ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqmulmodr GIF version

Theorem modqmulmodr 10192
Description: The product of an integer and a rational number modulo a modulus equals the product of the integer and the rational number modulo the modulus. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
modqmulmodr (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐴 · (𝐵 mod 𝑀)) mod 𝑀) = ((𝐴 · 𝐵) mod 𝑀))

Proof of Theorem modqmulmodr
StepHypRef Expression
1 simpll 519 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝐴 ∈ ℤ)
21zcnd 9196 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3 simplr 520 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝐵 ∈ ℚ)
4 simprl 521 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℚ)
5 simprr 522 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 < 𝑀)
63, 4, 5modqcld 10130 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (𝐵 mod 𝑀) ∈ ℚ)
7 qcn 9451 . . . . 5 ((𝐵 mod 𝑀) ∈ ℚ → (𝐵 mod 𝑀) ∈ ℂ)
86, 7syl 14 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (𝐵 mod 𝑀) ∈ ℂ)
92, 8mulcomd 7809 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (𝐴 · (𝐵 mod 𝑀)) = ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐴))
109oveq1d 5795 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐴 · (𝐵 mod 𝑀)) mod 𝑀) = (((𝐵 mod 𝑀) · 𝐴) mod 𝑀))
11 modqmulmod 10191 . . 3 (((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (((𝐵 mod 𝑀) · 𝐴) mod 𝑀) = ((𝐵 · 𝐴) mod 𝑀))
1211ancom1s 559 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (((𝐵 mod 𝑀) · 𝐴) mod 𝑀) = ((𝐵 · 𝐴) mod 𝑀))
13 qcn 9451 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
143, 13syl 14 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝐵 ∈ ℂ)
1514, 2mulcomd 7809 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐵))
1615oveq1d 5795 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐵 · 𝐴) mod 𝑀) = ((𝐴 · 𝐵) mod 𝑀))
1710, 12, 163eqtrd 2177 1 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐴 · (𝐵 mod 𝑀)) mod 𝑀) = ((𝐴 · 𝐵) mod 𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1332  wcel 1481   class class class wbr 3935  (class class class)co 5780  cc 7640  0cc0 7642   · cmul 7647   < clt 7822  cz 9076  cq 9436   mod cmo 10124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4052  ax-pow 4104  ax-pr 4137  ax-un 4361  ax-setind 4458  ax-cnex 7733  ax-resscn 7734  ax-1cn 7735  ax-1re 7736  ax-icn 7737  ax-addcl 7738  ax-addrcl 7739  ax-mulcl 7740  ax-mulrcl 7741  ax-addcom 7742  ax-mulcom 7743  ax-addass 7744  ax-mulass 7745  ax-distr 7746  ax-i2m1 7747  ax-0lt1 7748  ax-1rid 7749  ax-0id 7750  ax-rnegex 7751  ax-precex 7752  ax-cnre 7753  ax-pre-ltirr 7754  ax-pre-ltwlin 7755  ax-pre-lttrn 7756  ax-pre-apti 7757  ax-pre-ltadd 7758  ax-pre-mulgt0 7759  ax-pre-mulext 7760  ax-arch 7761
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3076  df-un 3078  df-in 3080  df-ss 3087  df-pw 3515  df-sn 3536  df-pr 3537  df-op 3539  df-uni 3743  df-int 3778  df-iun 3821  df-br 3936  df-opab 3996  df-mpt 3997  df-id 4221  df-po 4224  df-iso 4225  df-xp 4551  df-rel 4552  df-cnv 4553  df-co 4554  df-dm 4555  df-rn 4556  df-res 4557  df-ima 4558  df-iota 5094  df-fun 5131  df-fn 5132  df-f 5133  df-fv 5137  df-riota 5736  df-ov 5783  df-oprab 5784  df-mpo 5785  df-1st 6044  df-2nd 6045  df-pnf 7824  df-mnf 7825  df-xr 7826  df-ltxr 7827  df-le 7828  df-sub 7957  df-neg 7958  df-reap 8359  df-ap 8366  df-div 8455  df-inn 8743  df-n0 9000  df-z 9077  df-q 9437  df-rp 9469  df-fl 10072  df-mod 10125
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator