MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbag Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psrbag 21850
Description: Elementhood in the set of finite bags. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbag (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑉(𝑓)
Proof of Theorem psrbag
StepHypRef Expression
1 cnveq 5876 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 β†’ ◑𝑓 = ◑𝐹)
21imaeq1d 6062 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 β†’ (◑𝑓 β€œ β„•) = (◑𝐹 β€œ β„•))
32eleq1d 2814 . . 3 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ↔ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin))
4 psrbag.d . . 3 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
53, 4elrab2 3685 . 2 (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∧ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin))
6 nn0ex 12509 . . . 4 β„•0 ∈ V
7 elmapg 8858 . . . 4 ((β„•0 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ↔ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0))
86, 7mpan 689 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐹 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ↔ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0))
98anbi1d 630 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ((𝐹 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∧ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin) ↔ (𝐹:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin)))
105, 9bitrid 283 1 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3429  Vcvv 3471  β—‘ccnv 5677   β€œ cima 5681  βŸΆwf 6544  (class class class)co 7420   ↑m cmap 8845  Fincfn 8964  β„•cn 12243  β„•0cn0 12503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-1cn 11197  ax-addcl 11199
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-map 8847  df-nn 12244  df-n0 12504
This theorem is referenced by:  psrbagfOLD  21852  psrbagfsupp  21853  psrbagfsuppOLD  21854  snifpsrbag  21855  psrbaglecl  21859  psrbagleclOLD  21860  psrbagaddcl  21861  psrbagaddclOLD  21862  psrbagcon  21863  psrbagconOLD  21864  psrbaglefiOLD  21866  mplcoe5lem  21977  mplcoe5  21978  mplbas2  21980  psrbag0  22006  psrbagsn  22007  evlslem3  22026  mhpmulcl  22073  psrbagres  41776  evlselvlem  41819  evlselv  41820
  Copyright terms: Public domain W3C validator