Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrnprjdstle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrnprjdstle 41305
Description: The distance between two points in Euclidean space is greater than the distance between the projections onto one coordinate. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnprjdstle.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
rrnprjdstle.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
rrnprjdstle.g (𝜑𝐺:𝑋⟶ℝ)
rrnprjdstle.i (𝜑𝐼𝑋)
rrnprjdstle.d 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝑋))
Assertion
Ref Expression
rrnprjdstle (𝜑 → (abs‘((𝐹𝐼) − (𝐺𝐼))) ≤ (𝐹𝐷𝐺))

Proof of Theorem rrnprjdstle
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrnprjdstle.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
2 rrnprjdstle.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑋)
31, 2ffvelrnd 6609 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐼) ∈ ℝ)
4 rrnprjdstle.g . . . . 5 (𝜑𝐺:𝑋⟶ℝ)
54, 2ffvelrnd 6609 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝐼) ∈ ℝ)
6 eqid 2825 . . . . 5 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
76remetdval 22962 . . . 4 (((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝐼) ∈ ℝ) → ((𝐹𝐼)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝐼)) = (abs‘((𝐹𝐼) − (𝐺𝐼))))
83, 5, 7syl2anc 579 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐼)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝐼)) = (abs‘((𝐹𝐼) − (𝐺𝐼))))
98eqcomd 2831 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐹𝐼) − (𝐺𝐼))) = ((𝐹𝐼)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝐼)))
10 rrnprjdstle.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
11 reex 10343 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
1211a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ V)
1312, 10elmapd 8136 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↔ 𝐹:𝑋⟶ℝ))
141, 13mpbird 249 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
15 eqid 2825 . . . . . 6 (ℝ^‘𝑋) = (ℝ^‘𝑋)
16 eqid 2825 . . . . . 6 (Base‘(ℝ^‘𝑋)) = (Base‘(ℝ^‘𝑋))
1710, 15, 16rrxbasefi 23578 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(ℝ^‘𝑋)) = (ℝ ↑𝑚 𝑋))
1815, 16rrxbase 23556 . . . . . 6 (𝑋 ∈ Fin → (Base‘(ℝ^‘𝑋)) = { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ finSupp 0})
1910, 18syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(ℝ^‘𝑋)) = { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ finSupp 0})
2017, 19eqtr3d 2863 . . . 4 (𝜑 → (ℝ ↑𝑚 𝑋) = { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ finSupp 0})
2114, 20eleqtrd 2908 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ finSupp 0})
2212, 10elmapd 8136 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↔ 𝐺:𝑋⟶ℝ))
234, 22mpbird 249 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
2423, 20eleqtrd 2908 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ finSupp 0})
25 eqid 2825 . . . 4 { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ finSupp 0} = { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ finSupp 0}
26 rrnprjdstle.d . . . 4 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝑋))
2725, 26, 6rrxdstprj1 23577 . . 3 (((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐼𝑋) ∧ (𝐹 ∈ { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ finSupp 0} ∧ 𝐺 ∈ { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ finSupp 0})) → ((𝐹𝐼)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝐼)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
2810, 2, 21, 24, 27syl22anc 872 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐼)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝐼)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
299, 28eqbrtrd 4895 1 (𝜑 → (abs‘((𝐹𝐼) − (𝐺𝐼))) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1656  wcel 2164  {crab 3121  Vcvv 3414   class class class wbr 4873   × cxp 5340  cres 5344  ccom 5346  wf 6119  cfv 6123  (class class class)co 6905  𝑚 cmap 8122  Fincfn 8222   finSupp cfsupp 8544  cr 10251  0cc0 10252  cle 10392  cmin 10585  abscabs 14351  Basecbs 16222  distcds 16314  ℝ^crrx 23551
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330  ax-addf 10331  ax-mulf 10332
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-supp 7560  df-tpos 7617  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-ixp 8176  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fsupp 8545  df-sup 8617  df-oi 8684  df-card 9078  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-rp 12113  df-xneg 12232  df-xadd 12233  df-xmul 12234  df-ico 12469  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-seq 13096  df-exp 13155  df-hash 13411  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-clim 14596  df-sum 14794  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-starv 16320  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-ip 16323  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-unif 16328  df-hom 16329  df-cco 16330  df-0g 16455  df-gsum 16456  df-prds 16461  df-pws 16463  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-mhm 17688  df-grp 17779  df-minusg 17780  df-sbg 17781  df-subg 17942  df-ghm 18009  df-cntz 18100  df-cmn 18548  df-abl 18549  df-mgp 18844  df-ur 18856  df-ring 18903  df-cring 18904  df-oppr 18977  df-dvdsr 18995  df-unit 18996  df-invr 19026  df-dvr 19037  df-rnghom 19071  df-drng 19105  df-field 19106  df-subrg 19134  df-staf 19201  df-srng 19202  df-lmod 19221  df-lss 19289  df-sra 19533  df-rgmod 19534  df-xmet 20099  df-met 20100  df-cnfld 20107  df-refld 20312  df-dsmm 20439  df-frlm 20454  df-nm 22757  df-tng 22759  df-tcph 23338  df-rrx 23553
This theorem is referenced by:  ioorrnopnlem  41308
  Copyright terms: Public domain W3C validator