Theorem symgbas 19473

Description: The base set of the symmetric group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 29-Mar-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgbas.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgbas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
symgbas	⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴}

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem symgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgbas.1	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴} = {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴}
3	1, 2	symgval 19472	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴})
4	3	eqcomi 2775	. . 3 ⊢ ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴}) = 𝐺
5	4	fveq2i 6891	. 2 ⊢ (Base‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴})) = (Base‘𝐺)
6		f1of 6827	. . . . 5 ⊢ (𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴 → 𝑥:𝐴⟶𝐴)
7	6	ss2abi 4023	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴} ⊆ {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴⟶𝐴}
8		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (EndoFMnd‘𝐴) = (EndoFMnd‘𝐴)
9		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (Base‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (Base‘(EndoFMnd‘𝐴))
10	8, 9	efmndbasabf 18962	. . . 4 ⊢ (Base‘(EndoFMnd‘𝐴)) = {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴⟶𝐴}
11	7, 10	sseqtrri 3989	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴} ⊆ (Base‘(EndoFMnd‘𝐴))
12		eqid 2766	. . . 4 ⊢ ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴}) = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴})
13	12, 9	ressbas2 17323	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴} ⊆ (Base‘(EndoFMnd‘𝐴)) → {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴} = (Base‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴})))
14	11, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴} = (Base‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴}))
15		symgbas.2	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
16	5, 14, 15	3eqtr4ri 2800	1 ⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴}

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  {cab 2744   ⊆ wss 3908  ⟶wf 6539  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294   ↾_s cress 17315  EndoFMndcefmnd 18958  SymGrpcsymg 19470

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-tset 17354  df-efmnd 18959  df-symg 19471

This theorem is used by:  elsymgbas2  19474  symghash  19479  symgbasfi  19480  symgressbas  19483  symgbas0  19490  symg1bas  19492  symgvalstruct  19498  symgsubmefmnd  19499  symgtset  19500