Theorem restabs 23101

Description: Equivalence of being a subspace of a subspace and being a subspace of the original. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restabs	⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → ((𝐽 ↾t 𝑇) ↾t 𝑆) = (𝐽 ↾t 𝑆))

Proof of Theorem restabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → 𝐽 ∈ 𝑉)
2		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → 𝑇 ∈ 𝑊)
3		ssexg 5293	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → 𝑆 ∈ V)
4	3	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → 𝑆 ∈ V)
5		restco 23100	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ V) → ((𝐽 ↾t 𝑇) ↾t 𝑆) = (𝐽 ↾t (𝑇 ∩ 𝑆)))
6	1, 2, 4, 5	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → ((𝐽 ↾t 𝑇) ↾t 𝑆) = (𝐽 ↾t (𝑇 ∩ 𝑆)))
7		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → 𝑆 ⊆ 𝑇)
8		sseqin2 4198	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑇 ↔ (𝑇 ∩ 𝑆) = 𝑆)
9	7, 8	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → (𝑇 ∩ 𝑆) = 𝑆)
10	9	oveq2d 7419	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → (𝐽 ↾t (𝑇 ∩ 𝑆)) = (𝐽 ↾t 𝑆))
11	6, 10	eqtrd 2770	1 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → ((𝐽 ↾t 𝑇) ↾t 𝑆) = (𝐽 ↾t 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   ∩ cin 3925   ⊆ wss 3926  (class class class)co 7403   ↾_t crest 17432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-rest 17434

This theorem is referenced by:  restcnrm  23298  fiuncmp  23340  subislly  23417  restnlly  23418  islly2  23420  llyrest  23421  nllyrest  23422  llyidm  23424  nllyidm  23425  cldllycmp  23431  txkgen  23588  rerest  24741  xrrest  24745  cnmpopc  24871  cnheiborlem  24902  pcoass  24973  limcres  25837  perfdvf  25854  dvreslem  25860  dvres2lem  25861  dvaddbr  25890  dvmulbr  25891  dvmulbrOLD  25892  dvcnvrelem2  25973  psercn  26386  abelth  26401  cxpcn2  26706  cxpcn3  26708  lmlimxrge0  33925  pnfneige0  33928  cvmsss2  35242  cvmliftlem8  35260  cvmliftlem10  35262  cvmlift2lem9  35279  ivthALT  36299  limcresiooub  45619  limcresioolb  45620  cncfuni  45863  cncfiooicclem1  45870  itgsubsticclem  45952  dirkercncflem4  46083  fourierdlem32  46116  fourierdlem33  46117  fourierdlem62  46145  fouriersw  46208  smfco  46779