Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonsn 43741
 Description: The n-dimensional Lebesgue measure of a singleton is zero. This is the first statement in Proposition 115G (e) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonsn.1 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
vonsn.2 (𝜑𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
Assertion
Ref Expression
vonsn (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘{𝐴}) = 0)

Proof of Theorem vonsn
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6663 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → (voln‘𝑋) = (voln‘∅))
21fveq1d 6665 . . . 4 (𝑋 = ∅ → ((voln‘𝑋)‘{𝐴}) = ((voln‘∅)‘{𝐴}))
32adantl 485 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘{𝐴}) = ((voln‘∅)‘{𝐴}))
4 0fin 8753 . . . . . 6 ∅ ∈ Fin
54a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∅ ∈ Fin)
6 vonsn.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
76adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
8 oveq2 7164 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m ∅))
98adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m ∅))
107, 9eleqtrd 2854 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m ∅))
115, 10snvonmbl 43736 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → {𝐴} ∈ dom (voln‘∅))
1211von0val 43721 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘∅)‘{𝐴}) = 0)
133, 12eqtrd 2793 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘{𝐴}) = 0)
14 neqne 2959 . . . 4 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
1514adantl 485 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
166rrxsnicc 43353 . . . . . . 7 (𝜑X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) = {𝐴})
1716eqcomd 2764 . . . . . 6 (𝜑 → {𝐴} = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)))
1817fveq2d 6667 . . . . 5 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘{𝐴}) = ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))))
1918adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘{𝐴}) = ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))))
20 vonsn.1 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2120adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
22 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
23 elmapi 8444 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
246, 23syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
2524adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
26 eqid 2758 . . . . 5 X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))
2721, 22, 25, 25, 26vonn0icc 43738 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))))
2824ffvelrnda 6848 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
2928rexrd 10742 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ*)
30 iccid 12837 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑘) ∈ ℝ* → ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) = {(𝐴𝑘)})
3129, 30syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) = {(𝐴𝑘)})
3231fveq2d 6667 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))) = (vol‘{(𝐴𝑘)}))
33 volsn 43020 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑘) ∈ ℝ → (vol‘{(𝐴𝑘)}) = 0)
3428, 33syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘{(𝐴𝑘)}) = 0)
3532, 34eqtrd 2793 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))) = 0)
3635prodeq2dv 15338 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))) = ∏𝑘𝑋 0)
3736adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))) = ∏𝑘𝑋 0)
38 0cnd 10685 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
39 fprodconst 15393 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 0 ∈ ℂ) → ∏𝑘𝑋 0 = (0↑(♯‘𝑋)))
4020, 38, 39syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 0 = (0↑(♯‘𝑋)))
4140adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∏𝑘𝑋 0 = (0↑(♯‘𝑋)))
42 hashnncl 13790 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ Fin → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
4320, 42syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
4443adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
4522, 44mpbird 260 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
46 0exp 13527 . . . . . 6 ((♯‘𝑋) ∈ ℕ → (0↑(♯‘𝑋)) = 0)
4745, 46syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (0↑(♯‘𝑋)) = 0)
4837, 41, 473eqtrd 2797 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))) = 0)
4919, 27, 483eqtrd 2797 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘{𝐴}) = 0)
5015, 49syldan 594 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘{𝐴}) = 0)
5113, 50pm2.61dan 812 1 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘{𝐴}) = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∅c0 4227  {csn 4525  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156   ↑m cmap 8422  Xcixp 8492  Fincfn 8540  ℂcc 10586  ℝcr 10587  0cc0 10588  ℝ*cxr 10725  ℕcn 11687  [,]cicc 12795  ↑cexp 13492  ♯chash 13753  ∏cprod 15320  volcvol 24177  volncvoln 43588 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-inf2 9150  ax-cc 9908  ax-ac2 9936  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666  ax-addf 10667  ax-mulf 10668 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-disj 5002  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-supp 7842  df-tpos 7908  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-2o 8119  df-oadd 8122  df-omul 8123  df-er 8305  df-map 8424  df-pm 8425  df-ixp 8493  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fsupp 8880  df-fi 8921  df-sup 8952  df-inf 8953  df-oi 9020  df-dju 9376  df-card 9414  df-acn 9417  df-ac 9589  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-q 12402  df-rp 12444  df-xneg 12561  df-xadd 12562  df-xmul 12563  df-ioo 12796  df-ico 12798  df-icc 12799  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-fl 13224  df-seq 13432  df-exp 13493  df-hash 13754  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-clim 14906  df-rlim 14907  df-sum 15104  df-prod 15321  df-struct 16557  df-ndx 16558  df-slot 16559  df-base 16561  df-sets 16562  df-ress 16563  df-plusg 16650  df-mulr 16651  df-starv 16652  df-sca 16653  df-vsca 16654  df-ip 16655  df-tset 16656  df-ple 16657  df-ds 16659  df-unif 16660  df-hom 16661  df-cco 16662  df-rest 16768  df-topn 16769  df-0g 16787  df-gsum 16788  df-topgen 16789  df-pt 16790  df-prds 16793  df-pws 16795  df-xrs 16847  df-qtop 16852  df-imas 16853  df-xps 16855  df-mre 16929  df-mrc 16930  df-acs 16932  df-mgm 17932  df-sgrp 17981  df-mnd 17992  df-mhm 18036  df-submnd 18037  df-grp 18186  df-minusg 18187  df-sbg 18188  df-mulg 18306  df-subg 18357  df-ghm 18437  df-cntz 18528  df-cmn 18989  df-abl 18990  df-mgp 19322  df-ur 19334  df-ring 19381  df-cring 19382  df-oppr 19458  df-dvdsr 19476  df-unit 19477  df-invr 19507  df-dvr 19518  df-rnghom 19552  df-drng 19586  df-field 19587  df-subrg 19615  df-abv 19670  df-staf 19698  df-srng 19699  df-lmod 19718  df-lss 19786  df-lmhm 19876  df-lvec 19957  df-sra 20026  df-rgmod 20027  df-psmet 20172  df-xmet 20173  df-met 20174  df-bl 20175  df-mopn 20176  df-cnfld 20181  df-refld 20384  df-phl 20405  df-dsmm 20511  df-frlm 20526  df-top 21608  df-topon 21625  df-topsp 21647  df-bases 21660  df-cn 21941  df-cnp 21942  df-cmp 22101  df-tx 22276  df-hmeo 22469  df-xms 23036  df-ms 23037  df-tms 23038  df-nm 23298  df-ngp 23299  df-tng 23300  df-nrg 23301  df-nlm 23302  df-cncf 23593  df-clm 23778  df-cph 23883  df-tcph 23884  df-rrx 24099  df-ovol 24178  df-vol 24179  df-salg 43362  df-sumge0 43413  df-mea 43500  df-ome 43540  df-caragen 43542  df-ovoln 43587  df-voln 43589 This theorem is referenced by:  vonct  43743
 Copyright terms: Public domain W3C validator