Theorem zdceq 9478

Description: Equality of integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zdceq	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem zdceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ztri3or 9445	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))
2		zre 9406	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltne 8187	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	3	necomd 2463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
5		olc 713	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 ≠ 𝐵))
6		dcne 2388	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID 𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 ≠ 𝐵))
7	5, 6	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → DECID 𝐴 = 𝐵)
8	4, 7	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → DECID 𝐴 = 𝐵)
9	8	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 𝐵 → DECID 𝐴 = 𝐵))
10	9	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 → DECID 𝐴 = 𝐵))
11	2, 10	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 → DECID 𝐴 = 𝐵))
12		orc 714	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 ≠ 𝐵))
13	12, 6	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → DECID 𝐴 = 𝐵)
14	13	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 = 𝐵 → DECID 𝐴 = 𝐵))
15		zre 9406	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
16		ltne 8187	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝐵)
17	16, 7	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) → DECID 𝐴 = 𝐵)
18	17	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 < 𝐴 → DECID 𝐴 = 𝐵))
19	15, 18	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 < 𝐴 → DECID 𝐴 = 𝐵))
20	19	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴 → DECID 𝐴 = 𝐵))
21	11, 14, 20	3jaod 1317	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) → DECID 𝐴 = 𝐵))
22	1, 21	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 710  DECID wdc 836   ∨ w3o 980   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ≠ wne 2377   class class class wbr 4054  ℝcr 7954   < clt 8137  ℤcz 9402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-addcom 8055  ax-addass 8057  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-cnre 8066  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-ltadd 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-br 4055  df-opab 4117  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-sub 8275  df-neg 8276  df-inn 9067  df-n0 9326  df-z 9403

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2b  9482  nn0lt2  9484  prime  9502  elnn1uz2  9758  iseqf1olemqcl  10676  iseqf1olemnab  10678  iseqf1olemab  10679  seq3f1olemstep  10691  exp3val  10718  hashfzp1  11001  ccat1st1st  11126  fprod1p  11995  dvdsdc  12194  zdvdsdc  12208  fsumdvds  12238  dvdsabseq  12243  alzdvds  12250  fzo0dvdseq  12253  gcdmndc  12361  gcdsupex  12363  gcdsupcl  12364  gcd0id  12385  gcdaddm  12390  dfgcd2  12420  gcdmultiplez  12427  dvdssq  12437  nn0seqcvgd  12448  algcvgblem  12456  eucalgval2  12460  lcmmndc  12469  lcmdvds  12486  lcmid  12487  mulgcddvds  12501  cncongr2  12511  isprm3  12525  isprm4  12526  prm2orodd  12533  rpexp  12560  phivalfi  12619  phiprmpw  12629  phimullem  12632  eulerthlemfi  12635  hashgcdeq  12647  phisum  12648  pcxnn0cl  12718  pcge0  12721  pcdvdsb  12728  pcneg  12733  pcdvdstr  12735  pcgcd1  12736  pc2dvds  12738  pcz  12740  pcprmpw2  12741  pcmpt  12751  4sqlemafi  12803  4sqleminfi  12805  4sqexercise1  12806  4sqexercise2  12807  4sqlemsdc  12808  4sqlem11  12809  4sqlem19  12817  ennnfonelemim  12880  unbendc  12910  strsetsid  12950  mulgval  13543  mulgfng  13545  subgmulg  13609  znf1o  14498  psr1clfi  14535  ply1term  15300  dvply1  15322  perfectlem2  15557  lgsval  15566  lgsfvalg  15567  lgsfcl2  15568  lgscllem  15569  lgsval2lem  15572  lgsneg1  15587  lgsdir2  15595  lgsdirprm  15596  lgsdir  15597  lgsne0  15600  lgsprme0  15604  lgsdirnn0  15609  lgsdinn0  15610  lgsquadlem1  15639  lgsquadlem2  15640  lgsquad3  15646  2lgs  15666  2lgsoddprm  15675  2sqlem9  15686  nninffeq  16129  nconstwlpolem  16176