Theorem readdcnnred 43860

Description: The sum of a real number and an imaginary number is not a real number. (Contributed by AV, 23-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
recnaddnred.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
recnaddnred.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ ℝ))

Assertion

Ref	Expression
readdcnnred	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∉ ℝ)

Proof of Theorem readdcnnred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recnaddnred.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
2	1	eldifbd 3894	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ ℝ)
3		df-nel 3092	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∉ ℝ ↔ ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4		recnaddnred.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	recnd 10658	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6	1	eldifad 3893	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
7	5, 6	addcld 10649	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
8		reim0b 14470	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ↔ (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) = 0))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ↔ (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) = 0))
10	4	reim0d 14576	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) = 0)
11	10	oveq1d 7150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)) = (0 + (ℑ‘𝐵)))
12	6	imcld 14546	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
13	12	recnd 10658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
14	13	addid2d 10830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 + (ℑ‘𝐵)) = (ℑ‘𝐵))
15	11, 14	eqtrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)) = (ℑ‘𝐵))
16	15	eqeq1d 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)) = 0 ↔ (ℑ‘𝐵) = 0))
17	5, 6	imaddd 14566	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)))
18	17	eqeq1d 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) = 0 ↔ ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)) = 0))
19		reim0b 14470	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐵) = 0))
20	6, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐵) = 0))
21	16, 18, 20	3bitr4d 314	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) = 0 ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
22	9, 21	bitrd 282	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
23	22	notbid 321	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℝ))
24	3, 23	syl5bb 286	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) ∉ ℝ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℝ))
25	2, 24	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∉ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∉ wnel 3091   ∖ cdif 3878  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526   + caddc 10529  ℑcim 14449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-2 11688  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452

This theorem is referenced by:  requad01  44139