Theorem zdceq 9518

Description: Equality of integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zdceq	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem zdceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ztri3or 9485	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))
2		zre 9446	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltne 8227	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	3	necomd 2486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
5		olc 716	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 ≠ 𝐵))
6		dcne 2411	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID 𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 ≠ 𝐵))
7	5, 6	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → DECID 𝐴 = 𝐵)
8	4, 7	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → DECID 𝐴 = 𝐵)
9	8	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 𝐵 → DECID 𝐴 = 𝐵))
10	9	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 → DECID 𝐴 = 𝐵))
11	2, 10	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 → DECID 𝐴 = 𝐵))
12		orc 717	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 ≠ 𝐵))
13	12, 6	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → DECID 𝐴 = 𝐵)
14	13	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 = 𝐵 → DECID 𝐴 = 𝐵))
15		zre 9446	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
16		ltne 8227	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝐵)
17	16, 7	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) → DECID 𝐴 = 𝐵)
18	17	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 < 𝐴 → DECID 𝐴 = 𝐵))
19	15, 18	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 < 𝐴 → DECID 𝐴 = 𝐵))
20	19	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴 → DECID 𝐴 = 𝐵))
21	11, 14, 20	3jaod 1338	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) → DECID 𝐴 = 𝐵))
22	1, 21	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 713  DECID wdc 839   ∨ w3o 1001   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400   class class class wbr 4082  ℝcr 7994   < clt 8177  ℤcz 9442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2b  9522  nn0lt2  9524  prime  9542  elnn1uz2  9798  iseqf1olemqcl  10716  iseqf1olemnab  10718  iseqf1olemab  10719  seq3f1olemstep  10731  exp3val  10758  hashfzp1  11041  ccat1st1st  11167  swrdccatin1  11252  fprod1p  12105  dvdsdc  12304  zdvdsdc  12318  fsumdvds  12348  dvdsabseq  12353  alzdvds  12360  fzo0dvdseq  12363  gcdmndc  12471  gcdsupex  12473  gcdsupcl  12474  gcd0id  12495  gcdaddm  12500  dfgcd2  12530  gcdmultiplez  12537  dvdssq  12547  nn0seqcvgd  12558  algcvgblem  12566  eucalgval2  12570  lcmmndc  12579  lcmdvds  12596  lcmid  12597  mulgcddvds  12611  cncongr2  12621  isprm3  12635  isprm4  12636  prm2orodd  12643  rpexp  12670  phivalfi  12729  phiprmpw  12739  phimullem  12742  eulerthlemfi  12745  hashgcdeq  12757  phisum  12758  pcxnn0cl  12828  pcge0  12831  pcdvdsb  12838  pcneg  12843  pcdvdstr  12845  pcgcd1  12846  pc2dvds  12848  pcz  12850  pcprmpw2  12851  pcmpt  12861  4sqlemafi  12913  4sqleminfi  12915  4sqexercise1  12916  4sqexercise2  12917  4sqlemsdc  12918  4sqlem11  12919  4sqlem19  12927  ennnfonelemim  12990  unbendc  13020  strsetsid  13060  bassetsnn  13084  mulgval  13654  mulgfng  13656  subgmulg  13720  znf1o  14609  psr1clfi  14646  ply1term  15411  dvply1  15433  perfectlem2  15668  lgsval  15677  lgsfvalg  15678  lgsfcl2  15679  lgscllem  15680  lgsval2lem  15683  lgsneg1  15698  lgsdir2  15706  lgsdirprm  15707  lgsdir  15708  lgsne0  15711  lgsprme0  15715  lgsdirnn0  15720  lgsdinn0  15721  lgsquadlem1  15750  lgsquadlem2  15751  lgsquad3  15757  2lgs  15777  2lgsoddprm  15786  2sqlem9  15797  nninffeq  16345  nconstwlpolem  16392