Theorem zdceq 9674

Description: Equality of integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zdceq	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem zdceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ztri3or 9641	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))
2		zre 9602	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltne 8375	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	3	necomd 2500	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
5		olc 719	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 ≠ 𝐵))
6		dcne 2425	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID 𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 ≠ 𝐵))
7	5, 6	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → DECID 𝐴 = 𝐵)
8	4, 7	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → DECID 𝐴 = 𝐵)
9	8	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 𝐵 → DECID 𝐴 = 𝐵))
10	9	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 → DECID 𝐴 = 𝐵))
11	2, 10	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 → DECID 𝐴 = 𝐵))
12		orc 720	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 ≠ 𝐵))
13	12, 6	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → DECID 𝐴 = 𝐵)
14	13	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 = 𝐵 → DECID 𝐴 = 𝐵))
15		zre 9602	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
16		ltne 8375	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝐵)
17	16, 7	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) → DECID 𝐴 = 𝐵)
18	17	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 < 𝐴 → DECID 𝐴 = 𝐵))
19	15, 18	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 < 𝐴 → DECID 𝐴 = 𝐵))
20	19	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴 → DECID 𝐴 = 𝐵))
21	11, 14, 20	3jaod 1341	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) → DECID 𝐴 = 𝐵))
22	1, 21	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716  DECID wdc 842   ∨ w3o 1004   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414   class class class wbr 4115  ℝcr 8143   < clt 8325  ℤcz 9598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-1re 8238  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-addcom 8244  ax-addass 8246  ax-distr 8248  ax-i2m1 8249  ax-0lt1 8250  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-cnre 8255  ax-pre-ltirr 8256  ax-pre-ltwlin 8257  ax-pre-lttrn 8258  ax-pre-ltadd 8260

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-br 4116  df-opab 4178  df-id 4420  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fv 5366  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-pnf 8327  df-mnf 8328  df-xr 8329  df-ltxr 8330  df-le 8331  df-sub 8464  df-neg 8465  df-inn 9259  df-n0 9518  df-z 9599

This theorem is referenced by:  zfidc  9677  nn0n0n1ge2b  9679  nn0lt2  9681  prime  9699  elnn1uz2  9961  iseqf1olemqcl  10889  iseqf1olemnab  10891  iseqf1olemab  10892  seq3f1olemstep  10904  exp3val  10931  hashfzp1  11218  hashfibclem  11235  ccat1st1st  11358  swrdccatin1  11446  fprod1p  12315  dvdsdc  12514  zdvdsdc  12528  fsumdvds  12558  dvdsabseq  12563  alzdvds  12570  fzo0dvdseq  12573  gcdmndc  12681  gcdsupex  12683  gcdsupcl  12684  gcd0id  12705  gcdaddm  12710  dfgcd2  12740  gcdmultiplez  12747  dvdssq  12757  nn0seqcvgd  12768  algcvgblem  12776  eucalgval2  12780  lcmmndc  12789  lcmdvds  12806  lcmid  12807  mulgcddvds  12821  cncongr2  12831  isprm3  12845  isprm4  12846  prm2orodd  12853  rpexp  12880  phivalfi  12939  phiprmpw  12949  phimullem  12952  eulerthlemfi  12955  hashgcdeq  12967  phisum  12968  pcxnn0cl  13038  pcge0  13041  pcdvdsb  13048  pcneg  13053  pcdvdstr  13055  pcgcd1  13056  pc2dvds  13058  pcz  13060  pcprmpw2  13061  pcmpt  13071  4sqlemafi  13123  4sqleminfi  13125  4sqexercise1  13126  4sqexercise2  13127  4sqlemsdc  13128  4sqlem11  13129  4sqlem19  13137  ballotfilemofi  13168  ballotfilemcdc  13172  ballotfilemfc0  13181  ballotfilemfcc  13182  ballotfilemiex  13193  ballotfilemscl  13196  ballotfilemsle  13197  ennnfonelemim  13264  unbendc  13294  strsetsid  13334  bassetsnn  13358  mulgval  13880  mulgfng  13882  subgmulg  13946  znf1o  14930  psr1clfi  14974  ply1term  15739  dvply1  15761  perfectlem2  15999  lgsval  16008  lgsfvalg  16009  lgsfcl2  16010  lgscllem  16011  lgsval2lem  16014  lgsneg1  16029  lgsdir2  16037  lgsdirprm  16038  lgsdir  16039  lgsne0  16042  lgsprme0  16046  lgsdirnn0  16051  lgsdinn0  16052  lgsquadlem1  16081  lgsquadlem2  16082  lgsquad3  16088  2lgs  16108  2lgsoddprm  16117  2sqlem9  16128  umgrclwwlkge2  16528  nninffeq  16939  nconstwlpolem  16991