Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonsn 45953
Description: The n-dimensional Lebesgue measure of a singleton is zero. This is the first statement in Proposition 115G (e) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonsn.1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
vonsn.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
Assertion
Ref Expression
vonsn (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜{𝐴}) = 0)

Proof of Theorem vonsn
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6882 . . . . 5 (𝑋 = βˆ… β†’ (volnβ€˜π‘‹) = (volnβ€˜βˆ…))
21fveq1d 6884 . . . 4 (𝑋 = βˆ… β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜{𝐴}) = ((volnβ€˜βˆ…)β€˜{𝐴}))
32adantl 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜{𝐴}) = ((volnβ€˜βˆ…)β€˜{𝐴}))
4 0fin 9168 . . . . . 6 βˆ… ∈ Fin
54a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆ… ∈ Fin)
6 vonsn.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
76adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
8 oveq2 7410 . . . . . . 7 (𝑋 = βˆ… β†’ (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m βˆ…))
98adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m βˆ…))
107, 9eleqtrd 2827 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐴 ∈ (ℝ ↑m βˆ…))
115, 10snvonmbl 45948 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ {𝐴} ∈ dom (volnβ€˜βˆ…))
1211von0val 45933 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((volnβ€˜βˆ…)β€˜{𝐴}) = 0)
133, 12eqtrd 2764 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜{𝐴}) = 0)
14 neqne 2940 . . . 4 (Β¬ 𝑋 = βˆ… β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
1514adantl 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
166rrxsnicc 45562 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜)) = {𝐴})
1716eqcomd 2730 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {𝐴} = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜)))
1817fveq2d 6886 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜{𝐴}) = ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜))))
1918adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜{𝐴}) = ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜))))
20 vonsn.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
2120adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
22 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
23 elmapi 8840 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
246, 23syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
2524adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
26 eqid 2724 . . . . 5 Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜))
2721, 22, 25, 25, 26vonn0icc 45950 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜))) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜))))
2824ffvelcdmda 7077 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
2928rexrd 11263 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
30 iccid 13370 . . . . . . . . . 10 ((π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ* β†’ ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜)) = {(π΄β€˜π‘˜)})
3129, 30syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜)) = {(π΄β€˜π‘˜)})
3231fveq2d 6886 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜))) = (volβ€˜{(π΄β€˜π‘˜)}))
33 volsn 45229 . . . . . . . . 9 ((π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ β†’ (volβ€˜{(π΄β€˜π‘˜)}) = 0)
3428, 33syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜{(π΄β€˜π‘˜)}) = 0)
3532, 34eqtrd 2764 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜))) = 0)
3635prodeq2dv 15869 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜))) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 0)
3736adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜))) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 0)
38 0cnd 11206 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„‚)
39 fprodconst 15924 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 0 = (0↑(β™―β€˜π‘‹)))
4020, 38, 39syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 0 = (0↑(β™―β€˜π‘‹)))
4140adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 0 = (0↑(β™―β€˜π‘‹)))
42 hashnncl 14327 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜π‘‹) ∈ β„• ↔ 𝑋 β‰  βˆ…))
4320, 42syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘‹) ∈ β„• ↔ 𝑋 β‰  βˆ…))
4443adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ ((β™―β€˜π‘‹) ∈ β„• ↔ 𝑋 β‰  βˆ…))
4522, 44mpbird 257 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘‹) ∈ β„•)
46 0exp 14064 . . . . . 6 ((β™―β€˜π‘‹) ∈ β„• β†’ (0↑(β™―β€˜π‘‹)) = 0)
4745, 46syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (0↑(β™―β€˜π‘‹)) = 0)
4837, 41, 473eqtrd 2768 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜))) = 0)
4919, 27, 483eqtrd 2768 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜{𝐴}) = 0)
5015, 49syldan 590 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜{𝐴}) = 0)
5113, 50pm2.61dan 810 1 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜{𝐴}) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ…c0 4315  {csn 4621  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   ↑m cmap 8817  Xcixp 8888  Fincfn 8936  β„‚cc 11105  β„cr 11106  0cc0 11107  β„*cxr 11246  β„•cn 12211  [,]cicc 13328  β†‘cexp 14028  β™―chash 14291  βˆcprod 15851  volcvol 25336  volncvoln 45800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cc 10427  ax-ac2 10455  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-disj 5105  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-acn 9934  df-ac 10108  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-ioo 13329  df-ico 13331  df-icc 13332  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-fl 13758  df-seq 13968  df-exp 14029  df-hash 14292  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-prod 15852  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-pws 17400  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18709  df-submnd 18710  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-mulg 18992  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-rhm 20370  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-drng 20585  df-field 20586  df-abv 20656  df-staf 20684  df-srng 20685  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lmhm 20866  df-lvec 20947  df-sra 21017  df-rgmod 21018  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-cnfld 21235  df-refld 21487  df-phl 21508  df-dsmm 21616  df-frlm 21631  df-top 22740  df-topon 22757  df-topsp 22779  df-bases 22793  df-cn 23075  df-cnp 23076  df-cmp 23235  df-tx 23410  df-hmeo 23603  df-xms 24170  df-ms 24171  df-tms 24172  df-nm 24435  df-ngp 24436  df-tng 24437  df-nrg 24438  df-nlm 24439  df-cncf 24742  df-clm 24934  df-cph 25040  df-tcph 25041  df-rrx 25257  df-ovol 25337  df-vol 25338  df-salg 45571  df-sumge0 45625  df-mea 45712  df-ome 45752  df-caragen 45754  df-ovoln 45799  df-voln 45801
This theorem is referenced by:  vonct  45955
  Copyright terms: Public domain W3C validator