Theorem restabs 23113

Description: Equivalence of being a subspace of a subspace and being a subspace of the original. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restabs	⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → ((𝐽 ↾t 𝑇) ↾t 𝑆) = (𝐽 ↾t 𝑆))

Proof of Theorem restabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → 𝐽 ∈ 𝑉)
2		simp3 1139	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → 𝑇 ∈ 𝑊)
3		ssexg 5269	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → 𝑆 ∈ V)
4	3	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → 𝑆 ∈ V)
5		restco 23112	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ V) → ((𝐽 ↾t 𝑇) ↾t 𝑆) = (𝐽 ↾t (𝑇 ∩ 𝑆)))
6	1, 2, 4, 5	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → ((𝐽 ↾t 𝑇) ↾t 𝑆) = (𝐽 ↾t (𝑇 ∩ 𝑆)))
7		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → 𝑆 ⊆ 𝑇)
8		sseqin2 4176	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑇 ↔ (𝑇 ∩ 𝑆) = 𝑆)
9	7, 8	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → (𝑇 ∩ 𝑆) = 𝑆)
10	9	oveq2d 7376	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → (𝐽 ↾t (𝑇 ∩ 𝑆)) = (𝐽 ↾t 𝑆))
11	6, 10	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → ((𝐽 ↾t 𝑇) ↾t 𝑆) = (𝐽 ↾t 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  (class class class)co 7360   ↾_t crest 17344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-rest 17346

This theorem is referenced by:  restcnrm  23310  fiuncmp  23352  subislly  23429  restnlly  23430  islly2  23432  llyrest  23433  nllyrest  23434  llyidm  23436  nllyidm  23437  cldllycmp  23443  txkgen  23600  rerest  24752  xrrest  24756  cnmpopc  24882  cnheiborlem  24913  pcoass  24984  limcres  25847  perfdvf  25864  dvreslem  25870  dvres2lem  25871  dvaddbr  25900  dvmulbr  25901  dvmulbrOLD  25902  dvcnvrelem2  25983  psercn  26396  abelth  26411  cxpcn2  26716  cxpcn3  26718  lmlimxrge0  34086  pnfneige0  34089  cvmsss2  35449  cvmliftlem8  35467  cvmliftlem10  35469  cvmlift2lem9  35486  ivthALT  36510  limcresiooub  45922  limcresioolb  45923  cncfuni  46166  cncfiooicclem1  46173  itgsubsticclem  46255  dirkercncflem4  46386  fourierdlem32  46419  fourierdlem33  46420  fourierdlem62  46448  fouriersw  46511  smfco  47082