MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgbas 18763
Description: The base set of the symmetric group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 29-Mar-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
symgbas.1 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgbas.2 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
symgbas 𝐵 = {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem symgbas
StepHypRef Expression
1 symgbas.1 . . . . 5 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2 eqid 2737 . . . . 5 {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} = {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}
31, 2symgval 18761 . . . 4 𝐺 = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴})
43eqcomi 2746 . . 3 ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}) = 𝐺
54fveq2i 6720 . 2 (Base‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴})) = (Base‘𝐺)
6 f1of 6661 . . . . 5 (𝑥:𝐴1-1-onto𝐴𝑥:𝐴𝐴)
76ss2abi 3980 . . . 4 {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ⊆ {𝑥𝑥:𝐴𝐴}
8 eqid 2737 . . . . 5 (EndoFMnd‘𝐴) = (EndoFMnd‘𝐴)
9 eqid 2737 . . . . 5 (Base‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (Base‘(EndoFMnd‘𝐴))
108, 9efmndbasabf 18299 . . . 4 (Base‘(EndoFMnd‘𝐴)) = {𝑥𝑥:𝐴𝐴}
117, 10sseqtrri 3938 . . 3 {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ⊆ (Base‘(EndoFMnd‘𝐴))
12 eqid 2737 . . . 4 ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}) = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴})
1312, 9ressbas2 16791 . . 3 ({𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ⊆ (Base‘(EndoFMnd‘𝐴)) → {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} = (Base‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴})))
1411, 13ax-mp 5 . 2 {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} = (Base‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}))
15 symgbas.2 . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
165, 14, 153eqtr4ri 2776 1 𝐵 = {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1543  {cab 2714  wss 3866  wf 6376  1-1-ontowf1o 6379  cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  s cress 16784  EndoFMndcefmnd 18295  SymGrpcsymg 18759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-tset 16821  df-efmnd 18296  df-symg 18760
This theorem is referenced by:  symgbasexOLD  18764  elsymgbas2  18765  symghash  18770  symgbasfi  18771  symgressbas  18774  symgbas0  18781  symg1bas  18783  symgvalstruct  18789  symgsubmefmnd  18790  symgtset  18791
  Copyright terms: Public domain W3C validator