Theorem 0lt1sr 11137

Description: 0 is less than 1 for signed reals. (Contributed by NM, 26-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1sr	⊢ 0R <R 1R

Proof of Theorem 0lt1sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 11057	. . . . . 6 ⊢ 1P ∈ P
2		addclpr 11060	. . . . . 6 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (1P +P 1P) ∈ P)
3	1, 1, 2	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (1P +P 1P) ∈ P
4		ltaddpr 11076	. . . . 5 ⊢ (((1P +P 1P) ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 1P))
5	3, 1, 4	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 1P)
6		addcompr 11063	. . . 4 ⊢ (1P +P (1P +P 1P)) = ((1P +P 1P) +P 1P)
7	5, 6	breqtrri 5132	. . 3 ⊢ (1P +P 1P)<P (1P +P (1P +P 1P))
8		ltsrpr 11119	. . 3 ⊢ ([⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P (1P +P (1P +P 1P)))
9	7, 8	mpbir 234	. 2 ⊢ [⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R
10		df-0r 11102	. 2 ⊢ 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
11		df-1r 11103	. 2 ⊢ 1R = [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R
12	9, 10, 11	3brtr4i 5135	1 ⊢ 0R <R 1R

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103  (class class class)co 7409  [cec 8694  Pcnp 10901  1_Pc1p 10902   +_P cpp 10903  <_P cltp 10905   ~_R cer 10906  0_Rc0r 10908  1_Rc1r 10909   <_R cltr 10913

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-inf2 9620

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-omul 8460  df-er 8696  df-ec 8698  df-qs 8702  df-ni 10914  df-pli 10915  df-mi 10916  df-lti 10917  df-plpq 10950  df-mpq 10951  df-ltpq 10952  df-enq 10953  df-nq 10954  df-erq 10955  df-plq 10956  df-mq 10957  df-1nq 10958  df-rq 10959  df-ltnq 10960  df-np 11023  df-1p 11024  df-plp 11025  df-ltp 11027  df-enr 11097  df-nr 11098  df-ltr 11101  df-0r 11102  df-1r 11103

This theorem is used by:  1ne0sr  11138  supsrlem  11153