MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  remul2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem remul2 15103
Description: Real part of a product. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
remul2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) = (𝐴 · (ℜ‘𝐵)))

Proof of Theorem remul2
StepHypRef Expression
1 recn 11222 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 remul 15102 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
31, 2sylan 579 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
4 rere 15095 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘𝐴) = 𝐴)
54adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐴) = 𝐴)
65oveq1d 7429 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) = (𝐴 · (ℜ‘𝐵)))
7 reim0 15091 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘𝐴) = 0)
87oveq1d 7429 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) = (0 · (ℑ‘𝐵)))
9 imcl 15084 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
109recnd 11266 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
1110mul02d 11436 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → (0 · (ℑ‘𝐵)) = 0)
128, 11sylan9eq 2788 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) = 0)
136, 12oveq12d 7432 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) = ((𝐴 · (ℜ‘𝐵)) − 0))
14 recl 15083 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
1514recnd 11266 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
16 mulcl 11216 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ)
171, 15, 16syl2an 595 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ)
1817subid1d 11584 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (ℜ‘𝐵)) − 0) = (𝐴 · (ℜ‘𝐵)))
193, 13, 183eqtrd 2772 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) = (𝐴 · (ℜ‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  cfv 6542  (class class class)co 7414  cc 11130  cr 11131  0cc0 11132   · cmul 11137  cmin 11468  cre 15070  cim 15071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-2 12299  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074
This theorem is referenced by:  rediv  15104  remul2d  15200  abscxp  26619  asinsin  26817
  Copyright terms: Public domain W3C validator