MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divrcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divrcnv 14997
Description: The sequence of reciprocals of real numbers, multiplied by the factor 𝐴, converges to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
divrcnv (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝𝑟 0)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem divrcnv
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abscl 14432 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
2 rerpdivcl 12174 . . . . 5 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) / 𝑥) ∈ ℝ)
31, 2sylan 575 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) / 𝑥) ∈ ℝ)
4 simpll 757 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5 rpcn 12154 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℂ)
65ad2antrl 718 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℂ)
7 rpne0 12160 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℝ+𝑛 ≠ 0)
87ad2antrl 718 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → 𝑛 ≠ 0)
94, 6, 8absdivd 14609 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) = ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑛)))
10 rpre 12150 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ)
1110ad2antrl 718 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
12 rpge0 12157 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑛)
1312ad2antrl 718 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → 0 ≤ 𝑛)
1411, 13absidd 14576 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → (abs‘𝑛) = 𝑛)
1514oveq2d 6940 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑛)) = ((abs‘𝐴) / 𝑛))
169, 15eqtrd 2814 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) = ((abs‘𝐴) / 𝑛))
17 simprr 763 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)
184abscld 14590 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
19 rpre 12150 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
2019ad2antlr 717 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → 𝑥 ∈ ℝ)
21 rpgt0 12156 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑥)
2221ad2antlr 717 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → 0 < 𝑥)
23 rpgt0 12156 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑛)
2423ad2antrl 718 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → 0 < 𝑛)
25 ltdiv23 11271 . . . . . . . . 9 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) → (((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛 ↔ ((abs‘𝐴) / 𝑛) < 𝑥))
2618, 20, 22, 11, 24, 25syl122anc 1447 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → (((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛 ↔ ((abs‘𝐴) / 𝑛) < 𝑥))
2717, 26mpbid 224 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → ((abs‘𝐴) / 𝑛) < 𝑥)
2816, 27eqbrtrd 4910 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) < 𝑥)
2928expr 450 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛 → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) < 𝑥))
3029ralrimiva 3148 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑛 ∈ ℝ+ (((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛 → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) < 𝑥))
31 breq1 4891 . . . . 5 (𝑦 = ((abs‘𝐴) / 𝑥) → (𝑦 < 𝑛 ↔ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛))
3231rspceaimv 3519 . . . 4 ((((abs‘𝐴) / 𝑥) ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛 → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) < 𝑥))
333, 30, 32syl2anc 579 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) < 𝑥))
3433ralrimiva 3148 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) < 𝑥))
35 simpl 476 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
365adantl 475 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ∈ ℂ)
377adantl 475 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ≠ 0)
3835, 36, 37divcld 11154 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝑛) ∈ ℂ)
3938ralrimiva 3148 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝐴 / 𝑛) ∈ ℂ)
40 rpssre 12149 . . . 4 + ⊆ ℝ
4140a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ℝ+ ⊆ ℝ)
4239, 41rlim0lt 14657 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) < 𝑥)))
4334, 42mpbird 249 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝𝑟 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  wcel 2107  wne 2969  wral 3090  wrex 3091  wss 3792   class class class wbr 4888  cmpt 4967  cfv 6137  (class class class)co 6924  cc 10272  cr 10273  0cc0 10274   < clt 10413  cle 10414   / cdiv 11035  +crp 12142  abscabs 14387  𝑟 crli 14633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-pm 8145  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-sup 8638  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-rp 12143  df-seq 13125  df-exp 13184  df-cj 14252  df-re 14253  df-im 14254  df-sqrt 14388  df-abs 14389  df-rlim 14637
This theorem is referenced by:  divcnv  14998  cxp2limlem  25165  logfacrlim  25412  dchrmusumlema  25651  mudivsum  25688  selberg2lem  25708  pntrsumo1  25723
  Copyright terms: Public domain W3C validator