Theorem imcl 15310

Description: The imaginary part of a complex number is real. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
imcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem imcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imre 15307	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘( -i · 𝐴)))
2		negicn 11588	. . . 4 ⊢ -i ∈ ℂ
3		mulcl 11314	. . . 4 ⊢ (( -i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ( -i · 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -i · 𝐴) ∈ ℂ)
5		recl 15309	. . 3 ⊢ (( -i · 𝐴) ∈ ℂ → (ℜ‘( -i · 𝐴)) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘( -i · 𝐴)) ∈ ℝ)
7	1, 6	eqeltrd 2864	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℂcc 11228  ℝcr 11229  ici 11232   · cmul 11235   -cneg 11572  ℜcre 15296  ℑcim 15297

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300

This theorem is used by:  imf  15312  remim  15316  mulre  15320  cjreb  15322  recj  15323  reneg  15324  readd  15325  remullem  15327  remul2  15329  imcj  15331  imneg  15332  imadd  15333  imsub  15334  immul2  15336  imdiv  15337  cjcj  15339  cjadd  15340  ipcnval  15342  cjmulval  15344  cjmulge0  15345  cjneg  15346  imval2  15350  cnrecnv  15364  imcli  15367  imcld  15394  absrele  15507  efeul  16362  absef  16397  absefib  16398  efieq1re  16399  cnsubrg  21766  mbfconst  25987  itgconst  26172  tanregt0  26900  ellogrn  26920  argimgt0  26973  argimlt0  26974  logneg2  26976  tanarg  26980  logf1o2  27011  logreclem  27123  asinlem3a  27231  asinlem3  27232  zetacvg  27375  ccfldextdgrr  34387  sqrtcval  44844  sigarls  48082