Theorem znege1 12087

Description: The absolute value of the difference between two unequal integers is at least one. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
znege1	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 1 ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))

Proof of Theorem znege1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zltp1le 9236	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐵))
2	1	3adant3 1006	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐵))
3	2	biimpa 294	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 + 1) ≤ 𝐵)
4		simpl1 989	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
5	4	zred 9304	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		1red 7905	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 1 ∈ ℝ)
7		simpl2 990	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
8	7	zred 9304	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	5, 6, 8	leaddsub2d 8436	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴 + 1) ≤ 𝐵 ↔ 1 ≤ (𝐵 − 𝐴)))
10	3, 9	mpbid 146	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 1 ≤ (𝐵 − 𝐴))
11		simpr 109	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
12	5, 8, 11	ltled 8008	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
13	5, 8, 12	abssuble0d 11105	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
14	10, 13	breqtrrd 4004	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 1 ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
15		simpr 109	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
16		simpl3 991	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
17	15, 16	pm2.21ddne 2417	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 1 ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
18		simpr 109	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
19		simpl2 990	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
20		simpl1 989	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
21		zltp1le 9236	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
22	19, 20, 21	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
23	18, 22	mpbid 146	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + 1) ≤ 𝐴)
24	19	zred 9304	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
25		1red 7905	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
26	20	zred 9304	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
27	24, 25, 26	leaddsub2d 8436	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐵 + 1) ≤ 𝐴 ↔ 1 ≤ (𝐴 − 𝐵)))
28	23, 27	mpbid 146	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 1 ≤ (𝐴 − 𝐵))
29	24, 26, 18	ltled 8008	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐴)
30	24, 26, 29	abssubge0d 11104	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))
31	28, 30	breqtrrd 4004	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 1 ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
32		ztri3or 9225	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))
33	32	3adant3 1006	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))
34	14, 17, 31, 33	mpjao3dan 1296	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 1 ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ w3o 966   ∧ w3a 967   = wceq 1342   ∈ wcel 2135   ≠ wne 2334   class class class wbr 3976  ‘cfv 5182  (class class class)co 5836  1c1 7745   + caddc 7747   < clt 7924   ≤ cle 7925   − cmin 8060  ℤcz 9182  abscabs 10925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-iinf 4559  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-mulrcl 7843  ax-addcom 7844  ax-mulcom 7845  ax-addass 7846  ax-mulass 7847  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-1rid 7851  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-precex 7854  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-apti 7859  ax-pre-ltadd 7860  ax-pre-mulgt0 7861  ax-pre-mulext 7862

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-if 3516  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-id 4265  df-po 4268  df-iso 4269  df-iord 4338  df-on 4340  df-ilim 4341  df-suc 4343  df-iom 4562  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-recs 6264  df-frec 6350  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-reap 8464  df-ap 8471  df-div 8560  df-inn 8849  df-2 8907  df-n0 9106  df-z 9183  df-uz 9458  df-seqfrec 10371  df-exp 10445  df-cj 10770  df-re 10771  df-im 10772  df-rsqrt 10926  df-abs 10927

This theorem is referenced by: (None)