ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zdceq GIF version

Theorem zdceq 9119
Description: Equality of integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
zdceq ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem zdceq
StepHypRef Expression
1 ztri3or 9090 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴))
2 zre 9051 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
3 ltne 7842 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐴)
43necomd 2392 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴𝐵)
5 olc 700 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵 → (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵))
6 dcne 2317 . . . . . . . 8 (DECID 𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵))
75, 6sylibr 133 . . . . . . 7 (𝐴𝐵DECID 𝐴 = 𝐵)
84, 7syl 14 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → DECID 𝐴 = 𝐵)
98ex 114 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 𝐵DECID 𝐴 = 𝐵))
109adantr 274 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵DECID 𝐴 = 𝐵))
112, 10sylan 281 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵DECID 𝐴 = 𝐵))
12 orc 701 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵))
1312, 6sylibr 133 . . . 4 (𝐴 = 𝐵DECID 𝐴 = 𝐵)
1413a1i 9 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 = 𝐵DECID 𝐴 = 𝐵))
15 zre 9051 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
16 ltne 7842 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴𝐵)
1716, 7syl 14 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) → DECID 𝐴 = 𝐵)
1817ex 114 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 < 𝐴DECID 𝐴 = 𝐵))
1915, 18syl 14 . . . 4 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 < 𝐴DECID 𝐴 = 𝐵))
2019adantl 275 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴DECID 𝐴 = 𝐵))
2111, 14, 203jaod 1282 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴) → DECID 𝐴 = 𝐵))
221, 21mpd 13 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wo 697  DECID wdc 819  w3o 961   = wceq 1331  wcel 1480  wne 2306   class class class wbr 3924  cr 7612   < clt 7793  cz 9047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048
This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2b  9123  nn0lt2  9125  prime  9143  elnn1uz2  9394  iseqf1olemqcl  10252  iseqf1olemnab  10254  iseqf1olemab  10255  seq3f1olemstep  10267  exp3val  10288  hashfzp1  10563  dvdsdc  11490  zdvdsdc  11503  dvdsabseq  11534  alzdvds  11541  fzo0dvdseq  11544  gcdmndc  11626  gcdsupex  11635  gcdsupcl  11636  gcd0id  11656  gcdaddm  11661  dfgcd2  11691  gcdmultiplez  11698  dvdssq  11708  nn0seqcvgd  11711  algcvgblem  11719  eucalgval2  11723  lcmmndc  11732  lcmdvds  11749  lcmid  11750  mulgcddvds  11764  cncongr2  11774  isprm3  11788  isprm4  11789  prm2orodd  11796  rpexp  11820  phivalfi  11877  phiprmpw  11887  phimullem  11890  hashgcdeq  11893  ennnfonelemim  11926  strsetsid  11981  nninffeq  13205
  Copyright terms: Public domain W3C validator