Theorem ococi 31429

Description: Complement of complement of a closed subspace of Hilbert space. Theorem 3.7(ii) of [Beran] p. 102. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ococ.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
ococi	⊢ (⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴

Proof of Theorem ococi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ococ.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	chshii 31251	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
3		shocsh 31308	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ
5		shocsh 31308	. . . 4 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∈ Sℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ Sℋ )
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ Sℋ
7		shococss 31318	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
8	2, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴))
9		incom 4159	. . . 4 ⊢ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
10		ocin 31320	. . . . 5 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∈ Sℋ → ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘(⊥‘𝐴))) = 0ℋ)
11	4, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘(⊥‘𝐴))) = 0ℋ
12	9, 11	eqtri 2757	. . 3 ⊢ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ
13	1, 6, 8, 12	omlsii 31427	. 2 ⊢ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘𝐴))
14	13	eqcomi 2743	1 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6490   S_ℋ csh 30952   C_ℋ cch 30953  ⊥cort 30954  0_ℋc0h 30959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cc 10343  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-addf 11103  ax-mulf 11104  ax-hilex 31023  ax-hfvadd 31024  ax-hvcom 31025  ax-hvass 31026  ax-hv0cl 31027  ax-hvaddid 31028  ax-hfvmul 31029  ax-hvmulid 31030  ax-hvmulass 31031  ax-hvdistr1 31032  ax-hvdistr2 31033  ax-hvmul0 31034  ax-hfi 31103  ax-his1 31106  ax-his2 31107  ax-his3 31108  ax-his4 31109  ax-hcompl 31226

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fi 9312  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-card 9849  df-acn 9852  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-ico 13265  df-icc 13266  df-fz 13422  df-fl 13710  df-seq 13923  df-exp 13983  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-clim 15409  df-rlim 15410  df-rest 17340  df-topgen 17361  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-met 21301  df-bl 21302  df-mopn 21303  df-fbas 21304  df-fg 21305  df-top 22836  df-topon 22853  df-bases 22888  df-cld 22961  df-ntr 22962  df-cls 22963  df-nei 23040  df-lm 23171  df-haus 23257  df-fil 23788  df-fm 23880  df-flim 23881  df-flf 23882  df-cfil 25209  df-cau 25210  df-cmet 25211  df-grpo 30517  df-gid 30518  df-ginv 30519  df-gdiv 30520  df-ablo 30569  df-vc 30583  df-nv 30616  df-va 30619  df-ba 30620  df-sm 30621  df-0v 30622  df-vs 30623  df-nmcv 30624  df-ims 30625  df-ssp 30746  df-ph 30837  df-cbn 30887  df-hnorm 30992  df-hba 30993  df-hvsub 30995  df-hlim 30996  df-hcau 30997  df-sh 31231  df-ch 31245  df-oc 31276  df-ch0 31277

This theorem is referenced by:  ococ  31430  pjococi  31461  sshhococi  31570  h1de2ctlem  31579  h1datomi  31605  qlax1i  31651  spansnji  31670  riesz3i  32086  chirredlem4  32417  chirredi  32418  mdoc2i  32450  dmdoc2i  32452