Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  snvonmbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snvonmbl 42962
Description: A n-dimensional singleton is Lebesgue measurable. This is the first statement in Proposition 115G (e) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
snvonmbl.1 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
snvonmbl.2 (𝜑𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
Assertion
Ref Expression
snvonmbl (𝜑 → {𝐴} ∈ dom (voln‘𝑋))

Proof of Theorem snvonmbl
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snvonmbl.2 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
21rrxsnicc 42579 . . 3 (𝜑X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) = {𝐴})
32eqcomd 2827 . 2 (𝜑 → {𝐴} = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)))
4 snvonmbl.1 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
5 eqid 2821 . . 3 dom (voln‘𝑋) = dom (voln‘𝑋)
6 elmapi 8422 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
71, 6syl 17 . . 3 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
84, 5, 7, 7iccvonmbl 42955 . 2 (𝜑X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) ∈ dom (voln‘𝑋))
93, 8eqeltrd 2913 1 (𝜑 → {𝐴} ∈ dom (voln‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2110  {csn 4560  dom cdm 5549  wf 6345  cfv 6349  (class class class)co 7150  m cmap 8400  Xcixp 8455  Fincfn 8503  cr 10530  [,]cicc 12735  volncvoln 42814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cc 9851  ax-ac2 9879  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-iin 4914  df-disj 5024  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-omul 8101  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-dju 9324  df-card 9362  df-acn 9365  df-ac 9536  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ioo 12736  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-sum 15037  df-prod 15254  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-topgen 16711  df-prds 16715  df-pws 16717  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-mhm 17950  df-submnd 17951  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-subg 18270  df-ghm 18350  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-abl 18903  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-cring 19294  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-dvr 19427  df-rnghom 19461  df-drng 19498  df-field 19499  df-subrg 19527  df-abv 19582  df-staf 19610  df-srng 19611  df-lmod 19630  df-lss 19698  df-lmhm 19788  df-lvec 19869  df-sra 19938  df-rgmod 19939  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-cnfld 20540  df-refld 20743  df-phl 20764  df-dsmm 20870  df-frlm 20885  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-cmp 21989  df-xms 22924  df-ms 22925  df-nm 23186  df-ngp 23187  df-tng 23188  df-nrg 23189  df-nlm 23190  df-clm 23661  df-cph 23766  df-tcph 23767  df-rrx 23982  df-ovol 24059  df-vol 24060  df-salg 42588  df-sumge0 42639  df-mea 42726  df-ome 42766  df-caragen 42768  df-ovoln 42813  df-voln 42815
This theorem is referenced by:  ctvonmbl  42965  vonsn  42967  vonct  42969
  Copyright terms: Public domain W3C validator