MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgbas 19370
Description: The base set of the symmetric group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 29-Mar-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
symgbas.1 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgbas.2 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
symgbas 𝐵 = {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem symgbas
StepHypRef Expression
1 symgbas.1 . . . . 5 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2 eqid 2726 . . . . 5 {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} = {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}
31, 2symgval 19368 . . . 4 𝐺 = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴})
43eqcomi 2735 . . 3 ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}) = 𝐺
54fveq2i 6906 . 2 (Base‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴})) = (Base‘𝐺)
6 f1of 6845 . . . . 5 (𝑥:𝐴1-1-onto𝐴𝑥:𝐴𝐴)
76ss2abi 4062 . . . 4 {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ⊆ {𝑥𝑥:𝐴𝐴}
8 eqid 2726 . . . . 5 (EndoFMnd‘𝐴) = (EndoFMnd‘𝐴)
9 eqid 2726 . . . . 5 (Base‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (Base‘(EndoFMnd‘𝐴))
108, 9efmndbasabf 18864 . . . 4 (Base‘(EndoFMnd‘𝐴)) = {𝑥𝑥:𝐴𝐴}
117, 10sseqtrri 4017 . . 3 {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ⊆ (Base‘(EndoFMnd‘𝐴))
12 eqid 2726 . . . 4 ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}) = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴})
1312, 9ressbas2 17253 . . 3 ({𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ⊆ (Base‘(EndoFMnd‘𝐴)) → {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} = (Base‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴})))
1411, 13ax-mp 5 . 2 {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} = (Base‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}))
15 symgbas.2 . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
165, 14, 153eqtr4ri 2765 1 𝐵 = {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1534  {cab 2703  wss 3947  wf 6552  1-1-ontowf1o 6555  cfv 6556  (class class class)co 7426  Basecbs 17215  s cress 17244  EndoFMndcefmnd 18860  SymGrpcsymg 19366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-pre-mulgt0 11237
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4916  df-iun 5005  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-1o 8498  df-er 8736  df-map 8859  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11498  df-neg 11499  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12613  df-uz 12877  df-fz 13541  df-struct 17151  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17216  df-ress 17245  df-plusg 17281  df-tset 17287  df-efmnd 18861  df-symg 19367
This theorem is referenced by:  symgbasexOLD  19371  elsymgbas2  19372  symghash  19377  symgbasfi  19378  symgressbas  19381  symgbas0  19388  symg1bas  19390  symgvalstruct  19396  symgvalstructOLD  19397  symgsubmefmnd  19398  symgtset  19399
  Copyright terms: Public domain W3C validator