MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rediv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rediv 15110
Description: Real part of a division. Related to remul2 15109. (Contributed by David A. Wheeler, 10-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
rediv ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด / ๐ต)) = ((โ„œโ€˜๐ด) / ๐ต))

Proof of Theorem rediv
StepHypRef Expression
1 ancom 460 . . . . 5 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0)))
2 3anass 1093 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0)))
31, 2bitr4i 278 . . . 4 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0))
4 rereccl 11962 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (1 / ๐ต) โˆˆ โ„)
54anim1i 614 . . . 4 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 / ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚))
63, 5sylbir 234 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((1 / ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚))
7 remul2 15109 . . 3 (((1 / ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜((1 / ๐ต) ยท ๐ด)) = ((1 / ๐ต) ยท (โ„œโ€˜๐ด)))
86, 7syl 17 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (โ„œโ€˜((1 / ๐ต) ยท ๐ด)) = ((1 / ๐ต) ยท (โ„œโ€˜๐ด)))
9 recn 11228 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
10 divrec2 11919 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด / ๐ต) = ((1 / ๐ต) ยท ๐ด))
1110fveq2d 6901 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด / ๐ต)) = (โ„œโ€˜((1 / ๐ต) ยท ๐ด)))
129, 11syl3an2 1162 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด / ๐ต)) = (โ„œโ€˜((1 / ๐ต) ยท ๐ด)))
13 recl 15089 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
1413recnd 11272 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
15143ad2ant1 1131 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
1693ad2ant2 1132 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
17 simp3 1136 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ต โ‰  0)
1815, 16, 17divrec2d 12024 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) / ๐ต) = ((1 / ๐ต) ยท (โ„œโ€˜๐ด)))
198, 12, 183eqtr4d 2778 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด / ๐ต)) = ((โ„œโ€˜๐ด) / ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2937  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11136  โ„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   ยท cmul 11143   / cdiv 11901  โ„œcre 15076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-2 12305  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080
This theorem is referenced by:  redivd  15208
  Copyright terms: Public domain W3C validator