ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqid GIF version

Theorem modqid 10380
Description: Identity law for modulo. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
modqid (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem modqid
StepHypRef Expression
1 simpll 527 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℚ)
2 simplr 528 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℚ)
3 0red 7988 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
4 qre 9655 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
54ad2antrr 488 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 qre 9655 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℝ)
76ad2antlr 489 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
8 simprl 529 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → 0 ≤ 𝐴)
9 simprr 531 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 < 𝐵)
103, 5, 7, 8, 9lelttrd 8112 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → 0 < 𝐵)
11 modqval 10355 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
121, 2, 10, 11syl3anc 1249 . 2 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
1310gt0ne0d 8499 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → 𝐵 ≠ 0)
14 qdivcl 9673 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
151, 2, 13, 14syl3anc 1249 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
16 qcn 9664 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
17 addlid 8126 . . . . . . . . 9 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ → (0 + (𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵))
1817fveq2d 5538 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ → (⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
1915, 16, 183syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
20 divge0 8860 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
215, 8, 7, 10, 20syl22anc 1250 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
227recnd 8016 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
2322mulridd 8004 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
249, 23breqtrrd 4046 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 < (𝐵 · 1))
25 1red 8002 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
26 ltdivmul 8863 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) < 1 ↔ 𝐴 < (𝐵 · 1)))
275, 25, 7, 10, 26syl112anc 1253 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) < 1 ↔ 𝐴 < (𝐵 · 1)))
2824, 27mpbird 167 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 / 𝐵) < 1)
29 0z 9294 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
30 flqbi2 10322 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ) → ((⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) < 1)))
3129, 15, 30sylancr 414 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → ((⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) < 1)))
3221, 28, 31mpbir2and 946 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = 0)
3319, 32eqtr3d 2224 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = 0)
3433oveq2d 5912 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) = (𝐵 · 0))
3522mul01d 8380 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐵 · 0) = 0)
3634, 35eqtrd 2222 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) = 0)
3736oveq2d 5912 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) = (𝐴 − 0))
385recnd 8016 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3938subid1d 8287 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 − 0) = 𝐴)
4037, 39eqtrd 2222 . 2 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) = 𝐴)
4112, 40eqtrd 2222 1 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1364  wcel 2160  wne 2360   class class class wbr 4018  cfv 5235  (class class class)co 5896  cc 7839  cr 7840  0cc0 7841  1c1 7842   + caddc 7844   · cmul 7846   < clt 8022  cle 8023  cmin 8158   / cdiv 8659  cz 9283  cq 9649  cfl 10299   mod cmo 10353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-n0 9207  df-z 9284  df-q 9650  df-rp 9684  df-fl 10301  df-mod 10354
This theorem is referenced by:  modqid2  10382  q0mod  10386  q1mod  10387  modqabs  10388  mulqaddmodid  10395  m1modnnsub1  10401  modqltm1p1mod  10407  q2submod  10416  modifeq2int  10417  modaddmodlo  10419  modqsubdir  10424  modsumfzodifsn  10427  crth  12256  eulerthlemh  12263  prmdiveq  12268  modprm0  12286  4sqlem12  12434  wilthlem1  14855  lgslem1  14859  lgsdir2lem1  14887  lgsdirprm  14893  lgseisenlem1  14908  lgseisenlem2  14909  m1lgs  14910
  Copyright terms: Public domain W3C validator