Theorem rrnprjdstle 47114

Description: The distance between two points in Euclidean space is greater than the distance between the projections onto one coordinate. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrnprjdstle.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
rrnprjdstle.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
rrnprjdstle.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℝ)
rrnprjdstle.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
rrnprjdstle.d	⊢ 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
rrnprjdstle	⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐼) − (𝐺‘𝐼))) ≤ (𝐹𝐷𝐺))

Proof of Theorem rrnprjdstle

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrnprjdstle.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
2		rrnprjdstle.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
3	1, 2	ffvelcdmd 7081	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)
4		rrnprjdstle.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℝ)
5	4, 2	ffvelcdmd 7081	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐼) ∈ ℝ)
6		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
7	6	remetdval 25014	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝐼)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝐼)) = (abs‘((𝐹‘𝐼) − (𝐺‘𝐼))))
8	3, 5, 7	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐼)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝐼)) = (abs‘((𝐹‘𝐼) − (𝐺‘𝐼))))
9	8	eqcomd 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐼) − (𝐺‘𝐼))) = ((𝐹‘𝐼)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝐼)))
10		rrnprjdstle.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
11		reex 11216	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
13	12, 10	elmapd 8842	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐹:𝑋⟶ℝ))
14	1, 13	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
15		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (ℝ^‘𝑋) = (ℝ^‘𝑋)
16		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(ℝ^‘𝑋)) = (Base‘(ℝ^‘𝑋))
17	10, 15, 16	rrxbasefi 25637	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(ℝ^‘𝑋)) = (ℝ ↑m 𝑋))
18	15, 16	rrxbase 25615	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (Base‘(ℝ^‘𝑋)) = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ ℎ finSupp 0})
19	10, 18	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(ℝ^‘𝑋)) = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ ℎ finSupp 0})
20	17, 19	eqtr3d 2799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ ↑m 𝑋) = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ ℎ finSupp 0})
21	14, 20	eleqtrd 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ ℎ finSupp 0})
22	12, 10	elmapd 8842	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐺:𝑋⟶ℝ))
23	4, 22	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
24	23, 20	eleqtrd 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ ℎ finSupp 0})
25		eqid 2762	. . . 4 ⊢ {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ ℎ finSupp 0}
26		rrnprjdstle.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝑋))
27	25, 26, 6	rrxdstprj1 25636	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ ℎ finSupp 0} ∧ 𝐺 ∈ {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ ℎ finSupp 0})) → ((𝐹‘𝐼)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝐼)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
28	10, 2, 21, 24, 27	syl22anc 852	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐼)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝐼)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
29	9, 28	eqbrtrd 5131	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐼) − (𝐺‘𝐼))) ≤ (𝐹𝐷𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3414  Vcvv 3453   class class class wbr 5107   × cxp 5657   ↾ cres 5661   ∘ ccom 5663  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8829  Fincfn 8955   finSupp cfsupp 9334  ℝcr 11124  0cc0 11125   ≤ cle 11269   − cmin 11466  abscabs 15321  Basecbs 17303  distcds 17353  ℝ^crrx 25610

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203  ax-addf 11204  ax-mulf 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-ico 13404  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-clim 15575  df-sum 15774  df-struct 17241  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-ress 17325  df-plusg 17357  df-mulr 17358  df-starv 17359  df-sca 17360  df-vsca 17361  df-ip 17362  df-tset 17363  df-ple 17364  df-ds 17366  df-unif 17367  df-hom 17368  df-cco 17369  df-0g 17528  df-gsum 17529  df-prds 17534  df-pws 17536  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mhm 18890  df-grp 19059  df-minusg 19060  df-sbg 19061  df-subg 19245  df-ghm 19340  df-cntz 19443  df-cmn 19908  df-abl 19909  df-mgp 20273  df-rng 20287  df-ur 20320  df-ring 20373  df-cring 20374  df-oppr 20477  df-dvdsr 20497  df-unit 20498  df-invr 20528  df-dvr 20541  df-rhm 20612  df-subrng 20707  df-subrg 20731  df-drng 20891  df-field 20892  df-staf 21004  df-srng 21005  df-lmod 21045  df-lss 21115  df-sra 21356  df-rgmod 21357  df-xmet 21577  df-met 21578  df-cnfld 21585  df-refld 21817  df-dsmm 21944  df-frlm 21959  df-nm 24807  df-tng 24809  df-tcph 25396  df-rrx 25612

This theorem is used by:  ioorrnopnlem  47117