Theorem divrcnv 15564

Description: The sequence of reciprocals of real numbers, multiplied by the factor 𝐴, converges to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
divrcnv	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝𝑟 0)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem divrcnv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscl 14990	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
2		rerpdivcl 12760	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) / 𝑥) ∈ ℝ)
3	1, 2	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) / 𝑥) ∈ ℝ)
4		simpll 764	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		rpcn 12740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → 𝑛 ∈ ℂ)
6	5	ad2antrl 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℂ)
7		rpne0 12746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → 𝑛 ≠ 0)
8	7	ad2antrl 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → 𝑛 ≠ 0)
9	4, 6, 8	absdivd 15167	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) = ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑛)))
10		rpre 12738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → 𝑛 ∈ ℝ)
11	10	ad2antrl 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
12		rpge0 12743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑛)
13	12	ad2antrl 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → 0 ≤ 𝑛)
14	11, 13	absidd 15134	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → (abs‘𝑛) = 𝑛)
15	14	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑛)) = ((abs‘𝐴) / 𝑛))
16	9, 15	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) = ((abs‘𝐴) / 𝑛))
17		simprr 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)
18	4	abscld 15148	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
19		rpre 12738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
20	19	ad2antlr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → 𝑥 ∈ ℝ)
21		rpgt0 12742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑥)
22	21	ad2antlr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → 0 < 𝑥)
23		rpgt0 12742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑛)
24	23	ad2antrl 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → 0 < 𝑛)
25		ltdiv23 11866	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) → (((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛 ↔ ((abs‘𝐴) / 𝑛) < 𝑥))
26	18, 20, 22, 11, 24, 25	syl122anc 1378	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → (((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛 ↔ ((abs‘𝐴) / 𝑛) < 𝑥))
27	17, 26	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → ((abs‘𝐴) / 𝑛) < 𝑥)
28	16, 27	eqbrtrd 5096	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛)) → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) < 𝑥)
29	28	expr 457	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛 → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) < 𝑥))
30	29	ralrimiva 3103	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑛 ∈ ℝ+ (((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛 → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) < 𝑥))
31		breq1 5077	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ((abs‘𝐴) / 𝑥) → (𝑦 < 𝑛 ↔ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛))
32	31	rspceaimv 3565	. . . 4 ⊢ ((((abs‘𝐴) / 𝑥) ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑛 → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) < 𝑥))
33	3, 30, 32	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) < 𝑥))
34	33	ralrimiva 3103	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) < 𝑥))
35		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
36	5	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ∈ ℂ)
37	7	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ≠ 0)
38	35, 36, 37	divcld 11751	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝑛) ∈ ℂ)
39	38	ralrimiva 3103	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝐴 / 𝑛) ∈ ℂ)
40		rpssre 12737	. . . 4 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
41	40	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℝ+ ⊆ ℝ)
42	39, 41	rlim0lt 15218	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘(𝐴 / 𝑛)) < 𝑥)))
43	34, 42	mpbird 256	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝𝑟 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871   < clt 11009   ≤ cle 11010   / cdiv 11632  ℝ⁺crp 12730  abscabs 14945   ⇝_𝑟 crli 15194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-rlim 15198

This theorem is referenced by:  divcnv  15565  cxp2limlem  26125  logfacrlim  26372  dchrmusumlema  26641  mudivsum  26678  selberg2lem  26698  pntrsumo1  26713