Theorem psrbag 21030

Description: Elementhood in the set of finite bags. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbag	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrbag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnveq 5771	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ◡𝑓 = ◡𝐹)
2	1	imaeq1d 5957	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (◡𝑓 “ ℕ) = (◡𝐹 “ ℕ))
3	2	eleq1d 2823	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ↔ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
4		psrbag.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5	3, 4	elrab2 3620	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
6		nn0ex 12169	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
7		elmapg 8586	. . . 4 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ↔ 𝐹:𝐼⟶ℕ0))
8	6, 7	mpan 686	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ↔ 𝐹:𝐼⟶ℕ0))
9	8	anbi1d 629	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin) ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
10	5, 9	syl5bb 282	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {crab 3067  Vcvv 3422  ^◡ccnv 5579   “ cima 5583  ⟶wf 6414  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573  Fincfn 8691  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-1cn 10860  ax-addcl 10862

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-map 8575  df-nn 11904  df-n0 12164

This theorem is referenced by:  psrbagfOLD  21032  psrbagfsupp  21033  psrbagfsuppOLD  21034  snifpsrbag  21035  psrbaglecl  21039  psrbagleclOLD  21040  psrbagaddcl  21041  psrbagaddclOLD  21042  psrbagcon  21043  psrbagconOLD  21044  psrbaglefiOLD  21046  mplcoe5lem  21150  mplcoe5  21151  mplbas2  21153  psrbag0  21180  psrbagsn  21181  evlslem3  21200  mhpmulcl  21249