Theorem chocunii 29564

Description: Lemma for uniqueness part of Projection Theorem. Theorem 3.7(i) of [Beran] p. 102 (uniqueness part). (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
chocuni.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chocunii	⊢ (((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶 ∈ 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) → ((𝑅 = (𝐴 +ℎ 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 +ℎ 𝐷)) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))

Proof of Theorem chocunii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chocuni.1	. . . . 5 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2	1	chshii 29490	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶 ∈ 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 +ℎ 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 +ℎ 𝐷))) → 𝐻 ∈ Sℋ )
4		shocsh 29547	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ )
5	2, 4	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶 ∈ 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 +ℎ 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 +ℎ 𝐷))) → (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ )
6		ocin 29559	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0ℋ)
7	2, 6	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶 ∈ 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 +ℎ 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 +ℎ 𝐷))) → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0ℋ)
8		simplll 771	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶 ∈ 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 +ℎ 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 +ℎ 𝐷))) → 𝐴 ∈ 𝐻)
9		simpllr 772	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶 ∈ 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 +ℎ 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 +ℎ 𝐷))) → 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))
10		simplrl 773	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶 ∈ 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 +ℎ 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 +ℎ 𝐷))) → 𝐶 ∈ 𝐻)
11		simplrr 774	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶 ∈ 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 +ℎ 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 +ℎ 𝐷))) → 𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))
12		eqtr2 2762	. . . 4 ⊢ ((𝑅 = (𝐴 +ℎ 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 +ℎ 𝐷)) → (𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ 𝐷))
13	12	adantl 481	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶 ∈ 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 +ℎ 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 +ℎ 𝐷))) → (𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ 𝐷))
14	3, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13	shuni 29563	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶 ∈ 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 +ℎ 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 +ℎ 𝐷))) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))
15	14	ex 412	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶 ∈ 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) → ((𝑅 = (𝐴 +ℎ 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 +ℎ 𝐷)) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3882  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   +_ℎ cva 29183   S_ℋ csh 29191   C_ℋ cch 29192  ⊥cort 29193  0_ℋc0h 29198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-hilex 29262  ax-hfvadd 29263  ax-hvcom 29264  ax-hvass 29265  ax-hv0cl 29266  ax-hvaddid 29267  ax-hfvmul 29268  ax-hvmulid 29269  ax-hvmulass 29270  ax-hvdistr1 29271  ax-hvdistr2 29272  ax-hvmul0 29273  ax-hfi 29342  ax-his2 29346  ax-his3 29347  ax-his4 29348

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-hvsub 29234  df-sh 29470  df-ch 29484  df-oc 29515  df-ch0 29516

This theorem is referenced by:  pjcompi  29935