ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqaddmulmod GIF version

Theorem modqaddmulmod 10390
Description: The sum of a rational number and the product of a second rational number modulo a modulus and an integer equals the sum of the rational number and the product of the other rational number and the integer modulo the modulus. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
modqaddmulmod (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ ((๐ด + ((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ)) mod ๐‘€) = ((๐ด + (๐ต ยท ๐ถ)) mod ๐‘€))

Proof of Theorem modqaddmulmod
StepHypRef Expression
1 simpl1 1000 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
2 qcn 9633 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
31, 2syl 14 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4 simpl2 1001 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„š)
5 simprl 529 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„š)
6 simprr 531 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ 0 < ๐‘€)
74, 5, 6modqcld 10327 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ (๐ต mod ๐‘€) โˆˆ โ„š)
8 simpl3 1002 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
9 zq 9625 . . . . . . 7 (๐ถ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„š)
108, 9syl 14 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„š)
11 qmulcl 9636 . . . . . 6 (((๐ต mod ๐‘€) โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โ†’ ((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) โˆˆ โ„š)
127, 10, 11syl2anc 411 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ ((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) โˆˆ โ„š)
13 qcn 9633 . . . . 5 (((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) โˆˆ โ„š โ†’ ((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
1412, 13syl 14 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ ((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
153, 14addcomd 8107 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ (๐ด + ((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ)) = (((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) + ๐ด))
1615oveq1d 5889 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ ((๐ด + ((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ)) mod ๐‘€) = ((((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) + ๐ด) mod ๐‘€))
1793ad2ant3 1020 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„š)
1817adantr 276 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„š)
197, 18, 11syl2anc 411 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ ((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) โˆˆ โ„š)
20 qmulcl 9636 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„š) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„š)
214, 18, 20syl2anc 411 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„š)
2221, 5, 6modqcld 10327 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€) โˆˆ โ„š)
23 modqmulmod 10388 . . . . 5 (((๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ (((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) mod ๐‘€) = ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€))
24233adantl1 1153 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ (((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) mod ๐‘€) = ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€))
25 modqabs2 10357 . . . . 5 (((๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โ†’ (((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€) mod ๐‘€) = ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€))
2621, 5, 6, 25syl3anc 1238 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ (((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€) mod ๐‘€) = ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€))
2724, 26eqtr4d 2213 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ (((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) mod ๐‘€) = (((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€) mod ๐‘€))
2819, 22, 1, 5, 6, 27modqadd1 10360 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ ((((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) + ๐ด) mod ๐‘€) = ((((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€) + ๐ด) mod ๐‘€))
29 modqaddmod 10362 . . . 4 ((((๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ ((((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€) + ๐ด) mod ๐‘€) = (((๐ต ยท ๐ถ) + ๐ด) mod ๐‘€))
3021, 1, 5, 6, 29syl22anc 1239 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ ((((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€) + ๐ด) mod ๐‘€) = (((๐ต ยท ๐ถ) + ๐ด) mod ๐‘€))
31 qcn 9633 . . . . . 6 ((๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„š โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
3221, 31syl 14 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
3332, 3addcomd 8107 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) + ๐ด) = (๐ด + (๐ต ยท ๐ถ)))
3433oveq1d 5889 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ (((๐ต ยท ๐ถ) + ๐ด) mod ๐‘€) = ((๐ด + (๐ต ยท ๐ถ)) mod ๐‘€))
3530, 34eqtrd 2210 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ ((((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€) + ๐ด) mod ๐‘€) = ((๐ด + (๐ต ยท ๐ถ)) mod ๐‘€))
3616, 28, 353eqtrd 2214 1 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ ((๐ด + ((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ)) mod ๐‘€) = ((๐ด + (๐ต ยท ๐ถ)) mod ๐‘€))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874  โ„‚cc 7808  0cc0 7810   + caddc 7813   ยท cmul 7815   < clt 7991  โ„คcz 9252  โ„šcq 9618   mod cmo 10321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-q 9619  df-rp 9653  df-fl 10269  df-mod 10322
This theorem is referenced by:  modprm0  12253  modprmn0modprm0  12255
  Copyright terms: Public domain W3C validator