Theorem rrnprjdstle 45316

Description: The distance between two points in Euclidean space is greater than the distance between the projections onto one coordinate. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrnprjdstle.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
rrnprjdstle.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
rrnprjdstle.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℝ)
rrnprjdstle.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
rrnprjdstle.d	⊢ 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
rrnprjdstle	⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐼) − (𝐺‘𝐼))) ≤ (𝐹𝐷𝐺))

Proof of Theorem rrnprjdstle

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrnprjdstle.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
2		rrnprjdstle.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
3	1, 2	ffvelcdmd 7087	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)
4		rrnprjdstle.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℝ)
5	4, 2	ffvelcdmd 7087	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐼) ∈ ℝ)
6		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
7	6	remetdval 24526	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝐼)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝐼)) = (abs‘((𝐹‘𝐼) − (𝐺‘𝐼))))
8	3, 5, 7	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐼)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝐼)) = (abs‘((𝐹‘𝐼) − (𝐺‘𝐼))))
9	8	eqcomd 2737	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐼) − (𝐺‘𝐼))) = ((𝐹‘𝐼)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝐼)))
10		rrnprjdstle.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
11		reex 11205	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
13	12, 10	elmapd 8838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐹:𝑋⟶ℝ))
14	1, 13	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
15		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (ℝ^‘𝑋) = (ℝ^‘𝑋)
16		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(ℝ^‘𝑋)) = (Base‘(ℝ^‘𝑋))
17	10, 15, 16	rrxbasefi 25159	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(ℝ^‘𝑋)) = (ℝ ↑m 𝑋))
18	15, 16	rrxbase 25137	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (Base‘(ℝ^‘𝑋)) = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ ℎ finSupp 0})
19	10, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(ℝ^‘𝑋)) = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ ℎ finSupp 0})
20	17, 19	eqtr3d 2773	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ ↑m 𝑋) = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ ℎ finSupp 0})
21	14, 20	eleqtrd 2834	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ ℎ finSupp 0})
22	12, 10	elmapd 8838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐺:𝑋⟶ℝ))
23	4, 22	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
24	23, 20	eleqtrd 2834	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ ℎ finSupp 0})
25		eqid 2731	. . . 4 ⊢ {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ ℎ finSupp 0}
26		rrnprjdstle.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝑋))
27	25, 26, 6	rrxdstprj1 25158	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ ℎ finSupp 0} ∧ 𝐺 ∈ {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ ℎ finSupp 0})) → ((𝐹‘𝐼)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝐼)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
28	10, 2, 21, 24, 27	syl22anc 836	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐼)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝐼)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
29	9, 28	eqbrtrd 5170	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐼) − (𝐺‘𝐼))) ≤ (𝐹𝐷𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3431  Vcvv 3473   class class class wbr 5148   × cxp 5674   ↾ cres 5678   ∘ ccom 5680  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8824  Fincfn 8943   finSupp cfsupp 9365  ℝcr 11113  0cc0 11114   ≤ cle 11254   − cmin 11449  abscabs 15186  Basecbs 17149  distcds 17211  ℝ^crrx 25132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-sup 9441  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ico 13335  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-rhm 20364  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-drng 20503  df-field 20504  df-staf 20597  df-srng 20598  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-sra 20931  df-rgmod 20932  df-xmet 21138  df-met 21139  df-cnfld 21146  df-refld 21378  df-dsmm 21507  df-frlm 21522  df-nm 24312  df-tng 24314  df-tcph 24918  df-rrx 25134

This theorem is referenced by:  ioorrnopnlem  45319