Theorem symgbas 18498

Description: The base set of the symmetric group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 29-Mar-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgbas.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgbas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
symgbas	⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴}

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem symgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgbas.1	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴} = {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴}
3	1, 2	symgval 18496	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴})
4	3	eqcomi 2830	. . 3 ⊢ ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴}) = 𝐺
5	4	fveq2i 6672	. 2 ⊢ (Base‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴})) = (Base‘𝐺)
6		f1of 6614	. . . . 5 ⊢ (𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴 → 𝑥:𝐴⟶𝐴)
7	6	ss2abi 4042	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴} ⊆ {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴⟶𝐴}
8		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (EndoFMnd‘𝐴) = (EndoFMnd‘𝐴)
9		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (Base‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (Base‘(EndoFMnd‘𝐴))
10	8, 9	efmndbasabf 18036	. . . 4 ⊢ (Base‘(EndoFMnd‘𝐴)) = {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴⟶𝐴}
11	7, 10	sseqtrri 4003	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴} ⊆ (Base‘(EndoFMnd‘𝐴))
12		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴}) = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴})
13	12, 9	ressbas2 16554	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴} ⊆ (Base‘(EndoFMnd‘𝐴)) → {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴} = (Base‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴})))
14	11, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴} = (Base‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴}))
15		symgbas.2	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
16	5, 14, 15	3eqtr4ri 2855	1 ⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴}

Syntax hints:   = wceq 1533  {cab 2799   ⊆ wss 3935  ⟶wf 6350  –1-1-onto→wf1o 6353  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  Basecbs 16482   ↾_s cress 16483  EndoFMndcefmnd 18032  SymGrpcsymg 18494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12892  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-tset 16583  df-efmnd 18033  df-symg 18495

This theorem is referenced by:  symgbasex  18499  elsymgbas2  18500  symghash  18505  symgbasfi  18506  symgressbas  18509  symgbas0  18516  symg1bas  18518  symgvalstruct  18524  symgsubmefmnd  18525  symgtset  18526