ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqaddmulmod GIF version

Theorem modqaddmulmod 10404
Description: The sum of a rational number and the product of a second rational number modulo a modulus and an integer equals the sum of the rational number and the product of the other rational number and the integer modulo the modulus. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
modqaddmulmod (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ ((๐ด + ((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ)) mod ๐‘€) = ((๐ด + (๐ต ยท ๐ถ)) mod ๐‘€))

Proof of Theorem modqaddmulmod
StepHypRef Expression
1 simpl1 1001 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
2 qcn 9647 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
31, 2syl 14 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4 simpl2 1002 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„š)
5 simprl 529 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„š)
6 simprr 531 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ 0 < ๐‘€)
74, 5, 6modqcld 10341 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ (๐ต mod ๐‘€) โˆˆ โ„š)
8 simpl3 1003 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
9 zq 9639 . . . . . . 7 (๐ถ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„š)
108, 9syl 14 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„š)
11 qmulcl 9650 . . . . . 6 (((๐ต mod ๐‘€) โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โ†’ ((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) โˆˆ โ„š)
127, 10, 11syl2anc 411 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ ((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) โˆˆ โ„š)
13 qcn 9647 . . . . 5 (((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) โˆˆ โ„š โ†’ ((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
1412, 13syl 14 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ ((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
153, 14addcomd 8121 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ (๐ด + ((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ)) = (((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) + ๐ด))
1615oveq1d 5903 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ ((๐ด + ((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ)) mod ๐‘€) = ((((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) + ๐ด) mod ๐‘€))
1793ad2ant3 1021 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„š)
1817adantr 276 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„š)
197, 18, 11syl2anc 411 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ ((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) โˆˆ โ„š)
20 qmulcl 9650 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„š)
214, 18, 20syl2anc 411 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„š)
2221, 5, 6modqcld 10341 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€) โˆˆ โ„š)
23 modqmulmod 10402 . . . . 5 (((๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ (((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) mod ๐‘€) = ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€))
24233adantl1 1154 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ (((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) mod ๐‘€) = ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€))
25 modqabs2 10371 . . . . 5 (((๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โ†’ (((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€) mod ๐‘€) = ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€))
2621, 5, 6, 25syl3anc 1248 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ (((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€) mod ๐‘€) = ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€))
2724, 26eqtr4d 2223 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ (((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) mod ๐‘€) = (((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€) mod ๐‘€))
2819, 22, 1, 5, 6, 27modqadd1 10374 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ ((((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) + ๐ด) mod ๐‘€) = ((((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€) + ๐ด) mod ๐‘€))
29 modqaddmod 10376 . . . 4 ((((๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ ((((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€) + ๐ด) mod ๐‘€) = (((๐ต ยท ๐ถ) + ๐ด) mod ๐‘€))
3021, 1, 5, 6, 29syl22anc 1249 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ ((((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€) + ๐ด) mod ๐‘€) = (((๐ต ยท ๐ถ) + ๐ด) mod ๐‘€))
31 qcn 9647 . . . . . 6 ((๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„š โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
3221, 31syl 14 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
3332, 3addcomd 8121 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) + ๐ด) = (๐ด + (๐ต ยท ๐ถ)))
3433oveq1d 5903 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ (((๐ต ยท ๐ถ) + ๐ด) mod ๐‘€) = ((๐ด + (๐ต ยท ๐ถ)) mod ๐‘€))
3530, 34eqtrd 2220 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ ((((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€) + ๐ด) mod ๐‘€) = ((๐ด + (๐ต ยท ๐ถ)) mod ๐‘€))
3616, 28, 353eqtrd 2224 1 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ ((๐ด + ((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ)) mod ๐‘€) = ((๐ด + (๐ต ยท ๐ถ)) mod ๐‘€))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 979   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  โ„‚cc 7822  0cc0 7824   + caddc 7827   ยท cmul 7829   < clt 8005  โ„คcz 9266  โ„šcq 9632   mod cmo 10335
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-n0 9190  df-z 9267  df-q 9633  df-rp 9667  df-fl 10283  df-mod 10336
This theorem is referenced by:  modprm0  12267  modprmn0modprm0  12269
  Copyright terms: Public domain W3C validator