Theorem unirnblps 24363

Description: The union of the set of balls of a metric space is its base set. (Contributed by NM, 12-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
unirnblps	⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → ∪ ran (ball‘𝐷) = 𝑋)

Proof of Theorem unirnblps

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blfps 24350	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
2	1	frnd 6719	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋)
3		sspwuni 5081	. . 3 ⊢ (ran (ball‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ ran (ball‘𝐷) ⊆ 𝑋)
4	2, 3	sylib 218	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → ∪ ran (ball‘𝐷) ⊆ 𝑋)
5		1rp 13017	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
6		blcntrps 24356	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1))
7	5, 6	mp3an3 1452	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1))
8		1xr 11299	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ*
9		blelrnps 24360	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
10	8, 9	mp3an3 1452	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
11		elunii 4893	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1) ∧ (𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷)) → 𝑥 ∈ ∪ ran (ball‘𝐷))
12	7, 10, 11	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ∪ ran (ball‘𝐷))
13	4, 12	eqelssd 3985	1 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → ∪ ran (ball‘𝐷) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3931  𝒫 cpw 4580  ∪ cuni 4888   × cxp 5657  ran crn 5660  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1c1 11135  ℝ^*cxr 11273  ℝ⁺crp 13013  PsMetcpsmet 21304  ballcbl 21307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-rp 13014  df-psmet 21312  df-bl 21315

This theorem is referenced by:  psmetutop  24511