New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  funcnvuni GIF version

Theorem funcnvuni 5161
 Description: The union of a chain (with respect to inclusion) of single-rooted sets is single-rooted. (See funcnv 5156 for "single-rooted" definition.) (Contributed by set.mm contributors, 11-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
funcnvuni (f A (Fun f g A (f g g f)) → Fun A)
Distinct variable group:   f,g,A

Proof of Theorem funcnvuni
Dummy variables x y z w v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnveq 4886 . . . . . . . 8 (x = vx = v)
21eqeq2d 2364 . . . . . . 7 (x = v → (z = xz = v))
32cbvrexv 2836 . . . . . 6 (x A z = xv A z = v)
4 cnveq 4886 . . . . . . . . . . 11 (f = vf = v)
54funeqd 5129 . . . . . . . . . 10 (f = v → (Fun f ↔ Fun v))
6 sseq1 3292 . . . . . . . . . . . 12 (f = v → (f gv g))
7 sseq2 3293 . . . . . . . . . . . 12 (f = v → (g fg v))
86, 7orbi12d 690 . . . . . . . . . . 11 (f = v → ((f g g f) ↔ (v g g v)))
98ralbidv 2634 . . . . . . . . . 10 (f = v → (g A (f g g f) ↔ g A (v g g v)))
105, 9anbi12d 691 . . . . . . . . 9 (f = v → ((Fun f g A (f g g f)) ↔ (Fun v g A (v g g v))))
1110rspcv 2951 . . . . . . . 8 (v A → (f A (Fun f g A (f g g f)) → (Fun v g A (v g g v))))
12 funeq 5127 . . . . . . . . . 10 (z = v → (Fun z ↔ Fun v))
1312biimprcd 216 . . . . . . . . 9 (Fun v → (z = v → Fun z))
14 sseq2 3293 . . . . . . . . . . . . . . 15 (g = x → (v gv x))
15 sseq1 3292 . . . . . . . . . . . . . . 15 (g = x → (g vx v))
1614, 15orbi12d 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (g = x → ((v g g v) ↔ (v x x v)))
1716rspcv 2951 . . . . . . . . . . . . 13 (x A → (g A (v g g v) → (v x x v)))
18 cnvss 4885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (v xv x)
19 cnvss 4885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (x vx v)
2018, 19orim12i 502 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((v x x v) → (v x x v))
21 sseq12 3294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((z = v w = x) → (z wv x))
2221ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((w = x z = v) → (z wv x))
23 sseq12 3294 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((w = x z = v) → (w zx v))
2422, 23orbi12d 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((w = x z = v) → ((z w w z) ↔ (v x x v)))
2520, 24syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . 14 ((v x x v) → ((w = x z = v) → (z w w z)))
2625exp3a 425 . . . . . . . . . . . . 13 ((v x x v) → (w = x → (z = v → (z w w z))))
2717, 26syl6com 31 . . . . . . . . . . . 12 (g A (v g g v) → (x A → (w = x → (z = v → (z w w z)))))
2827rexlimdv 2737 . . . . . . . . . . 11 (g A (v g g v) → (x A w = x → (z = v → (z w w z))))
2928com23 72 . . . . . . . . . 10 (g A (v g g v) → (z = v → (x A w = x → (z w w z))))
3029alrimdv 1633 . . . . . . . . 9 (g A (v g g v) → (z = vw(x A w = x → (z w w z))))
3113, 30anim12ii 553 . . . . . . . 8 ((Fun v g A (v g g v)) → (z = v → (Fun z w(x A w = x → (z w w z)))))
3211, 31syl6com 31 . . . . . . 7 (f A (Fun f g A (f g g f)) → (v A → (z = v → (Fun z w(x A w = x → (z w w z))))))
3332rexlimdv 2737 . . . . . 6 (f A (Fun f g A (f g g f)) → (v A z = v → (Fun z w(x A w = x → (z w w z)))))
343, 33syl5bi 208 . . . . 5 (f A (Fun f g A (f g g f)) → (x A z = x → (Fun z w(x A w = x → (z w w z)))))
3534alrimiv 1631 . . . 4 (f A (Fun f g A (f g g f)) → z(x A z = x → (Fun z w(x A w = x → (z w w z)))))
36 df-ral 2619 . . . . 5 (z {y x A y = x} (Fun z w {y x A y = x} (z w w z)) ↔ z(z {y x A y = x} → (Fun z w {y x A y = x} (z w w z))))
37 vex 2862 . . . . . . . 8 z V
38 eqeq1 2359 . . . . . . . . 9 (y = z → (y = xz = x))
3938rexbidv 2635 . . . . . . . 8 (y = z → (x A y = xx A z = x))
4037, 39elab 2985 . . . . . . 7 (z {y x A y = x} ↔ x A z = x)
41 eqeq1 2359 . . . . . . . . . 10 (y = w → (y = xw = x))
4241rexbidv 2635 . . . . . . . . 9 (y = w → (x A y = xx A w = x))
4342ralab 2997 . . . . . . . 8 (w {y x A y = x} (z w w z) ↔ w(x A w = x → (z w w z)))
4443anbi2i 675 . . . . . . 7 ((Fun z w {y x A y = x} (z w w z)) ↔ (Fun z w(x A w = x → (z w w z))))
4540, 44imbi12i 316 . . . . . 6 ((z {y x A y = x} → (Fun z w {y x A y = x} (z w w z))) ↔ (x A z = x → (Fun z w(x A w = x → (z w w z)))))
4645albii 1566 . . . . 5 (z(z {y x A y = x} → (Fun z w {y x A y = x} (z w w z))) ↔ z(x A z = x → (Fun z w(x A w = x → (z w w z)))))
4736, 46bitr2i 241 . . . 4 (z(x A z = x → (Fun z w(x A w = x → (z w w z)))) ↔ z {y x A y = x} (Fun z w {y x A y = x} (z w w z)))
4835, 47sylib 188 . . 3 (f A (Fun f g A (f g g f)) → z {y x A y = x} (Fun z w {y x A y = x} (z w w z)))
49 fununi 5160 . . 3 (z {y x A y = x} (Fun z w {y x A y = x} (z w w z)) → Fun {y x A y = x})
5048, 49syl 15 . 2 (f A (Fun f g A (f g g f)) → Fun {y x A y = x})
51 cnvuni 4895 . . . 4 A = x A x
52 vex 2862 . . . . . 6 x V
5352cnvex 5102 . . . . 5 x V
5453dfiun2 4001 . . . 4 x A x = {y x A y = x}
5551, 54eqtri 2373 . . 3 A = {y x A y = x}
5655funeqi 5128 . 2 (Fun A ↔ Fun {y x A y = x})
5750, 56sylibr 203 1 (f A (Fun f g A (f g g f)) → Fun A)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∨ wo 357   ∧ wa 358  ∀wal 1540   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  {cab 2339  ∀wral 2614  ∃wrex 2615   ⊆ wss 3257  ∪cuni 3891  ∪ciun 3969  ◡ccnv 4771  Fun wfun 4775 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3971  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-swap 4724  df-co 4726  df-ima 4727  df-id 4767  df-cnv 4785  df-fun 4789 This theorem is referenced by:  fun11uni  5162
 Copyright terms: Public domain W3C validator