Theorem tdeglem1 26017

Description: Functionality of the total degree helper function. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.) Remove sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
tdeglem.a	⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
tdeglem.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))

Assertion

Ref	Expression
tdeglem1	⊢ 𝐻:𝐴⟶ℕ0

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   ℎ,𝐼,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐻(ℎ,𝑚)

Proof of Theorem tdeglem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tdeglem.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
2		cnfld0 21345	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
3		cnring 21343	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
4		ringcmn 20215	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
5	3, 4	mp1i 13	. . 3 ⊢ (ℎ ∈ 𝐴 → ℂfld ∈ CMnd)
6		id 22	. . . 4 ⊢ (ℎ ∈ 𝐴 → ℎ ∈ 𝐴)
7		tdeglem.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
8	7	psrbagf 21872	. . . . 5 ⊢ (ℎ ∈ 𝐴 → ℎ:𝐼⟶ℕ0)
9	8	ffnd 6661	. . . 4 ⊢ (ℎ ∈ 𝐴 → ℎ Fn 𝐼)
10	6, 9	fndmexd 7844	. . 3 ⊢ (ℎ ∈ 𝐴 → 𝐼 ∈ V)
11		nn0subm 21375	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (ℎ ∈ 𝐴 → ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld))
13	7	psrbagfsupp 21873	. . 3 ⊢ (ℎ ∈ 𝐴 → ℎ finSupp 0)
14	2, 5, 10, 12, 8, 13	gsumsubmcl 19846	. 2 ⊢ (ℎ ∈ 𝐴 → (ℂfld Σg ℎ) ∈ ℕ0)
15	1, 14	fmpti 7055	1 ⊢ 𝐻:𝐴⟶ℕ0

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3397  Vcvv 3438   ↦ cmpt 5177  ^◡ccnv 5621   “ cima 5625  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8761  Fincfn 8881  0cc0 11024  ℕcn 12143  ℕ₀cn0 12399   Σ_g cgsu 17358  SubMndcsubmnd 18705  CMndccmn 19707  Ringcrg 20166  ℂ_fldccnfld 21307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-addf 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-hash 14252  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18707  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-cnfld 21308

This theorem is referenced by:  mdegleb  26023  mdeglt  26024  mdegldg  26025  mdegxrcl  26026  mdegcl  26028  mdegnn0cl  26030  mdegaddle  26033  mdegle0  26036  mdegmullem  26037