Theorem divrcnv 16027

Description: The sequence of reciprocals of real numbers, multiplied by the factor 𝐴, converges to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
divrcnv	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝𝑟 0)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem divrcnv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscl 15451	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
2		rerpdivcl 13156	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) / 𝑥) ∈ ℝ)
3	1, 2	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) / 𝑥) ∈ ℝ)
4		simpll 779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		rpcn 13135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → 𝑛 ∈ ℂ)
6	5	ad2antrl 741	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℂ)
7		rpne0 13141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → 𝑛 ≠ 0)
8	7	ad2antrl 741	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → 𝑛 ≠ 0)
9	4, 6, 8	absdivd 15631	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) = ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑛)))
10		rpre 13133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → 𝑛 ∈ ℝ)
11	10	ad2antrl 741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
12		rpge0 13138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑛)
13	12	ad2antrl 741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → 0 ≤ 𝑛)
14	11, 13	absidd 15596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → (abs‘𝑛) = 𝑛)
15	14	oveq2d 7437	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑛)) = ((abs‘𝐴) / 𝑛))
16	9, 15	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) = ((abs‘𝐴) / 𝑛))
17		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)
18	4	abscld 15612	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
19		rpre 13133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
20	19	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → 𝑥 ∈ ℝ)
21		rpgt0 13137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑥)
22	21	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → 0 < 𝑥)
23		rpgt0 13137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑛)
24	23	ad2antrl 741	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → 0 < 𝑛)
25		ltdiv23 12212	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) → (((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛 ↔ ((abs‘𝐴) / 𝑛) < 𝑥))
26	18, 20, 22, 11, 24, 25	syl122anc 1406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → (((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛 ↔ ((abs‘𝐴) / 𝑛) < 𝑥))
27	17, 26	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → ((abs‘𝐴) / 𝑛) < 𝑥)
28	16, 27	eqbrtrd 5126	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) < 𝑥)
29	28	expr 462	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛 → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) < 𝑥))
30	29	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑛 ∈ ℝ+ (((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛 → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) < 𝑥))
31		breq1 5105	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ((abs‘𝐴) / 𝑥) → (𝑦 < 𝑛 ↔ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛))
32	31	rspceaimv 3582	. . . 4 ⊢ ((((abs‘𝐴) / 𝑥) ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛 → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) < 𝑥))
33	3, 30, 32	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) < 𝑥))
34	33	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) < 𝑥))
35		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
36	5	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ∈ ℂ)
37	7	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ≠ 0)
38	35, 36, 37	divcld 12097	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝑛) ∈ ℂ)
39	38	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝐴 / 𝑛) ∈ ℂ)
40		rpssre 13132	. . . 4 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
41	40	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℝ+ ⊆ ℝ)
42	39, 41	rlim0lt 15682	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) < 𝑥)))
43	34, 42	mpbird 260	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝𝑟 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  ℝcr 11203  0cc0 11204   < clt 11347   ≤ cle 11348   / cdiv 11977  ℝ⁺crp 13124  abscabs 15407   ⇝_𝑟 crli 15658

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-pm 8854  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-sup 9438  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-rp 13125  df-seq 14149  df-exp 14209  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-rlim 15662

This theorem is used by:  divcnv  16028  cxp2limlem  27309  logfacrlim  27557  dchrmusumlema  27826  mudivsum  27863  selberg2lem  27883  pntrsumo1  27898