MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagcon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbagcon 21963
Description: The analogue of the statement "0 ≤ 𝐺𝐹 implies 0 ≤ 𝐹𝐺𝐹 " for finite bags. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 5-Aug-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbagcon ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → ((𝐹f𝐺) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹f𝐺) ∘r𝐹))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝐺
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)

Proof of Theorem psrbagcon
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrbag.d . . . . . . . 8 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
21psrbagf 21956 . . . . . . 7 (𝐹𝐷𝐹:𝐼⟶ℕ0)
32ffnd 6738 . . . . . 6 (𝐹𝐷𝐹 Fn 𝐼)
433ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → 𝐹 Fn 𝐼)
5 simp2 1136 . . . . . 6 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
65ffnd 6738 . . . . 5 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → 𝐺 Fn 𝐼)
7 id 22 . . . . . . 7 (𝐹𝐷𝐹𝐷)
87, 3fndmexd 7927 . . . . . 6 (𝐹𝐷𝐼 ∈ V)
983ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → 𝐼 ∈ V)
10 inidm 4235 . . . . 5 (𝐼𝐼) = 𝐼
114, 6, 9, 9, 10offn 7710 . . . 4 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → (𝐹f𝐺) Fn 𝐼)
12 eqidd 2736 . . . . . . 7 (((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
13 eqidd 2736 . . . . . . 7 (((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
144, 6, 9, 9, 10, 12, 13ofval 7708 . . . . . 6 (((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐹f𝐺)‘𝑥) = ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))
15 simp3 1137 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → 𝐺r𝐹)
166, 4, 9, 9, 10, 13, 12ofrfval 7707 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → (𝐺r𝐹 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥)))
1715, 16mpbid 232 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → ∀𝑥𝐼 (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
1817r19.21bi 3249 . . . . . . 7 (((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
195ffvelcdmda 7104 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ ℕ0)
2023ad2ant1 1132 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
2120ffvelcdmda 7104 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ ℕ0)
22 nn0sub 12574 . . . . . . . 8 (((𝐺𝑥) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ∈ ℕ0))
2319, 21, 22syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ∈ ℕ0))
2418, 23mpbid 232 . . . . . 6 (((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ∈ ℕ0)
2514, 24eqeltrd 2839 . . . . 5 (((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐹f𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0)
2625ralrimiva 3144 . . . 4 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → ∀𝑥𝐼 ((𝐹f𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0)
27 ffnfv 7139 . . . 4 ((𝐹f𝐺):𝐼⟶ℕ0 ↔ ((𝐹f𝐺) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 ((𝐹f𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0))
2811, 26, 27sylanbrc 583 . . 3 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → (𝐹f𝐺):𝐼⟶ℕ0)
29 simp1 1135 . . . . . 6 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → 𝐹𝐷)
301psrbag 21955 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ V → (𝐹𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
319, 30syl 17 . . . . . 6 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → (𝐹𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
3229, 31mpbid 232 . . . . 5 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
3332simprd 495 . . . 4 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)
3419nn0ge0d 12588 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) ∧ 𝑥𝐼) → 0 ≤ (𝐺𝑥))
3521nn0red 12586 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
3619nn0red 12586 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
3735, 36subge02d 11853 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) ∧ 𝑥𝐼) → (0 ≤ (𝐺𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥)))
3834, 37mpbid 232 . . . . . . 7 (((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥))
3938ralrimiva 3144 . . . . . 6 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → ∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥))
4011, 4, 9, 9, 10, 14, 12ofrfval 7707 . . . . . 6 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → ((𝐹f𝐺) ∘r𝐹 ↔ ∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥)))
4139, 40mpbird 257 . . . . 5 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → (𝐹f𝐺) ∘r𝐹)
421psrbaglesupp 21960 . . . . 5 ((𝐹𝐷 ∧ (𝐹f𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹f𝐺) ∘r𝐹) → ((𝐹f𝐺) “ ℕ) ⊆ (𝐹 “ ℕ))
4329, 28, 41, 42syl3anc 1370 . . . 4 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → ((𝐹f𝐺) “ ℕ) ⊆ (𝐹 “ ℕ))
4433, 43ssfid 9299 . . 3 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → ((𝐹f𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)
451psrbag 21955 . . . 4 (𝐼 ∈ V → ((𝐹f𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹f𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝐹f𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)))
469, 45syl 17 . . 3 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → ((𝐹f𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹f𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝐹f𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)))
4728, 44, 46mpbir2and 713 . 2 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → (𝐹f𝐺) ∈ 𝐷)
4847, 41jca 511 1 ((𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹) → ((𝐹f𝐺) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹f𝐺) ∘r𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  {crab 3433  Vcvv 3478  wss 3963   class class class wbr 5148  ccnv 5688  cima 5692   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695  r cofr 7696  m cmap 8865  Fincfn 8984  0cc0 11153  cle 11294  cmin 11490  cn 12264  0cn0 12524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525
This theorem is referenced by:  psrbagconcl  21965  gsumbagdiaglem  21968  rhmpsrlem2  21979  psrlidm  22000  psrridm  22001  psrass1  22002  psrcom  22006  psdmul  22188
  Copyright terms: Public domain W3C validator