Theorem restabs 23333

Description: Equivalence of being a subspace of a subspace and being a subspace of the original. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restabs	⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → ((𝐽 ↾t 𝑇) ↾t 𝑆) = (𝐽 ↾t 𝑆))

Proof of Theorem restabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1153	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → 𝐽 ∈ 𝑉)
2		simp3 1155	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → 𝑇 ∈ 𝑊)
3		ssexg 5289	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → 𝑆 ∈ V)
4	3	3adant1 1147	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → 𝑆 ∈ V)
5		restco 23332	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ V) → ((𝐽 ↾t 𝑇) ↾t 𝑆) = (𝐽 ↾t (𝑇 ∩ 𝑆)))
6	1, 2, 4, 5	syl3anc 1397	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → ((𝐽 ↾t 𝑇) ↾t 𝑆) = (𝐽 ↾t (𝑇 ∩ 𝑆)))
7		simp2 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → 𝑆 ⊆ 𝑇)
8		sseqin2 4175	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑇 ↔ (𝑇 ∩ 𝑆) = 𝑆)
9	7, 8	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → (𝑇 ∩ 𝑆) = 𝑆)
10	9	oveq2d 7428	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → (𝐽 ↾t (𝑇 ∩ 𝑆)) = (𝐽 ↾t 𝑆))
11	6, 10	eqtrd 2797	1 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → ((𝐽 ↾t 𝑇) ↾t 𝑆) = (𝐽 ↾t 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  (class class class)co 7412   ↾_t crest 17479

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-rest 17481

This theorem is used by:  restcnrm  23530  fiuncmp  23572  subislly  23649  restnlly  23650  islly2  23652  llyrest  23653  nllyrest  23654  llyidm  23656  nllyidm  23657  cldllycmp  23663  txkgen  23820  rerest  24972  xrrest  24976  cnmpopc  25098  cnheiborlem  25124  pcoass  25194  limcres  26056  perfdvf  26073  dvreslem  26079  dvres2lem  26080  dvaddbr  26108  dvmulbr  26109  dvcnvrelem2  26188  psercn  26600  abelth  26615  cxpcn2  26922  cxpcn3  26924  lmlimxrge0  34347  pnfneige0  34350  cvmsss2  35774  cvmliftlem8  35792  cvmliftlem10  35794  cvmlift2lem9  35811  ivthALT  36874  limcresiooub  46384  limcresioolb  46385  cncfuni  46628  cncfiooicclem1  46635  itgsubsticclem  46717  dirkercncflem4  46848  fourierdlem32  46881  fourierdlem33  46882  fourierdlem62  46910  fouriersw  46973  smfco  47544