Theorem 0lt1sr 11083

Description: 0 is less than 1 for signed reals. (Contributed by NM, 26-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1sr	⊢ 0R <R 1R

Proof of Theorem 0lt1sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 11003	. . . . . 6 ⊢ 1P ∈ P
2		addclpr 11006	. . . . . 6 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (1P +P 1P) ∈ P)
3	1, 1, 2	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (1P +P 1P) ∈ P
4		ltaddpr 11022	. . . . 5 ⊢ (((1P +P 1P) ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 1P))
5	3, 1, 4	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 1P)
6		addcompr 11009	. . . 4 ⊢ (1P +P (1P +P 1P)) = ((1P +P 1P) +P 1P)
7	5, 6	breqtrri 5143	. . 3 ⊢ (1P +P 1P)<P (1P +P (1P +P 1P))
8		ltsrpr 11065	. . 3 ⊢ ([⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P (1P +P (1P +P 1P)))
9	7, 8	mpbir 234	. 2 ⊢ [⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R
10		df-0r 11048	. 2 ⊢ 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
11		df-1r 11049	. 2 ⊢ 1R = [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R
12	9, 10, 11	3brtr4i 5146	1 ⊢ 0R <R 1R

Syntax hints:   ∈ wcel 2150  ⟨cop 4600   class class class wbr 5114  (class class class)co 7414  [cec 8695  Pcnp 10847  1_Pc1p 10848   +_P cpp 10849  <_P cltp 10851   ~_R cer 10852  0_Rc0r 10854  1_Rc1r 10855   <_R cltr 10859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-inf2 9613

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-oadd 8460  df-omul 8461  df-er 8697  df-ec 8699  df-qs 8703  df-ni 10860  df-pli 10861  df-mi 10862  df-lti 10863  df-plpq 10896  df-mpq 10897  df-ltpq 10898  df-enq 10899  df-nq 10900  df-erq 10901  df-plq 10902  df-mq 10903  df-1nq 10904  df-rq 10905  df-ltnq 10906  df-np 10969  df-1p 10970  df-plp 10971  df-ltp 10973  df-enr 11043  df-nr 11044  df-ltr 11047  df-0r 11048  df-1r 11049

This theorem is referenced by:  1ne0sr  11084  supsrlem  11099