Theorem modqaddmulmod 10268

Description: The sum of a rational number and the product of a second rational number modulo a modulus and an integer equals the sum of the rational number and the product of the other rational number and the integer modulo the modulus. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqaddmulmod	⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐴 + ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶)) mod 𝑀) = ((𝐴 + (𝐵 · 𝐶)) mod 𝑀))

Proof of Theorem modqaddmulmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 985	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝐴 ∈ ℚ)
2		qcn 9521	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		simpl2 986	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝐵 ∈ ℚ)
5		simprl 521	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℚ)
6		simprr 522	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 < 𝑀)
7	4, 5, 6	modqcld 10205	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (𝐵 mod 𝑀) ∈ ℚ)
8		simpl3 987	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝐶 ∈ ℤ)
9		zq 9513	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℚ)
10	8, 9	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝐶 ∈ ℚ)
11		qmulcl 9524	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 mod 𝑀) ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ) → ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) ∈ ℚ)
12	7, 10, 11	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) ∈ ℚ)
13		qcn 9521	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) ∈ ℚ → ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) ∈ ℂ)
14	12, 13	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) ∈ ℂ)
15	3, 14	addcomd 8005	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (𝐴 + ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶)) = (((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) + 𝐴))
16	15	oveq1d 5829	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐴 + ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶)) mod 𝑀) = ((((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) + 𝐴) mod 𝑀))
17	9	3ad2ant3 1005	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℚ)
18	17	adantr 274	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝐶 ∈ ℚ)
19	7, 18, 11	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) ∈ ℚ)
20		qmulcl 9524	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℚ)
21	4, 18, 20	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℚ)
22	21, 5, 6	modqcld 10205	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) ∈ ℚ)
23		modqmulmod 10266	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) mod 𝑀) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀))
24	23	3adantl1 1138	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) mod 𝑀) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀))
25		modqabs2 10235	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 · 𝐶) ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) mod 𝑀) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀))
26	21, 5, 6, 25	syl3anc 1217	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) mod 𝑀) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀))
27	24, 26	eqtr4d 2190	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) mod 𝑀) = (((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) mod 𝑀))
28	19, 22, 1, 5, 6, 27	modqadd1 10238	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) + 𝐴) mod 𝑀) = ((((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀))
29		modqaddmod 10240	. . . 4 ⊢ ((((𝐵 · 𝐶) ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = (((𝐵 · 𝐶) + 𝐴) mod 𝑀))
30	21, 1, 5, 6, 29	syl22anc 1218	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = (((𝐵 · 𝐶) + 𝐴) mod 𝑀))
31		qcn 9521	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 · 𝐶) ∈ ℚ → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
32	21, 31	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
33	32, 3	addcomd 8005	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐵 · 𝐶) + 𝐴) = (𝐴 + (𝐵 · 𝐶)))
34	33	oveq1d 5829	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (((𝐵 · 𝐶) + 𝐴) mod 𝑀) = ((𝐴 + (𝐵 · 𝐶)) mod 𝑀))
35	30, 34	eqtrd 2187	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = ((𝐴 + (𝐵 · 𝐶)) mod 𝑀))
36	16, 28, 35	3eqtrd 2191	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐴 + ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶)) mod 𝑀) = ((𝐴 + (𝐵 · 𝐶)) mod 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 2125   class class class wbr 3961  (class class class)co 5814  ℂcc 7709  0cc0 7711   + caddc 7714   · cmul 7716   < clt 7891  ℤcz 9146  ℚcq 9506   mod cmo 10199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828  ax-pre-mulext 7829  ax-arch 7830

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rmo 2440  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436  df-div 8525  df-inn 8813  df-n0 9070  df-z 9147  df-q 9507  df-rp 9539  df-fl 10147  df-mod 10200

This theorem is referenced by: (None)