegldg  25231  mdegxrcl  25232  mdegcl  25234  mdegnn0cl  25236  mdegaddle  25239  mdegle0  25242  mdegmullem  25243