MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagcon Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psrbagcon 21824
Description: The analogue of the statement "0 ≀ 𝐺 ≀ 𝐹 implies 0 ≀ 𝐹 βˆ’ 𝐺 ≀ 𝐹 " for finite bags. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 5-Aug-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbagcon ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) ∘r ≀ 𝐹))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝐼
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)
Proof of Theorem psrbagcon
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrbag.d . . . . . . . 8 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
21psrbagf 21812 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
32ffnd 6712 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
433ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
5 simp2 1134 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0)
65ffnd 6712 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝐺 Fn 𝐼)
7 id 22 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
87, 3fndmexd 7894 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ 𝐼 ∈ V)
983ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝐼 ∈ V)
10 inidm 4213 . . . . 5 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
114, 6, 9, 9, 10offn 7680 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) Fn 𝐼)
12 eqidd 2727 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
13 eqidd 2727 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
144, 6, 9, 9, 10, 12, 13ofval 7678 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)))
15 simp3 1135 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)
166, 4, 9, 9, 10, 13, 12ofrfval 7677 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (𝐺 ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
1715, 16mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
1817r19.21bi 3242 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
195ffvelcdmda 7080 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„•0)
2023ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
2120ffvelcdmda 7080 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„•0)
22 nn0sub 12526 . . . . . . . 8 (((πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„•0 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ β„•0))
2319, 21, 22syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ β„•0))
2418, 23mpbid 231 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ β„•0)
2514, 24eqeltrd 2827 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
2625ralrimiva 3140 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
27 ffnfv 7114 . . . 4 ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺):πΌβŸΆβ„•0 ↔ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ β„•0))
2811, 26, 27sylanbrc 582 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺):πΌβŸΆβ„•0)
29 simp1 1133 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
301psrbag 21811 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ V β†’ (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin)))
319, 30syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin)))
3229, 31mpbid 231 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (𝐹:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin))
3332simprd 495 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin)
3419nn0ge0d 12539 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘₯))
3521nn0red 12537 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
3619nn0red 12537 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
3735, 36subge02d 11810 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (0 ≀ (πΊβ€˜π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3834, 37mpbid 231 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
3938ralrimiva 3140 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
4011, 4, 9, 9, 10, 14, 12ofrfval 7677 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
4139, 40mpbird 257 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) ∘r ≀ 𝐹)
421psrbaglesupp 21818 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺):πΌβŸΆβ„•0 ∧ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) ∘r ≀ 𝐹) β†’ (β—‘(𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) β€œ β„•) βŠ† (◑𝐹 β€œ β„•))
4329, 28, 41, 42syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (β—‘(𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) β€œ β„•) βŠ† (◑𝐹 β€œ β„•))
4433, 43ssfid 9269 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (β—‘(𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) β€œ β„•) ∈ Fin)
451psrbag 21811 . . . 4 (𝐼 ∈ V β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺):πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘(𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) β€œ β„•) ∈ Fin)))
469, 45syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺):πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘(𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) β€œ β„•) ∈ Fin)))
4728, 44, 46mpbir2and 710 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) ∈ 𝐷)
4847, 41jca 511 1 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) ∘r ≀ 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  {crab 3426  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141  β—‘ccnv 5668   β€œ cima 5672   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘f cof 7665   ∘r cofr 7666   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941  0cc0 11112   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477
This theorem is referenced by:  psrbagconcl  21828  gsumbagdiaglem  21835  psrmulcllem  21848  psrlidm  21865  psrridm  21866  psrass1  21867  psrcom  21871  rhmmpllem2  41679  rhmcomulmpl  41681
  Copyright terms: Public domain W3C validator