Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonsn 46711
Description: The n-dimensional Lebesgue measure of a singleton is zero. This is the first statement in Proposition 115G (e) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonsn.1 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
vonsn.2 (𝜑𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
Assertion
Ref Expression
vonsn (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘{𝐴}) = 0)

Proof of Theorem vonsn
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6905 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → (voln‘𝑋) = (voln‘∅))
21fveq1d 6907 . . . 4 (𝑋 = ∅ → ((voln‘𝑋)‘{𝐴}) = ((voln‘∅)‘{𝐴}))
32adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘{𝐴}) = ((voln‘∅)‘{𝐴}))
4 0fi 9083 . . . . . 6 ∅ ∈ Fin
54a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∅ ∈ Fin)
6 vonsn.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
76adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
8 oveq2 7440 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m ∅))
98adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m ∅))
107, 9eleqtrd 2842 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m ∅))
115, 10snvonmbl 46706 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → {𝐴} ∈ dom (voln‘∅))
1211von0val 46691 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘∅)‘{𝐴}) = 0)
133, 12eqtrd 2776 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘{𝐴}) = 0)
14 neqne 2947 . . . 4 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
1514adantl 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
166rrxsnicc 46320 . . . . . . 7 (𝜑X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) = {𝐴})
1716eqcomd 2742 . . . . . 6 (𝜑 → {𝐴} = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)))
1817fveq2d 6909 . . . . 5 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘{𝐴}) = ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))))
1918adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘{𝐴}) = ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))))
20 vonsn.1 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2120adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
22 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
23 elmapi 8890 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
246, 23syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
2524adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
26 eqid 2736 . . . . 5 X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))
2721, 22, 25, 25, 26vonn0icc 46708 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))))
2824ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
2928rexrd 11312 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ*)
30 iccid 13433 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑘) ∈ ℝ* → ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) = {(𝐴𝑘)})
3129, 30syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) = {(𝐴𝑘)})
3231fveq2d 6909 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))) = (vol‘{(𝐴𝑘)}))
33 volsn 45987 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑘) ∈ ℝ → (vol‘{(𝐴𝑘)}) = 0)
3428, 33syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘{(𝐴𝑘)}) = 0)
3532, 34eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))) = 0)
3635prodeq2dv 15959 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))) = ∏𝑘𝑋 0)
3736adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))) = ∏𝑘𝑋 0)
38 0cnd 11255 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
39 fprodconst 16015 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 0 ∈ ℂ) → ∏𝑘𝑋 0 = (0↑(♯‘𝑋)))
4020, 38, 39syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 0 = (0↑(♯‘𝑋)))
4140adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∏𝑘𝑋 0 = (0↑(♯‘𝑋)))
42 hashnncl 14406 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ Fin → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
4320, 42syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
4443adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
4522, 44mpbird 257 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
46 0exp 14139 . . . . . 6 ((♯‘𝑋) ∈ ℕ → (0↑(♯‘𝑋)) = 0)
4745, 46syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (0↑(♯‘𝑋)) = 0)
4837, 41, 473eqtrd 2780 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))) = 0)
4919, 27, 483eqtrd 2780 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘{𝐴}) = 0)
5015, 49syldan 591 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘{𝐴}) = 0)
5113, 50pm2.61dan 812 1 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘{𝐴}) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  c0 4332  {csn 4625  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  m cmap 8867  Xcixp 8938  Fincfn 8986  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156  *cxr 11295  cn 12267  [,]cicc 13391  cexp 14103  chash 14370  cprod 15940  volcvol 25499  volncvoln 46558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cc 10476  ax-ac2 10504  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235  ax-mulf 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5110  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-omul 8512  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-dju 9942  df-card 9980  df-acn 9983  df-ac 10157  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13392  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-prod 15941  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-pws 17495  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-mulg 19087  df-subg 19142  df-ghm 19232  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-cring 20234  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-invr 20389  df-dvr 20402  df-rhm 20473  df-subrng 20547  df-subrg 20571  df-drng 20732  df-field 20733  df-abv 20811  df-staf 20841  df-srng 20842  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lmhm 21022  df-lvec 21103  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-cnfld 21366  df-refld 21624  df-phl 21645  df-dsmm 21753  df-frlm 21768  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-cmp 23396  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-nm 24596  df-ngp 24597  df-tng 24598  df-nrg 24599  df-nlm 24600  df-cncf 24905  df-clm 25097  df-cph 25203  df-tcph 25204  df-rrx 25420  df-ovol 25500  df-vol 25501  df-salg 46329  df-sumge0 46383  df-mea 46470  df-ome 46510  df-caragen 46512  df-ovoln 46557  df-voln 46559
This theorem is referenced by:  vonct  46713
  Copyright terms: Public domain W3C validator