Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  znege1 GIF version

Theorem znege1 11890
 Description: The absolute value of the difference between two unequal integers is at least one. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
znege1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) → 1 ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))

Proof of Theorem znege1
StepHypRef Expression
1 zltp1le 9131 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐵))
213adant3 1002 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐵))
32biimpa 294 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 + 1) ≤ 𝐵)
4 simpl1 985 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
54zred 9196 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 1red 7804 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 1 ∈ ℝ)
7 simpl2 986 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
87zred 9196 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
95, 6, 8leaddsub2d 8332 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴 + 1) ≤ 𝐵 ↔ 1 ≤ (𝐵𝐴)))
103, 9mpbid 146 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 1 ≤ (𝐵𝐴))
11 simpr 109 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
125, 8, 11ltled 7904 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴𝐵)
135, 8, 12abssuble0d 10980 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (abs‘(𝐴𝐵)) = (𝐵𝐴))
1410, 13breqtrrd 3963 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 1 ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))
15 simpr 109 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
16 simpl3 987 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵)
1715, 16pm2.21ddne 2392 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 1 ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))
18 simpr 109 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
19 simpl2 986 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
20 simpl1 985 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
21 zltp1le 9131 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
2219, 20, 21syl2anc 409 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
2318, 22mpbid 146 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + 1) ≤ 𝐴)
2419zred 9196 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
25 1red 7804 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
2620zred 9196 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
2724, 25, 26leaddsub2d 8332 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐵 + 1) ≤ 𝐴 ↔ 1 ≤ (𝐴𝐵)))
2823, 27mpbid 146 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 1 ≤ (𝐴𝐵))
2924, 26, 18ltled 7904 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵𝐴)
3024, 26, 29abssubge0d 10979 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (abs‘(𝐴𝐵)) = (𝐴𝐵))
3128, 30breqtrrd 3963 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 1 ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))
32 ztri3or 9120 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴))
33323adant3 1002 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴))
3414, 17, 31, 33mpjao3dan 1286 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) → 1 ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ w3o 962   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   ≠ wne 2309   class class class wbr 3936  ‘cfv 5130  (class class class)co 5781  1c1 7644   + caddc 7646   < clt 7823   ≤ cle 7824   − cmin 7956  ℤcz 9077  abscabs 10800 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-frec 6295  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-2 8802  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-seqfrec 10249  df-exp 10323  df-cj 10645  df-re 10646  df-im 10647  df-rsqrt 10801  df-abs 10802 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator