Theorem slwn0 19590

Description: Every finite group contains a Sylow 𝑃-subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
slwn0.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
slwn0	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pSyl 𝐺) ≠ ∅)

Proof of Theorem slwn0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
2	1	0subg 19127	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → {(0g‘𝐺)} ∈ (SubGrp‘𝐺))
3	2	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → {(0g‘𝐺)} ∈ (SubGrp‘𝐺))
4		simp2 1138	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑋 ∈ Fin)
5	1	pgp0 19571	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 pGrp (𝐺 ↾s {(0g‘𝐺)}))
6	5	3adant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 pGrp (𝐺 ↾s {(0g‘𝐺)}))
7		slwn0.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
8		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝐺 ↾s {(0g‘𝐺)}) = (𝐺 ↾s {(0g‘𝐺)})
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝑃 pGrp (𝐺 ↾s 𝑦) ∧ {(0g‘𝐺)} ⊆ 𝑦)} ↦ (♯‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝑃 pGrp (𝐺 ↾s 𝑦) ∧ {(0g‘𝐺)} ⊆ 𝑦)} ↦ (♯‘𝑥))
10	7, 8, 9	pgpssslw 19589	. . 3 ⊢ (({(0g‘𝐺)} ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 pGrp (𝐺 ↾s {(0g‘𝐺)})) → ∃𝑧 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺){(0g‘𝐺)} ⊆ 𝑧)
11	3, 4, 6, 10	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ∃𝑧 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺){(0g‘𝐺)} ⊆ 𝑧)
12		rexn0 4437	. 2 ⊢ (∃𝑧 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺){(0g‘𝐺)} ⊆ 𝑧 → (𝑃 pSyl 𝐺) ≠ ∅)
13	11, 12	syl 17	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pSyl 𝐺) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  {crab 3390   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  {csn 4568   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  Fincfn 8893  ♯chash 14292  ℙcprime 16640  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  0_gc0g 17402  Grpcgrp 18909  SubGrpcsubg 19096   pGrp cpgp 19501   pSyl cslw 19502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-omul 8410  df-er 8643  df-ec 8645  df-qs 8649  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-dvds 16222  df-gcd 16464  df-prm 16641  df-pc 16808  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-eqg 19101  df-od 19503  df-pgp 19505  df-slw 19506

This theorem is referenced by:  sylow3  19608