Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgbas 18494
 Description: The base set of the symmetric group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 29-Mar-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
symgbas.1 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgbas.2 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
symgbas 𝐵 = {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem symgbas
StepHypRef Expression
1 symgbas.1 . . . . 5 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2 eqid 2798 . . . . 5 {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} = {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}
31, 2symgval 18492 . . . 4 𝐺 = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴})
43eqcomi 2807 . . 3 ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}) = 𝐺
54fveq2i 6648 . 2 (Base‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴})) = (Base‘𝐺)
6 f1of 6590 . . . . 5 (𝑥:𝐴1-1-onto𝐴𝑥:𝐴𝐴)
76ss2abi 3994 . . . 4 {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ⊆ {𝑥𝑥:𝐴𝐴}
8 eqid 2798 . . . . 5 (EndoFMnd‘𝐴) = (EndoFMnd‘𝐴)
9 eqid 2798 . . . . 5 (Base‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (Base‘(EndoFMnd‘𝐴))
108, 9efmndbasabf 18031 . . . 4 (Base‘(EndoFMnd‘𝐴)) = {𝑥𝑥:𝐴𝐴}
117, 10sseqtrri 3952 . . 3 {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ⊆ (Base‘(EndoFMnd‘𝐴))
12 eqid 2798 . . . 4 ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}) = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴})
1312, 9ressbas2 16549 . . 3 ({𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ⊆ (Base‘(EndoFMnd‘𝐴)) → {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} = (Base‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴})))
1411, 13ax-mp 5 . 2 {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} = (Base‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}))
15 symgbas.2 . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
165, 14, 153eqtr4ri 2832 1 𝐵 = {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538  {cab 2776   ⊆ wss 3881  ⟶wf 6320  –1-1-onto→wf1o 6323  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16477   ↾s cress 16478  EndoFMndcefmnd 18027  SymGrpcsymg 18490 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-map 8393  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-4 11692  df-5 11693  df-6 11694  df-7 11695  df-8 11696  df-9 11697  df-n0 11888  df-z 11972  df-uz 12234  df-fz 12888  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-tset 16578  df-efmnd 18028  df-symg 18491 This theorem is referenced by:  symgbasex  18495  elsymgbas2  18496  symghash  18501  symgbasfi  18502  symgressbas  18505  symgbas0  18512  symg1bas  18514  symgvalstruct  18520  symgsubmefmnd  18521  symgtset  18522
 Copyright terms: Public domain W3C validator