Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpfinval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumpfinval 33536
Description: The value of the extended sum of a finite set of nonnegative finite terms. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jun-2017.) (Proof shortened by AV, 25-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpfinval.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
esumpfinval.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
esumpfinval (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumpfinval
StepHypRef Expression
1 df-esum 33489 . . . 4 Σ*𝑘𝐴𝐵 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵))
2 xrge0base 32618 . . . . . 6 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
3 xrge00 32619 . . . . . 6 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
4 xrge0cmn 21275 . . . . . . 7 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
54a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
6 xrge0tps 33385 . . . . . . 7 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
76a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
8 esumpfinval.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
9 icossicc 13420 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
10 esumpfinval.b . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
119, 10sselid 3980 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
1211fmpttd 7116 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
13 eqid 2731 . . . . . . 7 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
14 c0ex 11215 . . . . . . . 8 0 ∈ V
1514a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ V)
1613, 8, 10, 15fsuppmptdm 9380 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵) finSupp 0)
17 xrge0topn 33386 . . . . . . 7 (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
1817eqcomi 2740 . . . . . 6 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
19 xrhaus 23208 . . . . . . . 8 (ordTop‘ ≤ ) ∈ Haus
20 ovex 7445 . . . . . . . 8 (0[,]+∞) ∈ V
21 resthaus 23191 . . . . . . . 8 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Haus ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Haus)
2219, 20, 21mp2an 689 . . . . . . 7 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Haus
2322a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Haus)
242, 3, 5, 7, 8, 12, 16, 18, 23haustsmsid 23964 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵)) = {((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))})
2524unieqd 4922 . . . 4 (𝜑 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵)) = {((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))})
261, 25eqtrid 2783 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = {((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))})
27 ovex 7445 . . . 4 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) ∈ V
2827unisn 4930 . . 3 {((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))} = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))
2926, 28eqtrdi 2787 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
3010fmpttd 7116 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,)+∞))
31 esumpfinvallem 33535 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
328, 30, 31syl2anc 583 . 2 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
33 rge0ssre 13440 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
34 ax-resscn 11173 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
3533, 34sstri 3991 . . . 4 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
3635, 10sselid 3980 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
378, 36gsumfsum 21300 . 2 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
3829, 32, 373eqtr2d 2777 1 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  Vcvv 3473  {csn 4628   cuni 4908  cmpt 5231  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412  Fincfn 8945  cc 11114  cr 11115  0cc0 11116  +∞cpnf 11252  cle 11256  [,)cico 13333  [,]cicc 13334  Σcsu 15639  s cress 17180  t crest 17373  TopOpenctopn 17374   Σg cgsu 17393  ordTopcordt 17452  *𝑠cxrs 17453  CMndccmn 19696  fldccnfld 21232  TopSpctps 22753  Hauscha 23131   tsums ctsu 23949  Σ*cesum 33488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195  ax-mulf 11196
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-rp 12982  df-xadd 13100  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-sum 15640  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-ordt 17454  df-xrs 17455  df-ps 18529  df-tsr 18530  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-fbas 21229  df-fg 21230  df-cnfld 21233  df-top 22715  df-topon 22732  df-topsp 22754  df-bases 22768  df-cld 22842  df-ntr 22843  df-cls 22844  df-nei 22921  df-cn 23050  df-haus 23138  df-fil 23669  df-fm 23761  df-flim 23762  df-flf 23763  df-tsms 23950  df-esum 33489
This theorem is referenced by:  hasheuni  33546  esumcvg  33547  sibfof  33802
  Copyright terms: Public domain W3C validator