Theorem symgplusg 18511

Description: The group operation of a symmetric group is the function composition. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 19-Feb-2024.) (Revised by AV, 29-Mar-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgplusg.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgplusg.2	⊢ 𝐵 = (𝐴 ↑m 𝐴)
symgplusg.3	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
symgplusg	⊢ + = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑔   𝐵,𝑓,𝑔

Allowed substitution hints:   + (𝑓,𝑔)   𝐺(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem symgplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgplusg.3	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
2		permsetex 18498	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴} ∈ V)
3		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}) = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴})
4		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (+g‘(EndoFMnd‘𝐴))
5	3, 4	ressplusg 16612	. . . . 5 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴} ∈ V → (+g‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (+g‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴})))
6	2, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (+g‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (+g‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴})))
7		symgplusg.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
8		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴} = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}
9	7, 8	symgval 18497	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴})
10	9	eqcomi 2830	. . . . 5 ⊢ ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}) = 𝐺
11	10	fveq2i 6673	. . . 4 ⊢ (+g‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴})) = (+g‘𝐺)
12	6, 11	syl6eq 2872	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (+g‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (+g‘𝐺))
13		fvprc 6663	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (EndoFMnd‘𝐴) = ∅)
14		fvprc 6663	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (SymGrp‘𝐴) = ∅)
15	7, 14	syl5req 2869	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ∅ = 𝐺)
16	13, 15	eqtrd 2856	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (EndoFMnd‘𝐴) = 𝐺)
17	16	fveq2d 6674	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (+g‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (+g‘𝐺))
18	12, 17	pm2.61i 184	. 2 ⊢ (+g‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (+g‘𝐺)
19		eqid 2821	. . 3 ⊢ (EndoFMnd‘𝐴) = (EndoFMnd‘𝐴)
20		symgplusg.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝐴 ↑m 𝐴)
21		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (Base‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (Base‘(EndoFMnd‘𝐴))
22	19, 21	efmndbas 18036	. . . 4 ⊢ (Base‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (𝐴 ↑m 𝐴)
23	20, 22	eqtr4i 2847	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(EndoFMnd‘𝐴))
24	19, 23, 4	efmndplusg 18045	. 2 ⊢ (+g‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))
25	1, 18, 24	3eqtr2i 2850	1 ⊢ + = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {cab 2799  Vcvv 3494  ∅c0 4291   ∘ ccom 5559  –1-1-onto→wf1o 6354  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ∈ cmpo 7158   ↑_m cmap 8406  Basecbs 16483   ↾_s cress 16484  +_gcplusg 16565  EndoFMndcefmnd 18033  SymGrpcsymg 18495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-tset 16584  df-efmnd 18034  df-symg 18496

This theorem is referenced by:  symgov  18512  pgrpsubgsymg  18537