Theorem modqid 10292

Description: Identity law for modulo. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqid	⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem modqid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 524	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℚ)
2		simplr 525	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℚ)
3		0red 7908	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
4		qre 9571	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	ad2antrr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		qre 9571	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	ad2antlr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
8		simprl 526	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 0 ≤ 𝐴)
9		simprr 527	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 < 𝐵)
10	3, 5, 7, 8, 9	lelttrd 8031	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 0 < 𝐵)
11		modqval 10267	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
12	1, 2, 10, 11	syl3anc 1233	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
13	10	gt0ne0d 8418	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐵 ≠ 0)
14		qdivcl 9589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
15	1, 2, 13, 14	syl3anc 1233	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
16		qcn 9580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
17		addid2 8045	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ → (0 + (𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵))
18	17	fveq2d 5498	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ → (⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
19	15, 16, 18	3syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
20		divge0 8776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
21	5, 8, 7, 10, 20	syl22anc 1234	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
22	7	recnd 7935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
23	22	mulid1d 7924	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
24	9, 23	breqtrrd 4015	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 < (𝐵 · 1))
25		1red 7922	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
26		ltdivmul 8779	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) < 1 ↔ 𝐴 < (𝐵 · 1)))
27	5, 25, 7, 10, 26	syl112anc 1237	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) < 1 ↔ 𝐴 < (𝐵 · 1)))
28	24, 27	mpbird 166	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 / 𝐵) < 1)
29		0z 9210	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
30		flqbi2 10234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ) → ((⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) < 1)))
31	29, 15, 30	sylancr 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → ((⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) < 1)))
32	21, 28, 31	mpbir2and 939	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = 0)
33	19, 32	eqtr3d 2205	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = 0)
34	33	oveq2d 5866	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) = (𝐵 · 0))
35	22	mul01d 8299	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐵 · 0) = 0)
36	34, 35	eqtrd 2203	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) = 0)
37	36	oveq2d 5866	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) = (𝐴 − 0))
38	5	recnd 7935	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
39	38	subid1d 8206	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 − 0) = 𝐴)
40	37, 39	eqtrd 2203	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) = 𝐴)
41	12, 40	eqtrd 2203	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340   class class class wbr 3987  ‘cfv 5196  (class class class)co 5850  ℂcc 7759  ℝcr 7760  0cc0 7761  1c1 7762   + caddc 7764   · cmul 7766   < clt 7941   ≤ cle 7942   − cmin 8077   / cdiv 8576  ℤcz 9199  ℚcq 9565  ⌊cfl 10211   mod cmo 10265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-n0 9123  df-z 9200  df-q 9566  df-rp 9598  df-fl 10213  df-mod 10266

This theorem is referenced by:  modqid2  10294  q0mod  10298  q1mod  10299  modqabs  10300  mulqaddmodid  10307  m1modnnsub1  10313  modqltm1p1mod  10319  q2submod  10328  modifeq2int  10329  modaddmodlo  10331  modqsubdir  10336  modsumfzodifsn  10339  crth  12165  eulerthlemh  12172  prmdiveq  12177  modprm0  12195  lgslem1  13616  lgsdir2lem1  13644  lgsdirprm  13650