MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbag Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbag 21955
Description: Elementhood in the set of finite bags. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbag (𝐼𝑉 → (𝐹𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrbag
StepHypRef Expression
1 cnveq 5887 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹𝑓 = 𝐹)
21imaeq1d 6079 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 “ ℕ) = (𝐹 “ ℕ))
32eleq1d 2824 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ↔ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
4 psrbag.d . . 3 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
53, 4elrab2 3698 . 2 (𝐹𝐷 ↔ (𝐹 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
6 nn0ex 12530 . . . 4 0 ∈ V
7 elmapg 8878 . . . 4 ((ℕ0 ∈ V ∧ 𝐼𝑉) → (𝐹 ∈ (ℕ0m 𝐼) ↔ 𝐹:𝐼⟶ℕ0))
86, 7mpan 690 . . 3 (𝐼𝑉 → (𝐹 ∈ (ℕ0m 𝐼) ↔ 𝐹:𝐼⟶ℕ0))
98anbi1d 631 . 2 (𝐼𝑉 → ((𝐹 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin) ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
105, 9bitrid 283 1 (𝐼𝑉 → (𝐹𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  Vcvv 3478  ccnv 5688  cima 5692  wf 6559  (class class class)co 7431  m cmap 8865  Fincfn 8984  cn 12264  0cn0 12524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-1cn 11211  ax-addcl 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-map 8867  df-nn 12265  df-n0 12525
This theorem is referenced by:  psrbagfsupp  21957  snifpsrbag  21958  psrbaglecl  21961  psrbagaddcl  21962  psrbagcon  21963  mplcoe5lem  22075  mplcoe5  22076  mplbas2  22078  psrbag0  22104  psrbagsn  22105  evlslem3  22122  mhpmulcl  22171  psrbagres  42533  evlselvlem  42573  evlselv  42574
  Copyright terms: Public domain W3C validator