Theorem imcl 15073

Description: The imaginary part of a complex number is real. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
imcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem imcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imre 15070	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(-i · 𝐴)))
2		negicn 11394	. . . 4 ⊢ -i ∈ ℂ
3		mulcl 11122	. . . 4 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
5		recl 15072	. . 3 ⊢ ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (ℜ‘(-i · 𝐴)) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(-i · 𝐴)) ∈ ℝ)
7	1, 6	eqeltrd 2836	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  ici 11040   · cmul 11043  -cneg 11378  ℜcre 15059  ℑcim 15060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063

This theorem is referenced by:  imf  15075  remim  15079  mulre  15083  cjreb  15085  recj  15086  reneg  15087  readd  15088  remullem  15090  remul2  15092  imcj  15094  imneg  15095  imadd  15096  imsub  15097  immul2  15099  imdiv  15100  cjcj  15102  cjadd  15103  ipcnval  15105  cjmulval  15107  cjmulge0  15108  cjneg  15109  imval2  15113  cnrecnv  15127  imcli  15130  imcld  15157  absrele  15270  efeul  16129  absef  16164  absefib  16165  efieq1re  16166  cnsubrg  21407  mbfconst  25600  itgconst  25786  tanregt0  26503  ellogrn  26523  argimgt0  26576  argimlt0  26577  logneg2  26579  tanarg  26583  logf1o2  26614  logreclem  26726  asinlem3a  26834  asinlem3  26835  zetacvg  26978  ccfldextdgrr  33816  sqrtcval  44068  sigarls  47285