Theorem esumpfinval 34235

Description: The value of the extended sum of a finite set of nonnegative finite terms. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jun-2017.) (Proof shortened by AV, 25-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumpfinval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
esumpfinval.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
esumpfinval	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumpfinval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-esum 34188	. . . 4 ⊢ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
2		xrge0base 17562	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
3		xrge00 33089	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
4		xrge0cmn 21434	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
6		xrge0tps 34102	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
8		esumpfinval.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
9		icossicc 13380	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
10		esumpfinval.b	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
11	9, 10	sselid 3920	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
12	11	fmpttd 7061	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
13		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
14		c0ex 11129	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
16	13, 8, 10, 15	fsuppmptdm 9282	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) finSupp 0)
17		xrge0topn 34103	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
18	17	eqcomi 2746	. . . . . 6 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
19		xrhaus 23360	. . . . . . . 8 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ Haus
20		ovex 7393	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
21		resthaus 23343	. . . . . . . 8 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Haus ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Haus)
22	19, 20, 21	mp2an 693	. . . . . . 7 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Haus
23	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Haus)
24	2, 3, 5, 7, 8, 12, 16, 18, 23	haustsmsid 24116	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = {((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))})
25	24	unieqd 4864	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ∪ {((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))})
26	1, 25	eqtrid 2784	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = ∪ {((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))})
27		ovex 7393	. . . 4 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ V
28	27	unisn 4870	. . 3 ⊢ ∪ {((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))} = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
29	26, 28	eqtrdi 2788	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
30	10	fmpttd 7061	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,)+∞))
31		esumpfinvallem 34234	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
32	8, 30, 31	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
33		rge0ssre 13400	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
34		ax-resscn 11086	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
35	33, 34	sstri 3932	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
36	35, 10	sselid 3920	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
37	8, 36	gsumfsum 21424	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
38	29, 32, 37	3eqtr2d 2778	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  {csn 4568  ∪ cuni 4851   ↦ cmpt 5167  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Fincfn 8886  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  +∞cpnf 11167   ≤ cle 11171  [,)cico 13291  [,]cicc 13292  Σcsu 15639   ↾_s cress 17191   ↾_t crest 17374  TopOpenctopn 17375   Σ_g cgsu 17394  ordTopcordt 17454  ℝ^*_𝑠cxrs 17455  CMndccmn 19746  ℂ_fldccnfld 21344  TopSpctps 22907  Hauscha 23283   tsums ctsu 24101  Σ^*cesum 34187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-rp 12934  df-xadd 13055  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-ordt 17456  df-xrs 17457  df-ps 18523  df-tsr 18524  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-ur 20154  df-ring 20207  df-cring 20208  df-fbas 21341  df-fg 21342  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-nei 23073  df-cn 23202  df-haus 23290  df-fil 23821  df-fm 23913  df-flim 23914  df-flf 23915  df-tsms 24102  df-esum 34188

This theorem is referenced by:  hasheuni  34245  esumcvg  34246  sibfof  34500