Theorem ser3le 10646

Description: Comparison of partial sums of two infinite series of reals. (Contributed by NM, 27-Dec-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ser3ge0.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
ser3ge0.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
ser3le.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
serle.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐺‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
ser3le	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ≤ (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem ser3le

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ser3ge0.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		vex 2766	. . . . . 6 ⊢ 𝑘 ∈ V
3		ser3le.3	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
4		ser3ge0.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
5	3, 4	resubcld 8424	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
6		fveq2 5561	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑘))
7		fveq2 5561	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑘))
8	6, 7	oveq12d 5943	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)) = ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)))
9		eqid 2196	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)))
10	8, 9	fvmptg 5640	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ V ∧ ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)))‘𝑘) = ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)))
11	2, 5, 10	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)))‘𝑘) = ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)))
12	11, 5	eqeltrd 2273	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)))‘𝑘) ∈ ℝ)
13		elfzuz 10113	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
14		serle.4	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐺‘𝑘))
15	13, 14	sylan2 286	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐺‘𝑘))
16	3, 4	subge0d 8579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (0 ≤ ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)) ↔ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐺‘𝑘)))
17	13, 16	sylan2 286	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (0 ≤ ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)) ↔ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐺‘𝑘)))
18	15, 17	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 ≤ ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)))
19	13, 11	sylan2 286	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)))‘𝑘) = ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)))
20	18, 19	breqtrrd 4062	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 ≤ ((𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)))‘𝑘))
21	1, 12, 20	ser3ge0 10645	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥))))‘𝑁))
22	3	recnd 8072	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
23	4	recnd 8072	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
24	1, 22, 23, 11	ser3sub 10632	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥))))‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
25	21, 24	breqtrd 4060	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
26		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
27		eluzel2 9623	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
28	1, 27	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
29	26, 28, 3	serfre 10593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺):(ℤ≥‘𝑀)⟶ℝ)
30	29, 1	ffvelcdmd 5701	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℝ)
31	26, 28, 4	serfre 10593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶ℝ)
32	31, 1	ffvelcdmd 5701	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ)
33	30, 32	subge0d 8579	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ≤ (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))
34	25, 33	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ≤ (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   class class class wbr 4034   ↦ cmpt 4095  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  ℝcr 7895  0cc0 7896   + caddc 7899   ≤ cle 8079   − cmin 8214  ℤcz 9343  ℤ_≥cuz 9618  ...cfz 10100  seqcseq 10556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-seqfrec 10557

This theorem is referenced by:  iserle  11524  cvgcmpub  11658