MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imcl 15084
Description: The imaginary part of a complex number is real. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
imcl (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)

Proof of Theorem imcl
StepHypRef Expression
1 imre 15081 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) = (โ„œโ€˜(-i ยท ๐ด)))
2 negicn 11485 . . . 4 -i โˆˆ โ„‚
3 mulcl 11216 . . . 4 ((-i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (-i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
42, 3mpan 689 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (-i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
5 recl 15083 . . 3 ((-i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜(-i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
64, 5syl 17 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜(-i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
71, 6eqeltrd 2829 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆˆ wcel 2099  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11130  โ„cr 11131  ici 11134   ยท cmul 11137  -cneg 11469  โ„œcre 15070  โ„‘cim 15071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-2 12299  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074
This theorem is referenced by:  imf  15086  remim  15090  mulre  15094  cjreb  15096  recj  15097  reneg  15098  readd  15099  remullem  15101  remul2  15103  imcj  15105  imneg  15106  imadd  15107  imsub  15108  immul2  15110  imdiv  15111  cjcj  15113  cjadd  15114  ipcnval  15116  cjmulval  15118  cjmulge0  15119  cjneg  15120  imval2  15124  cnrecnv  15138  imcli  15141  imcld  15168  absrele  15281  efeul  16132  absef  16167  absefib  16168  efieq1re  16169  cnsubrg  21353  mbfconst  25555  itgconst  25741  tanregt0  26466  ellogrn  26486  argimgt0  26539  argimlt0  26540  logneg2  26542  tanarg  26546  logf1o2  26577  logreclem  26687  asinlem3a  26795  asinlem3  26796  zetacvg  26940  ccfldextdgrr  33350  sqrtcval  43065  sigarls  46239
  Copyright terms: Public domain W3C validator