Theorem symgtset 19007

Description: The topology of the symmetric group on 𝐴. This component is defined on a larger set than the true base - the product topology is defined on the set of all functions, not just bijections - but the definition of TopOpen ensures that it is trimmed down before it gets use. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Proof revised by AV, 30-Mar-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
symggrp.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
symgtset	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴})) = (TopSet‘𝐺))

Proof of Theorem symgtset

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (EndoFMnd‘𝐴) = (EndoFMnd‘𝐴)
2	1	efmndtset 18518	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴})) = (TopSet‘(EndoFMnd‘𝐴)))
3		symggrp.1	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
4		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5	3, 4	symgbas 18978	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}
6		fvexd 6789	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐺) ∈ V)
7	5, 6	eqeltrrid 2844	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴} ∈ V)
8		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}) = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴})
9		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (TopSet‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (TopSet‘(EndoFMnd‘𝐴))
10	8, 9	resstset 17075	. . 3 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴} ∈ V → (TopSet‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (TopSet‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴})))
11	7, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (TopSet‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (TopSet‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴})))
12		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴} = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}
13	3, 12	symgval 18976	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴})
14	13	eqcomi 2747	. . . 4 ⊢ ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}) = 𝐺
15	14	fveq2i 6777	. . 3 ⊢ (TopSet‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴})) = (TopSet‘𝐺)
16	15	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (TopSet‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴})) = (TopSet‘𝐺))
17	2, 11, 16	3eqtrd 2782	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴})) = (TopSet‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {cab 2715  Vcvv 3432  𝒫 cpw 4533  {csn 4561   × cxp 5587  –1-1-onto→wf1o 6432  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912   ↾_s cress 16941  TopSetcts 16968  ∏_tcpt 17149  EndoFMndcefmnd 18507  SymGrpcsymg 18974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-tset 16981  df-efmnd 18508  df-symg 18975

This theorem is referenced by:  symgtopn  19014