Theorem unirnblps 24685

Description: The union of the set of balls of a metric space is its base set. (Contributed by NM, 12-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
unirnblps	⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → ∪ ran (ball‘𝐷) = 𝑋)

Proof of Theorem unirnblps

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blfps 24672	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
2	1	frnd 6707	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋)
3		sspwuni 5060	. . 3 ⊢ (ran (ball‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ ran (ball‘𝐷) ⊆ 𝑋)
4	2, 3	sylib 221	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → ∪ ran (ball‘𝐷) ⊆ 𝑋)
5		1rp 13079	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
6		blcntrps 24678	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1))
7	5, 6	mp3an3 1479	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1))
8		1xr 11325	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ*
9		blelrnps 24682	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
10	8, 9	mp3an3 1479	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
11		elunii 4872	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1) ∧ (𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷)) → 𝑥 ∈ ∪ ran (ball‘𝐷))
12	7, 10, 11	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ∪ ran (ball‘𝐷))
13	4, 12	eqelssd 3952	1 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → ∪ ran (ball‘𝐷) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557  ∪ cuni 4867   × cxp 5646  ran crn 5649  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  1c1 11158  ℝ^*cxr 11299  ℝ⁺crp 13075  PsMetcpsmet 21609  ballcbl 21612

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5543  df-po 5556  df-so 5557  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-rp 13076  df-psmet 21617  df-bl 21620

This theorem is used by:  psmetutop  24833