Theorem modqmulmodr 10542

Description: The product of an integer and a rational number modulo a modulus equals the product of the integer and the rational number modulo the modulus. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqmulmodr	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐴 · (𝐵 mod 𝑀)) mod 𝑀) = ((𝐴 · 𝐵) mod 𝑀))

Proof of Theorem modqmulmodr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 9503	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝐵 ∈ ℚ)
4		simprl 529	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℚ)
5		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 < 𝑀)
6	3, 4, 5	modqcld 10480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (𝐵 mod 𝑀) ∈ ℚ)
7		qcn 9762	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 mod 𝑀) ∈ ℚ → (𝐵 mod 𝑀) ∈ ℂ)
8	6, 7	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (𝐵 mod 𝑀) ∈ ℂ)
9	2, 8	mulcomd 8101	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (𝐴 · (𝐵 mod 𝑀)) = ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐴))
10	9	oveq1d 5966	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐴 · (𝐵 mod 𝑀)) mod 𝑀) = (((𝐵 mod 𝑀) · 𝐴) mod 𝑀))
11		modqmulmod 10541	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (((𝐵 mod 𝑀) · 𝐴) mod 𝑀) = ((𝐵 · 𝐴) mod 𝑀))
12	11	ancom1s 569	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (((𝐵 mod 𝑀) · 𝐴) mod 𝑀) = ((𝐵 · 𝐴) mod 𝑀))
13		qcn 9762	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
14	3, 13	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝐵 ∈ ℂ)
15	14, 2	mulcomd 8101	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐵))
16	15	oveq1d 5966	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐵 · 𝐴) mod 𝑀) = ((𝐴 · 𝐵) mod 𝑀))
17	10, 12, 16	3eqtrd 2243	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐴 · (𝐵 mod 𝑀)) mod 𝑀) = ((𝐴 · 𝐵) mod 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4047  (class class class)co 5951  ℂcc 7930  0cc0 7932   · cmul 7937   < clt 8114  ℤcz 9379  ℚcq 9747   mod cmo 10474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050  ax-arch 8051

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-n0 9303  df-z 9380  df-q 9748  df-rp 9783  df-fl 10420  df-mod 10475

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem6  15588