Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgplusg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgplusg 18507
 Description: The group operation of a symmetric group is the function composition. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 19-Feb-2024.) (Revised by AV, 29-Mar-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
symgplusg.1 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgplusg.2 𝐵 = (𝐴m 𝐴)
symgplusg.3 + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
symgplusg + = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑔   𝐵,𝑓,𝑔
Allowed substitution hints:   + (𝑓,𝑔)   𝐺(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem symgplusg
StepHypRef Expression
1 symgplusg.3 . 2 + = (+g𝐺)
2 permsetex 18494 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴} ∈ V)
3 eqid 2801 . . . . . 6 ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴}) = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴})
4 eqid 2801 . . . . . 6 (+g‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (+g‘(EndoFMnd‘𝐴))
53, 4ressplusg 16608 . . . . 5 ({𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴} ∈ V → (+g‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (+g‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴})))
62, 5syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (+g‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (+g‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴})))
7 symgplusg.1 . . . . . . 7 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
8 eqid 2801 . . . . . . 7 {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴} = {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴}
97, 8symgval 18493 . . . . . 6 𝐺 = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴})
109eqcomi 2810 . . . . 5 ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴}) = 𝐺
1110fveq2i 6652 . . . 4 (+g‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴})) = (+g𝐺)
126, 11eqtrdi 2852 . . 3 (𝐴 ∈ V → (+g‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (+g𝐺))
13 fvprc 6642 . . . . 5 𝐴 ∈ V → (EndoFMnd‘𝐴) = ∅)
14 fvprc 6642 . . . . . 6 𝐴 ∈ V → (SymGrp‘𝐴) = ∅)
157, 14syl5req 2849 . . . . 5 𝐴 ∈ V → ∅ = 𝐺)
1613, 15eqtrd 2836 . . . 4 𝐴 ∈ V → (EndoFMnd‘𝐴) = 𝐺)
1716fveq2d 6653 . . 3 𝐴 ∈ V → (+g‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (+g𝐺))
1812, 17pm2.61i 185 . 2 (+g‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (+g𝐺)
19 eqid 2801 . . 3 (EndoFMnd‘𝐴) = (EndoFMnd‘𝐴)
20 symgplusg.2 . . . 4 𝐵 = (𝐴m 𝐴)
21 eqid 2801 . . . . 5 (Base‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (Base‘(EndoFMnd‘𝐴))
2219, 21efmndbas 18032 . . . 4 (Base‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (𝐴m 𝐴)
2320, 22eqtr4i 2827 . . 3 𝐵 = (Base‘(EndoFMnd‘𝐴))
2419, 23, 4efmndplusg 18041 . 2 (+g‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔))
251, 18, 243eqtr2i 2830 1 + = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  {cab 2779  Vcvv 3444  ∅c0 4246   ∘ ccom 5527  –1-1-onto→wf1o 6327  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ∈ cmpo 7141   ↑m cmap 8393  Basecbs 16479   ↾s cress 16480  +gcplusg 16561  EndoFMndcefmnd 18029  SymGrpcsymg 18491 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-tset 16580  df-efmnd 18030  df-symg 18492 This theorem is referenced by:  symgov  18508  pgrpsubgsymg  18533
 Copyright terms: Public domain W3C validator