Theorem 0lt1sr 10307

Description: 0 is less than 1 for signed reals. (Contributed by NM, 26-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1sr	⊢ 0R <R 1R

Proof of Theorem 0lt1sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 10227	. . . . . 6 ⊢ 1P ∈ P
2		addclpr 10230	. . . . . 6 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (1P +P 1P) ∈ P)
3	1, 1, 2	mp2an 679	. . . . 5 ⊢ (1P +P 1P) ∈ P
4		ltaddpr 10246	. . . . 5 ⊢ (((1P +P 1P) ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 1P))
5	3, 1, 4	mp2an 679	. . . 4 ⊢ (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 1P)
6		addcompr 10233	. . . 4 ⊢ (1P +P (1P +P 1P)) = ((1P +P 1P) +P 1P)
7	5, 6	breqtrri 4950	. . 3 ⊢ (1P +P 1P)<P (1P +P (1P +P 1P))
8		ltsrpr 10289	. . 3 ⊢ ([⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P (1P +P (1P +P 1P)))
9	7, 8	mpbir 223	. 2 ⊢ [⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R
10		df-0r 10272	. 2 ⊢ 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
11		df-1r 10273	. 2 ⊢ 1R = [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R
12	9, 10, 11	3brtr4i 4953	1 ⊢ 0R <R 1R

Syntax hints:   ∈ wcel 2048  ⟨cop 4441   class class class wbr 4923  (class class class)co 6970  [cec 8079  Pcnp 10071  1_Pc1p 10072   +_P cpp 10073  <_P cltp 10075   ~_R cer 10076  0_Rc0r 10078  1_Rc1r 10079   <_R cltr 10083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-inf2 8890

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-oadd 7901  df-omul 7902  df-er 8081  df-ec 8083  df-qs 8087  df-ni 10084  df-pli 10085  df-mi 10086  df-lti 10087  df-plpq 10120  df-mpq 10121  df-ltpq 10122  df-enq 10123  df-nq 10124  df-erq 10125  df-plq 10126  df-mq 10127  df-1nq 10128  df-rq 10129  df-ltnq 10130  df-np 10193  df-1p 10194  df-plp 10195  df-ltp 10197  df-enr 10267  df-nr 10268  df-ltr 10271  df-0r 10272  df-1r 10273

This theorem is referenced by:  1ne0sr  10308  supsrlem  10323