ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqid GIF version

Theorem modqid 10348
Description: Identity law for modulo. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
modqid (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ด mod ๐ต) = ๐ด)

Proof of Theorem modqid
StepHypRef Expression
1 simpll 527 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
2 simplr 528 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„š)
3 0red 7957 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
4 qre 9624 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
54ad2antrr 488 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
6 qre 9624 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„š โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
76ad2antlr 489 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
8 simprl 529 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
9 simprr 531 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ ๐ด < ๐ต)
103, 5, 7, 8, 9lelttrd 8081 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ 0 < ๐ต)
11 modqval 10323 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (๐ด mod ๐ต) = (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))))
121, 2, 10, 11syl3anc 1238 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ด mod ๐ต) = (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))))
1310gt0ne0d 8468 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ ๐ต โ‰  0)
14 qdivcl 9642 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„š)
151, 2, 13, 14syl3anc 1238 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„š)
16 qcn 9633 . . . . . . . 8 ((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„š โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„‚)
17 addlid 8095 . . . . . . . . 9 ((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 + (๐ด / ๐ต)) = (๐ด / ๐ต))
1817fveq2d 5519 . . . . . . . 8 ((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ (โŒŠโ€˜(0 + (๐ด / ๐ต))) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))
1915, 16, 183syl 17 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (โŒŠโ€˜(0 + (๐ด / ๐ต))) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))
20 divge0 8829 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต))
215, 8, 7, 10, 20syl22anc 1239 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต))
227recnd 7985 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2322mulridd 7973 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ต ยท 1) = ๐ต)
249, 23breqtrrd 4031 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ ๐ด < (๐ต ยท 1))
25 1red 7971 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
26 ltdivmul 8832 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) < 1 โ†” ๐ด < (๐ต ยท 1)))
275, 25, 7, 10, 26syl112anc 1242 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) < 1 โ†” ๐ด < (๐ต ยท 1)))
2824, 27mpbird 167 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ด / ๐ต) < 1)
29 0z 9263 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ โ„ค
30 flqbi2 10290 . . . . . . . . 9 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„š) โ†’ ((โŒŠโ€˜(0 + (๐ด / ๐ต))) = 0 โ†” (0 โ‰ค (๐ด / ๐ต) โˆง (๐ด / ๐ต) < 1)))
3129, 15, 30sylancr 414 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ ((โŒŠโ€˜(0 + (๐ด / ๐ต))) = 0 โ†” (0 โ‰ค (๐ด / ๐ต) โˆง (๐ด / ๐ต) < 1)))
3221, 28, 31mpbir2and 944 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (โŒŠโ€˜(0 + (๐ด / ๐ต))) = 0)
3319, 32eqtr3d 2212 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) = 0)
3433oveq2d 5890 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))) = (๐ต ยท 0))
3522mul01d 8349 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ต ยท 0) = 0)
3634, 35eqtrd 2210 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))) = 0)
3736oveq2d 5890 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))) = (๐ด โˆ’ 0))
385recnd 7985 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3938subid1d 8256 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ด โˆ’ 0) = ๐ด)
4037, 39eqtrd 2210 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))) = ๐ด)
4112, 40eqtrd 2210 1 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ด mod ๐ต) = ๐ด)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   โ‰  wne 2347   class class class wbr 4003  โ€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  โ„‚cc 7808  โ„cr 7809  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   ยท cmul 7815   < clt 7991   โ‰ค cle 7992   โˆ’ cmin 8127   / cdiv 8628  โ„คcz 9252  โ„šcq 9618  โŒŠcfl 10267   mod cmo 10321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-q 9619  df-rp 9653  df-fl 10269  df-mod 10322
This theorem is referenced by:  modqid2  10350  q0mod  10354  q1mod  10355  modqabs  10356  mulqaddmodid  10363  m1modnnsub1  10369  modqltm1p1mod  10375  q2submod  10384  modifeq2int  10385  modaddmodlo  10387  modqsubdir  10392  modsumfzodifsn  10395  crth  12223  eulerthlemh  12230  prmdiveq  12235  modprm0  12253  lgslem1  14371  lgsdir2lem1  14399  lgsdirprm  14405  lgseisenlem1  14420  lgseisenlem2  14421  m1lgs  14422
  Copyright terms: Public domain W3C validator