Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  readdcnnred Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: The sum of a real number and an imaginary number is not a real number. (Contributed by AV, 23-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
recnaddnred.b (𝜑𝐵 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
Assertion
Ref Expression
readdcnnred (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∉ ℝ)

StepHypRef Expression
1 recnaddnred.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
21eldifbd 3932 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ ℝ)
3 df-nel 3119 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) ∉ ℝ ↔ ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4 recnaddnred.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
54recnd 10667 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
61eldifad 3931 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
75, 6addcld 10658 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
8 reim0b 14478 . . . . . 6 ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ↔ (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) = 0))
97, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ↔ (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) = 0))
104reim0d 14584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℑ‘𝐴) = 0)
1110oveq1d 7164 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)) = (0 + (ℑ‘𝐵)))
126imcld 14554 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
1312recnd 10667 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
1413addid2d 10839 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 + (ℑ‘𝐵)) = (ℑ‘𝐵))
1511, 14eqtrd 2859 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)) = (ℑ‘𝐵))
1615eqeq1d 2826 . . . . . 6 (𝜑 → (((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)) = 0 ↔ (ℑ‘𝐵) = 0))
175, 6imaddd 14574 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)))
1817eqeq1d 2826 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) = 0 ↔ ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)) = 0))
19 reim0b 14478 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐵) = 0))
206, 19syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐵) = 0))
2116, 18, 203bitr4d 314 . . . . 5 (𝜑 → ((ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) = 0 ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
229, 21bitrd 282 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
2322notbid 321 . . 3 (𝜑 → (¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℝ))
243, 23syl5bb 286 . 2 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) ∉ ℝ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℝ))
252, 24mpbird 260 1 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∉ ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ∉ wnel 3118   ∖ cdif 3916  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  ℂcc 10533  ℝcr 10534  0cc0 10535   + caddc 10538  ℑcim 14457 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-po 5461  df-so 5462  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-2 11697  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460 This theorem is referenced by:  requad01  44069
 Copyright terms: Public domain W3C validator