Theorem symgplusg 18905

Description: The group operation of a symmetric group is the function composition. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 19-Feb-2024.) (Revised by AV, 29-Mar-2024.) (Proof shortened by AV, 14-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgplusg.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgplusg.2	⊢ 𝐵 = (𝐴 ↑m 𝐴)
symgplusg.3	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
symgplusg	⊢ + = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑔   𝐵,𝑓,𝑔

Allowed substitution hints:   + (𝑓,𝑔)   𝐺(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem symgplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgplusg.3	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
2		f1osetex 8605	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴} ∈ V
3		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}) = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴})
4		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (+g‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (+g‘(EndoFMnd‘𝐴))
5	3, 4	ressplusg 16926	. . . 4 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴} ∈ V → (+g‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (+g‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴})))
6	2, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (+g‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (+g‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}))
7		symgplusg.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
8		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴} = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}
9	7, 8	symgval 18891	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴})
10	9	eqcomi 2747	. . . 4 ⊢ ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}) = 𝐺
11	10	fveq2i 6759	. . 3 ⊢ (+g‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴})) = (+g‘𝐺)
12	6, 11	eqtri 2766	. 2 ⊢ (+g‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (+g‘𝐺)
13		eqid 2738	. . 3 ⊢ (EndoFMnd‘𝐴) = (EndoFMnd‘𝐴)
14		symgplusg.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝐴 ↑m 𝐴)
15		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (Base‘(EndoFMnd‘𝐴))
16	13, 15	efmndbas 18425	. . . 4 ⊢ (Base‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (𝐴 ↑m 𝐴)
17	14, 16	eqtr4i 2769	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(EndoFMnd‘𝐴))
18	13, 17, 4	efmndplusg 18434	. 2 ⊢ (+g‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))
19	1, 12, 18	3eqtr2i 2772	1 ⊢ + = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {cab 2715  Vcvv 3422   ∘ ccom 5584  –1-1-onto→wf1o 6417  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257   ↑_m cmap 8573  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  +_gcplusg 16888  EndoFMndcefmnd 18422  SymGrpcsymg 18889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-tset 16907  df-efmnd 18423  df-symg 18890

This theorem is referenced by:  symgov  18906  pgrpsubgsymg  18932