Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unirnblps Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unirnblps 23121
 Description: The union of the set of balls of a metric space is its base set. (Contributed by NM, 12-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
unirnblps (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) = 𝑋)

Proof of Theorem unirnblps
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 blfps 23108 . . . 4 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
21frnd 6505 . . 3 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋)
3 sspwuni 4987 . . 3 (ran (ball‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋 ran (ball‘𝐷) ⊆ 𝑋)
42, 3sylib 221 . 2 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) ⊆ 𝑋)
5 1rp 12434 . . . 4 1 ∈ ℝ+
6 blcntrps 23114 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1))
75, 6mp3an3 1447 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1))
8 1xr 10738 . . . 4 1 ∈ ℝ*
9 blelrnps 23118 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
108, 9mp3an3 1447 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
11 elunii 4803 . . 3 ((𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1) ∧ (𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷)) → 𝑥 ran (ball‘𝐷))
127, 10, 11syl2anc 587 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥 ran (ball‘𝐷))
134, 12eqelssd 3913 1 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) = 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3858  𝒫 cpw 4494  ∪ cuni 4798   × cxp 5522  ran crn 5525  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  1c1 10576  ℝ*cxr 10712  ℝ+crp 12430  PsMetcpsmet 20150  ballcbl 20153 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-id 5430  df-po 5443  df-so 5444  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-rp 12431  df-psmet 20158  df-bl 20161 This theorem is referenced by:  psmetutop  23269
 Copyright terms: Public domain W3C validator