Theorem ococi 31384

Description: Complement of complement of a closed subspace of Hilbert space. Theorem 3.7(ii) of [Beran] p. 102. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ococ.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
ococi	⊢ (⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴

Proof of Theorem ococi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ococ.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	chshii 31206	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
3		shocsh 31263	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ
5		shocsh 31263	. . . 4 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∈ Sℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ Sℋ )
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ Sℋ
7		shococss 31273	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
8	2, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴))
9		incom 4168	. . . 4 ⊢ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
10		ocin 31275	. . . . 5 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∈ Sℋ → ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘(⊥‘𝐴))) = 0ℋ)
11	4, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘(⊥‘𝐴))) = 0ℋ
12	9, 11	eqtri 2752	. . 3 ⊢ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ
13	1, 6, 8, 12	omlsii 31382	. 2 ⊢ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘𝐴))
14	13	eqcomi 2738	1 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  ‘cfv 6499   S_ℋ csh 30907   C_ℋ cch 30908  ⊥cort 30909  0_ℋc0h 30914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cc 10364  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123  ax-mulf 11124  ax-hilex 30978  ax-hfvadd 30979  ax-hvcom 30980  ax-hvass 30981  ax-hv0cl 30982  ax-hvaddid 30983  ax-hfvmul 30984  ax-hvmulid 30985  ax-hvmulass 30986  ax-hvdistr1 30987  ax-hvdistr2 30988  ax-hvmul0 30989  ax-hfi 31058  ax-his1 31061  ax-his2 31062  ax-his3 31063  ax-his4 31064  ax-hcompl 31181

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-omul 8416  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-acn 9871  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fl 13730  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-rest 17361  df-topgen 17382  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-top 22814  df-topon 22831  df-bases 22866  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-lm 23149  df-haus 23235  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-cfil 25188  df-cau 25189  df-cmet 25190  df-grpo 30472  df-gid 30473  df-ginv 30474  df-gdiv 30475  df-ablo 30524  df-vc 30538  df-nv 30571  df-va 30574  df-ba 30575  df-sm 30576  df-0v 30577  df-vs 30578  df-nmcv 30579  df-ims 30580  df-ssp 30701  df-ph 30792  df-cbn 30842  df-hnorm 30947  df-hba 30948  df-hvsub 30950  df-hlim 30951  df-hcau 30952  df-sh 31186  df-ch 31200  df-oc 31231  df-ch0 31232

This theorem is referenced by:  ococ  31385  pjococi  31416  sshhococi  31525  h1de2ctlem  31534  h1datomi  31560  qlax1i  31606  spansnji  31625  riesz3i  32041  chirredlem4  32372  chirredi  32373  mdoc2i  32405  dmdoc2i  32407