Theorem symgtset 19469

Description: The topology of the symmetric group on 𝐴. This component is defined on a larger set than the true base - the product topology is defined on the set of all functions, not just bijections - but the definition of TopOpen ensures that it is trimmed down before it gets use. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Proof revised by AV, 30-Mar-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
symggrp.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
symgtset	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴})) = (TopSet‘𝐺))

Proof of Theorem symgtset

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . 3 ⊢ (EndoFMnd‘𝐴) = (EndoFMnd‘𝐴)
2	1	efmndtset 18938	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴})) = (TopSet‘(EndoFMnd‘𝐴)))
3		symggrp.1	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
4		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5	3, 4	symgbas 19442	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}
6		fvexd 6897	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐺) ∈ V)
7	5, 6	eqeltrrid 2874	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴} ∈ V)
8		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}) = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴})
9		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (TopSet‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (TopSet‘(EndoFMnd‘𝐴))
10	8, 9	resstset 17418	. . 3 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴} ∈ V → (TopSet‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (TopSet‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴})))
11	7, 10	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (TopSet‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (TopSet‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴})))
12		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴} = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}
13	3, 12	symgval 19441	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴})
14	13	eqcomi 2778	. . . 4 ⊢ ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}) = 𝐺
15	14	fveq2i 6885	. . 3 ⊢ (TopSet‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴})) = (TopSet‘𝐺)
16	15	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (TopSet‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴})) = (TopSet‘𝐺))
17	2, 11, 16	3eqtrd 2808	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴})) = (TopSet‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {cab 2747  Vcvv 3463  𝒫 cpw 4567  {csn 4594   × cxp 5660  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17269   ↾_s cress 17290  TopSetcts 17316  ∏_tcpt 17491  EndoFMndcefmnd 18927  SymGrpcsymg 19439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-tset 17329  df-efmnd 18928  df-symg 19440

This theorem is referenced by:  symgtopn  19476