Theorem imcl 15283

Description: The imaginary part of a complex number is real. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
imcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem imcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imre 15280	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘( -i · 𝐴)))
2		negicn 11561	. . . 4 ⊢ -i ∈ ℂ
3		mulcl 11287	. . . 4 ⊢ (( -i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ( -i · 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -i · 𝐴) ∈ ℂ)
5		recl 15282	. . 3 ⊢ (( -i · 𝐴) ∈ ℂ → (ℜ‘( -i · 𝐴)) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘( -i · 𝐴)) ∈ ℝ)
7	1, 6	eqeltrd 2860	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  ℝcr 11202  ici 11205   · cmul 11208   -cneg 11545  ℜcre 15269  ℑcim 15270

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273

This theorem is used by:  imf  15285  remim  15289  mulre  15293  cjreb  15295  recj  15296  reneg  15297  readd  15298  remullem  15300  remul2  15302  imcj  15304  imneg  15305  imadd  15306  imsub  15307  immul2  15309  imdiv  15310  cjcj  15312  cjadd  15313  ipcnval  15315  cjmulval  15317  cjmulge0  15318  cjneg  15319  imval2  15323  cnrecnv  15337  imcli  15340  imcld  15367  absrele  15480  efeul  16335  absef  16370  absefib  16371  efieq1re  16372  cnsubrg  21738  mbfconst  25959  itgconst  26144  tanregt0  26872  ellogrn  26892  argimgt0  26945  argimlt0  26946  logneg2  26948  tanarg  26952  logf1o2  26983  logreclem  27095  asinlem3a  27203  asinlem3  27204  zetacvg  27347  ccfldextdgrr  34350  sqrtcval  44734  sigarls  47960