MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbag Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbag 20731
Description: Elementhood in the set of finite bags. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbag (𝐼𝑉 → (𝐹𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrbag
StepHypRef Expression
1 cnveq 5717 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹𝑓 = 𝐹)
21imaeq1d 5903 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 “ ℕ) = (𝐹 “ ℕ))
32eleq1d 2817 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ↔ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
4 psrbag.d . . 3 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
53, 4elrab2 3591 . 2 (𝐹𝐷 ↔ (𝐹 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
6 nn0ex 11983 . . . 4 0 ∈ V
7 elmapg 8451 . . . 4 ((ℕ0 ∈ V ∧ 𝐼𝑉) → (𝐹 ∈ (ℕ0m 𝐼) ↔ 𝐹:𝐼⟶ℕ0))
86, 7mpan 690 . . 3 (𝐼𝑉 → (𝐹 ∈ (ℕ0m 𝐼) ↔ 𝐹:𝐼⟶ℕ0))
98anbi1d 633 . 2 (𝐼𝑉 → ((𝐹 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin) ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
105, 9syl5bb 286 1 (𝐼𝑉 → (𝐹𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2113  {crab 3057  Vcvv 3398  ccnv 5525  cima 5529  wf 6336  (class class class)co 7171  m cmap 8438  Fincfn 8556  cn 11717  0cn0 11977
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480  ax-cnex 10672  ax-1cn 10674  ax-addcl 10676
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-om 7601  df-wrecs 7977  df-recs 8038  df-rdg 8076  df-map 8440  df-nn 11718  df-n0 11978
This theorem is referenced by:  psrbagfOLD  20733  psrbagfsupp  20734  psrbagfsuppOLD  20735  snifpsrbag  20736  psrbaglecl  20740  psrbagleclOLD  20741  psrbagaddcl  20742  psrbagaddclOLD  20743  psrbagcon  20744  psrbagconOLD  20745  psrbaglefiOLD  20747  mplcoe5lem  20851  mplcoe5  20852  mplbas2  20854  psrbag0  20875  psrbagsn  20876  evlslem3  20895  mhpmulcl  20944
  Copyright terms: Public domain W3C validator