Theorem imcl 14292

Description: The imaginary part of a complex number is real. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
imcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem imcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imre 14289	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(-i · 𝐴)))
2		negicn 10723	. . . 4 ⊢ -i ∈ ℂ
3		mulcl 10456	. . . 4 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 686	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
5		recl 14291	. . 3 ⊢ ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (ℜ‘(-i · 𝐴)) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(-i · 𝐴)) ∈ ℝ)
7	1, 6	eqeltrd 2881	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2079  ‘cfv 6217  (class class class)co 7007  ℂcc 10370  ℝcr 10371  ici 10374   · cmul 10377  -cneg 10707  ℜcre 14278  ℑcim 14279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-op 4473  df-uni 4740  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-id 5340  df-po 5354  df-so 5355  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-2 11537  df-cj 14280  df-re 14281  df-im 14282

This theorem is referenced by:  imf  14294  remim  14298  mulre  14302  cjreb  14304  recj  14305  reneg  14306  readd  14307  remullem  14309  remul2  14311  imcj  14313  imneg  14314  imadd  14315  imsub  14316  immul2  14318  imdiv  14319  cjcj  14321  cjadd  14322  ipcnval  14324  cjmulval  14326  cjmulge0  14327  cjneg  14328  imval2  14332  cnrecnv  14346  imcli  14349  imcld  14376  absrele  14490  efeul  15336  absef  15371  absefib  15372  efieq1re  15373  cnsubrg  20275  mbfconst  23905  itgconst  24090  tanregt0  24792  ellogrn  24812  argimgt0  24864  argimlt0  24865  logneg2  24867  tanarg  24871  logf1o2  24902  logreclem  25009  asinlem3a  25117  asinlem3  25118  zetacvg  25262  ccfldextdgrr  30616  sigarls  42610