Theorem unirnblps 22601

Description: The union of the set of balls of a metric space is its base set. (Contributed by NM, 12-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
unirnblps	⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → ∪ ran (ball‘𝐷) = 𝑋)

Proof of Theorem unirnblps

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blfps 22588	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
2	1	frnd 6289	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋)
3		sspwuni 4834	. . 3 ⊢ (ran (ball‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ ran (ball‘𝐷) ⊆ 𝑋)
4	2, 3	sylib 210	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → ∪ ran (ball‘𝐷) ⊆ 𝑋)
5		1rp 12123	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
6		blcntrps 22594	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1))
7	5, 6	mp3an3 1578	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1))
8		rpxr 12130	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
9	5, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ*
10		blelrnps 22598	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
11	9, 10	mp3an3 1578	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
12		elunii 4665	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1) ∧ (𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷)) → 𝑥 ∈ ∪ ran (ball‘𝐷))
13	7, 11, 12	syl2anc 579	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ∪ ran (ball‘𝐷))
14	4, 13	eqelssd 3847	1 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → ∪ ran (ball‘𝐷) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ⊆ wss 3798  𝒫 cpw 4380  ∪ cuni 4660   × cxp 5344  ran crn 5347  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  1c1 10260  ℝ^*cxr 10397  ℝ⁺crp 12119  PsMetcpsmet 20097  ballcbl 20100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-po 5265  df-so 5266  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-er 8014  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-rp 12120  df-psmet 20105  df-bl 20108

This theorem is referenced by:  psmetutop  22749