Theorem modqmulmodr 10423

Description: The product of an integer and a rational number modulo a modulus equals the product of the integer and the rational number modulo the modulus. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqmulmodr	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐴 · (𝐵 mod 𝑀)) mod 𝑀) = ((𝐴 · 𝐵) mod 𝑀))

Proof of Theorem modqmulmodr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 9407	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝐵 ∈ ℚ)
4		simprl 529	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℚ)
5		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 < 𝑀)
6	3, 4, 5	modqcld 10361	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (𝐵 mod 𝑀) ∈ ℚ)
7		qcn 9666	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 mod 𝑀) ∈ ℚ → (𝐵 mod 𝑀) ∈ ℂ)
8	6, 7	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (𝐵 mod 𝑀) ∈ ℂ)
9	2, 8	mulcomd 8010	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (𝐴 · (𝐵 mod 𝑀)) = ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐴))
10	9	oveq1d 5912	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐴 · (𝐵 mod 𝑀)) mod 𝑀) = (((𝐵 mod 𝑀) · 𝐴) mod 𝑀))
11		modqmulmod 10422	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (((𝐵 mod 𝑀) · 𝐴) mod 𝑀) = ((𝐵 · 𝐴) mod 𝑀))
12	11	ancom1s 569	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (((𝐵 mod 𝑀) · 𝐴) mod 𝑀) = ((𝐵 · 𝐴) mod 𝑀))
13		qcn 9666	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
14	3, 13	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝐵 ∈ ℂ)
15	14, 2	mulcomd 8010	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐵))
16	15	oveq1d 5912	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐵 · 𝐴) mod 𝑀) = ((𝐴 · 𝐵) mod 𝑀))
17	10, 12, 16	3eqtrd 2226	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐴 · (𝐵 mod 𝑀)) mod 𝑀) = ((𝐴 · 𝐵) mod 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897  ℂcc 7840  0cc0 7842   · cmul 7847   < clt 8023  ℤcz 9284  ℚcq 9651   mod cmo 10355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-n0 9208  df-z 9285  df-q 9652  df-rp 9686  df-fl 10303  df-mod 10356

This theorem is referenced by: (None)