Theorem modqid 10460

Description: Identity law for modulo. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqid	⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem modqid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℚ)
2		simplr 528	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℚ)
3		0red 8046	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
4		qre 9718	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		qre 9718	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	ad2antlr 489	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
8		simprl 529	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 0 ≤ 𝐴)
9		simprr 531	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 < 𝐵)
10	3, 5, 7, 8, 9	lelttrd 8170	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 0 < 𝐵)
11		modqval 10435	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
12	1, 2, 10, 11	syl3anc 1249	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
13	10	gt0ne0d 8558	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐵 ≠ 0)
14		qdivcl 9736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
15	1, 2, 13, 14	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
16		qcn 9727	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
17		addlid 8184	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ → (0 + (𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵))
18	17	fveq2d 5565	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ → (⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
19	15, 16, 18	3syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
20		divge0 8919	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
21	5, 8, 7, 10, 20	syl22anc 1250	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
22	7	recnd 8074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
23	22	mulridd 8062	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
24	9, 23	breqtrrd 4062	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 < (𝐵 · 1))
25		1red 8060	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
26		ltdivmul 8922	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) < 1 ↔ 𝐴 < (𝐵 · 1)))
27	5, 25, 7, 10, 26	syl112anc 1253	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) < 1 ↔ 𝐴 < (𝐵 · 1)))
28	24, 27	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 / 𝐵) < 1)
29		0z 9356	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
30		flqbi2 10400	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ) → ((⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) < 1)))
31	29, 15, 30	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → ((⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) < 1)))
32	21, 28, 31	mpbir2and 946	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = 0)
33	19, 32	eqtr3d 2231	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = 0)
34	33	oveq2d 5941	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) = (𝐵 · 0))
35	22	mul01d 8438	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐵 · 0) = 0)
36	34, 35	eqtrd 2229	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) = 0)
37	36	oveq2d 5941	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) = (𝐴 − 0))
38	5	recnd 8074	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
39	38	subid1d 8345	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 − 0) = 𝐴)
40	37, 39	eqtrd 2229	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) = 𝐴)
41	12, 40	eqtrd 2229	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  ℂcc 7896  ℝcr 7897  0cc0 7898  1c1 7899   + caddc 7901   · cmul 7903   < clt 8080   ≤ cle 8081   − cmin 8216   / cdiv 8718  ℤcz 9345  ℚcq 9712  ⌊cfl 10377   mod cmo 10433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015  ax-pre-mulext 8016  ax-arch 8017

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-reap 8621  df-ap 8628  df-div 8719  df-inn 9010  df-n0 9269  df-z 9346  df-q 9713  df-rp 9748  df-fl 10379  df-mod 10434

This theorem is referenced by:  modqid2  10462  q0mod  10466  q1mod  10467  modqabs  10468  mulqaddmodid  10475  m1modnnsub1  10481  modqltm1p1mod  10487  q2submod  10496  modifeq2int  10497  modaddmodlo  10499  modqsubdir  10504  modsumfzodifsn  10507  bitsinv1  12146  crth  12419  eulerthlemh  12426  prmdiveq  12431  modprm0  12450  4sqlem12  12598  znf1o  14285  wilthlem1  15324  lgslem1  15349  lgsdir2lem1  15377  lgsdirprm  15383  lgseisenlem1  15419  lgseisenlem2  15420  lgseisen  15423  m1lgs  15434  2lgslem1a1  15435  2lgslem4  15452