Theorem psrbagcon 21885

Description: The analogue of the statement "0 ≤ 𝐺 ≤ 𝐹 implies 0 ≤ 𝐹 − 𝐺 ≤ 𝐹 " for finite bags. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 5-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbagcon	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → ((𝐹 ∘f − 𝐺) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f − 𝐺) ∘r ≤ 𝐹))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝐺

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)

Proof of Theorem psrbagcon

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbag.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
2	1	psrbagf 21878	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
3	2	ffnd 6707	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 Fn 𝐼)
4	3	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐹 Fn 𝐼)
5		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
6	5	ffnd 6707	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐺 Fn 𝐼)
7		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 ∈ 𝐷)
8	7, 3	fndmexd 7900	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐼 ∈ V)
9	8	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐼 ∈ V)
10		inidm 4202	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
11	4, 6, 9, 9, 10	offn 7684	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → (𝐹 ∘f − 𝐺) Fn 𝐼)
12		eqidd 2736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
13		eqidd 2736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
14	4, 6, 9, 9, 10, 12, 13	ofval 7682	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
15		simp3 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐺 ∘r ≤ 𝐹)
16	6, 4, 9, 9, 10, 13, 12	ofrfval 7681	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → (𝐺 ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥)))
17	15, 16	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
18	17	r19.21bi 3234	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
19	5	ffvelcdmda 7074	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℕ0)
20	2	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
21	20	ffvelcdmda 7074	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℕ0)
22		nn0sub 12551	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺‘𝑥) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℕ0))
23	19, 21, 22	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℕ0))
24	18, 23	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℕ0)
25	14, 24	eqeltrd 2834	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0)
26	25	ralrimiva 3132	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0)
27		ffnfv 7109	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∘f − 𝐺):𝐼⟶ℕ0 ↔ ((𝐹 ∘f − 𝐺) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0))
28	11, 26, 27	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → (𝐹 ∘f − 𝐺):𝐼⟶ℕ0)
29		simp1 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐹 ∈ 𝐷)
30	1	psrbag 21877	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
31	9, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
32	29, 31	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
33	32	simprd 495	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)
34	19	nn0ge0d 12565	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ≤ (𝐺‘𝑥))
35	21	nn0red 12563	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
36	19	nn0red 12563	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
37	35, 36	subge02d 11829	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (0 ≤ (𝐺‘𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ≤ (𝐹‘𝑥)))
38	34, 37	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ≤ (𝐹‘𝑥))
39	38	ralrimiva 3132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ≤ (𝐹‘𝑥))
40	11, 4, 9, 9, 10, 14, 12	ofrfval 7681	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → ((𝐹 ∘f − 𝐺) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ≤ (𝐹‘𝑥)))
41	39, 40	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → (𝐹 ∘f − 𝐺) ∘r ≤ 𝐹)
42	1	psrbaglesupp 21882	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f − 𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹 ∘f − 𝐺) ∘r ≤ 𝐹) → (◡(𝐹 ∘f − 𝐺) “ ℕ) ⊆ (◡𝐹 “ ℕ))
43	29, 28, 41, 42	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → (◡(𝐹 ∘f − 𝐺) “ ℕ) ⊆ (◡𝐹 “ ℕ))
44	33, 43	ssfid 9273	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → (◡(𝐹 ∘f − 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)
45	1	psrbag 21877	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ V → ((𝐹 ∘f − 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹 ∘f − 𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝐹 ∘f − 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)))
46	9, 45	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → ((𝐹 ∘f − 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹 ∘f − 𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝐹 ∘f − 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)))
47	28, 44, 46	mpbir2and 713	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → (𝐹 ∘f − 𝐺) ∈ 𝐷)
48	47, 41	jca 511	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → ((𝐹 ∘f − 𝐺) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f − 𝐺) ∘r ≤ 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  {crab 3415  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119  ^◡ccnv 5653   “ cima 5657   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ∘_f cof 7669   ∘_r cofr 7670   ↑_m cmap 8840  Fincfn 8959  0cc0 11129   ≤ cle 11270   − cmin 11466  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-ofr 7672  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502

This theorem is referenced by:  psrbagconcl  21887  gsumbagdiaglem  21890  rhmpsrlem2  21901  psrlidm  21922  psrridm  21923  psrass1  21924  psrcom  21928  psdmul  22104