Theorem symgplusg 19510

Description: The group operation of a symmetric group is the function composition. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 19-Feb-2024.) (Revised by AV, 29-Mar-2024.) (Proof shortened by AV, 14-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgplusg.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgplusg.2	⊢ 𝐵 = (𝐴 ↑m 𝐴)
symgplusg.3	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
symgplusg	⊢ + = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑔   𝐵,𝑓,𝑔

Allowed substitution hints:   + (𝑓, 𝑔)   𝐺(𝑓, 𝑔)

Proof of Theorem symgplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgplusg.3	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
2		f1osetex 8860	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴} ∈ V
3		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}) = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴})
4		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (+g‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (+g‘(EndoFMnd‘𝐴))
5	3, 4	ressplusg 17376	. . . 4 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴} ∈ V → (+g‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (+g‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴})))
6	2, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (+g‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (+g‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}))
7		symgplusg.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
8		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴} = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}
9	7, 8	symgval 19498	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴})
10	9	eqcomi 2769	. . . 4 ⊢ ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}) = 𝐺
11	10	fveq2i 6881	. . 3 ⊢ (+g‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴})) = (+g‘𝐺)
12	6, 11	eqtri 2783	. 2 ⊢ (+g‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (+g‘𝐺)
13		eqid 2760	. . 3 ⊢ (EndoFMnd‘𝐴) = (EndoFMnd‘𝐴)
14		symgplusg.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝐴 ↑m 𝐴)
15		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (Base‘(EndoFMnd‘𝐴))
16	13, 15	efmndbas 18980	. . . 4 ⊢ (Base‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (𝐴 ↑m 𝐴)
17	14, 16	eqtr4i 2786	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(EndoFMnd‘𝐴))
18	13, 17, 4	efmndplusg 18989	. 2 ⊢ (+g‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))
19	1, 12, 18	3eqtr2i 2789	1 ⊢ + = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2738  Vcvv 3450   ∘ ccom 5659  –1-1-onto→wf1o 6532  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415   ↑_m cmap 8826  Basecbs 17301   ↾_s cress 17322  +_gcplusg 17342  EndoFMndcefmnd 18977  SymGrpcsymg 19496

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-tset 17361  df-efmnd 18978  df-symg 19497

This theorem is used by:  symgov  19511  pgrpsubgsymg  19536