MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgtset Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgtset 19189
Description: The topology of the symmetric group on 𝐴. This component is defined on a larger set than the true base - the product topology is defined on the set of all functions, not just bijections - but the definition of TopOpen ensures that it is trimmed down before it gets use. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Proof revised by AV, 30-Mar-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
symggrp.1 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
symgtset (𝐴𝑉 → (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴})) = (TopSet‘𝐺))

Proof of Theorem symgtset
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (EndoFMnd‘𝐴) = (EndoFMnd‘𝐴)
21efmndtset 18697 . 2 (𝐴𝑉 → (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴})) = (TopSet‘(EndoFMnd‘𝐴)))
3 symggrp.1 . . . . 5 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
4 eqid 2733 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
53, 4symgbas 19160 . . . 4 (Base‘𝐺) = {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴}
6 fvexd 6861 . . . 4 (𝐴𝑉 → (Base‘𝐺) ∈ V)
75, 6eqeltrrid 2839 . . 3 (𝐴𝑉 → {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴} ∈ V)
8 eqid 2733 . . . 4 ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴}) = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴})
9 eqid 2733 . . . 4 (TopSet‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (TopSet‘(EndoFMnd‘𝐴))
108, 9resstset 17254 . . 3 ({𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴} ∈ V → (TopSet‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (TopSet‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴})))
117, 10syl 17 . 2 (𝐴𝑉 → (TopSet‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (TopSet‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴})))
12 eqid 2733 . . . . . 6 {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴} = {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴}
133, 12symgval 19158 . . . . 5 𝐺 = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴})
1413eqcomi 2742 . . . 4 ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴}) = 𝐺
1514fveq2i 6849 . . 3 (TopSet‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴})) = (TopSet‘𝐺)
1615a1i 11 . 2 (𝐴𝑉 → (TopSet‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴})) = (TopSet‘𝐺))
172, 11, 163eqtrd 2777 1 (𝐴𝑉 → (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴})) = (TopSet‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  {cab 2710  Vcvv 3447  𝒫 cpw 4564  {csn 4590   × cxp 5635  1-1-ontowf1o 6499  cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  s cress 17120  TopSetcts 17147  tcpt 17328  EndoFMndcefmnd 18686  SymGrpcsymg 19156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-tset 17160  df-efmnd 18687  df-symg 19157
This theorem is referenced by:  symgtopn  19196
  Copyright terms: Public domain W3C validator