ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ser3le GIF version

Theorem ser3le 10520
Description: Comparison of partial sums of two infinite series of reals. (Contributed by NM, 27-Dec-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ser3ge0.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
ser3ge0.2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
ser3le.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
serle.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΊβ€˜π‘˜))
Assertion
Ref Expression
ser3le (πœ‘ β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘) ≀ (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝐺   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑁   πœ‘,π‘˜

Proof of Theorem ser3le
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ser3ge0.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
2 vex 2742 . . . . . 6 π‘˜ ∈ V
3 ser3le.3 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
4 ser3ge0.2 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
53, 4resubcld 8340 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
6 fveq2 5517 . . . . . . . 8 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘˜))
7 fveq2 5517 . . . . . . . 8 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘˜))
86, 7oveq12d 5895 . . . . . . 7 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) = ((πΊβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘˜)))
9 eqid 2177 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ V ↦ ((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ V ↦ ((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))
108, 9fvmptg 5594 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ V ∧ ((πΊβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ V ↦ ((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = ((πΊβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘˜)))
112, 5, 10sylancr 414 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((π‘₯ ∈ V ↦ ((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = ((πΊβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘˜)))
1211, 5eqeltrd 2254 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((π‘₯ ∈ V ↦ ((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
13 elfzuz 10023 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
14 serle.4 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΊβ€˜π‘˜))
1513, 14sylan2 286 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΊβ€˜π‘˜))
163, 4subge0d 8494 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (0 ≀ ((πΊβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘˜)) ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΊβ€˜π‘˜)))
1713, 16sylan2 286 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (0 ≀ ((πΊβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘˜)) ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΊβ€˜π‘˜)))
1815, 17mpbird 167 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ 0 ≀ ((πΊβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘˜)))
1913, 11sylan2 286 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ ((π‘₯ ∈ V ↦ ((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = ((πΊβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘˜)))
2018, 19breqtrrd 4033 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ 0 ≀ ((π‘₯ ∈ V ↦ ((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))β€˜π‘˜))
211, 12, 20ser3ge0 10519 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (seq𝑀( + , (π‘₯ ∈ V ↦ ((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))))β€˜π‘))
223recnd 7988 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
234recnd 7988 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
241, 22, 23, 11ser3sub 10508 . . 3 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( + , (π‘₯ ∈ V ↦ ((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))))β€˜π‘) = ((seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘)))
2521, 24breqtrd 4031 . 2 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘)))
26 eqid 2177 . . . . 5 (β„€β‰₯β€˜π‘€) = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
27 eluzel2 9535 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
281, 27syl 14 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
2926, 28, 3serfre 10477 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐺):(β„€β‰₯β€˜π‘€)βŸΆβ„)
3029, 1ffvelcdmd 5654 . . 3 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘) ∈ ℝ)
3126, 28, 4serfre 10477 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹):(β„€β‰₯β€˜π‘€)βŸΆβ„)
3231, 1ffvelcdmd 5654 . . 3 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘) ∈ ℝ)
3330, 32subge0d 8494 . 2 (πœ‘ β†’ (0 ≀ ((seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘)) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘) ≀ (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘)))
3425, 33mpbid 147 1 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘) ≀ (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2739   class class class wbr 4005   ↦ cmpt 4066  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  β„cr 7812  0cc0 7813   + caddc 7816   ≀ cle 7995   βˆ’ cmin 8130  β„€cz 9255  β„€β‰₯cuz 9530  ...cfz 10010  seqcseq 10447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-seqfrec 10448
This theorem is referenced by:  iserle  11352  cvgcmpub  11486
  Copyright terms: Public domain W3C validator