Theorem symgbas 18239

Description: The base set of the symmetric group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgbas.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgbas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
symgbas	⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴}

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem symgbas

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgbas.2	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		f1of 6483	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴 → 𝑥:𝐴⟶𝐴)
3		elmapg 8269	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐴) ↔ 𝑥:𝐴⟶𝐴))
4	3	anidms 567	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐴) ↔ 𝑥:𝐴⟶𝐴))
5	2, 4	syl5ibr 247	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴 → 𝑥 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐴)))
6	5	abssdv 3966	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴} ⊆ (𝐴 ↑𝑚 𝐴))
7		ovex 7048	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ↑𝑚 𝐴) ∈ V
8		ssexg 5118	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴} ⊆ (𝐴 ↑𝑚 𝐴) ∧ (𝐴 ↑𝑚 𝐴) ∈ V) → {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴} ∈ V)
9	6, 7, 8	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴} ∈ V)
10		eqid 2795	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Base‘ndx), {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴}, 𝑔 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴} ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩} = {⟨(Base‘ndx), {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴}, 𝑔 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴} ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}
11	10	topgrpbas 16491	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴} ∈ V → {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴}, 𝑔 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴} ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}))
12	9, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴}, 𝑔 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴} ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}))
13		symgbas.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
14		eqid 2795	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴} = {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴}
15		eqid 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴}, 𝑔 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴} ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (𝑓 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴}, 𝑔 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴} ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))
16		eqid 2795	. . . . . 6 ⊢ (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴})) = (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))
17	13, 14, 15, 16	symgval 18238	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴}, 𝑔 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴} ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩})
18	17	fveq2d 6542	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (Base‘𝐺) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴}, 𝑔 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴} ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}))
19	12, 18	eqtr4d 2834	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴} = (Base‘𝐺))
20		base0 16365	. . . 4 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
21		f1odm 6487	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴 → dom 𝑥 = 𝐴)
22		vex 3440	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
23	22	dmex 7472	. . . . . . . . 9 ⊢ dom 𝑥 ∈ V
24	21, 23	syl6eqelr 2892	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴 → 𝐴 ∈ V)
25	24	con3i 157	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴)
26	25	pm2.21d 121	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴 → 𝑥 ∈ ∅))
27	26	abssdv 3966	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴} ⊆ ∅)
28		ss0 4272	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴} ⊆ ∅ → {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴} = ∅)
29	27, 28	syl 17	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴} = ∅)
30		fvprc 6531	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (SymGrp‘𝐴) = ∅)
31	13, 30	syl5eq 2843	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → 𝐺 = ∅)
32	31	fveq2d 6542	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Base‘𝐺) = (Base‘∅))
33	20, 29, 32	3eqtr4a 2857	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴} = (Base‘𝐺))
34	19, 33	pm2.61i 183	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴} = (Base‘𝐺)
35	1, 34	eqtr4i 2822	1 ⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴}

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 207   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  {cab 2775  Vcvv 3437   ⊆ wss 3859  ∅c0 4211  𝒫 cpw 4453  {csn 4472  {ctp 4476  ⟨cop 4478   × cxp 5441  dom cdm 5443   ∘ ccom 5447  ⟶wf 6221  –1-1-onto→wf1o 6224  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016   ∈ cmpo 7018   ↑_𝑚 cmap 8256  ndxcnx 16309  Basecbs 16312  +_gcplusg 16394  TopSetcts 16400  ∏_tcpt 16541  SymGrpcsymg 18236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-fz 12743  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-plusg 16407  df-tset 16413  df-symg 18237

This theorem is referenced by:  elsymgbas2  18240  symghash  18244  symgbasfi  18245  symgplusg  18248  symgbas0  18253  symg1bas  18255  symgtset  18258