MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbag Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbag 19579
Description: Elementhood in the set of finite bags. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbag (𝐼𝑉 → (𝐹𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrbag
StepHypRef Expression
1 cnveq 5434 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹𝑓 = 𝐹)
21imaeq1d 5606 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 “ ℕ) = (𝐹 “ ℕ))
32eleq1d 2835 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ↔ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
4 psrbag.d . . 3 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
53, 4elrab2 3518 . 2 (𝐹𝐷 ↔ (𝐹 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
6 nn0ex 11500 . . . 4 0 ∈ V
7 elmapg 8022 . . . 4 ((ℕ0 ∈ V ∧ 𝐼𝑉) → (𝐹 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ↔ 𝐹:𝐼⟶ℕ0))
86, 7mpan 670 . . 3 (𝐼𝑉 → (𝐹 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ↔ 𝐹:𝐼⟶ℕ0))
98anbi1d 615 . 2 (𝐼𝑉 → ((𝐹 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin) ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
105, 9syl5bb 272 1 (𝐼𝑉 → (𝐹𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  {crab 3065  Vcvv 3351  ccnv 5248  cima 5252  wf 6027  (class class class)co 6793  𝑚 cmap 8009  Fincfn 8109  cn 11222  0cn0 11494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-map 8011  df-nn 11223  df-n0 11495
This theorem is referenced by:  psrbagf  19580  snifpsrbag  19581  psrbaglecl  19584  psrbagaddcl  19585  psrbagcon  19586  psrbaglefi  19587  mplcoe5lem  19682  mplcoe5  19683  mplbas2  19685  psrbag0  19709  psrbagsn  19710  psrbagfsupp  19724  evlslem3  19729
  Copyright terms: Public domain W3C validator