MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagcon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbagcon 21945
Description: The analogue of the statement "0 ≤ 𝐺𝐹 implies 0 ≤ 𝐹𝐺𝐹 " for finite bags. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 5-Aug-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbagcon ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → ((𝐹f𝐺) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹f𝐺) ∘r𝐹))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝐺
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)

Proof of Theorem psrbagcon
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrbag.d . . . . . . . 8 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
21psrbagf 21938 . . . . . . 7 (𝐹𝐷𝐹:𝐼⟶ℕ0)
32ffnd 6737 . . . . . 6 (𝐹𝐷𝐹 Fn 𝐼)
433ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → 𝐹 Fn 𝐼)
5 simp2 1138 . . . . . 6 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
65ffnd 6737 . . . . 5 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → 𝐺 Fn 𝐼)
7 id 22 . . . . . . 7 (𝐹𝐷𝐹𝐷)
87, 3fndmexd 7926 . . . . . 6 (𝐹𝐷𝐼 ∈ V)
983ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → 𝐼 ∈ V)
10 inidm 4227 . . . . 5 (𝐼𝐼) = 𝐼
114, 6, 9, 9, 10offn 7710 . . . 4 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → (𝐹f𝐺) Fn 𝐼)
12 eqidd 2738 . . . . . . 7 (((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
13 eqidd 2738 . . . . . . 7 (((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
144, 6, 9, 9, 10, 12, 13ofval 7708 . . . . . 6 (((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐹f𝐺)‘𝑥) = ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))
15 simp3 1139 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → 𝐺r𝐹)
166, 4, 9, 9, 10, 13, 12ofrfval 7707 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → (𝐺r𝐹 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥)))
1715, 16mpbid 232 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → ∀𝑥𝐼 (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
1817r19.21bi 3251 . . . . . . 7 (((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
195ffvelcdmda 7104 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ ℕ0)
2023ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
2120ffvelcdmda 7104 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ ℕ0)
22 nn0sub 12576 . . . . . . . 8 (((𝐺𝑥) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ∈ ℕ0))
2319, 21, 22syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ∈ ℕ0))
2418, 23mpbid 232 . . . . . 6 (((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ∈ ℕ0)
2514, 24eqeltrd 2841 . . . . 5 (((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐹f𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0)
2625ralrimiva 3146 . . . 4 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → ∀𝑥𝐼 ((𝐹f𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0)
27 ffnfv 7139 . . . 4 ((𝐹f𝐺):𝐼⟶ℕ0 ↔ ((𝐹f𝐺) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 ((𝐹f𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0))
2811, 26, 27sylanbrc 583 . . 3 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → (𝐹f𝐺):𝐼⟶ℕ0)
29 simp1 1137 . . . . . 6 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → 𝐹𝐷)
301psrbag 21937 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ V → (𝐹𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
319, 30syl 17 . . . . . 6 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → (𝐹𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
3229, 31mpbid 232 . . . . 5 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
3332simprd 495 . . . 4 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)
3419nn0ge0d 12590 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) ∧ 𝑥𝐼) → 0 ≤ (𝐺𝑥))
3521nn0red 12588 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
3619nn0red 12588 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
3735, 36subge02d 11855 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) ∧ 𝑥𝐼) → (0 ≤ (𝐺𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥)))
3834, 37mpbid 232 . . . . . . 7 (((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥))
3938ralrimiva 3146 . . . . . 6 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → ∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥))
4011, 4, 9, 9, 10, 14, 12ofrfval 7707 . . . . . 6 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → ((𝐹f𝐺) ∘r𝐹 ↔ ∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥)))
4139, 40mpbird 257 . . . . 5 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → (𝐹f𝐺) ∘r𝐹)
421psrbaglesupp 21942 . . . . 5 ((𝐹𝐷 ∧ (𝐹f𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹f𝐺) ∘r𝐹) → ((𝐹f𝐺) “ ℕ) ⊆ (𝐹 “ ℕ))
4329, 28, 41, 42syl3anc 1373 . . . 4 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → ((𝐹f𝐺) “ ℕ) ⊆ (𝐹 “ ℕ))
4433, 43ssfid 9301 . . 3 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → ((𝐹f𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)
451psrbag 21937 . . . 4 (𝐼 ∈ V → ((𝐹f𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹f𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝐹f𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)))
469, 45syl 17 . . 3 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → ((𝐹f𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹f𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝐹f𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)))
4728, 44, 46mpbir2and 713 . 2 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → (𝐹f𝐺) ∈ 𝐷)
4847, 41jca 511 1 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → ((𝐹f𝐺) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹f𝐺) ∘r𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  {crab 3436  Vcvv 3480  wss 3951   class class class wbr 5143  ccnv 5684  cima 5688   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  r cofr 7696  m cmap 8866  Fincfn 8985  0cc0 11155  cle 11296  cmin 11492  cn 12266  0cn0 12526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527
This theorem is referenced by:  psrbagconcl  21947  gsumbagdiaglem  21950  rhmpsrlem2  21961  psrlidm  21982  psrridm  21983  psrass1  21984  psrcom  21988  psdmul  22170
  Copyright terms: Public domain W3C validator