Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  refdivpm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem refdivpm 45842
Description: The quotient of two functions into the real numbers is a partial function. (Contributed by AV, 16-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
refdivpm ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) ∈ (ℝ ↑pm 𝐴))

Proof of Theorem refdivpm
StepHypRef Expression
1 reex 10946 . . 3 ℝ ∈ V
21a1i 11 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) → ℝ ∈ V)
3 simp3 1136 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) → 𝐴𝑉)
4 refdivmptf 45840 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℝ)
5 suppssdm 7977 . . 3 (𝐺 supp 0) ⊆ dom 𝐺
6 fdm 6605 . . . . 5 (𝐺:𝐴⟶ℝ → dom 𝐺 = 𝐴)
76eqcomd 2745 . . . 4 (𝐺:𝐴⟶ℝ → 𝐴 = dom 𝐺)
873ad2ant2 1132 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) → 𝐴 = dom 𝐺)
95, 8sseqtrrid 3978 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴)
10 elpm2r 8607 . 2 (((ℝ ∈ V ∧ 𝐴𝑉) ∧ ((𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℝ ∧ (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴)) → (𝐹 /f 𝐺) ∈ (ℝ ↑pm 𝐴))
112, 3, 4, 9, 10syl22anc 835 1 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) ∈ (ℝ ↑pm 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1085   = wceq 1541  wcel 2109  Vcvv 3430  wss 3891  dom cdm 5588  wf 6426  (class class class)co 7268   supp csupp 7961  pm cpm 8590  cr 10854  0cc0 10855   /f cfdiv 45835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-supp 7962  df-er 8472  df-pm 8592  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-fdiv 45836
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator