Theorem mulgp1 13687

Description: Group multiple (exponentiation) operation at a successor, extended to ℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnndir.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnndir.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnndir.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgp1	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))

Proof of Theorem mulgp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9468	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		mulgnndir.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		mulgnndir.t	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
4		mulgnndir.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mulgdir 13686	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + (1 · 𝑋)))
6	1, 5	mp3anr2 1369	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + (1 · 𝑋)))
7	6	3impb 1223	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + (1 · 𝑋)))
8	2, 3	mulg1 13661	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (1 · 𝑋) = 𝑋)
9	8	3ad2ant3 1044	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (1 · 𝑋) = 𝑋)
10	9	oveq2d 6016	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁 · 𝑋) + (1 · 𝑋)) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))
11	7, 10	eqtrd 2262	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  1c1 7996   + caddc 7998  ℤcz 9442  Basecbs 13027  +_gcplusg 13105  Grpcgrp 13528  ._gcmg 13651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-2 9165  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-fz 10201  df-seqfrec 10665  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-plusg 13118  df-0g 13286  df-mgm 13384  df-sgrp 13430  df-mnd 13445  df-grp 13531  df-minusg 13532  df-mulg 13652

This theorem is referenced by:  mulgass2  14016