MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  muls01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem muls01 27963
Description: Surreal multiplication by zero. (Contributed by Scott Fenton, 4-Feb-2025.)
Assertion
Ref Expression
muls01 (๐ด โˆˆ No โ†’ (๐ด ยทs 0s ) = 0s )

Proof of Theorem muls01
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ ๐‘ ๐‘‘ ๐‘ ๐‘ž ๐‘Ÿ ๐‘  ๐‘ก ๐‘ข ๐‘ฃ ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0sno 27710 . . 3 0s โˆˆ No
2 mulsval 27960 . . 3 ((๐ด โˆˆ No โˆง 0s โˆˆ No ) โ†’ (๐ด ยทs 0s ) = (({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜ 0s )๐‘Ž = (((๐‘ ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜ 0s )๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) |s ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜ 0s )๐‘ = (((๐‘ก ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜ 0s )๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})))
31, 2mpan2 688 . 2 (๐ด โˆˆ No โ†’ (๐ด ยทs 0s ) = (({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜ 0s )๐‘Ž = (((๐‘ ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜ 0s )๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) |s ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜ 0s )๐‘ = (((๐‘ก ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜ 0s )๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})))
4 rex0 4352 . . . . . . . . . 10 ยฌ โˆƒ๐‘ž โˆˆ โˆ… ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))
5 left0s 27770 . . . . . . . . . . 11 ( L โ€˜ 0s ) = โˆ…
65rexeqi 3318 . . . . . . . . . 10 (โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜ 0s )๐‘Ž = (((๐‘ ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โˆ… ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)))
74, 6mtbir 323 . . . . . . . . 9 ยฌ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜ 0s )๐‘Ž = (((๐‘ ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))
87a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โ†’ ยฌ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜ 0s )๐‘Ž = (((๐‘ ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)))
98nrex 3068 . . . . . . 7 ยฌ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜ 0s )๐‘Ž = (((๐‘ ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))
109abf 4397 . . . . . 6 {๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜ 0s )๐‘Ž = (((๐‘ ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} = โˆ…
11 rex0 4352 . . . . . . . . . 10 ยฌ โˆƒ๐‘  โˆˆ โˆ… ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))
12 right0s 27771 . . . . . . . . . . 11 ( R โ€˜ 0s ) = โˆ…
1312rexeqi 3318 . . . . . . . . . 10 (โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜ 0s )๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โ†” โˆƒ๐‘  โˆˆ โˆ… ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )))
1411, 13mtbir 323 . . . . . . . . 9 ยฌ โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜ 0s )๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))
1514a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โ†’ ยฌ โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜ 0s )๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )))
1615nrex 3068 . . . . . . 7 ยฌ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜ 0s )๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))
1716abf 4397 . . . . . 6 {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜ 0s )๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))} = โˆ…
1810, 17uneq12i 4156 . . . . 5 ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜ 0s )๐‘Ž = (((๐‘ ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜ 0s )๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) = (โˆ… โˆช โˆ…)
19 un0 4385 . . . . 5 (โˆ… โˆช โˆ…) = โˆ…
2018, 19eqtri 2754 . . . 4 ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜ 0s )๐‘Ž = (((๐‘ ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜ 0s )๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) = โˆ…
21 rex0 4352 . . . . . . . . . 10 ยฌ โˆƒ๐‘ข โˆˆ โˆ… ๐‘ = (((๐‘ก ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))
2212rexeqi 3318 . . . . . . . . . 10 (โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜ 0s )๐‘ = (((๐‘ก ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†” โˆƒ๐‘ข โˆˆ โˆ… ๐‘ = (((๐‘ก ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)))
2321, 22mtbir 323 . . . . . . . . 9 ยฌ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜ 0s )๐‘ = (((๐‘ก ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))
2423a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โ†’ ยฌ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜ 0s )๐‘ = (((๐‘ก ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)))
2524nrex 3068 . . . . . . 7 ยฌ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜ 0s )๐‘ = (((๐‘ก ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))
2625abf 4397 . . . . . 6 {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜ 0s )๐‘ = (((๐‘ก ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} = โˆ…
27 rex0 4352 . . . . . . . . . 10 ยฌ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โˆ… ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))
285rexeqi 3318 . . . . . . . . . 10 (โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜ 0s )๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†” โˆƒ๐‘ค โˆˆ โˆ… ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)))
2927, 28mtbir 323 . . . . . . . . 9 ยฌ โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜ 0s )๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))
3029a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โ†’ ยฌ โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜ 0s )๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)))
3130nrex 3068 . . . . . . 7 ยฌ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜ 0s )๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))
3231abf 4397 . . . . . 6 {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜ 0s )๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))} = โˆ…
3326, 32uneq12i 4156 . . . . 5 ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜ 0s )๐‘ = (((๐‘ก ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜ 0s )๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}) = (โˆ… โˆช โˆ…)
3433, 19eqtri 2754 . . . 4 ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜ 0s )๐‘ = (((๐‘ก ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜ 0s )๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}) = โˆ…
3520, 34oveq12i 7416 . . 3 (({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜ 0s )๐‘Ž = (((๐‘ ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜ 0s )๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) |s ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜ 0s )๐‘ = (((๐‘ก ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜ 0s )๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})) = (โˆ… |s โˆ…)
36 df-0s 27708 . . 3 0s = (โˆ… |s โˆ…)
3735, 36eqtr4i 2757 . 2 (({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜ 0s )๐‘Ž = (((๐‘ ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜ 0s )๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) |s ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜ 0s )๐‘ = (((๐‘ก ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜ 0s )๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs 0s ) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})) = 0s
383, 37eqtrdi 2782 1 (๐ด โˆˆ No โ†’ (๐ด ยทs 0s ) = 0s )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {cab 2703  โˆƒwrex 3064   โˆช cun 3941  โˆ…c0 4317  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   No csur 27524   |s cscut 27666   0s c0s 27706   L cleft 27723   R cright 27724   +s cadds 27827   -s csubs 27884   ยทs cmuls 27957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-1o 8464  df-2o 8465  df-no 27527  df-slt 27528  df-bday 27529  df-sslt 27665  df-scut 27667  df-0s 27708  df-made 27725  df-old 27726  df-left 27728  df-right 27729  df-norec2 27817  df-muls 27958
This theorem is referenced by:  mulsrid  27964  muls02  27992  mulsgt0  27995  mulsge0d  27997  slemul1ad  28033  muls0ord  28036  precsexlem9  28064  precsexlem11  28066  n0mulscl  28162
  Copyright terms: Public domain W3C validator