Theorem ser3le 10845

Description: Comparison of partial sums of two infinite series of reals. (Contributed by NM, 27-Dec-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ser3ge0.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
ser3ge0.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
ser3le.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
serle.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐺‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
ser3le	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ≤ (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem ser3le

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ser3ge0.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		vex 2806	. . . . . 6 ⊢ 𝑘 ∈ V
3		ser3le.3	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
4		ser3ge0.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
5	3, 4	resubcld 8602	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
6		fveq2 5648	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑘))
7		fveq2 5648	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑘))
8	6, 7	oveq12d 6046	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)) = ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)))
9		eqid 2231	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)))
10	8, 9	fvmptg 5731	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ V ∧ ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)))‘𝑘) = ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)))
11	2, 5, 10	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)))‘𝑘) = ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)))
12	11, 5	eqeltrd 2308	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)))‘𝑘) ∈ ℝ)
13		elfzuz 10301	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
14		serle.4	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐺‘𝑘))
15	13, 14	sylan2 286	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐺‘𝑘))
16	3, 4	subge0d 8757	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (0 ≤ ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)) ↔ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐺‘𝑘)))
17	13, 16	sylan2 286	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (0 ≤ ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)) ↔ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐺‘𝑘)))
18	15, 17	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 ≤ ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)))
19	13, 11	sylan2 286	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)))‘𝑘) = ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)))
20	18, 19	breqtrrd 4121	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 ≤ ((𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)))‘𝑘))
21	1, 12, 20	ser3ge0 10844	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥))))‘𝑁))
22	3	recnd 8250	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
23	4	recnd 8250	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
24	1, 22, 23, 11	ser3sub 10831	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥))))‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
25	21, 24	breqtrd 4119	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
26		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
27		eluzel2 9804	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
28	1, 27	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
29	26, 28, 3	serfre 10792	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺):(ℤ≥‘𝑀)⟶ℝ)
30	29, 1	ffvelcdmd 5791	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℝ)
31	26, 28, 4	serfre 10792	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶ℝ)
32	31, 1	ffvelcdmd 5791	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ)
33	30, 32	subge0d 8757	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ≤ (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))
34	25, 33	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ≤ (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803   class class class wbr 4093   ↦ cmpt 4155  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  ℝcr 8074  0cc0 8075   + caddc 8078   ≤ cle 8257   − cmin 8392  ℤcz 9523  ℤ_≥cuz 9799  ...cfz 10288  seqcseq 10755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-seqfrec 10756

This theorem is referenced by:  iserle  11965  cvgcmpub  12100