Theorem esumpfinval 31562

Description: The value of the extended sum of a finite set of nonnegative finite terms. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jun-2017.) (Proof shortened by AV, 25-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumpfinval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
esumpfinval.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
esumpfinval	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumpfinval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-esum 31515	. . . 4 ⊢ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
2		xrge0base 30820	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
3		xrge00 30821	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
4		xrge0cmn 20208	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
6		xrge0tps 31413	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
8		esumpfinval.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
9		icossicc 12868	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
10		esumpfinval.b	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
11	9, 10	sseldi 3890	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
12	11	fmpttd 6870	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
13		eqid 2758	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
14		c0ex 10673	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
16	13, 8, 10, 15	fsuppmptdm 8877	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) finSupp 0)
17		xrge0topn 31414	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
18	17	eqcomi 2767	. . . . . 6 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
19		xrhaus 22085	. . . . . . . 8 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ Haus
20		ovex 7183	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
21		resthaus 22068	. . . . . . . 8 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Haus ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Haus)
22	19, 20, 21	mp2an 691	. . . . . . 7 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Haus
23	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Haus)
24	2, 3, 5, 7, 8, 12, 16, 18, 23	haustsmsid 22841	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = {((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))})
25	24	unieqd 4812	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ∪ {((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))})
26	1, 25	syl5eq 2805	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = ∪ {((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))})
27		ovex 7183	. . . 4 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ V
28	27	unisn 4820	. . 3 ⊢ ∪ {((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))} = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
29	26, 28	eqtrdi 2809	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
30	10	fmpttd 6870	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,)+∞))
31		esumpfinvallem 31561	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
32	8, 30, 31	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
33		rge0ssre 12888	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
34		ax-resscn 10632	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
35	33, 34	sstri 3901	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
36	35, 10	sseldi 3890	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
37	8, 36	gsumfsum 20233	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
38	29, 32, 37	3eqtr2d 2799	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409  {csn 4522  ∪ cuni 4798   ↦ cmpt 5112  ⟶wf 6331  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  Fincfn 8527  ℂcc 10573  ℝcr 10574  0cc0 10575  +∞cpnf 10710   ≤ cle 10714  [,)cico 12781  [,]cicc 12782  Σcsu 15090   ↾_s cress 16542   ↾_t crest 16752  TopOpenctopn 16753   Σ_g cgsu 16772  ordTopcordt 16830  ℝ^*_𝑠cxrs 16831  CMndccmn 18973  ℂ_fldccnfld 20166  TopSpctps 21632  Hauscha 22008   tsums ctsu 22826  Σ^*cesum 31514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-inf2 9137  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653  ax-addf 10654  ax-mulf 10655

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-iin 4886  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-supp 7836  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fsupp 8867  df-fi 8908  df-sup 8939  df-oi 9007  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-rp 12431  df-xadd 12549  df-ico 12785  df-icc 12786  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-seq 13419  df-exp 13480  df-hash 13741  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-clim 14893  df-sum 15091  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-starv 16638  df-tset 16642  df-ple 16643  df-ds 16645  df-unif 16646  df-rest 16754  df-topn 16755  df-0g 16773  df-gsum 16774  df-topgen 16775  df-ordt 16832  df-xrs 16833  df-ps 17876  df-tsr 17877  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-submnd 18023  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-cntz 18514  df-cmn 18975  df-abl 18976  df-mgp 19308  df-ur 19320  df-ring 19367  df-cring 19368  df-fbas 20163  df-fg 20164  df-cnfld 20167  df-top 21594  df-topon 21611  df-topsp 21633  df-bases 21646  df-cld 21719  df-ntr 21720  df-cls 21721  df-nei 21798  df-cn 21927  df-haus 22015  df-fil 22546  df-fm 22638  df-flim 22639  df-flf 22640  df-tsms 22827  df-esum 31515

This theorem is referenced by:  hasheuni  31572  esumcvg  31573  sibfof  31826