Theorem funcnvuni 5162

Description: The union of a chain (with respect to inclusion) of single-rooted sets is single-rooted. (See funcnv 5157 for "single-rooted" definition.) (Contributed by set.mm contributors, 11-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
funcnvuni	⊢ (∀f ∈ A (Fun ◡f ∧ ∀g ∈ A (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) → Fun ◡∪A)

Distinct variable group:   f,g,A

Proof of Theorem funcnvuni

Dummy variables x y z w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnveq 4887	. . . . . . . 8 ⊢ (x = v → ◡x = ◡v)
2	1	eqeq2d 2364	. . . . . . 7 ⊢ (x = v → (z = ◡x ↔ z = ◡v))
3	2	cbvrexv 2837	. . . . . 6 ⊢ (∃x ∈ A z = ◡x ↔ ∃v ∈ A z = ◡v)
4		cnveq 4887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (f = v → ◡f = ◡v)
5	4	funeqd 5130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (f = v → (Fun ◡f ↔ Fun ◡v))
6		sseq1 3293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (f = v → (f ⊆ g ↔ v ⊆ g))
7		sseq2 3294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (f = v → (g ⊆ f ↔ g ⊆ v))
8	6, 7	orbi12d 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (f = v → ((f ⊆ g ∨ g ⊆ f) ↔ (v ⊆ g ∨ g ⊆ v)))
9	8	ralbidv 2635	. . . . . . . . . 10 ⊢ (f = v → (∀g ∈ A (f ⊆ g ∨ g ⊆ f) ↔ ∀g ∈ A (v ⊆ g ∨ g ⊆ v)))
10	5, 9	anbi12d 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (f = v → ((Fun ◡f ∧ ∀g ∈ A (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) ↔ (Fun ◡v ∧ ∀g ∈ A (v ⊆ g ∨ g ⊆ v))))
11	10	rspcv 2952	. . . . . . . 8 ⊢ (v ∈ A → (∀f ∈ A (Fun ◡f ∧ ∀g ∈ A (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) → (Fun ◡v ∧ ∀g ∈ A (v ⊆ g ∨ g ⊆ v))))
12		funeq 5128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z = ◡v → (Fun z ↔ Fun ◡v))
13	12	biimprcd 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fun ◡v → (z = ◡v → Fun z))
14		sseq2 3294	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (g = x → (v ⊆ g ↔ v ⊆ x))
15		sseq1 3293	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (g = x → (g ⊆ v ↔ x ⊆ v))
16	14, 15	orbi12d 690	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (g = x → ((v ⊆ g ∨ g ⊆ v) ↔ (v ⊆ x ∨ x ⊆ v)))
17	16	rspcv 2952	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x ∈ A → (∀g ∈ A (v ⊆ g ∨ g ⊆ v) → (v ⊆ x ∨ x ⊆ v)))
18		cnvss 4886	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (v ⊆ x → ◡v ⊆ ◡x)
19		cnvss 4886	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (x ⊆ v → ◡x ⊆ ◡v)
20	18, 19	orim12i 502	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((v ⊆ x ∨ x ⊆ v) → (◡v ⊆ ◡x ∨ ◡x ⊆ ◡v))
21		sseq12 3295	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((z = ◡v ∧ w = ◡x) → (z ⊆ w ↔ ◡v ⊆ ◡x))
22	21	ancoms 439	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((w = ◡x ∧ z = ◡v) → (z ⊆ w ↔ ◡v ⊆ ◡x))
23		sseq12 3295	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((w = ◡x ∧ z = ◡v) → (w ⊆ z ↔ ◡x ⊆ ◡v))
24	22, 23	orbi12d 690	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((w = ◡x ∧ z = ◡v) → ((z ⊆ w ∨ w ⊆ z) ↔ (◡v ⊆ ◡x ∨ ◡x ⊆ ◡v)))
25	20, 24	syl5ibrcom 213	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((v ⊆ x ∨ x ⊆ v) → ((w = ◡x ∧ z = ◡v) → (z ⊆ w ∨ w ⊆ z)))
26	25	exp3a 425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((v ⊆ x ∨ x ⊆ v) → (w = ◡x → (z = ◡v → (z ⊆ w ∨ w ⊆ z))))
27	17, 26	syl6com 31	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀g ∈ A (v ⊆ g ∨ g ⊆ v) → (x ∈ A → (w = ◡x → (z = ◡v → (z ⊆ w ∨ w ⊆ z)))))
28	27	rexlimdv 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀g ∈ A (v ⊆ g ∨ g ⊆ v) → (∃x ∈ A w = ◡x → (z = ◡v → (z ⊆ w ∨ w ⊆ z))))
29	28	com23 72	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀g ∈ A (v ⊆ g ∨ g ⊆ v) → (z = ◡v → (∃x ∈ A w = ◡x → (z ⊆ w ∨ w ⊆ z))))
30	29	alrimdv 1633	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀g ∈ A (v ⊆ g ∨ g ⊆ v) → (z = ◡v → ∀w(∃x ∈ A w = ◡x → (z ⊆ w ∨ w ⊆ z))))
31	13, 30	anim12ii 553	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun ◡v ∧ ∀g ∈ A (v ⊆ g ∨ g ⊆ v)) → (z = ◡v → (Fun z ∧ ∀w(∃x ∈ A w = ◡x → (z ⊆ w ∨ w ⊆ z)))))
32	11, 31	syl6com 31	. . . . . . 7 ⊢ (∀f ∈ A (Fun ◡f ∧ ∀g ∈ A (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) → (v ∈ A → (z = ◡v → (Fun z ∧ ∀w(∃x ∈ A w = ◡x → (z ⊆ w ∨ w ⊆ z))))))
33	32	rexlimdv 2738	. . . . . 6 ⊢ (∀f ∈ A (Fun ◡f ∧ ∀g ∈ A (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) → (∃v ∈ A z = ◡v → (Fun z ∧ ∀w(∃x ∈ A w = ◡x → (z ⊆ w ∨ w ⊆ z)))))
34	3, 33	syl5bi 208	. . . . 5 ⊢ (∀f ∈ A (Fun ◡f ∧ ∀g ∈ A (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) → (∃x ∈ A z = ◡x → (Fun z ∧ ∀w(∃x ∈ A w = ◡x → (z ⊆ w ∨ w ⊆ z)))))
35	34	alrimiv 1631	. . . 4 ⊢ (∀f ∈ A (Fun ◡f ∧ ∀g ∈ A (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) → ∀z(∃x ∈ A z = ◡x → (Fun z ∧ ∀w(∃x ∈ A w = ◡x → (z ⊆ w ∨ w ⊆ z)))))
36		df-ral 2620	. . . . 5 ⊢ (∀z ∈ {y ∣ ∃x ∈ A y = ◡x} (Fun z ∧ ∀w ∈ {y ∣ ∃x ∈ A y = ◡x} (z ⊆ w ∨ w ⊆ z)) ↔ ∀z(z ∈ {y ∣ ∃x ∈ A y = ◡x} → (Fun z ∧ ∀w ∈ {y ∣ ∃x ∈ A y = ◡x} (z ⊆ w ∨ w ⊆ z))))
37		vex 2863	. . . . . . . 8 ⊢ z ∈ V
38		eqeq1 2359	. . . . . . . . 9 ⊢ (y = z → (y = ◡x ↔ z = ◡x))
39	38	rexbidv 2636	. . . . . . . 8 ⊢ (y = z → (∃x ∈ A y = ◡x ↔ ∃x ∈ A z = ◡x))
40	37, 39	elab 2986	. . . . . . 7 ⊢ (z ∈ {y ∣ ∃x ∈ A y = ◡x} ↔ ∃x ∈ A z = ◡x)
41		eqeq1 2359	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y = w → (y = ◡x ↔ w = ◡x))
42	41	rexbidv 2636	. . . . . . . . 9 ⊢ (y = w → (∃x ∈ A y = ◡x ↔ ∃x ∈ A w = ◡x))
43	42	ralab 2998	. . . . . . . 8 ⊢ (∀w ∈ {y ∣ ∃x ∈ A y = ◡x} (z ⊆ w ∨ w ⊆ z) ↔ ∀w(∃x ∈ A w = ◡x → (z ⊆ w ∨ w ⊆ z)))
44	43	anbi2i 675	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun z ∧ ∀w ∈ {y ∣ ∃x ∈ A y = ◡x} (z ⊆ w ∨ w ⊆ z)) ↔ (Fun z ∧ ∀w(∃x ∈ A w = ◡x → (z ⊆ w ∨ w ⊆ z))))
45	40, 44	imbi12i 316	. . . . . 6 ⊢ ((z ∈ {y ∣ ∃x ∈ A y = ◡x} → (Fun z ∧ ∀w ∈ {y ∣ ∃x ∈ A y = ◡x} (z ⊆ w ∨ w ⊆ z))) ↔ (∃x ∈ A z = ◡x → (Fun z ∧ ∀w(∃x ∈ A w = ◡x → (z ⊆ w ∨ w ⊆ z)))))
46	45	albii 1566	. . . . 5 ⊢ (∀z(z ∈ {y ∣ ∃x ∈ A y = ◡x} → (Fun z ∧ ∀w ∈ {y ∣ ∃x ∈ A y = ◡x} (z ⊆ w ∨ w ⊆ z))) ↔ ∀z(∃x ∈ A z = ◡x → (Fun z ∧ ∀w(∃x ∈ A w = ◡x → (z ⊆ w ∨ w ⊆ z)))))
47	36, 46	bitr2i 241	. . . 4 ⊢ (∀z(∃x ∈ A z = ◡x → (Fun z ∧ ∀w(∃x ∈ A w = ◡x → (z ⊆ w ∨ w ⊆ z)))) ↔ ∀z ∈ {y ∣ ∃x ∈ A y = ◡x} (Fun z ∧ ∀w ∈ {y ∣ ∃x ∈ A y = ◡x} (z ⊆ w ∨ w ⊆ z)))
48	35, 47	sylib 188	. . 3 ⊢ (∀f ∈ A (Fun ◡f ∧ ∀g ∈ A (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) → ∀z ∈ {y ∣ ∃x ∈ A y = ◡x} (Fun z ∧ ∀w ∈ {y ∣ ∃x ∈ A y = ◡x} (z ⊆ w ∨ w ⊆ z)))
49		fununi 5161	. . 3 ⊢ (∀z ∈ {y ∣ ∃x ∈ A y = ◡x} (Fun z ∧ ∀w ∈ {y ∣ ∃x ∈ A y = ◡x} (z ⊆ w ∨ w ⊆ z)) → Fun ∪{y ∣ ∃x ∈ A y = ◡x})
50	48, 49	syl 15	. 2 ⊢ (∀f ∈ A (Fun ◡f ∧ ∀g ∈ A (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) → Fun ∪{y ∣ ∃x ∈ A y = ◡x})
51		cnvuni 4896	. . . 4 ⊢ ◡∪A = ∪x ∈ A ◡x
52		vex 2863	. . . . . 6 ⊢ x ∈ V
53	52	cnvex 5103	. . . . 5 ⊢ ◡x ∈ V
54	53	dfiun2 4002	. . . 4 ⊢ ∪x ∈ A ◡x = ∪{y ∣ ∃x ∈ A y = ◡x}
55	51, 54	eqtri 2373	. . 3 ⊢ ◡∪A = ∪{y ∣ ∃x ∈ A y = ◡x}
56	55	funeqi 5129	. 2 ⊢ (Fun ◡∪A ↔ Fun ∪{y ∣ ∃x ∈ A y = ◡x})
57	50, 56	sylibr 203	1 ⊢ (∀f ∈ A (Fun ◡f ∧ ∀g ∈ A (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) → Fun ◡∪A)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 176   ∨ wo 357   ∧ wa 358  ∀wal 1540   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  {cab 2339  ∀wral 2615  ∃wrex 2616   ⊆ wss 3258  ∪cuni 3892  ∪ciun 3970  ^◡ccnv 4772  Fun wfun 4776

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This proof depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-iun 3972  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-swap 4725  df-co 4727  df-ima 4728  df-id 4768  df-cnv 4786  df-fun 4790

This theorem is used by:  fun11uni  5163