Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrnprjdstle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrnprjdstle 42882
 Description: The distance between two points in Euclidean space is greater than the distance between the projections onto one coordinate. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnprjdstle.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
rrnprjdstle.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
rrnprjdstle.g (𝜑𝐺:𝑋⟶ℝ)
rrnprjdstle.i (𝜑𝐼𝑋)
rrnprjdstle.d 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝑋))
Assertion
Ref Expression
rrnprjdstle (𝜑 → (abs‘((𝐹𝐼) − (𝐺𝐼))) ≤ (𝐹𝐷𝐺))

Proof of Theorem rrnprjdstle
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrnprjdstle.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
2 rrnprjdstle.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑋)
31, 2ffvelrnd 6834 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐼) ∈ ℝ)
4 rrnprjdstle.g . . . . 5 (𝜑𝐺:𝑋⟶ℝ)
54, 2ffvelrnd 6834 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝐼) ∈ ℝ)
6 eqid 2822 . . . . 5 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
76remetdval 23392 . . . 4 (((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝐼) ∈ ℝ) → ((𝐹𝐼)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝐼)) = (abs‘((𝐹𝐼) − (𝐺𝐼))))
83, 5, 7syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐼)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝐼)) = (abs‘((𝐹𝐼) − (𝐺𝐼))))
98eqcomd 2828 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐹𝐼) − (𝐺𝐼))) = ((𝐹𝐼)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝐼)))
10 rrnprjdstle.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
11 reex 10617 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
1211a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ V)
1312, 10elmapd 8407 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐹:𝑋⟶ℝ))
141, 13mpbird 260 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
15 eqid 2822 . . . . . 6 (ℝ^‘𝑋) = (ℝ^‘𝑋)
16 eqid 2822 . . . . . 6 (Base‘(ℝ^‘𝑋)) = (Base‘(ℝ^‘𝑋))
1710, 15, 16rrxbasefi 24012 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(ℝ^‘𝑋)) = (ℝ ↑m 𝑋))
1815, 16rrxbase 23990 . . . . . 6 (𝑋 ∈ Fin → (Base‘(ℝ^‘𝑋)) = { ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ finSupp 0})
1910, 18syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(ℝ^‘𝑋)) = { ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ finSupp 0})
2017, 19eqtr3d 2859 . . . 4 (𝜑 → (ℝ ↑m 𝑋) = { ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ finSupp 0})
2114, 20eleqtrd 2916 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ { ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ finSupp 0})
2212, 10elmapd 8407 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐺:𝑋⟶ℝ))
234, 22mpbird 260 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
2423, 20eleqtrd 2916 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ { ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ finSupp 0})
25 eqid 2822 . . . 4 { ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ finSupp 0} = { ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ finSupp 0}
26 rrnprjdstle.d . . . 4 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝑋))
2725, 26, 6rrxdstprj1 24011 . . 3 (((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐼𝑋) ∧ (𝐹 ∈ { ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ finSupp 0} ∧ 𝐺 ∈ { ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ finSupp 0})) → ((𝐹𝐼)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝐼)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
2810, 2, 21, 24, 27syl22anc 837 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐼)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝐼)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
299, 28eqbrtrd 5064 1 (𝜑 → (abs‘((𝐹𝐼) − (𝐺𝐼))) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  {crab 3134  Vcvv 3469   class class class wbr 5042   × cxp 5530   ↾ cres 5534   ∘ ccom 5536  ⟶wf 6330  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140   ↑m cmap 8393  Fincfn 8496   finSupp cfsupp 8821  ℝcr 10525  0cc0 10526   ≤ cle 10665   − cmin 10859  abscabs 14584  Basecbs 16474  distcds 16565  ℝ^crrx 23985 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ico 12732  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-clim 14836  df-sum 15034  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-hom 16580  df-cco 16581  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-prds 16712  df-pws 16714  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17947  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-subg 18267  df-ghm 18347  df-cntz 18438  df-cmn 18899  df-abl 18900  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-cring 19291  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-dvr 19427  df-rnghom 19461  df-drng 19495  df-field 19496  df-subrg 19524  df-staf 19607  df-srng 19608  df-lmod 19627  df-lss 19695  df-sra 19935  df-rgmod 19936  df-xmet 20082  df-met 20083  df-cnfld 20090  df-refld 20292  df-dsmm 20419  df-frlm 20434  df-nm 23187  df-tng 23189  df-tcph 23772  df-rrx 23987 This theorem is referenced by:  ioorrnopnlem  42885
 Copyright terms: Public domain W3C validator