Theorem restabs 23513

Description: Equivalence of being a subspace of a subspace and being a subspace of the original. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restabs	⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → ((𝐽 ↾t 𝑇) ↾t 𝑆) = (𝐽 ↾t 𝑆))

Proof of Theorem restabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → 𝐽 ∈ 𝑉)
2		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → 𝑇 ∈ 𝑊)
3		ssexg 5285	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → 𝑆 ∈ V)
4	3	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → 𝑆 ∈ V)
5		restco 23512	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ V) → ((𝐽 ↾t 𝑇) ↾t 𝑆) = (𝐽 ↾t (𝑇 ∩ 𝑆)))
6	1, 2, 4, 5	syl3anc 1399	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → ((𝐽 ↾t 𝑇) ↾t 𝑆) = (𝐽 ↾t (𝑇 ∩ 𝑆)))
7		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → 𝑆 ⊆ 𝑇)
8		sseqin2 4123	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑇 ↔ (𝑇 ∩ 𝑆) = 𝑆)
9	7, 8	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → (𝑇 ∩ 𝑆) = 𝑆)
10	9	oveq2d 7459	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → (𝐽 ↾t (𝑇 ∩ 𝑆)) = (𝐽 ↾t 𝑆))
11	6, 10	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → ((𝐽 ↾t 𝑇) ↾t 𝑆) = (𝐽 ↾t 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  (class class class)co 7443   ↾_t crest 17620

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-rest 17622

This theorem is used by:  restcnrm  23710  fiuncmp  23752  subislly  23830  restnlly  23831  islly2  23833  llyrest  23834  nllyrest  23835  llyidm  23837  nllyidm  23838  cldllycmp  23844  txkgen  24001  rerest  25153  xrrest  25157  cnmpopc  25279  cnheiborlem  25305  pcoass  25375  limcres  26236  perfdvf  26253  dvreslem  26259  dvres2lem  26260  dvaddbr  26288  dvmulbr  26289  dvcnvrelem2  26368  psercn  26783  abelth  26798  cxpcn2  27104  cxpcn3  27106  lmlimxrge0  34650  pnfneige0  34653  cvmsss2  36206  cvmliftlem8  36224  cvmliftlem10  36226  cvmlift2lem9  36243  ivthALT  37301  limcresiooub  46857  limcresioolb  46858  cncfuni  47101  cncfiooicclem1  47108  itgsubsticclem  47190  dirkercncflem4  47321  fourierdlem32  47354  fourierdlem33  47355  fourierdlem62  47383  fouriersw  47446  smfco  48017