Theorem s4s4d 11391

Description: Concatenation of fixed length strings. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
s2s2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
s2s2d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
s2s2d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
s2s2d.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
s4s2d.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑍)
s4s2d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
s4s3d.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑄)
s4s4d.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
s4s4d	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺𝐻”⟩))

Proof of Theorem s4s4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s4 11343	. 2 ⊢ ⟨“𝐸𝐹𝐺𝐻”⟩ = (⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩ ++ ⟨“𝐻”⟩)
2		s2s2d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3	2	elexd 2816	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
4		s2s2d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
5	4	elexd 2816	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
6		s2s2d.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
7	6	elexd 2816	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
8		s2s2d.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
9	8	elexd 2816	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
10	3, 5, 7, 9	s4cld 11365	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∈ Word V)
11		s4s2d.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑍)
12	11	elexd 2816	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ V)
13		s4s2d.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
14	13	elexd 2816	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
15		s4s3d.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑄)
16	15	elexd 2816	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
17	12, 14, 16	s3cld 11364	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩ ∈ Word V)
18		s4s4d.h	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑅)
19		df-s8 11347	. . 3 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ ++ ⟨“𝐻”⟩)
20	19	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ ++ ⟨“𝐻”⟩))
21	2, 4, 6, 8, 11, 13, 15	s4s3d 11387	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩))
22	1, 10, 17, 18, 20, 21	cats1catd 11353	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺𝐻”⟩))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802  (class class class)co 6018   ++ cconcat 11171  ⟨“cs1 11196  ⟨“cs3 11335  ⟨“cs4 11336  ⟨“cs7 11339  ⟨“cs8 11340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-er 6702  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-ihash 11039  df-word 11118  df-concat 11172  df-s1 11197  df-s2 11341  df-s3 11342  df-s4 11343  df-s5 11344  df-s6 11345  df-s7 11346  df-s8 11347

This theorem is referenced by: (None)