Theorem vonsn 46079

Description: The n-dimensional Lebesgue measure of a singleton is zero. This is the first statement in Proposition 115G (e) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vonsn.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
vonsn.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
vonsn	⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘{𝐴}) = 0)

Proof of Theorem vonsn

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6897	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → (voln‘𝑋) = (voln‘∅))
2	1	fveq1d 6899	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → ((voln‘𝑋)‘{𝐴}) = ((voln‘∅)‘{𝐴}))
3	2	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘{𝐴}) = ((voln‘∅)‘{𝐴}))
4		0fin 9196	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ Fin
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ∅ ∈ Fin)
6		vonsn.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
7	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
8		oveq2 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = ∅ → (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m ∅))
9	8	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m ∅))
10	7, 9	eleqtrd 2831	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m ∅))
11	5, 10	snvonmbl 46074	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → {𝐴} ∈ dom (voln‘∅))
12	11	von0val 46059	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln‘∅)‘{𝐴}) = 0)
13	3, 12	eqtrd 2768	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘{𝐴}) = 0)
14		neqne 2945	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
15	14	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
16	6	rrxsnicc 45688	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,](𝐴‘𝑘)) = {𝐴})
17	16	eqcomd 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐴} = X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,](𝐴‘𝑘)))
18	17	fveq2d 6901	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘{𝐴}) = ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,](𝐴‘𝑘))))
19	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘{𝐴}) = ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,](𝐴‘𝑘))))
20		vonsn.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
22		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
23		elmapi 8868	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
24	6, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
25	24	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
26		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,](𝐴‘𝑘)) = X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,](𝐴‘𝑘))
27	21, 22, 25, 25, 26	vonn0icc 46076	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,](𝐴‘𝑘))) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,](𝐴‘𝑘))))
28	24	ffvelcdmda 7094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
29	28	rexrd 11295	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ*)
30		iccid 13402	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ* → ((𝐴‘𝑘)[,](𝐴‘𝑘)) = {(𝐴‘𝑘)})
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((𝐴‘𝑘)[,](𝐴‘𝑘)) = {(𝐴‘𝑘)})
32	31	fveq2d 6901	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,](𝐴‘𝑘))) = (vol‘{(𝐴‘𝑘)}))
33		volsn 45355	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ → (vol‘{(𝐴‘𝑘)}) = 0)
34	28, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘{(𝐴‘𝑘)}) = 0)
35	32, 34	eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,](𝐴‘𝑘))) = 0)
36	35	prodeq2dv 15900	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,](𝐴‘𝑘))) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 0)
37	36	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,](𝐴‘𝑘))) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 0)
38		0cnd 11238	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
39		fprodconst 15955	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 0 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 0 = (0↑(♯‘𝑋)))
40	20, 38, 39	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 0 = (0↑(♯‘𝑋)))
41	40	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 0 = (0↑(♯‘𝑋)))
42		hashnncl 14358	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
43	20, 42	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
44	43	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
45	22, 44	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
46		0exp 14095	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑋) ∈ ℕ → (0↑(♯‘𝑋)) = 0)
47	45, 46	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (0↑(♯‘𝑋)) = 0)
48	37, 41, 47	3eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,](𝐴‘𝑘))) = 0)
49	19, 27, 48	3eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘{𝐴}) = 0)
50	15, 49	syldan 590	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘{𝐴}) = 0)
51	13, 50	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘{𝐴}) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  ∅c0 4323  {csn 4629  ⟶wf 6544  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8845  Xcixp 8916  Fincfn 8964  ℂcc 11137  ℝcr 11138  0cc0 11139  ℝ^*cxr 11278  ℕcn 12243  [,]cicc 13360  ↑cexp 14059  ♯chash 14322  ∏cprod 15882  volcvol 25405  volncvoln 45926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cc 10459  ax-ac2 10487  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218  ax-mulf 11219

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-dju 9925  df-card 9963  df-acn 9966  df-ac 10140  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13361  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-sum 15666  df-prod 15883  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-pt 17426  df-prds 17429  df-pws 17431  df-xrs 17484  df-qtop 17489  df-imas 17490  df-xps 17492  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-mulg 19024  df-subg 19078  df-ghm 19168  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-cring 20176  df-oppr 20273  df-dvdsr 20296  df-unit 20297  df-invr 20327  df-dvr 20340  df-rhm 20411  df-subrng 20483  df-subrg 20508  df-drng 20626  df-field 20627  df-abv 20697  df-staf 20725  df-srng 20726  df-lmod 20745  df-lss 20816  df-lmhm 20907  df-lvec 20988  df-sra 21058  df-rgmod 21059  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-cnfld 21280  df-refld 21537  df-phl 21558  df-dsmm 21666  df-frlm 21681  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-cmp 23304  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-nm 24504  df-ngp 24505  df-tng 24506  df-nrg 24507  df-nlm 24508  df-cncf 24811  df-clm 25003  df-cph 25109  df-tcph 25110  df-rrx 25326  df-ovol 25406  df-vol 25407  df-salg 45697  df-sumge0 45751  df-mea 45838  df-ome 45878  df-caragen 45880  df-ovoln 45925  df-voln 45927

This theorem is referenced by:  vonct  46081