Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonsn 46647
Description: The n-dimensional Lebesgue measure of a singleton is zero. This is the first statement in Proposition 115G (e) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonsn.1 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
vonsn.2 (𝜑𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
Assertion
Ref Expression
vonsn (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘{𝐴}) = 0)

Proof of Theorem vonsn
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6907 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → (voln‘𝑋) = (voln‘∅))
21fveq1d 6909 . . . 4 (𝑋 = ∅ → ((voln‘𝑋)‘{𝐴}) = ((voln‘∅)‘{𝐴}))
32adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘{𝐴}) = ((voln‘∅)‘{𝐴}))
4 0fi 9081 . . . . . 6 ∅ ∈ Fin
54a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∅ ∈ Fin)
6 vonsn.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
76adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
8 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m ∅))
98adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m ∅))
107, 9eleqtrd 2841 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m ∅))
115, 10snvonmbl 46642 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → {𝐴} ∈ dom (voln‘∅))
1211von0val 46627 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘∅)‘{𝐴}) = 0)
133, 12eqtrd 2775 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘{𝐴}) = 0)
14 neqne 2946 . . . 4 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
1514adantl 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
166rrxsnicc 46256 . . . . . . 7 (𝜑X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) = {𝐴})
1716eqcomd 2741 . . . . . 6 (𝜑 → {𝐴} = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)))
1817fveq2d 6911 . . . . 5 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘{𝐴}) = ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))))
1918adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘{𝐴}) = ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))))
20 vonsn.1 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2120adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
22 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
23 elmapi 8888 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
246, 23syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
2524adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
26 eqid 2735 . . . . 5 X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))
2721, 22, 25, 25, 26vonn0icc 46644 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))))
2824ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
2928rexrd 11309 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ*)
30 iccid 13429 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑘) ∈ ℝ* → ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) = {(𝐴𝑘)})
3129, 30syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) = {(𝐴𝑘)})
3231fveq2d 6911 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))) = (vol‘{(𝐴𝑘)}))
33 volsn 45923 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑘) ∈ ℝ → (vol‘{(𝐴𝑘)}) = 0)
3428, 33syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘{(𝐴𝑘)}) = 0)
3532, 34eqtrd 2775 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))) = 0)
3635prodeq2dv 15955 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))) = ∏𝑘𝑋 0)
3736adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))) = ∏𝑘𝑋 0)
38 0cnd 11252 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
39 fprodconst 16011 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 0 ∈ ℂ) → ∏𝑘𝑋 0 = (0↑(♯‘𝑋)))
4020, 38, 39syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 0 = (0↑(♯‘𝑋)))
4140adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∏𝑘𝑋 0 = (0↑(♯‘𝑋)))
42 hashnncl 14402 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ Fin → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
4320, 42syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
4443adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
4522, 44mpbird 257 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
46 0exp 14135 . . . . . 6 ((♯‘𝑋) ∈ ℕ → (0↑(♯‘𝑋)) = 0)
4745, 46syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (0↑(♯‘𝑋)) = 0)
4837, 41, 473eqtrd 2779 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))) = 0)
4919, 27, 483eqtrd 2779 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘{𝐴}) = 0)
5015, 49syldan 591 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘{𝐴}) = 0)
5113, 50pm2.61dan 813 1 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘{𝐴}) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  c0 4339  {csn 4631  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  Xcixp 8936  Fincfn 8984  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  *cxr 11292  cn 12264  [,]cicc 13387  cexp 14099  chash 14366  cprod 15936  volcvol 25512  volncvoln 46494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-ac2 10501  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-ac 10154  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-prod 15937  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-pws 17496  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-drng 20748  df-field 20749  df-abv 20827  df-staf 20857  df-srng 20858  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lmhm 21039  df-lvec 21120  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-refld 21641  df-phl 21662  df-dsmm 21770  df-frlm 21785  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-cmp 23411  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-nm 24611  df-ngp 24612  df-tng 24613  df-nrg 24614  df-nlm 24615  df-cncf 24918  df-clm 25110  df-cph 25216  df-tcph 25217  df-rrx 25433  df-ovol 25513  df-vol 25514  df-salg 46265  df-sumge0 46319  df-mea 46406  df-ome 46446  df-caragen 46448  df-ovoln 46493  df-voln 46495
This theorem is referenced by:  vonct  46649
  Copyright terms: Public domain W3C validator