Theorem symgplusg 19590

Description: The group operation of a symmetric group is the function composition. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 19-Feb-2024.) (Revised by AV, 29-Mar-2024.) (Proof shortened by AV, 14-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgplusg.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgplusg.2	⊢ 𝐵 = (𝐴 ↑m 𝐴)
symgplusg.3	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
symgplusg	⊢ + = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑔   𝐵,𝑓,𝑔

Allowed substitution hints:   + (𝑓, 𝑔)   𝐺(𝑓, 𝑔)

Proof of Theorem symgplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgplusg.3	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
2		f1osetex 8874	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴} ∈ V
3		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}) = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴})
4		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (+g‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (+g‘(EndoFMnd‘𝐴))
5	3, 4	ressplusg 17455	. . . 4 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴} ∈ V → (+g‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (+g‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴})))
6	2, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (+g‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (+g‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}))
7		symgplusg.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
8		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴} = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}
9	7, 8	symgval 19578	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴})
10	9	eqcomi 2770	. . . 4 ⊢ ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}) = 𝐺
11	10	fveq2i 6886	. . 3 ⊢ (+g‘((EndoFMnd‘𝐴) ↾s {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴})) = (+g‘𝐺)
12	6, 11	eqtri 2784	. 2 ⊢ (+g‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (+g‘𝐺)
13		eqid 2761	. . 3 ⊢ (EndoFMnd‘𝐴) = (EndoFMnd‘𝐴)
14		symgplusg.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝐴 ↑m 𝐴)
15		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (Base‘(EndoFMnd‘𝐴))
16	13, 15	efmndbas 19060	. . . 4 ⊢ (Base‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (𝐴 ↑m 𝐴)
17	14, 16	eqtr4i 2787	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(EndoFMnd‘𝐴))
18	13, 17, 4	efmndplusg 19069	. 2 ⊢ (+g‘(EndoFMnd‘𝐴)) = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))
19	1, 12, 18	3eqtr2i 2790	1 ⊢ + = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2739  Vcvv 3451   ∘ ccom 5655  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   ∈ cmpo 7420   ↑_m cmap 8840  Basecbs 17380   ↾_s cress 17401  +_gcplusg 17421  EndoFMndcefmnd 19057  SymGrpcsymg 19576

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-tset 17440  df-efmnd 19058  df-symg 19577

This theorem is used by:  symgov  19591  pgrpsubgsymg  19616