Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpfinvalf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumpfinvalf 33909
Description: Same as esumpfinval 33908, minus distinct variable restrictions. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2017.) (Proof shortened by AV, 25-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpfinvalf.1 𝑘𝐴
esumpfinvalf.2 𝑘𝜑
esumpfinvalf.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
esumpfinvalf.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
esumpfinvalf (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐵)

Proof of Theorem esumpfinvalf
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-esum 33861 . . . 4 Σ*𝑘𝐴𝐵 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵))
2 xrge0base 32894 . . . . . 6 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
3 xrge00 32895 . . . . . 6 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
4 xrge0cmn 21405 . . . . . . 7 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
54a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
6 xrge0tps 33757 . . . . . . 7 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
76a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
8 esumpfinvalf.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
9 esumpfinvalf.2 . . . . . . 7 𝑘𝜑
10 esumpfinvalf.1 . . . . . . 7 𝑘𝐴
11 nfcv 2892 . . . . . . 7 𝑘(0[,]+∞)
12 icossicc 13467 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
13 esumpfinvalf.b . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
1412, 13sselid 3977 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
15 eqid 2726 . . . . . . 7 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
169, 10, 11, 14, 15fmptdF 32573 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
17 c0ex 11258 . . . . . . . 8 0 ∈ V
1817a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ V)
1916, 8, 18fdmfifsupp 9418 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵) finSupp 0)
20 xrge0topn 33758 . . . . . . 7 (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
2120eqcomi 2735 . . . . . 6 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
22 xrhaus 23380 . . . . . . . 8 (ordTop‘ ≤ ) ∈ Haus
23 ovex 7457 . . . . . . . 8 (0[,]+∞) ∈ V
24 resthaus 23363 . . . . . . . 8 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Haus ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Haus)
2522, 23, 24mp2an 690 . . . . . . 7 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Haus
2625a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Haus)
272, 3, 5, 7, 8, 16, 19, 21, 26haustsmsid 24136 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵)) = {((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))})
2827unieqd 4926 . . . 4 (𝜑 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵)) = {((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))})
291, 28eqtrid 2778 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = {((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))})
30 ovex 7457 . . . 4 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) ∈ V
3130unisn 4934 . . 3 {((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))} = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))
3229, 31eqtrdi 2782 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
33 nfcv 2892 . . . 4 𝑘(0[,)+∞)
349, 10, 33, 13, 15fmptdF 32573 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,)+∞))
35 esumpfinvallem 33907 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
368, 34, 35syl2anc 582 . 2 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
37 rge0ssre 13487 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
38 ax-resscn 11215 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
3937, 38sstri 3989 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
4039, 13sselid 3977 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4140sbt 2062 . . . . 5 [𝑙 / 𝑘]((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
42 sbim 2293 . . . . . 6 ([𝑙 / 𝑘]((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ([𝑙 / 𝑘](𝜑𝑘𝐴) → [𝑙 / 𝑘]𝐵 ∈ ℂ))
43 sban 2076 . . . . . . . 8 ([𝑙 / 𝑘](𝜑𝑘𝐴) ↔ ([𝑙 / 𝑘]𝜑 ∧ [𝑙 / 𝑘]𝑘𝐴))
449sbf 2258 . . . . . . . . 9 ([𝑙 / 𝑘]𝜑𝜑)
4510clelsb1fw 2896 . . . . . . . . 9 ([𝑙 / 𝑘]𝑘𝐴𝑙𝐴)
4644, 45anbi12i 626 . . . . . . . 8 (([𝑙 / 𝑘]𝜑 ∧ [𝑙 / 𝑘]𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑙𝐴))
4743, 46bitri 274 . . . . . . 7 ([𝑙 / 𝑘](𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑙𝐴))
48 sbsbc 3780 . . . . . . . 8 ([𝑙 / 𝑘]𝐵 ∈ ℂ ↔ [𝑙 / 𝑘]𝐵 ∈ ℂ)
49 sbcel1g 4418 . . . . . . . . 9 (𝑙 ∈ V → ([𝑙 / 𝑘]𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑙 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
5049elv 3468 . . . . . . . 8 ([𝑙 / 𝑘]𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑙 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
5148, 50bitri 274 . . . . . . 7 ([𝑙 / 𝑘]𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑙 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
5247, 51imbi12i 349 . . . . . 6 (([𝑙 / 𝑘](𝜑𝑘𝐴) → [𝑙 / 𝑘]𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑙𝐴) → 𝑙 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
5342, 52bitri 274 . . . . 5 ([𝑙 / 𝑘]((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑙𝐴) → 𝑙 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
5441, 53mpbi 229 . . . 4 ((𝜑𝑙𝐴) → 𝑙 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
558, 54gsumfsum 21431 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑙𝐴𝑙 / 𝑘𝐵)) = Σ𝑙𝐴 𝑙 / 𝑘𝐵)
56 nfcv 2892 . . . . 5 𝑙𝐴
57 nfcv 2892 . . . . 5 𝑙𝐵
58 nfcsb1v 3917 . . . . 5 𝑘𝑙 / 𝑘𝐵
59 csbeq1a 3906 . . . . 5 (𝑘 = 𝑙𝐵 = 𝑙 / 𝑘𝐵)
6010, 56, 57, 58, 59cbvmptf 5262 . . . 4 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑙𝐴𝑙 / 𝑘𝐵)
6160oveq2i 7435 . . 3 (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = (ℂfld Σg (𝑙𝐴𝑙 / 𝑘𝐵))
6259, 56, 10, 57, 58cbvsum 15699 . . 3 Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑙𝐴 𝑙 / 𝑘𝐵
6355, 61, 623eqtr4g 2791 . 2 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
6432, 36, 633eqtr2d 2772 1 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wnf 1778  [wsb 2060  wcel 2099  wnfc 2876  Vcvv 3462  [wsbc 3776  csb 3892  {csn 4633   cuni 4913  cmpt 5236  wf 6550  cfv 6554  (class class class)co 7424  Fincfn 8974  cc 11156  cr 11157  0cc0 11158  +∞cpnf 11295  cle 11299  [,)cico 13380  [,]cicc 13381  Σcsu 15690  s cress 17242  t crest 17435  TopOpenctopn 17436   Σg cgsu 17455  ordTopcordt 17514  *𝑠cxrs 17515  CMndccmn 19778  fldccnfld 21343  TopSpctps 22925  Hauscha 23303   tsums ctsu 24121  Σ*cesum 33860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-fi 9454  df-sup 9485  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-rp 13029  df-xadd 13147  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-seq 14022  df-exp 14082  df-hash 14348  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-clim 15490  df-sum 15691  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-rest 17437  df-topn 17438  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-topgen 17458  df-ordt 17516  df-xrs 17517  df-ps 18591  df-tsr 18592  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-submnd 18774  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-ur 20165  df-ring 20218  df-cring 20219  df-fbas 21340  df-fg 21341  df-cnfld 21344  df-top 22887  df-topon 22904  df-topsp 22926  df-bases 22940  df-cld 23014  df-ntr 23015  df-cls 23016  df-nei 23093  df-cn 23222  df-haus 23310  df-fil 23841  df-fm 23933  df-flim 23934  df-flf 23935  df-tsms 24122  df-esum 33861
This theorem is referenced by:  volfiniune  34063
  Copyright terms: Public domain W3C validator