Theorem ococi 31349

Description: Complement of complement of a closed subspace of Hilbert space. Theorem 3.7(ii) of [Beran] p. 102. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ococ.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
ococi	⊢ (⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴

Proof of Theorem ococi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ococ.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	chshii 31171	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
3		shocsh 31228	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ
5		shocsh 31228	. . . 4 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∈ Sℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ Sℋ )
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ Sℋ
7		shococss 31238	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
8	2, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴))
9		incom 4160	. . . 4 ⊢ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
10		ocin 31240	. . . . 5 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∈ Sℋ → ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘(⊥‘𝐴))) = 0ℋ)
11	4, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘(⊥‘𝐴))) = 0ℋ
12	9, 11	eqtri 2752	. . 3 ⊢ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ
13	1, 6, 8, 12	omlsii 31347	. 2 ⊢ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘𝐴))
14	13	eqcomi 2738	1 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ‘cfv 6482   S_ℋ csh 30872   C_ℋ cch 30873  ⊥cort 30874  0_ℋc0h 30879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cc 10329  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089  ax-hilex 30943  ax-hfvadd 30944  ax-hvcom 30945  ax-hvass 30946  ax-hv0cl 30947  ax-hvaddid 30948  ax-hfvmul 30949  ax-hvmulid 30950  ax-hvmulass 30951  ax-hvdistr1 30952  ax-hvdistr2 30953  ax-hvmul0 30954  ax-hfi 31023  ax-his1 31026  ax-his2 31027  ax-his3 31028  ax-his4 31029  ax-hcompl 31146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-oadd 8392  df-omul 8393  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9835  df-acn 9838  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-rest 17326  df-topgen 17347  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-fbas 21258  df-fg 21259  df-top 22779  df-topon 22796  df-bases 22831  df-cld 22904  df-ntr 22905  df-cls 22906  df-nei 22983  df-lm 23114  df-haus 23200  df-fil 23731  df-fm 23823  df-flim 23824  df-flf 23825  df-cfil 25153  df-cau 25154  df-cmet 25155  df-grpo 30437  df-gid 30438  df-ginv 30439  df-gdiv 30440  df-ablo 30489  df-vc 30503  df-nv 30536  df-va 30539  df-ba 30540  df-sm 30541  df-0v 30542  df-vs 30543  df-nmcv 30544  df-ims 30545  df-ssp 30666  df-ph 30757  df-cbn 30807  df-hnorm 30912  df-hba 30913  df-hvsub 30915  df-hlim 30916  df-hcau 30917  df-sh 31151  df-ch 31165  df-oc 31196  df-ch0 31197

This theorem is referenced by:  ococ  31350  pjococi  31381  sshhococi  31490  h1de2ctlem  31499  h1datomi  31525  qlax1i  31571  spansnji  31590  riesz3i  32006  chirredlem4  32337  chirredi  32338  mdoc2i  32370  dmdoc2i  32372