MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgbas 18239
Description: The base set of the symmetric group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgbas.1 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgbas.2 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
symgbas 𝐵 = {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem symgbas
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgbas.2 . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 f1of 6483 . . . . . . . 8 (𝑥:𝐴1-1-onto𝐴𝑥:𝐴𝐴)
3 elmapg 8269 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝐴𝑚 𝐴) ↔ 𝑥:𝐴𝐴))
43anidms 567 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ (𝐴𝑚 𝐴) ↔ 𝑥:𝐴𝐴))
52, 4syl5ibr 247 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → (𝑥:𝐴1-1-onto𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑚 𝐴)))
65abssdv 3966 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ⊆ (𝐴𝑚 𝐴))
7 ovex 7048 . . . . . 6 (𝐴𝑚 𝐴) ∈ V
8 ssexg 5118 . . . . . 6 (({𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ⊆ (𝐴𝑚 𝐴) ∧ (𝐴𝑚 𝐴) ∈ V) → {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ∈ V)
96, 7, 8sylancl 586 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ∈ V)
10 eqid 2795 . . . . . 6 {⟨(Base‘ndx), {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}, 𝑔 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩} = {⟨(Base‘ndx), {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}, 𝑔 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}
1110topgrpbas 16491 . . . . 5 ({𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ∈ V → {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}, 𝑔 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}))
129, 11syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ V → {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}, 𝑔 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}))
13 symgbas.1 . . . . . 6 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
14 eqid 2795 . . . . . 6 {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} = {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}
15 eqid 2795 . . . . . 6 (𝑓 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}, 𝑔 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ↦ (𝑓𝑔)) = (𝑓 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}, 𝑔 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ↦ (𝑓𝑔))
16 eqid 2795 . . . . . 6 (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴})) = (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))
1713, 14, 15, 16symgval 18238 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}, 𝑔 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩})
1817fveq2d 6542 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (Base‘𝐺) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}, 𝑔 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}))
1912, 18eqtr4d 2834 . . 3 (𝐴 ∈ V → {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} = (Base‘𝐺))
20 base0 16365 . . . 4 ∅ = (Base‘∅)
21 f1odm 6487 . . . . . . . . 9 (𝑥:𝐴1-1-onto𝐴 → dom 𝑥 = 𝐴)
22 vex 3440 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
2322dmex 7472 . . . . . . . . 9 dom 𝑥 ∈ V
2421, 23syl6eqelr 2892 . . . . . . . 8 (𝑥:𝐴1-1-onto𝐴𝐴 ∈ V)
2524con3i 157 . . . . . . 7 𝐴 ∈ V → ¬ 𝑥:𝐴1-1-onto𝐴)
2625pm2.21d 121 . . . . . 6 𝐴 ∈ V → (𝑥:𝐴1-1-onto𝐴𝑥 ∈ ∅))
2726abssdv 3966 . . . . 5 𝐴 ∈ V → {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ⊆ ∅)
28 ss0 4272 . . . . 5 ({𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ⊆ ∅ → {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} = ∅)
2927, 28syl 17 . . . 4 𝐴 ∈ V → {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} = ∅)
30 fvprc 6531 . . . . . 6 𝐴 ∈ V → (SymGrp‘𝐴) = ∅)
3113, 30syl5eq 2843 . . . . 5 𝐴 ∈ V → 𝐺 = ∅)
3231fveq2d 6542 . . . 4 𝐴 ∈ V → (Base‘𝐺) = (Base‘∅))
3320, 29, 323eqtr4a 2857 . . 3 𝐴 ∈ V → {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} = (Base‘𝐺))
3419, 33pm2.61i 183 . 2 {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} = (Base‘𝐺)
351, 34eqtr4i 2822 1 𝐵 = {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 207   = wceq 1522  wcel 2081  {cab 2775  Vcvv 3437  wss 3859  c0 4211  𝒫 cpw 4453  {csn 4472  {ctp 4476  cop 4478   × cxp 5441  dom cdm 5443  ccom 5447  wf 6221  1-1-ontowf1o 6224  cfv 6225  (class class class)co 7016  cmpo 7018  𝑚 cmap 8256  ndxcnx 16309  Basecbs 16312  +gcplusg 16394  TopSetcts 16400  tcpt 16541  SymGrpcsymg 18236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-fz 12743  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-plusg 16407  df-tset 16413  df-symg 18237
This theorem is referenced by:  elsymgbas2  18240  symghash  18244  symgbasfi  18245  symgplusg  18248  symgbas0  18253  symg1bas  18255  symgtset  18258
  Copyright terms: Public domain W3C validator