Theorem ococi 31494

Description: Complement of complement of a closed subspace of Hilbert space. Theorem 3.7(ii) of [Beran] p. 102. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ococ.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
ococi	⊢ (⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴

Proof of Theorem ococi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ococ.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	chshii 31316	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
3		shocsh 31373	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ
5		shocsh 31373	. . . 4 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∈ Sℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ Sℋ )
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ Sℋ
7		shococss 31383	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
8	2, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴))
9		incom 4150	. . . 4 ⊢ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
10		ocin 31385	. . . . 5 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∈ Sℋ → ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘(⊥‘𝐴))) = 0ℋ)
11	4, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘(⊥‘𝐴))) = 0ℋ
12	9, 11	eqtri 2760	. . 3 ⊢ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ
13	1, 6, 8, 12	omlsii 31492	. 2 ⊢ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘𝐴))
14	13	eqcomi 2746	1 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6493   S_ℋ csh 31017   C_ℋ cch 31018  ⊥cort 31019  0_ℋc0h 31024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-cc 10351  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110  ax-addf 11111  ax-mulf 11112  ax-hilex 31088  ax-hfvadd 31089  ax-hvcom 31090  ax-hvass 31091  ax-hv0cl 31092  ax-hvaddid 31093  ax-hfvmul 31094  ax-hvmulid 31095  ax-hvmulass 31096  ax-hvdistr1 31097  ax-hvdistr2 31098  ax-hvmul0 31099  ax-hfi 31168  ax-his1 31171  ax-his2 31172  ax-his3 31173  ax-his4 31174  ax-hcompl 31291

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-omul 8404  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9857  df-acn 9860  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-q 12893  df-rp 12937  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-ico 13298  df-icc 13299  df-fz 13456  df-fl 13745  df-seq 13958  df-exp 14018  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-clim 15444  df-rlim 15445  df-rest 17379  df-topgen 17400  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-top 22872  df-topon 22889  df-bases 22924  df-cld 22997  df-ntr 22998  df-cls 22999  df-nei 23076  df-lm 23207  df-haus 23293  df-fil 23824  df-fm 23916  df-flim 23917  df-flf 23918  df-cfil 25235  df-cau 25236  df-cmet 25237  df-grpo 30582  df-gid 30583  df-ginv 30584  df-gdiv 30585  df-ablo 30634  df-vc 30648  df-nv 30681  df-va 30684  df-ba 30685  df-sm 30686  df-0v 30687  df-vs 30688  df-nmcv 30689  df-ims 30690  df-ssp 30811  df-ph 30902  df-cbn 30952  df-hnorm 31057  df-hba 31058  df-hvsub 31060  df-hlim 31061  df-hcau 31062  df-sh 31296  df-ch 31310  df-oc 31341  df-ch0 31342

This theorem is referenced by:  ococ  31495  pjococi  31526  sshhococi  31635  h1de2ctlem  31644  h1datomi  31670  qlax1i  31716  spansnji  31735  riesz3i  32151  chirredlem4  32482  chirredi  32483  mdoc2i  32515  dmdoc2i  32517