MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reim0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reim0 15067
Description: The imaginary part of a real number is 0. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
reim0 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) = 0)

Proof of Theorem reim0
StepHypRef Expression
1 recn 11197 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 it0e0 12433 . . . . . 6 (i ยท 0) = 0
32oveq2i 7413 . . . . 5 (๐ด + (i ยท 0)) = (๐ด + 0)
4 addrid 11393 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด + 0) = ๐ด)
53, 4eqtrid 2776 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด + (i ยท 0)) = ๐ด)
61, 5syl 17 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด + (i ยท 0)) = ๐ด)
76fveq2d 6886 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โ„‘โ€˜(๐ด + (i ยท 0))) = (โ„‘โ€˜๐ด))
8 0re 11215 . . 3 0 โˆˆ โ„
9 crim 15064 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐ด + (i ยท 0))) = 0)
108, 9mpan2 688 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โ„‘โ€˜(๐ด + (i ยท 0))) = 0)
117, 10eqtr3d 2766 1 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  โ„‚cc 11105  โ„cr 11106  0cc0 11107  ici 11109   + caddc 11110   ยท cmul 11112  โ„‘cim 15047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-2 12274  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050
This theorem is referenced by:  reim0b  15068  rereb  15069  remul2  15079  immul2  15086  im0  15102  im1  15104  reim0d  15174  sqrtneglem  15215  rlimrecl  15526  recld2  24674  relogrn  26435  logrnaddcl  26448
  Copyright terms: Public domain W3C validator