Theorem divrcnv 16065

Description: The sequence of reciprocals of real numbers, multiplied by the factor 𝐴, converges to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
divrcnv	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝𝑟 0)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem divrcnv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscl 15488	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
2		rerpdivcl 13192	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) / 𝑥) ∈ ℝ)
3	1, 2	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) / 𝑥) ∈ ℝ)
4		simpll 779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		rpcn 13171	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → 𝑛 ∈ ℂ)
6	5	ad2antrl 741	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℂ)
7		rpne0 13177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → 𝑛 ≠ 0)
8	7	ad2antrl 741	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → 𝑛 ≠ 0)
9	4, 6, 8	absdivd 15669	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) = ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑛)))
10		rpre 13169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → 𝑛 ∈ ℝ)
11	10	ad2antrl 741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
12		rpge0 13174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑛)
13	12	ad2antrl 741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → 0 ≤ 𝑛)
14	11, 13	absidd 15634	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → (abs‘𝑛) = 𝑛)
15	14	oveq2d 7467	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑛)) = ((abs‘𝐴) / 𝑛))
16	9, 15	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) = ((abs‘𝐴) / 𝑛))
17		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)
18	4	abscld 15650	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
19		rpre 13169	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
20	19	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → 𝑥 ∈ ℝ)
21		rpgt0 13173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑥)
22	21	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → 0 < 𝑥)
23		rpgt0 13173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑛)
24	23	ad2antrl 741	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → 0 < 𝑛)
25		ltdiv23 12248	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) → (((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛 ↔ ((abs‘𝐴) / 𝑛) < 𝑥))
26	18, 20, 22, 11, 24, 25	syl122anc 1407	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → (((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛 ↔ ((abs‘𝐴) / 𝑛) < 𝑥))
27	17, 26	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → ((abs‘𝐴) / 𝑛) < 𝑥)
28	16, 27	eqbrtrd 5133	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) < 𝑥)
29	28	expr 462	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛 → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) < 𝑥))
30	29	ralrimiva 3158	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑛 ∈ ℝ+ (((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛 → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) < 𝑥))
31		breq1 5111	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ((abs‘𝐴) / 𝑥) → (𝑦 < 𝑛 ↔ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛))
32	31	rspceaimv 3586	. . . 4 ⊢ ((((abs‘𝐴) / 𝑥) ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛 → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) < 𝑥))
33	3, 30, 32	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) < 𝑥))
34	33	ralrimiva 3158	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) < 𝑥))
35		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
36	5	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ∈ ℂ)
37	7	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ≠ 0)
38	35, 36, 37	divcld 12133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝑛) ∈ ℂ)
39	38	ralrimiva 3158	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝐴 / 𝑛) ∈ ℂ)
40		rpssre 13168	. . . 4 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
41	40	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℝ+ ⊆ ℝ)
42	39, 41	rlim0lt 15720	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) < 𝑥)))
43	34, 42	mpbird 260	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝𝑟 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  ℝcr 11238  0cc0 11239   < clt 11382   ≤ cle 11383   / cdiv 12013  ℝ⁺crp 13160  abscabs 15444   ⇝_𝑟 crli 15696

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-rlim 15700

This theorem is used by:  divcnv  16066  cxp2limlem  27360  logfacrlim  27608  dchrmusumlema  27877  mudivsum  27914  selberg2lem  27934  pntrsumo1  27949