HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chocunii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chocunii 29005
Description: Lemma for uniqueness part of Projection Theorem. Theorem 3.7(i) of [Beran] p. 102 (uniqueness part). (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
chocuni.1 𝐻C
Assertion
Ref Expression
chocunii (((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶𝐻𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) → ((𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷)) → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷)))

Proof of Theorem chocunii
StepHypRef Expression
1 chocuni.1 . . . . 5 𝐻C
21chshii 28931 . . . 4 𝐻S
32a1i 11 . . 3 ((((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶𝐻𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷))) → 𝐻S )
4 shocsh 28988 . . . 4 (𝐻S → (⊥‘𝐻) ∈ S )
52, 4mp1i 13 . . 3 ((((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶𝐻𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷))) → (⊥‘𝐻) ∈ S )
6 ocin 29000 . . . 4 (𝐻S → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0)
72, 6mp1i 13 . . 3 ((((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶𝐻𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷))) → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0)
8 simplll 771 . . 3 ((((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶𝐻𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷))) → 𝐴𝐻)
9 simpllr 772 . . 3 ((((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶𝐻𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷))) → 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))
10 simplrl 773 . . 3 ((((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶𝐻𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷))) → 𝐶𝐻)
11 simplrr 774 . . 3 ((((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶𝐻𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷))) → 𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))
12 eqtr2 2839 . . . 4 ((𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
1312adantl 482 . . 3 ((((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶𝐻𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷))) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
143, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13shuni 29004 . 2 ((((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶𝐻𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷))) → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷))
1514ex 413 1 (((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶𝐻𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) → ((𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷)) → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  cin 3932  cfv 6348  (class class class)co 7145   + cva 28624   S csh 28632   C cch 28633  cort 28634  0c0h 28639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-hilex 28703  ax-hfvadd 28704  ax-hvcom 28705  ax-hvass 28706  ax-hv0cl 28707  ax-hvaddid 28708  ax-hfvmul 28709  ax-hvmulid 28710  ax-hvmulass 28711  ax-hvdistr1 28712  ax-hvdistr2 28713  ax-hvmul0 28714  ax-hfi 28783  ax-his2 28787  ax-his3 28788  ax-his4 28789
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-hvsub 28675  df-sh 28911  df-ch 28925  df-oc 28956  df-ch0 28957
This theorem is referenced by:  pjcompi  29376
  Copyright terms: Public domain W3C validator