Theorem fihashelne0d 11062

Description: A finite set with an element has nonzero size. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashelne0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
hashelne0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
fihashelne0d	⊢ (𝜑 → ¬ (♯‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem fihashelne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashelne0d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
2	1	ne0d 3501	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
3	2	neneqd 2422	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = ∅)
4		hashelne0d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		fihasheq0 11058	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
7	3, 6	mtbird 679	1 ⊢ (𝜑 → ¬ (♯‘𝐴) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  ∅c0 3493  ‘cfv 5325  Fincfn 6911  0cc0 8034  ♯chash 11040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4203  ax-sep 4206  ax-nul 4214  ax-pow 4263  ax-pr 4298  ax-un 4529  ax-setind 4634  ax-iinf 4685  ax-cnex 8125  ax-resscn 8126  ax-1cn 8127  ax-1re 8128  ax-icn 8129  ax-addcl 8130  ax-addrcl 8131  ax-mulcl 8132  ax-addcom 8134  ax-addass 8136  ax-distr 8138  ax-i2m1 8139  ax-0lt1 8140  ax-0id 8142  ax-rnegex 8143  ax-cnre 8145  ax-pre-ltirr 8146  ax-pre-ltwlin 8147  ax-pre-lttrn 8148  ax-pre-apti 8149  ax-pre-ltadd 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3653  df-sn 3674  df-pr 3675  df-op 3677  df-uni 3893  df-int 3928  df-iun 3971  df-br 4088  df-opab 4150  df-mpt 4151  df-tr 4187  df-id 4389  df-iord 4462  df-on 4464  df-ilim 4465  df-suc 4467  df-iom 4688  df-xp 4730  df-rel 4731  df-cnv 4732  df-co 4733  df-dm 4734  df-rn 4735  df-res 4736  df-ima 4737  df-iota 5285  df-fun 5327  df-fn 5328  df-f 5329  df-f1 5330  df-fo 5331  df-f1o 5332  df-fv 5333  df-riota 5973  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpo 6025  df-recs 6473  df-frec 6559  df-1o 6584  df-er 6704  df-en 6912  df-dom 6913  df-fin 6914  df-pnf 8218  df-mnf 8219  df-xr 8220  df-ltxr 8221  df-le 8222  df-sub 8354  df-neg 8355  df-inn 9146  df-n0 9405  df-z 9482  df-uz 9758  df-fz 10246  df-ihash 11041

This theorem is referenced by:  hashfinmndnn  13535