MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tdeglem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tdeglem1 25201
Description: Functionality of the total degree helper function. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.) Remove sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
tdeglem.a 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
tdeglem.h 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
Assertion
Ref Expression
tdeglem1 𝐻:𝐴⟶ℕ0
Distinct variable groups:   𝐴,   ,𝐼,𝑚
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐻(,𝑚)

Proof of Theorem tdeglem1
StepHypRef Expression
1 tdeglem.h . 2 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
2 cnfld0 20603 . . 3 0 = (0g‘ℂfld)
3 cnring 20601 . . . 4 fld ∈ Ring
4 ringcmn 19801 . . . 4 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
53, 4mp1i 13 . . 3 (𝐴 → ℂfld ∈ CMnd)
6 id 22 . . . 4 (𝐴𝐴)
7 tdeglem.a . . . . . 6 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
87psrbagf 21102 . . . . 5 (𝐴:𝐼⟶ℕ0)
98ffnd 6597 . . . 4 (𝐴 Fn 𝐼)
106, 9fndmexd 7740 . . 3 (𝐴𝐼 ∈ V)
11 nn0subm 20634 . . . 4 0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
1211a1i 11 . . 3 (𝐴 → ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld))
137psrbagfsupp 21104 . . 3 (𝐴 finSupp 0)
142, 5, 10, 12, 8, 13gsumsubmcl 19501 . 2 (𝐴 → (ℂfld Σg ) ∈ ℕ0)
151, 14fmpti 6980 1 𝐻:𝐴⟶ℕ0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  wcel 2109  {crab 3069  Vcvv 3430  cmpt 5161  ccnv 5587  cima 5591  wf 6426  cfv 6430  (class class class)co 7268  m cmap 8589  Fincfn 8707  0cc0 10855  cn 11956  0cn0 12216   Σg cgsu 17132  SubMndcsubmnd 18410  CMndccmn 19367  Ringcrg 19764  fldccnfld 20578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-addf 10934  ax-mulf 10935
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-supp 7962  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-map 8591  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-fsupp 9090  df-oi 9230  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-seq 13703  df-hash 14026  df-struct 16829  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-mulr 16957  df-starv 16958  df-tset 16962  df-ple 16963  df-ds 16965  df-unif 16966  df-0g 17133  df-gsum 17134  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-submnd 18412  df-grp 18561  df-minusg 18562  df-cntz 18904  df-cmn 19369  df-abl 19370  df-mgp 19702  df-ur 19719  df-ring 19766  df-cring 19767  df-cnfld 20579
This theorem is referenced by:  mdegleb  25210  mdeglt  25211  mdegldg  25212  mdegxrcl  25213  mdegcl  25215  mdegnn0cl  25217  mdegaddle  25220  mdegle0  25223  mdegmullem  25224
  Copyright terms: Public domain W3C validator