Theorem rrnprjdstle 47227

Description: The distance between two points in Euclidean space is greater than the distance between the projections onto one coordinate. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrnprjdstle.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
rrnprjdstle.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
rrnprjdstle.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℝ)
rrnprjdstle.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
rrnprjdstle.d	⊢ 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
rrnprjdstle	⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐼) − (𝐺‘𝐼))) ≤ (𝐹𝐷𝐺))

Proof of Theorem rrnprjdstle

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrnprjdstle.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
2		rrnprjdstle.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
3	1, 2	ffvelcdmd 7074	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)
4		rrnprjdstle.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℝ)
5	4, 2	ffvelcdmd 7074	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐼) ∈ ℝ)
6		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
7	6	remetdval 25055	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝐼)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝐼)) = (abs‘((𝐹‘𝐼) − (𝐺‘𝐼))))
8	3, 5, 7	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐼)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝐼)) = (abs‘((𝐹‘𝐼) − (𝐺‘𝐼))))
9	8	eqcomd 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐼) − (𝐺‘𝐼))) = ((𝐹‘𝐼)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝐼)))
10		rrnprjdstle.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
11		reex 11248	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
13	12, 10	elmapd 8839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐹:𝑋⟶ℝ))
14	1, 13	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
15		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (ℝ^‘𝑋) = (ℝ^‘𝑋)
16		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(ℝ^‘𝑋)) = (Base‘(ℝ^‘𝑋))
17	10, 15, 16	rrxbasefi 25678	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(ℝ^‘𝑋)) = (ℝ ↑m 𝑋))
18	15, 16	rrxbase 25656	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (Base‘(ℝ^‘𝑋)) = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ ℎ finSupp 0})
19	10, 18	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(ℝ^‘𝑋)) = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ ℎ finSupp 0})
20	17, 19	eqtr3d 2797	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ ↑m 𝑋) = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ ℎ finSupp 0})
21	14, 20	eleqtrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ ℎ finSupp 0})
22	12, 10	elmapd 8839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐺:𝑋⟶ℝ))
23	4, 22	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
24	23, 20	eleqtrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ ℎ finSupp 0})
25		eqid 2760	. . . 4 ⊢ {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ ℎ finSupp 0}
26		rrnprjdstle.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝑋))
27	25, 26, 6	rrxdstprj1 25677	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ ℎ finSupp 0} ∧ 𝐺 ∈ {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ ℎ finSupp 0})) → ((𝐹‘𝐼)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝐼)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
28	10, 2, 21, 24, 27	syl22anc 852	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐼)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝐼)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
29	9, 28	eqbrtrd 5127	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐼) − (𝐺‘𝐼))) ≤ (𝐹𝐷𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412  Vcvv 3450   class class class wbr 5103   × cxp 5646   ↾ cres 5650   ∘ ccom 5652  ⟶wf 6524  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409   ↑_m cmap 8826  Fincfn 8952   finSupp cfsupp 9331  ℝcr 11156  0cc0 11157   ≤ cle 11301   − cmin 11498  abscabs 15354  Basecbs 17334  distcds 17384  ℝ^crrx 25651

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-inf2 9620  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235  ax-addf 11236  ax-mulf 11237

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7677  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8157  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-7 12365  df-8 12366  df-9 12367  df-n0 12562  df-z 12649  df-dec 12770  df-uz 12921  df-rp 13076  df-xneg 13196  df-xadd 13197  df-xmul 13198  df-ico 13437  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-seq 14099  df-exp 14159  df-hash 14428  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-sqrt 15355  df-abs 15356  df-clim 15608  df-sum 15807  df-struct 17272  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-mulr 17389  df-starv 17390  df-sca 17391  df-vsca 17392  df-ip 17393  df-tset 17394  df-ple 17395  df-ds 17397  df-unif 17398  df-hom 17399  df-cco 17400  df-0g 17559  df-gsum 17560  df-prds 17565  df-pws 17567  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-mhm 18925  df-grp 19094  df-minusg 19095  df-sbg 19096  df-subg 19280  df-ghm 19375  df-cntz 19478  df-cmn 19943  df-abl 19944  df-mgp 20308  df-rng 20322  df-ur 20355  df-ring 20408  df-cring 20409  df-oppr 20514  df-dvdsr 20534  df-unit 20535  df-invr 20565  df-dvr 20578  df-rhm 20649  df-subrng 20745  df-subrg 20769  df-drng 20929  df-field 20930  df-staf 21043  df-srng 21044  df-lmod 21084  df-lss 21154  df-sra 21395  df-rgmod 21396  df-xmet 21618  df-met 21619  df-cnfld 21626  df-refld 21858  df-dsmm 21985  df-frlm 22000  df-nm 24848  df-tng 24850  df-tcph 25437  df-rrx 25653

This theorem is used by:  ioorrnopnlem  47230