Theorem zdceq 9262

Description: Equality of integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zdceq	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem zdceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ztri3or 9230	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))
2		zre 9191	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltne 7979	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	3	necomd 2421	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
5		olc 701	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 ≠ 𝐵))
6		dcne 2346	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID 𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 ≠ 𝐵))
7	5, 6	sylibr 133	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → DECID 𝐴 = 𝐵)
8	4, 7	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → DECID 𝐴 = 𝐵)
9	8	ex 114	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 𝐵 → DECID 𝐴 = 𝐵))
10	9	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 → DECID 𝐴 = 𝐵))
11	2, 10	sylan 281	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 → DECID 𝐴 = 𝐵))
12		orc 702	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 ≠ 𝐵))
13	12, 6	sylibr 133	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → DECID 𝐴 = 𝐵)
14	13	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 = 𝐵 → DECID 𝐴 = 𝐵))
15		zre 9191	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
16		ltne 7979	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝐵)
17	16, 7	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) → DECID 𝐴 = 𝐵)
18	17	ex 114	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 < 𝐴 → DECID 𝐴 = 𝐵))
19	15, 18	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 < 𝐴 → DECID 𝐴 = 𝐵))
20	19	adantl 275	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴 → DECID 𝐴 = 𝐵))
21	11, 14, 20	3jaod 1294	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) → DECID 𝐴 = 𝐵))
22	1, 21	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698  DECID wdc 824   ∨ w3o 967   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2335   class class class wbr 3981  ℝcr 7748   < clt 7929  ℤcz 9187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-addcom 7849  ax-addass 7851  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-ltadd 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-br 3982  df-opab 4043  df-id 4270  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-inn 8854  df-n0 9111  df-z 9188

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2b  9266  nn0lt2  9268  prime  9286  elnn1uz2  9541  iseqf1olemqcl  10417  iseqf1olemnab  10419  iseqf1olemab  10420  seq3f1olemstep  10432  exp3val  10453  hashfzp1  10733  fprod1p  11536  dvdsdc  11734  zdvdsdc  11748  dvdsabseq  11781  alzdvds  11788  fzo0dvdseq  11791  gcdmndc  11873  gcdsupex  11886  gcdsupcl  11887  gcd0id  11908  gcdaddm  11913  dfgcd2  11943  gcdmultiplez  11950  dvdssq  11960  nn0seqcvgd  11969  algcvgblem  11977  eucalgval2  11981  lcmmndc  11990  lcmdvds  12007  lcmid  12008  mulgcddvds  12022  cncongr2  12032  isprm3  12046  isprm4  12047  prm2orodd  12054  rpexp  12081  phivalfi  12140  phiprmpw  12150  phimullem  12153  eulerthlemfi  12156  hashgcdeq  12167  phisum  12168  pcxnn0cl  12238  pcge0  12240  pcdvdsb  12247  pcneg  12252  pcdvdstr  12254  pcgcd1  12255  pc2dvds  12257  pcz  12259  pcprmpw2  12260  pcmpt  12269  ennnfonelemim  12353  unbendc  12383  strsetsid  12423  lgsval  13505  lgsfvalg  13506  lgsfcl2  13507  lgscllem  13508  lgsval2lem  13511  lgsneg1  13526  lgsdir2  13534  lgsdirprm  13535  lgsdir  13536  lgsne0  13539  lgsprme0  13543  lgsdirnn0  13548  lgsdinn0  13549  2sqlem9  13560  nninffeq  13860  nconstwlpolem  13903