Theorem psrbag 21873

Description: Elementhood in the set of finite bags. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbag	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrbag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnveq 5822	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ◡𝑓 = ◡𝐹)
2	1	imaeq1d 6018	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (◡𝑓 “ ℕ) = (◡𝐹 “ ℕ))
3	2	eleq1d 2821	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ↔ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
4		psrbag.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5	3, 4	elrab2 3649	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
6		nn0ex 12407	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
7		elmapg 8776	. . . 4 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ↔ 𝐹:𝐼⟶ℕ0))
8	6, 7	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ↔ 𝐹:𝐼⟶ℕ0))
9	8	anbi1d 631	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin) ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
10	5, 9	bitrid 283	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3399  Vcvv 3440  ^◡ccnv 5623   “ cima 5627  ⟶wf 6488  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-1cn 11084  ax-addcl 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-map 8765  df-nn 12146  df-n0 12402

This theorem is referenced by:  psrbagfsupp  21875  snifpsrbag  21876  psrbaglecl  21879  psrbagaddcl  21880  psrbagcon  21881  mplcoe5lem  21994  mplcoe5  21995  mplbas2  21997  psrbag0  22017  psrbagsn  22018  evlslem3  22035  mhpmulcl  22092  psrbagres  42799  evlselvlem  42829  evlselv  42830