Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpfinvalf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem esumpfinvalf 33074
Description: Same as esumpfinval 33073, minus distinct variable restrictions. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2017.) (Proof shortened by AV, 25-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpfinvalf.1 β„²π‘˜π΄
esumpfinvalf.2 β„²π‘˜πœ‘
esumpfinvalf.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
esumpfinvalf.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
esumpfinvalf (πœ‘ β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡 = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
Proof of Theorem esumpfinvalf
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-esum 33026 . . . 4 Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡 = βˆͺ ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) tsums (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
2 xrge0base 32186 . . . . . 6 (0[,]+∞) = (Baseβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
3 xrge00 32187 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
4 xrge0cmn 20987 . . . . . . 7 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ CMnd
54a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
6 xrge0tps 32922 . . . . . . 7 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ TopSp
76a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
8 esumpfinvalf.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
9 esumpfinvalf.2 . . . . . . 7 β„²π‘˜πœ‘
10 esumpfinvalf.1 . . . . . . 7 β„²π‘˜π΄
11 nfcv 2904 . . . . . . 7 β„²π‘˜(0[,]+∞)
12 icossicc 13413 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)
13 esumpfinvalf.b . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ (0[,)+∞))
1412, 13sselid 3981 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ (0[,]+∞))
15 eqid 2733 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
169, 10, 11, 14, 15fmptdF 31881 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):𝐴⟢(0[,]+∞))
17 c0ex 11208 . . . . . . . 8 0 ∈ V
1817a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ V)
1916, 8, 18fdmfifsupp 9373 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) finSupp 0)
20 xrge0topn 32923 . . . . . . 7 (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))
2120eqcomi 2742 . . . . . 6 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) = (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
22 xrhaus 22889 . . . . . . . 8 (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Haus
23 ovex 7442 . . . . . . . 8 (0[,]+∞) ∈ V
24 resthaus 22872 . . . . . . . 8 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Haus ∧ (0[,]+∞) ∈ V) β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ Haus)
2522, 23, 24mp2an 691 . . . . . . 7 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ Haus
2625a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ Haus)
272, 3, 5, 7, 8, 16, 19, 21, 26haustsmsid 23645 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) tsums (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = {((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))})
2827unieqd 4923 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) tsums (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = βˆͺ {((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))})
291, 28eqtrid 2785 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡 = βˆͺ {((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))})
30 ovex 7442 . . . 4 ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) ∈ V
3130unisn 4931 . . 3 βˆͺ {((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))} = ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
3229, 31eqtrdi 2789 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡 = ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)))
33 nfcv 2904 . . . 4 β„²π‘˜(0[,)+∞)
349, 10, 33, 13, 15fmptdF 31881 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):𝐴⟢(0[,)+∞))
35 esumpfinvallem 33072 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):𝐴⟢(0[,)+∞)) β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)))
368, 34, 35syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)))
37 rge0ssre 13433 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
38 ax-resscn 11167 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
3937, 38sstri 3992 . . . . . . 7 (0[,)+∞) βŠ† β„‚
4039, 13sselid 3981 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
4140sbt 2070 . . . . 5 [𝑙 / π‘˜]((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
42 sbim 2300 . . . . . 6 ([𝑙 / π‘˜]((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚) ↔ ([𝑙 / π‘˜](πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ [𝑙 / π‘˜]𝐡 ∈ β„‚))
43 sban 2084 . . . . . . . 8 ([𝑙 / π‘˜](πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ↔ ([𝑙 / π‘˜]πœ‘ ∧ [𝑙 / π‘˜]π‘˜ ∈ 𝐴))
449sbf 2263 . . . . . . . . 9 ([𝑙 / π‘˜]πœ‘ ↔ πœ‘)
4510clelsb1fw 2908 . . . . . . . . 9 ([𝑙 / π‘˜]π‘˜ ∈ 𝐴 ↔ 𝑙 ∈ 𝐴)
4644, 45anbi12i 628 . . . . . . . 8 (([𝑙 / π‘˜]πœ‘ ∧ [𝑙 / π‘˜]π‘˜ ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐴))
4743, 46bitri 275 . . . . . . 7 ([𝑙 / π‘˜](πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐴))
48 sbsbc 3782 . . . . . . . 8 ([𝑙 / π‘˜]𝐡 ∈ β„‚ ↔ [𝑙 / π‘˜]𝐡 ∈ β„‚)
49 sbcel1g 4414 . . . . . . . . 9 (𝑙 ∈ V β†’ ([𝑙 / π‘˜]𝐡 ∈ β„‚ ↔ ⦋𝑙 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚))
5049elv 3481 . . . . . . . 8 ([𝑙 / π‘˜]𝐡 ∈ β„‚ ↔ ⦋𝑙 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚)
5148, 50bitri 275 . . . . . . 7 ([𝑙 / π‘˜]𝐡 ∈ β„‚ ↔ ⦋𝑙 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚)
5247, 51imbi12i 351 . . . . . 6 (([𝑙 / π‘˜](πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ [𝑙 / π‘˜]𝐡 ∈ β„‚) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) β†’ ⦋𝑙 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚))
5342, 52bitri 275 . . . . 5 ([𝑙 / π‘˜]((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) β†’ ⦋𝑙 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚))
5441, 53mpbi 229 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) β†’ ⦋𝑙 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚)
558, 54gsumfsum 21012 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑙 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑙 / π‘˜β¦Œπ΅)) = Σ𝑙 ∈ 𝐴 ⦋𝑙 / π‘˜β¦Œπ΅)
56 nfcv 2904 . . . . 5 Ⅎ𝑙𝐴
57 nfcv 2904 . . . . 5 Ⅎ𝑙𝐡
58 nfcsb1v 3919 . . . . 5 β„²π‘˜β¦‹π‘™ / π‘˜β¦Œπ΅
59 csbeq1a 3908 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑙 β†’ 𝐡 = ⦋𝑙 / π‘˜β¦Œπ΅)
6010, 56, 57, 58, 59cbvmptf 5258 . . . 4 (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (𝑙 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑙 / π‘˜β¦Œπ΅)
6160oveq2i 7420 . . 3 (β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = (β„‚fld Ξ£g (𝑙 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑙 / π‘˜β¦Œπ΅))
6259, 56, 10, 57, 58cbvsum 15641 . . 3 Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = Σ𝑙 ∈ 𝐴 ⦋𝑙 / π‘˜β¦Œπ΅
6355, 61, 623eqtr4g 2798 . 2 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
6432, 36, 633eqtr2d 2779 1 (πœ‘ β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡 = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  β„²wnf 1786  [wsb 2068   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2884  Vcvv 3475  [wsbc 3778  β¦‹csb 3894  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  +∞cpnf 11245   ≀ cle 11249  [,)cico 13326  [,]cicc 13327  Ξ£csu 15632   β†Ύs cress 17173   β†Ύt crest 17366  TopOpenctopn 17367   Ξ£g cgsu 17386  ordTopcordt 17445  β„*𝑠cxrs 17446  CMndccmn 19648  β„‚fldccnfld 20944  TopSpctps 22434  Hauscha 22812   tsums ctsu 23630  Ξ£*cesum 33025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-xadd 13093  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-ordt 17447  df-xrs 17448  df-ps 18519  df-tsr 18520  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-cn 22731  df-haus 22819  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-tsms 23631  df-esum 33026
This theorem is referenced by:  volfiniune  33228
  Copyright terms: Public domain W3C validator