Theorem modqaddabs 9918

Description: Absorption law for modulo. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqaddabs	⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (((𝐴 mod 𝐶) + (𝐵 mod 𝐶)) mod 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐶))

Proof of Theorem modqaddabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 497	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℚ)
2		simprl 499	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℚ)
3		simprr 500	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 0 < 𝐶)
4	1, 2, 3	modqcld 9884	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 mod 𝐶) ∈ ℚ)
5		qcn 9218	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 mod 𝐶) ∈ ℚ → (𝐴 mod 𝐶) ∈ ℂ)
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 mod 𝐶) ∈ ℂ)
7		simplr 498	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℚ)
8	7, 2, 3	modqcld 9884	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 mod 𝐶) ∈ ℚ)
9		qcn 9218	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 mod 𝐶) ∈ ℚ → (𝐵 mod 𝐶) ∈ ℂ)
10	8, 9	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 mod 𝐶) ∈ ℂ)
11	6, 10	addcomd 7730	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 mod 𝐶) + (𝐵 mod 𝐶)) = ((𝐵 mod 𝐶) + (𝐴 mod 𝐶)))
12	11	oveq1d 5705	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (((𝐴 mod 𝐶) + (𝐵 mod 𝐶)) mod 𝐶) = (((𝐵 mod 𝐶) + (𝐴 mod 𝐶)) mod 𝐶))
13		modqabs2 9914	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶) → ((𝐵 mod 𝐶) mod 𝐶) = (𝐵 mod 𝐶))
14	7, 2, 3, 13	syl3anc 1181	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐵 mod 𝐶) mod 𝐶) = (𝐵 mod 𝐶))
15	8, 7, 4, 2, 3, 14	modqadd1 9917	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (((𝐵 mod 𝐶) + (𝐴 mod 𝐶)) mod 𝐶) = ((𝐵 + (𝐴 mod 𝐶)) mod 𝐶))
16		qcn 9218	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
17	7, 16	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℂ)
18	6, 17	addcomd 7730	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 mod 𝐶) + 𝐵) = (𝐵 + (𝐴 mod 𝐶)))
19	18	oveq1d 5705	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (((𝐴 mod 𝐶) + 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐵 + (𝐴 mod 𝐶)) mod 𝐶))
20	15, 19	eqtr4d 2130	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (((𝐵 mod 𝐶) + (𝐴 mod 𝐶)) mod 𝐶) = (((𝐴 mod 𝐶) + 𝐵) mod 𝐶))
21		modqabs2 9914	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶) → ((𝐴 mod 𝐶) mod 𝐶) = (𝐴 mod 𝐶))
22	1, 2, 3, 21	syl3anc 1181	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 mod 𝐶) mod 𝐶) = (𝐴 mod 𝐶))
23	4, 1, 7, 2, 3, 22	modqadd1 9917	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (((𝐴 mod 𝐶) + 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐶))
24	12, 20, 23	3eqtrd 2131	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (((𝐴 mod 𝐶) + (𝐵 mod 𝐶)) mod 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1296   ∈ wcel 1445   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690  ℂcc 7445  0cc0 7447   + caddc 7450   < clt 7619  ℚcq 9203   mod cmo 9878

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560  ax-arch 7561

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849  df-q 9204  df-rp 9234  df-fl 9826  df-mod 9879

This theorem is referenced by:  modfsummodlemstep  11016