Theorem slwn0 19684

Description: Every finite group contains a Sylow 𝑃-subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
slwn0.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
slwn0	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pSyl 𝐺) ≠ ∅)

Proof of Theorem slwn0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
2	1	0subg 19217	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → {(0g‘𝐺)} ∈ (SubGrp‘𝐺))
3	2	3ad2ant1 1149	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → {(0g‘𝐺)} ∈ (SubGrp‘𝐺))
4		simp2 1153	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑋 ∈ Fin)
5	1	pgp0 19665	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 pGrp (𝐺 ↾s {(0g‘𝐺)}))
6	5	3adant2 1147	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 pGrp (𝐺 ↾s {(0g‘𝐺)}))
7		slwn0.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
8		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝐺 ↾s {(0g‘𝐺)}) = (𝐺 ↾s {(0g‘𝐺)})
9		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝑃 pGrp (𝐺 ↾s 𝑦) ∧ {(0g‘𝐺)} ⊆ 𝑦)} ↦ (♯‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝑃 pGrp (𝐺 ↾s 𝑦) ∧ {(0g‘𝐺)} ⊆ 𝑦)} ↦ (♯‘𝑥))
10	7, 8, 9	pgpssslw 19683	. . 3 ⊢ (({(0g‘𝐺)} ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 pGrp (𝐺 ↾s {(0g‘𝐺)})) → ∃𝑧 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺){(0g‘𝐺)} ⊆ 𝑧)
11	3, 4, 6, 10	syl3anc 1396	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ∃𝑧 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺){(0g‘𝐺)} ⊆ 𝑧)
12		rexn0 4456	. 2 ⊢ (∃𝑧 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺){(0g‘𝐺)} ⊆ 𝑧 → (𝑃 pSyl 𝐺) ≠ ∅)
13	11, 12	syl 18	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pSyl 𝐺) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087  {crab 3414   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  {csn 4588   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8942  ♯chash 14366  ℙcprime 16728  Basecbs 17268   ↾_s cress 17289  0_gc0g 17491  Grpcgrp 18999  SubGrpcsubg 19185   pGrp cpgp 19595   pSyl cslw 19596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-disj 5076  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-omul 8457  df-er 8693  df-ec 8695  df-qs 8699  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-card 9924  df-acn 9927  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-fz 13535  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-mod 13903  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15539  df-sum 15738  df-dvds 16310  df-gcd 16552  df-prm 16729  df-pc 16896  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-mulg 19133  df-subg 19188  df-eqg 19190  df-od 19597  df-pgp 19599  df-slw 19600

This theorem is referenced by:  sylow3  19702