Theorem chocunii 31234

Description: Lemma for uniqueness part of Projection Theorem. Theorem 3.7(i) of [Beran] p. 102 (uniqueness part). (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
chocuni.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chocunii	⊢ (((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶 ∈ 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) → ((𝑅 = (𝐴 +ℎ 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 +ℎ 𝐷)) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))

Proof of Theorem chocunii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chocuni.1	. . . . 5 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2	1	chshii 31160	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶 ∈ 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 +ℎ 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 +ℎ 𝐷))) → 𝐻 ∈ Sℋ )
4		shocsh 31217	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ )
5	2, 4	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶 ∈ 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 +ℎ 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 +ℎ 𝐷))) → (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ )
6		ocin 31229	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0ℋ)
7	2, 6	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶 ∈ 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 +ℎ 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 +ℎ 𝐷))) → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0ℋ)
8		simplll 773	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶 ∈ 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 +ℎ 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 +ℎ 𝐷))) → 𝐴 ∈ 𝐻)
9		simpllr 774	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶 ∈ 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 +ℎ 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 +ℎ 𝐷))) → 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))
10		simplrl 775	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶 ∈ 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 +ℎ 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 +ℎ 𝐷))) → 𝐶 ∈ 𝐻)
11		simplrr 776	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶 ∈ 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 +ℎ 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 +ℎ 𝐷))) → 𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))
12		eqtr2 2750	. . . 4 ⊢ ((𝑅 = (𝐴 +ℎ 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 +ℎ 𝐷)) → (𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ 𝐷))
13	12	adantl 480	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶 ∈ 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 +ℎ 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 +ℎ 𝐷))) → (𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ 𝐷))
14	3, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13	shuni 31233	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶 ∈ 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 +ℎ 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 +ℎ 𝐷))) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))
15	14	ex 411	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶 ∈ 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) → ((𝑅 = (𝐴 +ℎ 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 +ℎ 𝐷)) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∩ cin 3946  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424   +_ℎ cva 30853   S_ℋ csh 30861   C_ℋ cch 30862  ⊥cort 30863  0_ℋc0h 30868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-hilex 30932  ax-hfvadd 30933  ax-hvcom 30934  ax-hvass 30935  ax-hv0cl 30936  ax-hvaddid 30937  ax-hfvmul 30938  ax-hvmulid 30939  ax-hvmulass 30940  ax-hvdistr1 30941  ax-hvdistr2 30942  ax-hvmul0 30943  ax-hfi 31012  ax-his2 31016  ax-his3 31017  ax-his4 31018

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-hvsub 30904  df-sh 31140  df-ch 31154  df-oc 31185  df-ch0 31186

This theorem is referenced by:  pjcompi  31605