Theorem psrbagcon 21905

Description: The analogue of the statement "0 ≤ 𝐺 ≤ 𝐹 implies 0 ≤ 𝐹 − 𝐺 ≤ 𝐹 " for finite bags. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 5-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbagcon	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → ((𝐹 ∘f − 𝐺) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f − 𝐺) ∘r ≤ 𝐹))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝐺

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)

Proof of Theorem psrbagcon

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbag.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
2	1	psrbagf 21898	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
3	2	ffnd 6669	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 Fn 𝐼)
4	3	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐹 Fn 𝐼)
5		simp2 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
6	5	ffnd 6669	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐺 Fn 𝐼)
7		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 ∈ 𝐷)
8	7, 3	fndmexd 7855	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐼 ∈ V)
9	8	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐼 ∈ V)
10		inidm 4167	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
11	4, 6, 9, 9, 10	offn 7644	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → (𝐹 ∘f − 𝐺) Fn 𝐼)
12		eqidd 2737	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
13		eqidd 2737	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
14	4, 6, 9, 9, 10, 12, 13	ofval 7642	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
15		simp3 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐺 ∘r ≤ 𝐹)
16	6, 4, 9, 9, 10, 13, 12	ofrfval 7641	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → (𝐺 ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥)))
17	15, 16	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
18	17	r19.21bi 3229	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
19	5	ffvelcdmda 7036	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℕ0)
20	2	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
21	20	ffvelcdmda 7036	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℕ0)
22		nn0sub 12487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺‘𝑥) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℕ0))
23	19, 21, 22	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℕ0))
24	18, 23	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℕ0)
25	14, 24	eqeltrd 2836	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0)
26	25	ralrimiva 3129	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0)
27		ffnfv 7071	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∘f − 𝐺):𝐼⟶ℕ0 ↔ ((𝐹 ∘f − 𝐺) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0))
28	11, 26, 27	sylanbrc 584	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → (𝐹 ∘f − 𝐺):𝐼⟶ℕ0)
29		simp1 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐹 ∈ 𝐷)
30	1	psrbag 21897	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
31	9, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
32	29, 31	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
33	32	simprd 495	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)
34	19	nn0ge0d 12501	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ≤ (𝐺‘𝑥))
35	21	nn0red 12499	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
36	19	nn0red 12499	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
37	35, 36	subge02d 11742	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (0 ≤ (𝐺‘𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ≤ (𝐹‘𝑥)))
38	34, 37	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ≤ (𝐹‘𝑥))
39	38	ralrimiva 3129	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ≤ (𝐹‘𝑥))
40	11, 4, 9, 9, 10, 14, 12	ofrfval 7641	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → ((𝐹 ∘f − 𝐺) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ≤ (𝐹‘𝑥)))
41	39, 40	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → (𝐹 ∘f − 𝐺) ∘r ≤ 𝐹)
42	1	psrbaglesupp 21902	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f − 𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹 ∘f − 𝐺) ∘r ≤ 𝐹) → (◡(𝐹 ∘f − 𝐺) “ ℕ) ⊆ (◡𝐹 “ ℕ))
43	29, 28, 41, 42	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → (◡(𝐹 ∘f − 𝐺) “ ℕ) ⊆ (◡𝐹 “ ℕ))
44	33, 43	ssfid 9179	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → (◡(𝐹 ∘f − 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)
45	1	psrbag 21897	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ V → ((𝐹 ∘f − 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹 ∘f − 𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝐹 ∘f − 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)))
46	9, 45	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → ((𝐹 ∘f − 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹 ∘f − 𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝐹 ∘f − 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)))
47	28, 44, 46	mpbir2and 714	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → (𝐹 ∘f − 𝐺) ∈ 𝐷)
48	47, 41	jca 511	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → ((𝐹 ∘f − 𝐺) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f − 𝐺) ∘r ≤ 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  {crab 3389  Vcvv 3429   ⊆ wss 3889   class class class wbr 5085  ^◡ccnv 5630   “ cima 5634   Fn wfn 6493  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∘_f cof 7629   ∘_r cofr 7630   ↑_m cmap 8773  Fincfn 8893  0cc0 11038   ≤ cle 11180   − cmin 11377  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-ofr 7632  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438

This theorem is referenced by:  psrbagconcl  21907  gsumbagdiaglem  21910  rhmpsrlem2  21920  psrlidm  21940  psrridm  21941  psrass1  21942  psrcom  21946  psdmul  22132  mplmulmvr  33683  mplvrpmrhm  33691  esplyind  33719