Theorem slwn0 18388

Description: Every finite group contains a Sylow 𝑃-subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
slwn0.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
slwn0	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pSyl 𝐺) ≠ ∅)

Proof of Theorem slwn0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2825	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
2	1	0subg 17977	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → {(0g‘𝐺)} ∈ (SubGrp‘𝐺))
3	2	3ad2ant1 1167	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → {(0g‘𝐺)} ∈ (SubGrp‘𝐺))
4		simp2 1171	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑋 ∈ Fin)
5	1	pgp0 18369	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 pGrp (𝐺 ↾s {(0g‘𝐺)}))
6	5	3adant2 1165	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 pGrp (𝐺 ↾s {(0g‘𝐺)}))
7		slwn0.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
8		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (𝐺 ↾s {(0g‘𝐺)}) = (𝐺 ↾s {(0g‘𝐺)})
9		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝑃 pGrp (𝐺 ↾s 𝑦) ∧ {(0g‘𝐺)} ⊆ 𝑦)} ↦ (♯‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝑃 pGrp (𝐺 ↾s 𝑦) ∧ {(0g‘𝐺)} ⊆ 𝑦)} ↦ (♯‘𝑥))
10	7, 8, 9	pgpssslw 18387	. . 3 ⊢ (({(0g‘𝐺)} ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 pGrp (𝐺 ↾s {(0g‘𝐺)})) → ∃𝑧 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺){(0g‘𝐺)} ⊆ 𝑧)
11	3, 4, 6, 10	syl3anc 1494	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ∃𝑧 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺){(0g‘𝐺)} ⊆ 𝑧)
12		rexn0 4298	. 2 ⊢ (∃𝑧 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺){(0g‘𝐺)} ⊆ 𝑧 → (𝑃 pSyl 𝐺) ≠ ∅)
13	11, 12	syl 17	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pSyl 𝐺) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  ∃wrex 3118  {crab 3121   ⊆ wss 3798  ∅c0 4146  {csn 4399   class class class wbr 4875   ↦ cmpt 4954  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  Fincfn 8228  ♯chash 13417  ℙcprime 15764  Basecbs 16229   ↾_s cress 16230  0_gc0g 16460  Grpcgrp 17783  SubGrpcsubg 17946   pGrp cpgp 18304   pSyl cslw 18305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-disj 4844  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-omul 7836  df-er 8014  df-ec 8016  df-qs 8020  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-sup 8623  df-inf 8624  df-oi 8691  df-card 9085  df-acn 9088  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-n0 11626  df-xnn0 11698  df-z 11712  df-uz 11976  df-q 12079  df-rp 12120  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-fl 12895  df-mod 12971  df-seq 13103  df-exp 13162  df-hash 13418  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-clim 14603  df-sum 14801  df-dvds 15365  df-gcd 15597  df-prm 15765  df-pc 15920  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-0g 16462  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-mulg 17902  df-subg 17949  df-eqg 17951  df-od 18306  df-pgp 18308  df-slw 18309

This theorem is referenced by:  sylow3  18406