![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > mulgp1 | GIF version |
Description: Group multiple (exponentiation) operation at a successor, extended to โค. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
mulgnndir.b | โข ๐ต = (Baseโ๐บ) |
mulgnndir.t | โข ยท = (.gโ๐บ) |
mulgnndir.p | โข + = (+gโ๐บ) |
Ref | Expression |
---|---|
mulgp1 | โข ((๐บ โ Grp โง ๐ โ โค โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ + 1) ยท ๐) = ((๐ ยท ๐) + ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 1z 9281 | . . . 4 โข 1 โ โค | |
2 | mulgnndir.b | . . . . 5 โข ๐ต = (Baseโ๐บ) | |
3 | mulgnndir.t | . . . . 5 โข ยท = (.gโ๐บ) | |
4 | mulgnndir.p | . . . . 5 โข + = (+gโ๐บ) | |
5 | 2, 3, 4 | mulgdir 13020 | . . . 4 โข ((๐บ โ Grp โง (๐ โ โค โง 1 โ โค โง ๐ โ ๐ต)) โ ((๐ + 1) ยท ๐) = ((๐ ยท ๐) + (1 ยท ๐))) |
6 | 1, 5 | mp3anr2 1335 | . . 3 โข ((๐บ โ Grp โง (๐ โ โค โง ๐ โ ๐ต)) โ ((๐ + 1) ยท ๐) = ((๐ ยท ๐) + (1 ยท ๐))) |
7 | 6 | 3impb 1199 | . 2 โข ((๐บ โ Grp โง ๐ โ โค โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ + 1) ยท ๐) = ((๐ ยท ๐) + (1 ยท ๐))) |
8 | 2, 3 | mulg1 12995 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ (1 ยท ๐) = ๐) |
9 | 8 | 3ad2ant3 1020 | . . 3 โข ((๐บ โ Grp โง ๐ โ โค โง ๐ โ ๐ต) โ (1 ยท ๐) = ๐) |
10 | 9 | oveq2d 5893 | . 2 โข ((๐บ โ Grp โง ๐ โ โค โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ ยท ๐) + (1 ยท ๐)) = ((๐ ยท ๐) + ๐)) |
11 | 7, 10 | eqtrd 2210 | 1 โข ((๐บ โ Grp โง ๐ โ โค โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ + 1) ยท ๐) = ((๐ ยท ๐) + ๐)) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 โง w3a 978 = wceq 1353 โ wcel 2148 โcfv 5218 (class class class)co 5877 1c1 7814 + caddc 7816 โคcz 9255 Basecbs 12464 +gcplusg 12538 Grpcgrp 12882 .gcmg 12988 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4120 ax-sep 4123 ax-nul 4131 ax-pow 4176 ax-pr 4211 ax-un 4435 ax-setind 4538 ax-iinf 4589 ax-cnex 7904 ax-resscn 7905 ax-1cn 7906 ax-1re 7907 ax-icn 7908 ax-addcl 7909 ax-addrcl 7910 ax-mulcl 7911 ax-addcom 7913 ax-addass 7915 ax-distr 7917 ax-i2m1 7918 ax-0lt1 7919 ax-0id 7921 ax-rnegex 7922 ax-cnre 7924 ax-pre-ltirr 7925 ax-pre-ltwlin 7926 ax-pre-lttrn 7927 ax-pre-ltadd 7929 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2741 df-sbc 2965 df-csb 3060 df-dif 3133 df-un 3135 df-in 3137 df-ss 3144 df-nul 3425 df-if 3537 df-pw 3579 df-sn 3600 df-pr 3601 df-op 3603 df-uni 3812 df-int 3847 df-iun 3890 df-br 4006 df-opab 4067 df-mpt 4068 df-tr 4104 df-id 4295 df-iord 4368 df-on 4370 df-ilim 4371 df-suc 4373 df-iom 4592 df-xp 4634 df-rel 4635 df-cnv 4636 df-co 4637 df-dm 4638 df-rn 4639 df-res 4640 df-ima 4641 df-iota 5180 df-fun 5220 df-fn 5221 df-f 5222 df-f1 5223 df-fo 5224 df-f1o 5225 df-fv 5226 df-riota 5833 df-ov 5880 df-oprab 5881 df-mpo 5882 df-1st 6143 df-2nd 6144 df-recs 6308 df-frec 6394 df-pnf 7996 df-mnf 7997 df-xr 7998 df-ltxr 7999 df-le 8000 df-sub 8132 df-neg 8133 df-inn 8922 df-2 8980 df-n0 9179 df-z 9256 df-uz 9531 df-fz 10011 df-seqfrec 10448 df-ndx 12467 df-slot 12468 df-base 12470 df-plusg 12551 df-0g 12712 df-mgm 12780 df-sgrp 12813 df-mnd 12823 df-grp 12885 df-minusg 12886 df-mulg 12989 |
This theorem is referenced by: mulgass2 13240 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |