Theorem symgtset 18745

Description: The topology of the symmetric group on 𝐴. This component is defined on a larger set than the true base - the product topology is defined on the set of all functions, not just bijections - but the definition of TopOpen ensures that it is trimmed down before it gets use. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Proof revised by AV, 30-Mar-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
symggrp.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
symgtset	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴})) = (TopSet‘𝐺))

Proof of Theorem symgtset

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (EndoFMnd‘𝐴) = (EndoFMnd‘𝐴)
2	1	efmndtset 18260	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴})) = (TopSet‘(EndoFMnd‘𝐴)))
3		symggrp.1	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
4		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5	3, 4	symgbas 18717	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}
6		fvexd 6710	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐺) ∈ V)
7	5, 6	eqeltrrid 2836	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴} ∈ V)
8		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}) = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴})
9		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (TopSet‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (TopSet‘(EndoFMnd‘𝐴))
10	8, 9	resstset 16849	. . 3 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴} ∈ V → (TopSet‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (TopSet‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴})))
11	7, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (TopSet‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (TopSet‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴})))
12		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴} = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}
13	3, 12	symgval 18715	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴})
14	13	eqcomi 2745	. . . 4 ⊢ ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}) = 𝐺
15	14	fveq2i 6698	. . 3 ⊢ (TopSet‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴})) = (TopSet‘𝐺)
16	15	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (TopSet‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴})) = (TopSet‘𝐺))
17	2, 11, 16	3eqtrd 2775	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴})) = (TopSet‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  {cab 2714  Vcvv 3398  𝒫 cpw 4499  {csn 4527   × cxp 5534  –1-1-onto→wf1o 6357  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  Basecbs 16666   ↾_s cress 16667  TopSetcts 16755  ∏_tcpt 16897  EndoFMndcefmnd 18249  SymGrpcsymg 18713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-er 8369  df-map 8488  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-4 11860  df-5 11861  df-6 11862  df-7 11863  df-8 11864  df-9 11865  df-n0 12056  df-z 12142  df-uz 12404  df-fz 13061  df-struct 16668  df-ndx 16669  df-slot 16670  df-base 16672  df-sets 16673  df-ress 16674  df-plusg 16762  df-tset 16768  df-efmnd 18250  df-symg 18714

This theorem is referenced by:  symgtopn  18752