Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpfinvalf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumpfinvalf 32715
Description: Same as esumpfinval 32714, minus distinct variable restrictions. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2017.) (Proof shortened by AV, 25-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpfinvalf.1 β„²π‘˜π΄
esumpfinvalf.2 β„²π‘˜πœ‘
esumpfinvalf.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
esumpfinvalf.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
esumpfinvalf (πœ‘ β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡 = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)

Proof of Theorem esumpfinvalf
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-esum 32667 . . . 4 Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡 = βˆͺ ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) tsums (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
2 xrge0base 31918 . . . . . 6 (0[,]+∞) = (Baseβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
3 xrge00 31919 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
4 xrge0cmn 20855 . . . . . . 7 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ CMnd
54a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
6 xrge0tps 32563 . . . . . . 7 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ TopSp
76a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
8 esumpfinvalf.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
9 esumpfinvalf.2 . . . . . . 7 β„²π‘˜πœ‘
10 esumpfinvalf.1 . . . . . . 7 β„²π‘˜π΄
11 nfcv 2908 . . . . . . 7 β„²π‘˜(0[,]+∞)
12 icossicc 13360 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)
13 esumpfinvalf.b . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ (0[,)+∞))
1412, 13sselid 3947 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ (0[,]+∞))
15 eqid 2737 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
169, 10, 11, 14, 15fmptdF 31614 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):𝐴⟢(0[,]+∞))
17 c0ex 11156 . . . . . . . 8 0 ∈ V
1817a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ V)
1916, 8, 18fdmfifsupp 9322 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) finSupp 0)
20 xrge0topn 32564 . . . . . . 7 (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))
2120eqcomi 2746 . . . . . 6 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) = (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
22 xrhaus 22752 . . . . . . . 8 (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Haus
23 ovex 7395 . . . . . . . 8 (0[,]+∞) ∈ V
24 resthaus 22735 . . . . . . . 8 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Haus ∧ (0[,]+∞) ∈ V) β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ Haus)
2522, 23, 24mp2an 691 . . . . . . 7 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ Haus
2625a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ Haus)
272, 3, 5, 7, 8, 16, 19, 21, 26haustsmsid 23508 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) tsums (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = {((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))})
2827unieqd 4884 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) tsums (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = βˆͺ {((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))})
291, 28eqtrid 2789 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡 = βˆͺ {((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))})
30 ovex 7395 . . . 4 ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) ∈ V
3130unisn 4892 . . 3 βˆͺ {((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))} = ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
3229, 31eqtrdi 2793 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡 = ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)))
33 nfcv 2908 . . . 4 β„²π‘˜(0[,)+∞)
349, 10, 33, 13, 15fmptdF 31614 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):𝐴⟢(0[,)+∞))
35 esumpfinvallem 32713 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):𝐴⟢(0[,)+∞)) β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)))
368, 34, 35syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)))
37 rge0ssre 13380 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
38 ax-resscn 11115 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
3937, 38sstri 3958 . . . . . . 7 (0[,)+∞) βŠ† β„‚
4039, 13sselid 3947 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
4140sbt 2070 . . . . 5 [𝑙 / π‘˜]((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
42 sbim 2300 . . . . . 6 ([𝑙 / π‘˜]((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚) ↔ ([𝑙 / π‘˜](πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ [𝑙 / π‘˜]𝐡 ∈ β„‚))
43 sban 2084 . . . . . . . 8 ([𝑙 / π‘˜](πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ↔ ([𝑙 / π‘˜]πœ‘ ∧ [𝑙 / π‘˜]π‘˜ ∈ 𝐴))
449sbf 2263 . . . . . . . . 9 ([𝑙 / π‘˜]πœ‘ ↔ πœ‘)
4510clelsb1fw 2912 . . . . . . . . 9 ([𝑙 / π‘˜]π‘˜ ∈ 𝐴 ↔ 𝑙 ∈ 𝐴)
4644, 45anbi12i 628 . . . . . . . 8 (([𝑙 / π‘˜]πœ‘ ∧ [𝑙 / π‘˜]π‘˜ ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐴))
4743, 46bitri 275 . . . . . . 7 ([𝑙 / π‘˜](πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐴))
48 sbsbc 3748 . . . . . . . 8 ([𝑙 / π‘˜]𝐡 ∈ β„‚ ↔ [𝑙 / π‘˜]𝐡 ∈ β„‚)
49 sbcel1g 4378 . . . . . . . . 9 (𝑙 ∈ V β†’ ([𝑙 / π‘˜]𝐡 ∈ β„‚ ↔ ⦋𝑙 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚))
5049elv 3454 . . . . . . . 8 ([𝑙 / π‘˜]𝐡 ∈ β„‚ ↔ ⦋𝑙 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚)
5148, 50bitri 275 . . . . . . 7 ([𝑙 / π‘˜]𝐡 ∈ β„‚ ↔ ⦋𝑙 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚)
5247, 51imbi12i 351 . . . . . 6 (([𝑙 / π‘˜](πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ [𝑙 / π‘˜]𝐡 ∈ β„‚) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) β†’ ⦋𝑙 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚))
5342, 52bitri 275 . . . . 5 ([𝑙 / π‘˜]((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) β†’ ⦋𝑙 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚))
5441, 53mpbi 229 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) β†’ ⦋𝑙 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚)
558, 54gsumfsum 20880 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑙 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑙 / π‘˜β¦Œπ΅)) = Σ𝑙 ∈ 𝐴 ⦋𝑙 / π‘˜β¦Œπ΅)
56 nfcv 2908 . . . . 5 Ⅎ𝑙𝐴
57 nfcv 2908 . . . . 5 Ⅎ𝑙𝐡
58 nfcsb1v 3885 . . . . 5 β„²π‘˜β¦‹π‘™ / π‘˜β¦Œπ΅
59 csbeq1a 3874 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑙 β†’ 𝐡 = ⦋𝑙 / π‘˜β¦Œπ΅)
6010, 56, 57, 58, 59cbvmptf 5219 . . . 4 (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (𝑙 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑙 / π‘˜β¦Œπ΅)
6160oveq2i 7373 . . 3 (β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = (β„‚fld Ξ£g (𝑙 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑙 / π‘˜β¦Œπ΅))
6259, 56, 10, 57, 58cbvsum 15587 . . 3 Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = Σ𝑙 ∈ 𝐴 ⦋𝑙 / π‘˜β¦Œπ΅
6355, 61, 623eqtr4g 2802 . 2 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
6432, 36, 633eqtr2d 2783 1 (πœ‘ β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡 = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  β„²wnf 1786  [wsb 2068   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2888  Vcvv 3448  [wsbc 3744  β¦‹csb 3860  {csn 4591  βˆͺ cuni 4870   ↦ cmpt 5193  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  +∞cpnf 11193   ≀ cle 11197  [,)cico 13273  [,]cicc 13274  Ξ£csu 15577   β†Ύs cress 17119   β†Ύt crest 17309  TopOpenctopn 17310   Ξ£g cgsu 17329  ordTopcordt 17388  β„*𝑠cxrs 17389  CMndccmn 19569  β„‚fldccnfld 20812  TopSpctps 22297  Hauscha 22675   tsums ctsu 23493  Ξ£*cesum 32666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-rp 12923  df-xadd 13041  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-ordt 17390  df-xrs 17391  df-ps 18462  df-tsr 18463  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-cn 22594  df-haus 22682  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-tsms 23494  df-esum 32667
This theorem is referenced by:  volfiniune  32869
  Copyright terms: Public domain W3C validator