Theorem lspsnsubg 20439

Description: The span of a singleton is an additive subgroup (frequently used special case of lspcl 20435). (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnsubg.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnsubg.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsnsubg	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))

Proof of Theorem lspsnsubg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnsubg.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
3		lspsnsubg.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4	1, 2, 3	lspsncl 20436	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
5	2	lsssubg 20416	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
6	4, 5	syldan 591	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {csn 4586  ‘cfv 6496  Basecbs 17082  SubGrpcsubg 18920  LModclmod 20320  LSubSpclss 20390  LSpanclspn 20430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-er 8647  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12153  df-2 12215  df-sets 17035  df-slot 17053  df-ndx 17065  df-base 17083  df-ress 17112  df-plusg 17145  df-0g 17322  df-mgm 18496  df-sgrp 18545  df-mnd 18556  df-grp 18750  df-minusg 18751  df-sbg 18752  df-subg 18923  df-mgp 19895  df-ur 19912  df-ring 19964  df-lmod 20322  df-lss 20391  df-lsp 20431

This theorem is referenced by:  lsmspsn  20543  lsppreli  20549  lsppr0  20551  lspabs2  20579  lspabs3  20580  lvecindp  20597  lvecindp2  20598  lsmsat  37461