MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rediv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rediv 15074
Description: Real part of a division. Related to remul2 15073. (Contributed by David A. Wheeler, 10-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
rediv ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด / ๐ต)) = ((โ„œโ€˜๐ด) / ๐ต))

Proof of Theorem rediv
StepHypRef Expression
1 ancom 461 . . . . 5 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0)))
2 3anass 1095 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0)))
31, 2bitr4i 277 . . . 4 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0))
4 rereccl 11928 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (1 / ๐ต) โˆˆ โ„)
54anim1i 615 . . . 4 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 / ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚))
63, 5sylbir 234 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((1 / ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚))
7 remul2 15073 . . 3 (((1 / ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜((1 / ๐ต) ยท ๐ด)) = ((1 / ๐ต) ยท (โ„œโ€˜๐ด)))
86, 7syl 17 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (โ„œโ€˜((1 / ๐ต) ยท ๐ด)) = ((1 / ๐ต) ยท (โ„œโ€˜๐ด)))
9 recn 11196 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
10 divrec2 11885 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด / ๐ต) = ((1 / ๐ต) ยท ๐ด))
1110fveq2d 6892 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด / ๐ต)) = (โ„œโ€˜((1 / ๐ต) ยท ๐ด)))
129, 11syl3an2 1164 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด / ๐ต)) = (โ„œโ€˜((1 / ๐ต) ยท ๐ด)))
13 recl 15053 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
1413recnd 11238 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
15143ad2ant1 1133 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
1693ad2ant2 1134 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
17 simp3 1138 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ต โ‰  0)
1815, 16, 17divrec2d 11990 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) / ๐ต) = ((1 / ๐ต) ยท (โ„œโ€˜๐ด)))
198, 12, 183eqtr4d 2782 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด / ๐ต)) = ((โ„œโ€˜๐ด) / ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11104  โ„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   ยท cmul 11111   / cdiv 11867  โ„œcre 15040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-2 12271  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044
This theorem is referenced by:  redivd  15172
  Copyright terms: Public domain W3C validator