Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpfinval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumpfinval 34076
Description: The value of the extended sum of a finite set of nonnegative finite terms. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jun-2017.) (Proof shortened by AV, 25-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpfinval.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
esumpfinval.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
esumpfinval (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumpfinval
StepHypRef Expression
1 df-esum 34029 . . . 4 Σ*𝑘𝐴𝐵 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵))
2 xrge0base 33016 . . . . . 6 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
3 xrge00 33017 . . . . . 6 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
4 xrge0cmn 21426 . . . . . . 7 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
54a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
6 xrge0tps 33941 . . . . . . 7 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
76a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
8 esumpfinval.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
9 icossicc 13476 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
10 esumpfinval.b . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
119, 10sselid 3981 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
1211fmpttd 7135 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
13 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
14 c0ex 11255 . . . . . . . 8 0 ∈ V
1514a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ V)
1613, 8, 10, 15fsuppmptdm 9416 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵) finSupp 0)
17 xrge0topn 33942 . . . . . . 7 (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
1817eqcomi 2746 . . . . . 6 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
19 xrhaus 23393 . . . . . . . 8 (ordTop‘ ≤ ) ∈ Haus
20 ovex 7464 . . . . . . . 8 (0[,]+∞) ∈ V
21 resthaus 23376 . . . . . . . 8 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Haus ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Haus)
2219, 20, 21mp2an 692 . . . . . . 7 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Haus
2322a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Haus)
242, 3, 5, 7, 8, 12, 16, 18, 23haustsmsid 24149 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵)) = {((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))})
2524unieqd 4920 . . . 4 (𝜑 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵)) = {((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))})
261, 25eqtrid 2789 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = {((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))})
27 ovex 7464 . . . 4 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) ∈ V
2827unisn 4926 . . 3 {((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))} = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))
2926, 28eqtrdi 2793 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
3010fmpttd 7135 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,)+∞))
31 esumpfinvallem 34075 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
328, 30, 31syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
33 rge0ssre 13496 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
34 ax-resscn 11212 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
3533, 34sstri 3993 . . . 4 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
3635, 10sselid 3981 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
378, 36gsumfsum 21452 . 2 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
3829, 32, 373eqtr2d 2783 1 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  {csn 4626   cuni 4907  cmpt 5225  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  cle 11296  [,)cico 13389  [,]cicc 13390  Σcsu 15722  s cress 17274  t crest 17465  TopOpenctopn 17466   Σg cgsu 17485  ordTopcordt 17544  *𝑠cxrs 17545  CMndccmn 19798  fldccnfld 21364  TopSpctps 22938  Hauscha 23316   tsums ctsu 24134  Σ*cesum 34028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-ordt 17546  df-xrs 17547  df-ps 18611  df-tsr 18612  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-cn 23235  df-haus 23323  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-tsms 24135  df-esum 34029
This theorem is referenced by:  hasheuni  34086  esumcvg  34087  sibfof  34342
  Copyright terms: Public domain W3C validator