Theorem imcl 15279

Description: The imaginary part of a complex number is real. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
imcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem imcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imre 15276	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘( -i · 𝐴)))
2		negicn 11559	. . . 4 ⊢ -i ∈ ℂ
3		mulcl 11285	. . . 4 ⊢ (( -i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ( -i · 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -i · 𝐴) ∈ ℂ)
5		recl 15278	. . 3 ⊢ (( -i · 𝐴) ∈ ℂ → (ℜ‘( -i · 𝐴)) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘( -i · 𝐴)) ∈ ℝ)
7	1, 6	eqeltrd 2861	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℂcc 11199  ℝcr 11200  ici 11203   · cmul 11206   -cneg 11543  ℜcre 15265  ℑcim 15266

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269

This theorem is used by:  imf  15281  remim  15285  mulre  15289  cjreb  15291  recj  15292  reneg  15293  readd  15294  remullem  15296  remul2  15298  imcj  15300  imneg  15301  imadd  15302  imsub  15303  immul2  15305  imdiv  15306  cjcj  15308  cjadd  15309  ipcnval  15311  cjmulval  15313  cjmulge0  15314  cjneg  15315  imval2  15319  cnrecnv  15333  imcli  15336  imcld  15363  absrele  15476  efeul  16331  absef  16366  absefib  16367  efieq1re  16368  cnsubrg  21734  mbfconst  25955  itgconst  26140  tanregt0  26868  ellogrn  26888  argimgt0  26941  argimlt0  26942  logneg2  26944  tanarg  26948  logf1o2  26979  logreclem  27091  asinlem3a  27199  asinlem3  27200  zetacvg  27343  ccfldextdgrr  34305  sqrtcval  44642  sigarls  47868