Theorem snvonmbl 46846

Description: A n-dimensional singleton is Lebesgue measurable. This is the first statement in Proposition 115G (e) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
snvonmbl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
snvonmbl.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
snvonmbl	⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ dom (voln‘𝑋))

Proof of Theorem snvonmbl

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snvonmbl.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
2	1	rrxsnicc 46460	. . 3 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,](𝐴‘𝑘)) = {𝐴})
3	2	eqcomd 2739	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝐴} = X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,](𝐴‘𝑘)))
4		snvonmbl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
5		eqid 2733	. . 3 ⊢ dom (voln‘𝑋) = dom (voln‘𝑋)
6		elmapi 8782	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
7	1, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
8	4, 5, 7, 7	iccvonmbl 46839	. 2 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,](𝐴‘𝑘)) ∈ dom (voln‘𝑋))
9	3, 8	eqeltrd 2833	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ dom (voln‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  {csn 4577  dom cdm 5621  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   ↑_m cmap 8759  Xcixp 8831  Fincfn 8879  ℝcr 11016  [,]cicc 13255  volncvoln 46698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9542  ax-cc 10337  ax-ac2 10365  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095  ax-addf 11096  ax-mulf 11097

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-disj 5063  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-tpos 8165  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-oadd 8398  df-omul 8399  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9257  df-fi 9306  df-sup 9337  df-inf 9338  df-oi 9407  df-dju 9805  df-card 9843  df-acn 9846  df-ac 10018  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-q 12853  df-rp 12897  df-xneg 13017  df-xadd 13018  df-xmul 13019  df-ioo 13256  df-ico 13258  df-icc 13259  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-fl 13703  df-seq 13916  df-exp 13976  df-hash 14245  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150  df-clim 15402  df-rlim 15403  df-sum 15601  df-prod 15818  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-starv 17183  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-ip 17186  df-tset 17187  df-ple 17188  df-ds 17190  df-unif 17191  df-hom 17192  df-cco 17193  df-rest 17333  df-topn 17334  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-topgen 17354  df-prds 17358  df-pws 17360  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-mhm 18699  df-submnd 18700  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-sbg 18859  df-subg 19044  df-ghm 19133  df-cntz 19237  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20067  df-rng 20079  df-ur 20108  df-ring 20161  df-cring 20162  df-oppr 20264  df-dvdsr 20284  df-unit 20285  df-invr 20315  df-dvr 20328  df-rhm 20399  df-subrng 20470  df-subrg 20494  df-drng 20655  df-field 20656  df-abv 20733  df-staf 20763  df-srng 20764  df-lmod 20804  df-lss 20874  df-lmhm 20965  df-lvec 21046  df-sra 21116  df-rgmod 21117  df-psmet 21292  df-xmet 21293  df-met 21294  df-bl 21295  df-mopn 21296  df-cnfld 21301  df-refld 21551  df-phl 21572  df-dsmm 21678  df-frlm 21693  df-top 22829  df-topon 22846  df-topsp 22868  df-bases 22881  df-cmp 23322  df-xms 24255  df-ms 24256  df-nm 24517  df-ngp 24518  df-tng 24519  df-nrg 24520  df-nlm 24521  df-clm 25010  df-cph 25115  df-tcph 25116  df-rrx 25332  df-ovol 25412  df-vol 25413  df-salg 46469  df-sumge0 46523  df-mea 46610  df-ome 46650  df-caragen 46652  df-ovoln 46697  df-voln 46699

This theorem is referenced by:  ctvonmbl  46849  vonsn  46851  vonct  46853