| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | slwprm 19627 | . . 3
⊢ (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑃 ∈ ℙ) | 
| 2 | 1 | 3ad2ant2 1135 | . 2
⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ 𝐾 ⊆ 𝑆) → 𝑃 ∈ ℙ) | 
| 3 |  | slwsubg 19628 | . . . 4
⊢ (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺)) | 
| 4 | 3 | 3ad2ant2 1135 | . . 3
⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ 𝐾 ⊆ 𝑆) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺)) | 
| 5 |  | simp3 1139 | . . 3
⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ 𝐾 ⊆ 𝑆) → 𝐾 ⊆ 𝑆) | 
| 6 |  | subgslw.1 | . . . . 5
⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆) | 
| 7 | 6 | subsubg 19167 | . . . 4
⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐻) ↔ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐾 ⊆ 𝑆))) | 
| 8 | 7 | 3ad2ant1 1134 | . . 3
⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ 𝐾 ⊆ 𝑆) → (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐻) ↔ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐾 ⊆ 𝑆))) | 
| 9 | 4, 5, 8 | mpbir2and 713 | . 2
⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ 𝐾 ⊆ 𝑆) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐻)) | 
| 10 | 6 | oveq1i 7441 | . . . . . . 7
⊢ (𝐻 ↾s 𝑥) = ((𝐺 ↾s 𝑆) ↾s 𝑥) | 
| 11 |  | simpl1 1192 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ 𝐾 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐻)) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) | 
| 12 | 6 | subsubg 19167 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐻) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑆))) | 
| 13 | 12 | 3ad2ant1 1134 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ 𝐾 ⊆ 𝑆) → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐻) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑆))) | 
| 14 | 13 | simplbda 499 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ 𝐾 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐻)) → 𝑥 ⊆ 𝑆) | 
| 15 |  | ressabs 17294 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑆) → ((𝐺 ↾s 𝑆) ↾s 𝑥) = (𝐺 ↾s 𝑥)) | 
| 16 | 11, 14, 15 | syl2anc 584 | . . . . . . 7
⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ 𝐾 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐻)) → ((𝐺 ↾s 𝑆) ↾s 𝑥) = (𝐺 ↾s 𝑥)) | 
| 17 | 10, 16 | eqtrid 2789 | . . . . . 6
⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ 𝐾 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐻)) → (𝐻 ↾s 𝑥) = (𝐺 ↾s 𝑥)) | 
| 18 | 17 | breq2d 5155 | . . . . 5
⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ 𝐾 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐻)) → (𝑃 pGrp (𝐻 ↾s 𝑥) ↔ 𝑃 pGrp (𝐺 ↾s 𝑥))) | 
| 19 | 18 | anbi2d 630 | . . . 4
⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ 𝐾 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐻)) → ((𝐾 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑃 pGrp (𝐻 ↾s 𝑥)) ↔ (𝐾 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑃 pGrp (𝐺 ↾s 𝑥)))) | 
| 20 |  | simpl2 1193 | . . . . 5
⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ 𝐾 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐻)) → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) | 
| 21 | 13 | simprbda 498 | . . . . 5
⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ 𝐾 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐻)) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) | 
| 22 |  | eqid 2737 | . . . . . 6
⊢ (𝐺 ↾s 𝑥) = (𝐺 ↾s 𝑥) | 
| 23 | 22 | slwispgp 19629 | . . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝐾 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑃 pGrp (𝐺 ↾s 𝑥)) ↔ 𝐾 = 𝑥)) | 
| 24 | 20, 21, 23 | syl2anc 584 | . . . 4
⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ 𝐾 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐻)) → ((𝐾 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑃 pGrp (𝐺 ↾s 𝑥)) ↔ 𝐾 = 𝑥)) | 
| 25 | 19, 24 | bitrd 279 | . . 3
⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ 𝐾 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐻)) → ((𝐾 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑃 pGrp (𝐻 ↾s 𝑥)) ↔ 𝐾 = 𝑥)) | 
| 26 | 25 | ralrimiva 3146 | . 2
⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ 𝐾 ⊆ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐻)((𝐾 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑃 pGrp (𝐻 ↾s 𝑥)) ↔ 𝐾 = 𝑥)) | 
| 27 |  | isslw 19626 | . 2
⊢ (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐻) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐻) ∧ ∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐻)((𝐾 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑃 pGrp (𝐻 ↾s 𝑥)) ↔ 𝐾 = 𝑥))) | 
| 28 | 2, 9, 26, 27 | syl3anbrc 1344 | 1
⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ 𝐾 ⊆ 𝑆) → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐻)) |