Theorem 0lt1sr 11077

Description: 0 is less than 1 for signed reals. (Contributed by NM, 26-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1sr	⊢ 0R <R 1R

Proof of Theorem 0lt1sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 10997	. . . . . 6 ⊢ 1P ∈ P
2		addclpr 11000	. . . . . 6 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (1P +P 1P) ∈ P)
3	1, 1, 2	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ (1P +P 1P) ∈ P
4		ltaddpr 11016	. . . . 5 ⊢ (((1P +P 1P) ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 1P))
5	3, 1, 4	mp2an 691	. . . 4 ⊢ (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 1P)
6		addcompr 11003	. . . 4 ⊢ (1P +P (1P +P 1P)) = ((1P +P 1P) +P 1P)
7	5, 6	breqtrri 5171	. . 3 ⊢ (1P +P 1P)<P (1P +P (1P +P 1P))
8		ltsrpr 11059	. . 3 ⊢ ([⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P (1P +P (1P +P 1P)))
9	7, 8	mpbir 230	. 2 ⊢ [⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R
10		df-0r 11042	. 2 ⊢ 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
11		df-1r 11043	. 2 ⊢ 1R = [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R
12	9, 10, 11	3brtr4i 5174	1 ⊢ 0R <R 1R

Syntax hints:   ∈ wcel 2107  ⟨cop 4630   class class class wbr 5144  (class class class)co 7396  [cec 8689  Pcnp 10841  1_Pc1p 10842   +_P cpp 10843  <_P cltp 10845   ~_R cer 10846  0_Rc0r 10848  1_Rc1r 10849   <_R cltr 10853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-inf2 9623

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-oadd 8457  df-omul 8458  df-er 8691  df-ec 8693  df-qs 8697  df-ni 10854  df-pli 10855  df-mi 10856  df-lti 10857  df-plpq 10890  df-mpq 10891  df-ltpq 10892  df-enq 10893  df-nq 10894  df-erq 10895  df-plq 10896  df-mq 10897  df-1nq 10898  df-rq 10899  df-ltnq 10900  df-np 10963  df-1p 10964  df-plp 10965  df-ltp 10967  df-enr 11037  df-nr 11038  df-ltr 11041  df-0r 11042  df-1r 11043

This theorem is referenced by:  1ne0sr  11078  supsrlem  11093