Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpfinvalf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem esumpfinvalf 33143
Description: Same as esumpfinval 33142, minus distinct variable restrictions. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2017.) (Proof shortened by AV, 25-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpfinvalf.1 β„²π‘˜π΄
esumpfinvalf.2 β„²π‘˜πœ‘
esumpfinvalf.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
esumpfinvalf.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
esumpfinvalf (πœ‘ β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡 = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
Proof of Theorem esumpfinvalf
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-esum 33095 . . . 4 Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡 = βˆͺ ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) tsums (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
2 xrge0base 32224 . . . . . 6 (0[,]+∞) = (Baseβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
3 xrge00 32225 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
4 xrge0cmn 20993 . . . . . . 7 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ CMnd
54a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
6 xrge0tps 32991 . . . . . . 7 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ TopSp
76a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
8 esumpfinvalf.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
9 esumpfinvalf.2 . . . . . . 7 β„²π‘˜πœ‘
10 esumpfinvalf.1 . . . . . . 7 β„²π‘˜π΄
11 nfcv 2903 . . . . . . 7 β„²π‘˜(0[,]+∞)
12 icossicc 13415 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)
13 esumpfinvalf.b . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ (0[,)+∞))
1412, 13sselid 3980 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ (0[,]+∞))
15 eqid 2732 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
169, 10, 11, 14, 15fmptdF 31919 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):𝐴⟢(0[,]+∞))
17 c0ex 11210 . . . . . . . 8 0 ∈ V
1817a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ V)
1916, 8, 18fdmfifsupp 9375 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) finSupp 0)
20 xrge0topn 32992 . . . . . . 7 (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))
2120eqcomi 2741 . . . . . 6 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) = (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
22 xrhaus 22896 . . . . . . . 8 (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Haus
23 ovex 7444 . . . . . . . 8 (0[,]+∞) ∈ V
24 resthaus 22879 . . . . . . . 8 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Haus ∧ (0[,]+∞) ∈ V) β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ Haus)
2522, 23, 24mp2an 690 . . . . . . 7 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ Haus
2625a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ Haus)
272, 3, 5, 7, 8, 16, 19, 21, 26haustsmsid 23652 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) tsums (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = {((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))})
2827unieqd 4922 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) tsums (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = βˆͺ {((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))})
291, 28eqtrid 2784 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡 = βˆͺ {((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))})
30 ovex 7444 . . . 4 ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) ∈ V
3130unisn 4930 . . 3 βˆͺ {((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))} = ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
3229, 31eqtrdi 2788 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡 = ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)))
33 nfcv 2903 . . . 4 β„²π‘˜(0[,)+∞)
349, 10, 33, 13, 15fmptdF 31919 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):𝐴⟢(0[,)+∞))
35 esumpfinvallem 33141 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):𝐴⟢(0[,)+∞)) β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)))
368, 34, 35syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)))
37 rge0ssre 13435 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
38 ax-resscn 11169 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
3937, 38sstri 3991 . . . . . . 7 (0[,)+∞) βŠ† β„‚
4039, 13sselid 3980 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
4140sbt 2069 . . . . 5 [𝑙 / π‘˜]((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
42 sbim 2299 . . . . . 6 ([𝑙 / π‘˜]((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚) ↔ ([𝑙 / π‘˜](πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ [𝑙 / π‘˜]𝐡 ∈ β„‚))
43 sban 2083 . . . . . . . 8 ([𝑙 / π‘˜](πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ↔ ([𝑙 / π‘˜]πœ‘ ∧ [𝑙 / π‘˜]π‘˜ ∈ 𝐴))
449sbf 2262 . . . . . . . . 9 ([𝑙 / π‘˜]πœ‘ ↔ πœ‘)
4510clelsb1fw 2907 . . . . . . . . 9 ([𝑙 / π‘˜]π‘˜ ∈ 𝐴 ↔ 𝑙 ∈ 𝐴)
4644, 45anbi12i 627 . . . . . . . 8 (([𝑙 / π‘˜]πœ‘ ∧ [𝑙 / π‘˜]π‘˜ ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐴))
4743, 46bitri 274 . . . . . . 7 ([𝑙 / π‘˜](πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐴))
48 sbsbc 3781 . . . . . . . 8 ([𝑙 / π‘˜]𝐡 ∈ β„‚ ↔ [𝑙 / π‘˜]𝐡 ∈ β„‚)
49 sbcel1g 4413 . . . . . . . . 9 (𝑙 ∈ V β†’ ([𝑙 / π‘˜]𝐡 ∈ β„‚ ↔ ⦋𝑙 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚))
5049elv 3480 . . . . . . . 8 ([𝑙 / π‘˜]𝐡 ∈ β„‚ ↔ ⦋𝑙 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚)
5148, 50bitri 274 . . . . . . 7 ([𝑙 / π‘˜]𝐡 ∈ β„‚ ↔ ⦋𝑙 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚)
5247, 51imbi12i 350 . . . . . 6 (([𝑙 / π‘˜](πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ [𝑙 / π‘˜]𝐡 ∈ β„‚) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) β†’ ⦋𝑙 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚))
5342, 52bitri 274 . . . . 5 ([𝑙 / π‘˜]((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) β†’ ⦋𝑙 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚))
5441, 53mpbi 229 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) β†’ ⦋𝑙 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚)
558, 54gsumfsum 21018 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑙 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑙 / π‘˜β¦Œπ΅)) = Σ𝑙 ∈ 𝐴 ⦋𝑙 / π‘˜β¦Œπ΅)
56 nfcv 2903 . . . . 5 Ⅎ𝑙𝐴
57 nfcv 2903 . . . . 5 Ⅎ𝑙𝐡
58 nfcsb1v 3918 . . . . 5 β„²π‘˜β¦‹π‘™ / π‘˜β¦Œπ΅
59 csbeq1a 3907 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑙 β†’ 𝐡 = ⦋𝑙 / π‘˜β¦Œπ΅)
6010, 56, 57, 58, 59cbvmptf 5257 . . . 4 (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (𝑙 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑙 / π‘˜β¦Œπ΅)
6160oveq2i 7422 . . 3 (β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = (β„‚fld Ξ£g (𝑙 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑙 / π‘˜β¦Œπ΅))
6259, 56, 10, 57, 58cbvsum 15643 . . 3 Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = Σ𝑙 ∈ 𝐴 ⦋𝑙 / π‘˜β¦Œπ΅
6355, 61, 623eqtr4g 2797 . 2 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
6432, 36, 633eqtr2d 2778 1 (πœ‘ β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡 = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  β„²wnf 1785  [wsb 2067   ∈ wcel 2106  β„²wnfc 2883  Vcvv 3474  [wsbc 3777  β¦‹csb 3893  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  +∞cpnf 11247   ≀ cle 11251  [,)cico 13328  [,]cicc 13329  Ξ£csu 15634   β†Ύs cress 17175   β†Ύt crest 17368  TopOpenctopn 17369   Ξ£g cgsu 17388  ordTopcordt 17447  β„*𝑠cxrs 17448  CMndccmn 19650  β„‚fldccnfld 20950  TopSpctps 22441  Hauscha 22819   tsums ctsu 23637  Ξ£*cesum 33094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-rp 12977  df-xadd 13095  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-ordt 17449  df-xrs 17450  df-ps 18521  df-tsr 18522  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-cring 20061  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-cn 22738  df-haus 22826  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-tsms 23638  df-esum 33095
This theorem is referenced by:  volfiniune  33297
  Copyright terms: Public domain W3C validator