Theorem zdceq 9533

Description: Equality of integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zdceq	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem zdceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ztri3or 9500	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))
2		zre 9461	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltne 8242	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	3	necomd 2486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
5		olc 716	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 ≠ 𝐵))
6		dcne 2411	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID 𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 ≠ 𝐵))
7	5, 6	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → DECID 𝐴 = 𝐵)
8	4, 7	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → DECID 𝐴 = 𝐵)
9	8	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 𝐵 → DECID 𝐴 = 𝐵))
10	9	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 → DECID 𝐴 = 𝐵))
11	2, 10	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 → DECID 𝐴 = 𝐵))
12		orc 717	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 ≠ 𝐵))
13	12, 6	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → DECID 𝐴 = 𝐵)
14	13	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 = 𝐵 → DECID 𝐴 = 𝐵))
15		zre 9461	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
16		ltne 8242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝐵)
17	16, 7	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) → DECID 𝐴 = 𝐵)
18	17	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 < 𝐴 → DECID 𝐴 = 𝐵))
19	15, 18	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 < 𝐴 → DECID 𝐴 = 𝐵))
20	19	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴 → DECID 𝐴 = 𝐵))
21	11, 14, 20	3jaod 1338	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) → DECID 𝐴 = 𝐵))
22	1, 21	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 713  DECID wdc 839   ∨ w3o 1001   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400   class class class wbr 4083  ℝcr 8009   < clt 8192  ℤcz 9457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2b  9537  nn0lt2  9539  prime  9557  elnn1uz2  9814  iseqf1olemqcl  10733  iseqf1olemnab  10735  iseqf1olemab  10736  seq3f1olemstep  10748  exp3val  10775  hashfzp1  11059  ccat1st1st  11187  swrdccatin1  11272  fprod1p  12125  dvdsdc  12324  zdvdsdc  12338  fsumdvds  12368  dvdsabseq  12373  alzdvds  12380  fzo0dvdseq  12383  gcdmndc  12491  gcdsupex  12493  gcdsupcl  12494  gcd0id  12515  gcdaddm  12520  dfgcd2  12550  gcdmultiplez  12557  dvdssq  12567  nn0seqcvgd  12578  algcvgblem  12586  eucalgval2  12590  lcmmndc  12599  lcmdvds  12616  lcmid  12617  mulgcddvds  12631  cncongr2  12641  isprm3  12655  isprm4  12656  prm2orodd  12663  rpexp  12690  phivalfi  12749  phiprmpw  12759  phimullem  12762  eulerthlemfi  12765  hashgcdeq  12777  phisum  12778  pcxnn0cl  12848  pcge0  12851  pcdvdsb  12858  pcneg  12863  pcdvdstr  12865  pcgcd1  12866  pc2dvds  12868  pcz  12870  pcprmpw2  12871  pcmpt  12881  4sqlemafi  12933  4sqleminfi  12935  4sqexercise1  12936  4sqexercise2  12937  4sqlemsdc  12938  4sqlem11  12939  4sqlem19  12947  ennnfonelemim  13010  unbendc  13040  strsetsid  13080  bassetsnn  13104  mulgval  13674  mulgfng  13676  subgmulg  13740  znf1o  14630  psr1clfi  14667  ply1term  15432  dvply1  15454  perfectlem2  15689  lgsval  15698  lgsfvalg  15699  lgsfcl2  15700  lgscllem  15701  lgsval2lem  15704  lgsneg1  15719  lgsdir2  15727  lgsdirprm  15728  lgsdir  15729  lgsne0  15732  lgsprme0  15736  lgsdirnn0  15741  lgsdinn0  15742  lgsquadlem1  15771  lgsquadlem2  15772  lgsquad3  15778  2lgs  15798  2lgsoddprm  15807  2sqlem9  15818  umgrclwwlkge2  16139  nninffeq  16446  nconstwlpolem  16493