Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpfinvalf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumpfinvalf 30478
Description: Same as esumpfinval 30477, minus distinct variable restrictions. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2017.) (Proof shortened by AV, 25-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpfinvalf.1 𝑘𝐴
esumpfinvalf.2 𝑘𝜑
esumpfinvalf.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
esumpfinvalf.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
esumpfinvalf (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐵)

Proof of Theorem esumpfinvalf
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-esum 30430 . . . 4 Σ*𝑘𝐴𝐵 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵))
2 xrge0base 30025 . . . . . 6 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
3 xrge00 30026 . . . . . 6 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
4 xrge0cmn 20003 . . . . . . 7 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
54a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
6 xrge0tps 30328 . . . . . . 7 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
76a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
8 esumpfinvalf.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
9 esumpfinvalf.2 . . . . . . 7 𝑘𝜑
10 esumpfinvalf.1 . . . . . . 7 𝑘𝐴
11 nfcv 2913 . . . . . . 7 𝑘(0[,]+∞)
12 icossicc 12466 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
13 esumpfinvalf.b . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
1412, 13sseldi 3750 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
15 eqid 2771 . . . . . . 7 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
169, 10, 11, 14, 15fmptdF 29796 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
17 c0ex 10240 . . . . . . . 8 0 ∈ V
1817a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ V)
1916, 8, 18fdmfifsupp 8445 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵) finSupp 0)
20 xrge0topn 30329 . . . . . . 7 (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
2120eqcomi 2780 . . . . . 6 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
22 xrhaus 29875 . . . . . . . 8 (ordTop‘ ≤ ) ∈ Haus
23 ovex 6827 . . . . . . . 8 (0[,]+∞) ∈ V
24 resthaus 21393 . . . . . . . 8 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Haus ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Haus)
2522, 23, 24mp2an 672 . . . . . . 7 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Haus
2625a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Haus)
272, 3, 5, 7, 8, 16, 19, 21, 26haustsmsid 22164 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵)) = {((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))})
2827unieqd 4585 . . . 4 (𝜑 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵)) = {((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))})
291, 28syl5eq 2817 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = {((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))})
30 ovex 6827 . . . 4 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) ∈ V
3130unisn 4590 . . 3 {((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))} = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))
3229, 31syl6eq 2821 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
33 nfcv 2913 . . . 4 𝑘(0[,)+∞)
349, 10, 33, 13, 15fmptdF 29796 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,)+∞))
35 esumpfinvallem 30476 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
368, 34, 35syl2anc 573 . 2 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
37 rge0ssre 12487 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
38 ax-resscn 10199 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
3937, 38sstri 3761 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
4039, 13sseldi 3750 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4140sbt 2566 . . . . 5 [𝑙 / 𝑘]((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
42 sbim 2542 . . . . . 6 ([𝑙 / 𝑘]((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ([𝑙 / 𝑘](𝜑𝑘𝐴) → [𝑙 / 𝑘]𝐵 ∈ ℂ))
43 sban 2546 . . . . . . . 8 ([𝑙 / 𝑘](𝜑𝑘𝐴) ↔ ([𝑙 / 𝑘]𝜑 ∧ [𝑙 / 𝑘]𝑘𝐴))
449sbf 2527 . . . . . . . . 9 ([𝑙 / 𝑘]𝜑𝜑)
4510clelsb3f 2917 . . . . . . . . 9 ([𝑙 / 𝑘]𝑘𝐴𝑙𝐴)
4644, 45anbi12i 612 . . . . . . . 8 (([𝑙 / 𝑘]𝜑 ∧ [𝑙 / 𝑘]𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑙𝐴))
4743, 46bitri 264 . . . . . . 7 ([𝑙 / 𝑘](𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑙𝐴))
48 sbsbc 3591 . . . . . . . 8 ([𝑙 / 𝑘]𝐵 ∈ ℂ ↔ [𝑙 / 𝑘]𝐵 ∈ ℂ)
49 vex 3354 . . . . . . . . 9 𝑙 ∈ V
50 sbcel1g 4132 . . . . . . . . 9 (𝑙 ∈ V → ([𝑙 / 𝑘]𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑙 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . 8 ([𝑙 / 𝑘]𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑙 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
5248, 51bitri 264 . . . . . . 7 ([𝑙 / 𝑘]𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑙 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
5347, 52imbi12i 339 . . . . . 6 (([𝑙 / 𝑘](𝜑𝑘𝐴) → [𝑙 / 𝑘]𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑙𝐴) → 𝑙 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
5442, 53bitri 264 . . . . 5 ([𝑙 / 𝑘]((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑙𝐴) → 𝑙 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
5541, 54mpbi 220 . . . 4 ((𝜑𝑙𝐴) → 𝑙 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
568, 55gsumfsum 20028 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑙𝐴𝑙 / 𝑘𝐵)) = Σ𝑙𝐴 𝑙 / 𝑘𝐵)
57 nfcv 2913 . . . . 5 𝑙𝐴
58 nfcv 2913 . . . . 5 𝑙𝐵
59 nfcsb1v 3698 . . . . 5 𝑘𝑙 / 𝑘𝐵
60 csbeq1a 3691 . . . . 5 (𝑘 = 𝑙𝐵 = 𝑙 / 𝑘𝐵)
6110, 57, 58, 59, 60cbvmptf 4883 . . . 4 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑙𝐴𝑙 / 𝑘𝐵)
6261oveq2i 6807 . . 3 (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = (ℂfld Σg (𝑙𝐴𝑙 / 𝑘𝐵))
6360, 57, 10, 58, 59cbvsum 14633 . . 3 Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑙𝐴 𝑙 / 𝑘𝐵
6456, 62, 633eqtr4g 2830 . 2 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
6532, 36, 643eqtr2d 2811 1 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wnf 1856  [wsb 2049  wcel 2145  wnfc 2900  Vcvv 3351  [wsbc 3587  csb 3682  {csn 4317   cuni 4575  cmpt 4864  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6796  Fincfn 8113  cc 10140  cr 10141  0cc0 10142  +∞cpnf 10277  cle 10281  [,)cico 12382  [,]cicc 12383  Σcsu 14624  s cress 16065  t crest 16289  TopOpenctopn 16290   Σg cgsu 16309  ordTopcordt 16367  *𝑠cxrs 16368  CMndccmn 18400  fldccnfld 19961  TopSpctps 20957  Hauscha 21333   tsums ctsu 22149  Σ*cesum 30429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221  ax-mulf 10222
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-fi 8477  df-sup 8508  df-oi 8575  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-rp 12036  df-xadd 12152  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-ordt 16369  df-xrs 16370  df-ps 17408  df-tsr 17409  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-cn 21252  df-haus 21340  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-tsms 22150  df-esum 30430
This theorem is referenced by:  volfiniune  30633
  Copyright terms: Public domain W3C validator