MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagcon Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psrbagcon 21867
Description: The analogue of the statement "0 ≀ 𝐺 ≀ 𝐹 implies 0 ≀ 𝐹 βˆ’ 𝐺 ≀ 𝐹 " for finite bags. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 5-Aug-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbagcon ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) ∘r ≀ 𝐹))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝐺
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)
Proof of Theorem psrbagcon
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrbag.d . . . . . . . 8 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
21psrbagf 21855 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
32ffnd 6718 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
433ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
5 simp2 1134 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0)
65ffnd 6718 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝐺 Fn 𝐼)
7 id 22 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
87, 3fndmexd 7910 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ 𝐼 ∈ V)
983ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝐼 ∈ V)
10 inidm 4213 . . . . 5 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
114, 6, 9, 9, 10offn 7695 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) Fn 𝐼)
12 eqidd 2726 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
13 eqidd 2726 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
144, 6, 9, 9, 10, 12, 13ofval 7693 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)))
15 simp3 1135 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)
166, 4, 9, 9, 10, 13, 12ofrfval 7692 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (𝐺 ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
1715, 16mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
1817r19.21bi 3239 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
195ffvelcdmda 7089 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„•0)
2023ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
2120ffvelcdmda 7089 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„•0)
22 nn0sub 12552 . . . . . . . 8 (((πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„•0 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ β„•0))
2319, 21, 22syl2anc 582 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ β„•0))
2418, 23mpbid 231 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ β„•0)
2514, 24eqeltrd 2825 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
2625ralrimiva 3136 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
27 ffnfv 7124 . . . 4 ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺):πΌβŸΆβ„•0 ↔ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ β„•0))
2811, 26, 27sylanbrc 581 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺):πΌβŸΆβ„•0)
29 simp1 1133 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
301psrbag 21854 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ V β†’ (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin)))
319, 30syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin)))
3229, 31mpbid 231 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (𝐹:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin))
3332simprd 494 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin)
3419nn0ge0d 12565 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘₯))
3521nn0red 12563 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
3619nn0red 12563 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
3735, 36subge02d 11836 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (0 ≀ (πΊβ€˜π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3834, 37mpbid 231 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
3938ralrimiva 3136 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
4011, 4, 9, 9, 10, 14, 12ofrfval 7692 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
4139, 40mpbird 256 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) ∘r ≀ 𝐹)
421psrbaglesupp 21861 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺):πΌβŸΆβ„•0 ∧ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) ∘r ≀ 𝐹) β†’ (β—‘(𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) β€œ β„•) βŠ† (◑𝐹 β€œ β„•))
4329, 28, 41, 42syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (β—‘(𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) β€œ β„•) βŠ† (◑𝐹 β€œ β„•))
4433, 43ssfid 9290 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (β—‘(𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) β€œ β„•) ∈ Fin)
451psrbag 21854 . . . 4 (𝐼 ∈ V β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺):πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘(𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) β€œ β„•) ∈ Fin)))
469, 45syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺):πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘(𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) β€œ β„•) ∈ Fin)))
4728, 44, 46mpbir2and 711 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) ∈ 𝐷)
4847, 41jca 510 1 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) ∘r ≀ 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  {crab 3419  Vcvv 3463   βŠ† wss 3939   class class class wbr 5143  β—‘ccnv 5671   β€œ cima 5675   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   ∘f cof 7680   ∘r cofr 7681   ↑m cmap 8843  Fincfn 8962  0cc0 11138   ≀ cle 11279   βˆ’ cmin 11474  β„•cn 12242  β„•0cn0 12502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503
This theorem is referenced by:  psrbagconcl  21871  gsumbagdiaglem  21879  rhmpsrlem2  21890  psrlidm  21911  psrridm  21912  psrass1  21913  psrcom  21917  psdmul  22098
  Copyright terms: Public domain W3C validator