ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zdceq GIF version

Theorem zdceq 9317
Description: Equality of integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
zdceq ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem zdceq
StepHypRef Expression
1 ztri3or 9285 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴))
2 zre 9246 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
3 ltne 8032 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐴)
43necomd 2433 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴𝐵)
5 olc 711 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵 → (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵))
6 dcne 2358 . . . . . . . 8 (DECID 𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵))
75, 6sylibr 134 . . . . . . 7 (𝐴𝐵DECID 𝐴 = 𝐵)
84, 7syl 14 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → DECID 𝐴 = 𝐵)
98ex 115 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 𝐵DECID 𝐴 = 𝐵))
109adantr 276 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵DECID 𝐴 = 𝐵))
112, 10sylan 283 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵DECID 𝐴 = 𝐵))
12 orc 712 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵))
1312, 6sylibr 134 . . . 4 (𝐴 = 𝐵DECID 𝐴 = 𝐵)
1413a1i 9 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 = 𝐵DECID 𝐴 = 𝐵))
15 zre 9246 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
16 ltne 8032 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴𝐵)
1716, 7syl 14 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) → DECID 𝐴 = 𝐵)
1817ex 115 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 < 𝐴DECID 𝐴 = 𝐵))
1915, 18syl 14 . . . 4 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 < 𝐴DECID 𝐴 = 𝐵))
2019adantl 277 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴DECID 𝐴 = 𝐵))
2111, 14, 203jaod 1304 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴) → DECID 𝐴 = 𝐵))
221, 21mpd 13 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wo 708  DECID wdc 834  w3o 977   = wceq 1353  wcel 2148  wne 2347   class class class wbr 4000  cr 7801   < clt 7982  cz 9242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-ltadd 7918
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243
This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2b  9321  nn0lt2  9323  prime  9341  elnn1uz2  9596  iseqf1olemqcl  10472  iseqf1olemnab  10474  iseqf1olemab  10475  seq3f1olemstep  10487  exp3val  10508  hashfzp1  10788  fprod1p  11591  dvdsdc  11789  zdvdsdc  11803  dvdsabseq  11836  alzdvds  11843  fzo0dvdseq  11846  gcdmndc  11928  gcdsupex  11941  gcdsupcl  11942  gcd0id  11963  gcdaddm  11968  dfgcd2  11998  gcdmultiplez  12005  dvdssq  12015  nn0seqcvgd  12024  algcvgblem  12032  eucalgval2  12036  lcmmndc  12045  lcmdvds  12062  lcmid  12063  mulgcddvds  12077  cncongr2  12087  isprm3  12101  isprm4  12102  prm2orodd  12109  rpexp  12136  phivalfi  12195  phiprmpw  12205  phimullem  12208  eulerthlemfi  12211  hashgcdeq  12222  phisum  12223  pcxnn0cl  12293  pcge0  12295  pcdvdsb  12302  pcneg  12307  pcdvdstr  12309  pcgcd1  12310  pc2dvds  12312  pcz  12314  pcprmpw2  12315  pcmpt  12324  ennnfonelemim  12408  unbendc  12438  strsetsid  12478  mulgval  12875  mulgfng  12876  lgsval  14072  lgsfvalg  14073  lgsfcl2  14074  lgscllem  14075  lgsval2lem  14078  lgsneg1  14093  lgsdir2  14101  lgsdirprm  14102  lgsdir  14103  lgsne0  14106  lgsprme0  14110  lgsdirnn0  14115  lgsdinn0  14116  2sqlem9  14127  nninffeq  14425  nconstwlpolem  14468
  Copyright terms: Public domain W3C validator