![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > rediv | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Real part of a division. Related to remul2 15109. (Contributed by David A. Wheeler, 10-Jun-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
rediv | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (โโ(๐ด / ๐ต)) = ((โโ๐ด) / ๐ต)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ancom 460 | . . . . 5 โข (((๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โง ๐ด โ โ) โ (๐ด โ โ โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0))) | |
2 | 3anass 1093 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (๐ด โ โ โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0))) | |
3 | 1, 2 | bitr4i 278 | . . . 4 โข (((๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โง ๐ด โ โ) โ (๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0)) |
4 | rereccl 11962 | . . . . 5 โข ((๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (1 / ๐ต) โ โ) | |
5 | 4 | anim1i 614 | . . . 4 โข (((๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โง ๐ด โ โ) โ ((1 / ๐ต) โ โ โง ๐ด โ โ)) |
6 | 3, 5 | sylbir 234 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ ((1 / ๐ต) โ โ โง ๐ด โ โ)) |
7 | remul2 15109 | . . 3 โข (((1 / ๐ต) โ โ โง ๐ด โ โ) โ (โโ((1 / ๐ต) ยท ๐ด)) = ((1 / ๐ต) ยท (โโ๐ด))) | |
8 | 6, 7 | syl 17 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (โโ((1 / ๐ต) ยท ๐ด)) = ((1 / ๐ต) ยท (โโ๐ด))) |
9 | recn 11228 | . . 3 โข (๐ต โ โ โ ๐ต โ โ) | |
10 | divrec2 11919 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (๐ด / ๐ต) = ((1 / ๐ต) ยท ๐ด)) | |
11 | 10 | fveq2d 6901 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (โโ(๐ด / ๐ต)) = (โโ((1 / ๐ต) ยท ๐ด))) |
12 | 9, 11 | syl3an2 1162 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (โโ(๐ด / ๐ต)) = (โโ((1 / ๐ต) ยท ๐ด))) |
13 | recl 15089 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ (โโ๐ด) โ โ) | |
14 | 13 | recnd 11272 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ (โโ๐ด) โ โ) |
15 | 14 | 3ad2ant1 1131 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (โโ๐ด) โ โ) |
16 | 9 | 3ad2ant2 1132 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ ๐ต โ โ) |
17 | simp3 1136 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ ๐ต โ 0) | |
18 | 15, 16, 17 | divrec2d 12024 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ ((โโ๐ด) / ๐ต) = ((1 / ๐ต) ยท (โโ๐ด))) |
19 | 8, 12, 18 | 3eqtr4d 2778 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (โโ(๐ด / ๐ต)) = ((โโ๐ด) / ๐ต)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 โง w3a 1085 = wceq 1534 โ wcel 2099 โ wne 2937 โcfv 6548 (class class class)co 7420 โcc 11136 โcr 11137 0cc0 11138 1c1 11139 ยท cmul 11143 / cdiv 11901 โcre 15076 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5429 ax-un 7740 ax-resscn 11195 ax-1cn 11196 ax-icn 11197 ax-addcl 11198 ax-addrcl 11199 ax-mulcl 11200 ax-mulrcl 11201 ax-mulcom 11202 ax-addass 11203 ax-mulass 11204 ax-distr 11205 ax-i2m1 11206 ax-1ne0 11207 ax-1rid 11208 ax-rnegex 11209 ax-rrecex 11210 ax-cnre 11211 ax-pre-lttri 11212 ax-pre-lttrn 11213 ax-pre-ltadd 11214 ax-pre-mulgt0 11215 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3373 df-reu 3374 df-rab 3430 df-v 3473 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4909 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-id 5576 df-po 5590 df-so 5591 df-xp 5684 df-rel 5685 df-cnv 5686 df-co 5687 df-dm 5688 df-rn 5689 df-res 5690 df-ima 5691 df-iota 6500 df-fun 6550 df-fn 6551 df-f 6552 df-f1 6553 df-fo 6554 df-f1o 6555 df-fv 6556 df-riota 7376 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-er 8724 df-en 8964 df-dom 8965 df-sdom 8966 df-pnf 11280 df-mnf 11281 df-xr 11282 df-ltxr 11283 df-le 11284 df-sub 11476 df-neg 11477 df-div 11902 df-2 12305 df-cj 15078 df-re 15079 df-im 15080 |
This theorem is referenced by: redivd 15208 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |