Theorem rrnprjdstle 46729

Description: The distance between two points in Euclidean space is greater than the distance between the projections onto one coordinate. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrnprjdstle.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
rrnprjdstle.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
rrnprjdstle.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℝ)
rrnprjdstle.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
rrnprjdstle.d	⊢ 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
rrnprjdstle	⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐼) − (𝐺‘𝐼))) ≤ (𝐹𝐷𝐺))

Proof of Theorem rrnprjdstle

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrnprjdstle.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
2		rrnprjdstle.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
3	1, 2	ffvelcdmd 7037	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)
4		rrnprjdstle.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℝ)
5	4, 2	ffvelcdmd 7037	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐼) ∈ ℝ)
6		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
7	6	remetdval 24754	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝐼)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝐼)) = (abs‘((𝐹‘𝐼) − (𝐺‘𝐼))))
8	3, 5, 7	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐼)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝐼)) = (abs‘((𝐹‘𝐼) − (𝐺‘𝐼))))
9	8	eqcomd 2742	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐼) − (𝐺‘𝐼))) = ((𝐹‘𝐼)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝐼)))
10		rrnprjdstle.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
11		reex 11129	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
13	12, 10	elmapd 8787	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐹:𝑋⟶ℝ))
14	1, 13	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
15		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (ℝ^‘𝑋) = (ℝ^‘𝑋)
16		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(ℝ^‘𝑋)) = (Base‘(ℝ^‘𝑋))
17	10, 15, 16	rrxbasefi 25377	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(ℝ^‘𝑋)) = (ℝ ↑m 𝑋))
18	15, 16	rrxbase 25355	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (Base‘(ℝ^‘𝑋)) = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ ℎ finSupp 0})
19	10, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(ℝ^‘𝑋)) = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ ℎ finSupp 0})
20	17, 19	eqtr3d 2773	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ ↑m 𝑋) = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ ℎ finSupp 0})
21	14, 20	eleqtrd 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ ℎ finSupp 0})
22	12, 10	elmapd 8787	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐺:𝑋⟶ℝ))
23	4, 22	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
24	23, 20	eleqtrd 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ ℎ finSupp 0})
25		eqid 2736	. . . 4 ⊢ {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ ℎ finSupp 0}
26		rrnprjdstle.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝑋))
27	25, 26, 6	rrxdstprj1 25376	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ ℎ finSupp 0} ∧ 𝐺 ∈ {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ ℎ finSupp 0})) → ((𝐹‘𝐼)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝐼)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
28	10, 2, 21, 24, 27	syl22anc 839	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐼)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝐼)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
29	9, 28	eqbrtrd 5107	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐼) − (𝐺‘𝐼))) ≤ (𝐹𝐷𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3389  Vcvv 3429   class class class wbr 5085   × cxp 5629   ↾ cres 5633   ∘ ccom 5635  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ↑_m cmap 8773  Fincfn 8893   finSupp cfsupp 9274  ℝcr 11037  0cc0 11038   ≤ cle 11180   − cmin 11377  abscabs 15196  Basecbs 17179  distcds 17229  ℝ^crrx 25350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ico 13304  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-ghm 19188  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-dvr 20381  df-rhm 20452  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-drng 20708  df-field 20709  df-staf 20816  df-srng 20817  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-xmet 21345  df-met 21346  df-cnfld 21353  df-refld 21585  df-dsmm 21712  df-frlm 21727  df-nm 24547  df-tng 24549  df-tcph 25136  df-rrx 25352

This theorem is referenced by:  ioorrnopnlem  46732