Theorem modqid 10612

Description: Identity law for modulo. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqid	⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem modqid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℚ)
2		simplr 529	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℚ)
3		0red 8180	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
4		qre 9859	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		qre 9859	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	ad2antlr 489	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
8		simprl 531	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 0 ≤ 𝐴)
9		simprr 533	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 < 𝐵)
10	3, 5, 7, 8, 9	lelttrd 8304	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 0 < 𝐵)
11		modqval 10587	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
12	1, 2, 10, 11	syl3anc 1273	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
13	10	gt0ne0d 8692	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐵 ≠ 0)
14		qdivcl 9877	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
15	1, 2, 13, 14	syl3anc 1273	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
16		qcn 9868	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
17		addlid 8318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ → (0 + (𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵))
18	17	fveq2d 5643	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ → (⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
19	15, 16, 18	3syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
20		divge0 9053	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
21	5, 8, 7, 10, 20	syl22anc 1274	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
22	7	recnd 8208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
23	22	mulridd 8196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
24	9, 23	breqtrrd 4116	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 < (𝐵 · 1))
25		1red 8194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
26		ltdivmul 9056	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) < 1 ↔ 𝐴 < (𝐵 · 1)))
27	5, 25, 7, 10, 26	syl112anc 1277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) < 1 ↔ 𝐴 < (𝐵 · 1)))
28	24, 27	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 / 𝐵) < 1)
29		0z 9490	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
30		flqbi2 10552	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ) → ((⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) < 1)))
31	29, 15, 30	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → ((⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) < 1)))
32	21, 28, 31	mpbir2and 952	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = 0)
33	19, 32	eqtr3d 2266	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = 0)
34	33	oveq2d 6034	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) = (𝐵 · 0))
35	22	mul01d 8572	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐵 · 0) = 0)
36	34, 35	eqtrd 2264	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) = 0)
37	36	oveq2d 6034	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) = (𝐴 − 0))
38	5	recnd 8208	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
39	38	subid1d 8479	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 − 0) = 𝐴)
40	37, 39	eqtrd 2264	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) = 𝐴)
41	12, 40	eqtrd 2264	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  ℂcc 8030  ℝcr 8031  0cc0 8032  1c1 8033   + caddc 8035   · cmul 8037   < clt 8214   ≤ cle 8215   − cmin 8350   / cdiv 8852  ℤcz 9479  ℚcq 9853  ⌊cfl 10529   mod cmo 10585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-q 9854  df-rp 9889  df-fl 10531  df-mod 10586

This theorem is referenced by:  modqid2  10614  q0mod  10618  q1mod  10619  modqabs  10620  mulqaddmodid  10627  m1modnnsub1  10633  modqltm1p1mod  10639  q2submod  10648  modifeq2int  10649  modaddmodlo  10651  modqsubdir  10656  modsumfzodifsn  10659  bitsinv1  12528  crth  12801  eulerthlemh  12808  prmdiveq  12813  modprm0  12832  4sqlem12  12980  znf1o  14671  wilthlem1  15710  lgslem1  15735  lgsdir2lem1  15763  lgsdirprm  15769  lgseisenlem1  15805  lgseisenlem2  15806  lgseisen  15809  m1lgs  15820  2lgslem1a1  15821  2lgslem4  15838