Theorem symgbas 19301

Description: The base set of the symmetric group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 29-Mar-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgbas.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgbas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
symgbas	⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴}

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem symgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgbas.1	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴} = {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴}
3	1, 2	symgval 19300	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴})
4	3	eqcomi 2745	. . 3 ⊢ ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴}) = 𝐺
5	4	fveq2i 6837	. 2 ⊢ (Base‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴})) = (Base‘𝐺)
6		f1of 6774	. . . . 5 ⊢ (𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴 → 𝑥:𝐴⟶𝐴)
7	6	ss2abi 4018	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴} ⊆ {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴⟶𝐴}
8		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (EndoFMnd‘𝐴) = (EndoFMnd‘𝐴)
9		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (Base‘(EndoFMnd‘𝐴))
10	8, 9	efmndbasabf 18797	. . . 4 ⊢ (Base‘(EndoFMnd‘𝐴)) = {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴⟶𝐴}
11	7, 10	sseqtrri 3983	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴} ⊆ (Base‘(EndoFMnd‘𝐴))
12		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴}) = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴})
13	12, 9	ressbas2 17165	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴} ⊆ (Base‘(EndoFMnd‘𝐴)) → {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴} = (Base‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴})))
14	11, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴} = (Base‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴}))
15		symgbas.2	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
16	5, 14, 15	3eqtr4ri 2770	1 ⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴}

Syntax hints:   = wceq 1541  {cab 2714   ⊆ wss 3901  ⟶wf 6488  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136   ↾_s cress 17157  EndoFMndcefmnd 18793  SymGrpcsymg 19298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-tset 17196  df-efmnd 18794  df-symg 19299

This theorem is referenced by:  elsymgbas2  19302  symghash  19307  symgbasfi  19308  symgressbas  19311  symgbas0  19318  symg1bas  19320  symgvalstruct  19326  symgsubmefmnd  19327  symgtset  19328