Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ser3le GIF version

Theorem ser3le 10351
 Description: Comparison of partial sums of two infinite series of reals. (Contributed by NM, 27-Dec-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ser3ge0.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
ser3ge0.2 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
ser3le.3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
serle.4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐺𝑘))
Assertion
Ref Expression
ser3le (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ≤ (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem ser3le
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ser3ge0.1 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 vex 2694 . . . . . 6 𝑘 ∈ V
3 ser3le.3 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
4 ser3ge0.2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
53, 4resubcld 8196 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
6 fveq2 5433 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑘 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑘))
7 fveq2 5433 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑘 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑘))
86, 7oveq12d 5804 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)) = ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)))
9 eqid 2141 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)))
108, 9fvmptg 5509 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ V ∧ ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)) ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)))‘𝑘) = ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)))
112, 5, 10sylancr 411 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)))‘𝑘) = ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)))
1211, 5eqeltrd 2218 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)))‘𝑘) ∈ ℝ)
13 elfzuz 9862 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
14 serle.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐺𝑘))
1513, 14sylan2 284 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐺𝑘))
163, 4subge0d 8350 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (0 ≤ ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)) ↔ (𝐹𝑘) ≤ (𝐺𝑘)))
1713, 16sylan2 284 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (0 ≤ ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)) ↔ (𝐹𝑘) ≤ (𝐺𝑘)))
1815, 17mpbird 166 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 ≤ ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)))
1913, 11sylan2 284 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)))‘𝑘) = ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)))
2018, 19breqtrrd 3966 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 ≤ ((𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)))‘𝑘))
211, 12, 20ser3ge0 10350 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥))))‘𝑁))
223recnd 7847 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
234recnd 7847 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
241, 22, 23, 11ser3sub 10339 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥))))‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
2521, 24breqtrd 3964 . 2 (𝜑 → 0 ≤ ((seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
26 eqid 2141 . . . . 5 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
27 eluzel2 9384 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
281, 27syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2926, 28, 3serfre 10308 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺):(ℤ𝑀)⟶ℝ)
3029, 1ffvelrnd 5568 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℝ)
3126, 28, 4serfre 10308 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ𝑀)⟶ℝ)
3231, 1ffvelrnd 5568 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ)
3330, 32subge0d 8350 . 2 (𝜑 → (0 ≤ ((seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ≤ (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))
3425, 33mpbid 146 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ≤ (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 2112  Vcvv 2691   class class class wbr 3939   ↦ cmpt 3999  ‘cfv 5135  (class class class)co 5786  ℝcr 7672  0cc0 7673   + caddc 7676   ≤ cle 7854   − cmin 7986  ℤcz 9107  ℤ≥cuz 9379  ...cfz 9850  seqcseq 10278 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2114  ax-14 2115  ax-ext 2123  ax-coll 4053  ax-sep 4056  ax-nul 4064  ax-pow 4108  ax-pr 4142  ax-un 4366  ax-setind 4463  ax-iinf 4513  ax-cnex 7764  ax-resscn 7765  ax-1cn 7766  ax-1re 7767  ax-icn 7768  ax-addcl 7769  ax-addrcl 7770  ax-mulcl 7771  ax-addcom 7773  ax-addass 7775  ax-distr 7777  ax-i2m1 7778  ax-0lt1 7779  ax-0id 7781  ax-rnegex 7782  ax-cnre 7784  ax-pre-ltirr 7785  ax-pre-ltwlin 7786  ax-pre-lttrn 7787  ax-pre-ltadd 7789 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1732  df-eu 1993  df-mo 1994  df-clab 2128  df-cleq 2134  df-clel 2137  df-nfc 2272  df-ne 2311  df-nel 2406  df-ral 2423  df-rex 2424  df-reu 2425  df-rab 2427  df-v 2693  df-sbc 2916  df-csb 3010  df-dif 3080  df-un 3082  df-in 3084  df-ss 3091  df-nul 3371  df-pw 3519  df-sn 3540  df-pr 3541  df-op 3543  df-uni 3747  df-int 3782  df-iun 3825  df-br 3940  df-opab 4000  df-mpt 4001  df-tr 4037  df-id 4226  df-iord 4299  df-on 4301  df-ilim 4302  df-suc 4304  df-iom 4516  df-xp 4557  df-rel 4558  df-cnv 4559  df-co 4560  df-dm 4561  df-rn 4562  df-res 4563  df-ima 4564  df-iota 5100  df-fun 5137  df-fn 5138  df-f 5139  df-f1 5140  df-fo 5141  df-f1o 5142  df-fv 5143  df-riota 5742  df-ov 5789  df-oprab 5790  df-mpo 5791  df-1st 6050  df-2nd 6051  df-recs 6214  df-frec 6300  df-pnf 7855  df-mnf 7856  df-xr 7857  df-ltxr 7858  df-le 7859  df-sub 7988  df-neg 7989  df-inn 8774  df-n0 9031  df-z 9108  df-uz 9380  df-fz 9851  df-fzo 9980  df-seqfrec 10279 This theorem is referenced by:  iserle  11172  cvgcmpub  11306
 Copyright terms: Public domain W3C validator