Theorem psrbagcon 22263

Description: The analogue of the statement "0 ≤ 𝐺 ≤ 𝐹 implies 0 ≤ 𝐹 − 𝐺 ≤ 𝐹 " for finite bags. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 5-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbagcon	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → ((𝐹 ∘f − 𝐺) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f − 𝐺) ∘r ≤ 𝐹))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝐺

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)

Proof of Theorem psrbagcon

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbag.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
2	1	psrbagf 22256	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
3	2	ffnd 6732	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 Fn 𝐼)
4	3	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐹 Fn 𝐼)
5		simp2 1155	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
6	5	ffnd 6732	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐺 Fn 𝐼)
7		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 ∈ 𝐷)
8	7, 3	fndmexd 7940	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐼 ∈ V)
9	8	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐼 ∈ V)
10		inidm 4126	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
11	4, 6, 9, 9, 10	offn 7730	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → (𝐹 ∘f − 𝐺) Fn 𝐼)
12		eqidd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
13		eqidd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
14	4, 6, 9, 9, 10, 12, 13	ofval 7728	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
15		simp3 1156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐺 ∘r ≤ 𝐹)
16	6, 4, 9, 9, 10, 13, 12	ofrfval 7727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → (𝐺 ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥)))
17	15, 16	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
18	17	r19.21bi 3258	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
19	5	ffvelcdmda 7108	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℕ0)
20	2	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
21	20	ffvelcdmda 7108	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℕ0)
22		nn0sub 12683	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺‘𝑥) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℕ0))
23	19, 21, 22	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℕ0))
24	18, 23	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℕ0)
25	14, 24	eqeltrd 2864	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0)
26	25	ralrimiva 3158	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0)
27		ffnfv 7143	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∘f − 𝐺):𝐼⟶ℕ0 ↔ ((𝐹 ∘f − 𝐺) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0))
28	11, 26, 27	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → (𝐹 ∘f − 𝐺):𝐼⟶ℕ0)
29		simp1 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐹 ∈ 𝐷)
30	1	psrbag 22255	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
31	9, 30	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
32	29, 31	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
33	32	simprd 501	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)
34	19	nn0ge0d 12697	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ≤ (𝐺‘𝑥))
35	21	nn0red 12695	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
36	19	nn0red 12695	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
37	35, 36	subge02d 11935	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (0 ≤ (𝐺‘𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ≤ (𝐹‘𝑥)))
38	34, 37	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ≤ (𝐹‘𝑥))
39	38	ralrimiva 3158	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ≤ (𝐹‘𝑥))
40	11, 4, 9, 9, 10, 14, 12	ofrfval 7727	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → ((𝐹 ∘f − 𝐺) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ≤ (𝐹‘𝑥)))
41	39, 40	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → (𝐹 ∘f − 𝐺) ∘r ≤ 𝐹)
42	1	psrbaglesupp 22260	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f − 𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹 ∘f − 𝐺) ∘r ≤ 𝐹) → (◡(𝐹 ∘f − 𝐺) “ ℕ) ⊆ (◡𝐹 “ ℕ))
43	29, 28, 41, 42	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → (◡(𝐹 ∘f − 𝐺) “ ℕ) ⊆ (◡𝐹 “ ℕ))
44	33, 43	ssfid 9288	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → (◡(𝐹 ∘f − 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)
45	1	psrbag 22255	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ V → ((𝐹 ∘f − 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹 ∘f − 𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝐹 ∘f − 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)))
46	9, 45	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → ((𝐹 ∘f − 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹 ∘f − 𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝐹 ∘f − 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)))
47	28, 44, 46	mpbir2and 726	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → (𝐹 ∘f − 𝐺) ∈ 𝐷)
48	47, 41	jca 521	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹) → ((𝐹 ∘f − 𝐺) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f − 𝐺) ∘r ≤ 𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106  ^◡ccnv 5654   “ cima 5658   Fn wfn 6553  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ∘_f cof 7715   ∘_r cofr 7716   ↑_m cmap 8875  Fincfn 9001  0cc0 11227   ≤ cle 11371   − cmin 11568  ℕcn 12362  ℕ₀cn0 12633

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-ofr 7718  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-n0 12634

This theorem is used by:  psrbagconcl  22265  gsumbagdiaglem  22269  rhmpsrlem2  22279  psrlidm  22299  psrridm  22300  psrass1  22301  psrcom  22305  psdmul  22517  selvply1rhmlemb  34221  mplmulmvr  34241  mplvrpmrhm  34249  esplyind  34277