Theorem readdcnnred 42359

Description: The sum of a real number and an imaginary number is not a real number. (Contributed by AV, 23-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
recnaddnred.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
recnaddnred.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ ℝ))

Assertion

Ref	Expression
readdcnnred	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∉ ℝ)

Proof of Theorem readdcnnred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recnaddnred.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
2	1	eldifbd 3805	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ ℝ)
3		df-nel 3076	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∉ ℝ ↔ ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4		recnaddnred.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	recnd 10407	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6	1	eldifad 3804	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
7	5, 6	addcld 10398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
8		reim0b 14272	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ↔ (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) = 0))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ↔ (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) = 0))
10	4	reim0d 14378	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) = 0)
11	10	oveq1d 6939	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)) = (0 + (ℑ‘𝐵)))
12	6	imcld 14348	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
13	12	recnd 10407	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
14	13	addid2d 10579	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 + (ℑ‘𝐵)) = (ℑ‘𝐵))
15	11, 14	eqtrd 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)) = (ℑ‘𝐵))
16	15	eqeq1d 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)) = 0 ↔ (ℑ‘𝐵) = 0))
17	5, 6	imaddd 14368	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)))
18	17	eqeq1d 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) = 0 ↔ ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)) = 0))
19		reim0b 14272	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐵) = 0))
20	6, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐵) = 0))
21	16, 18, 20	3bitr4d 303	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) = 0 ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
22	9, 21	bitrd 271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
23	22	notbid 310	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℝ))
24	3, 23	syl5bb 275	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) ∉ ℝ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℝ))
25	2, 24	mpbird 249	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∉ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ∉ wnel 3075   ∖ cdif 3789  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  ℂcc 10272  ℝcr 10273  0cc0 10274   + caddc 10277  ℑcim 14251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-po 5276  df-so 5277  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-2 11443  df-cj 14252  df-re 14253  df-im 14254

This theorem is referenced by:  requad01  42573