HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chocunii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chocunii 31329
Description: Lemma for uniqueness part of Projection Theorem. Theorem 3.7(i) of [Beran] p. 102 (uniqueness part). (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
chocuni.1 𝐻C
Assertion
Ref Expression
chocunii (((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶𝐻𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) → ((𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷)) → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷)))

Proof of Theorem chocunii
StepHypRef Expression
1 chocuni.1 . . . . 5 𝐻C
21chshii 31255 . . . 4 𝐻S
32a1i 11 . . 3 ((((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶𝐻𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷))) → 𝐻S )
4 shocsh 31312 . . . 4 (𝐻S → (⊥‘𝐻) ∈ S )
52, 4mp1i 13 . . 3 ((((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶𝐻𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷))) → (⊥‘𝐻) ∈ S )
6 ocin 31324 . . . 4 (𝐻S → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0)
72, 6mp1i 13 . . 3 ((((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶𝐻𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷))) → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0)
8 simplll 775 . . 3 ((((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶𝐻𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷))) → 𝐴𝐻)
9 simpllr 776 . . 3 ((((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶𝐻𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷))) → 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))
10 simplrl 777 . . 3 ((((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶𝐻𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷))) → 𝐶𝐻)
11 simplrr 778 . . 3 ((((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶𝐻𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷))) → 𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))
12 eqtr2 2758 . . . 4 ((𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
1312adantl 481 . . 3 ((((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶𝐻𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷))) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
143, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13shuni 31328 . 2 ((((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶𝐻𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷))) → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷))
1514ex 412 1 (((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶𝐻𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) → ((𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷)) → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  cin 3961  cfv 6562  (class class class)co 7430   + cva 30948   S csh 30956   C cch 30957  cort 30958  0c0h 30963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-hilex 31027  ax-hfvadd 31028  ax-hvcom 31029  ax-hvass 31030  ax-hv0cl 31031  ax-hvaddid 31032  ax-hfvmul 31033  ax-hvmulid 31034  ax-hvmulass 31035  ax-hvdistr1 31036  ax-hvdistr2 31037  ax-hvmul0 31038  ax-hfi 31107  ax-his2 31111  ax-his3 31112  ax-his4 31113
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-hvsub 30999  df-sh 31235  df-ch 31249  df-oc 31280  df-ch0 31281
This theorem is referenced by:  pjcompi  31700
  Copyright terms: Public domain W3C validator