MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divrcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divrcnv 15195
Description: The sequence of reciprocals of real numbers, multiplied by the factor 𝐴, converges to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
divrcnv (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝𝑟 0)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem divrcnv
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abscl 14626 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
2 rerpdivcl 12407 . . . . 5 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) / 𝑥) ∈ ℝ)
31, 2sylan 580 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) / 𝑥) ∈ ℝ)
4 simpll 763 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5 rpcn 12387 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℂ)
65ad2antrl 724 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℂ)
7 rpne0 12393 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℝ+𝑛 ≠ 0)
87ad2antrl 724 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → 𝑛 ≠ 0)
94, 6, 8absdivd 14803 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) = ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑛)))
10 rpre 12385 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ)
1110ad2antrl 724 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
12 rpge0 12390 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑛)
1312ad2antrl 724 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → 0 ≤ 𝑛)
1411, 13absidd 14770 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → (abs‘𝑛) = 𝑛)
1514oveq2d 7161 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑛)) = ((abs‘𝐴) / 𝑛))
169, 15eqtrd 2853 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) = ((abs‘𝐴) / 𝑛))
17 simprr 769 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)
184abscld 14784 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
19 rpre 12385 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
2019ad2antlr 723 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → 𝑥 ∈ ℝ)
21 rpgt0 12389 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑥)
2221ad2antlr 723 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → 0 < 𝑥)
23 rpgt0 12389 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑛)
2423ad2antrl 724 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → 0 < 𝑛)
25 ltdiv23 11519 . . . . . . . . 9 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) → (((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛 ↔ ((abs‘𝐴) / 𝑛) < 𝑥))
2618, 20, 22, 11, 24, 25syl122anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → (((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛 ↔ ((abs‘𝐴) / 𝑛) < 𝑥))
2717, 26mpbid 233 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → ((abs‘𝐴) / 𝑛) < 𝑥)
2816, 27eqbrtrd 5079 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) < 𝑥)
2928expr 457 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛 → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) < 𝑥))
3029ralrimiva 3179 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑛 ∈ ℝ+ (((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛 → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) < 𝑥))
31 breq1 5060 . . . . 5 (𝑦 = ((abs‘𝐴) / 𝑥) → (𝑦 < 𝑛 ↔ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛))
3231rspceaimv 3625 . . . 4 ((((abs‘𝐴) / 𝑥) ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛 → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) < 𝑥))
333, 30, 32syl2anc 584 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) < 𝑥))
3433ralrimiva 3179 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) < 𝑥))
35 simpl 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
365adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ∈ ℂ)
377adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ≠ 0)
3835, 36, 37divcld 11404 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝑛) ∈ ℂ)
3938ralrimiva 3179 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝐴 / 𝑛) ∈ ℂ)
40 rpssre 12384 . . . 4 + ⊆ ℝ
4140a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ℝ+ ⊆ ℝ)
4239, 41rlim0lt 14854 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) < 𝑥)))
4334, 42mpbird 258 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝𝑟 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  wss 3933   class class class wbr 5057  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525   < clt 10663  cle 10664   / cdiv 11285  +crp 12377  abscabs 14581  𝑟 crli 14830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-rlim 14834
This theorem is referenced by:  divcnv  15196  cxp2limlem  25480  logfacrlim  25727  dchrmusumlema  25996  mudivsum  26033  selberg2lem  26053  pntrsumo1  26068
  Copyright terms: Public domain W3C validator