Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagcon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbagcon 20612
 Description: The analogue of the statement "0 ≤ 𝐺 ≤ 𝐹 implies 0 ≤ 𝐹 − 𝐺 ≤ 𝐹 " for finite bags. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbagcon ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → ((𝐹f𝐺) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹f𝐺) ∘r𝐹))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrbagcon
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 1191 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → 𝐹𝐷)
2 psrbag.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
32psrbag 20605 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉 → (𝐹𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
43adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → (𝐹𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
51, 4mpbid 235 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
65simpld 498 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
76ffnd 6492 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → 𝐹 Fn 𝐼)
8 simpr2 1192 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
98ffnd 6492 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → 𝐺 Fn 𝐼)
10 simpl 486 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → 𝐼𝑉)
11 inidm 4148 . . . . 5 (𝐼𝐼) = 𝐼
127, 9, 10, 10, 11offn 7404 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → (𝐹f𝐺) Fn 𝐼)
13 eqidd 2802 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
14 eqidd 2802 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
157, 9, 10, 10, 11, 13, 14ofval 7402 . . . . . 6 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐹f𝐺)‘𝑥) = ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))
16 simpr3 1193 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → 𝐺r𝐹)
179, 7, 10, 10, 11, 14, 13ofrfval 7401 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → (𝐺r𝐹 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥)))
1816, 17mpbid 235 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → ∀𝑥𝐼 (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
1918r19.21bi 3176 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
208ffvelrnda 6832 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ ℕ0)
216ffvelrnda 6832 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ ℕ0)
22 nn0sub 11939 . . . . . . . 8 (((𝐺𝑥) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ∈ ℕ0))
2320, 21, 22syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ∈ ℕ0))
2419, 23mpbid 235 . . . . . 6 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ∈ ℕ0)
2515, 24eqeltrd 2893 . . . . 5 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐹f𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0)
2625ralrimiva 3152 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → ∀𝑥𝐼 ((𝐹f𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0)
27 ffnfv 6863 . . . 4 ((𝐹f𝐺):𝐼⟶ℕ0 ↔ ((𝐹f𝐺) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 ((𝐹f𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0))
2812, 26, 27sylanbrc 586 . . 3 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → (𝐹f𝐺):𝐼⟶ℕ0)
295simprd 499 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)
3020nn0ge0d 11950 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → 0 ≤ (𝐺𝑥))
31 nn0re 11898 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑥) ∈ ℕ0 → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
32 nn0re 11898 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑥) ∈ ℕ0 → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
33 subge02 11149 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑥) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐺𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥)))
3431, 32, 33syl2an 598 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑥) ∈ ℕ0 ∧ (𝐺𝑥) ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝐺𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥)))
3521, 20, 34syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → (0 ≤ (𝐺𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥)))
3630, 35mpbid 235 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥))
3736ralrimiva 3152 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → ∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥))
3812, 7, 10, 10, 11, 15, 13ofrfval 7401 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → ((𝐹f𝐺) ∘r𝐹 ↔ ∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥)))
3937, 38mpbird 260 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → (𝐹f𝐺) ∘r𝐹)
402psrbaglesupp 20609 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷 ∧ (𝐹f𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹f𝐺) ∘r𝐹)) → ((𝐹f𝐺) “ ℕ) ⊆ (𝐹 “ ℕ))
4110, 1, 28, 39, 40syl13anc 1369 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → ((𝐹f𝐺) “ ℕ) ⊆ (𝐹 “ ℕ))
4229, 41ssfid 8729 . . 3 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → ((𝐹f𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)
432psrbag 20605 . . . 4 (𝐼𝑉 → ((𝐹f𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹f𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝐹f𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)))
4443adantr 484 . . 3 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → ((𝐹f𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹f𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝐹f𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)))
4528, 42, 44mpbir2and 712 . 2 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → (𝐹f𝐺) ∈ 𝐷)
4645, 39jca 515 1 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → ((𝐹f𝐺) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹f𝐺) ∘r𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  {crab 3113   ⊆ wss 3884   class class class wbr 5033  ◡ccnv 5522   “ cima 5526   Fn wfn 6323  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ∘f cof 7391   ∘r cofr 7392   ↑m cmap 8393  Fincfn 8496  ℝcr 10529  0cc0 10530   ≤ cle 10669   − cmin 10863  ℕcn 11629  ℕ0cn0 11889 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-ofr 7394  df-om 7565  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-n0 11890 This theorem is referenced by:  psrbagconcl  20614  psrbagconf1o  20615  gsumbagdiaglem  20616  psrmulcllem  20628  psrlidm  20644  psrridm  20645  psrass1  20646  psrcom  20650
 Copyright terms: Public domain W3C validator