MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0lt1sr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0lt1sr 11093
Description: 0 is less than 1 for signed reals. (Contributed by NM, 26-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
0lt1sr 0R <R 1R

Proof of Theorem 0lt1sr
StepHypRef Expression
1 1pr 11013 . . . . . 6 1PP
2 addclpr 11016 . . . . . 6 ((1PP ∧ 1PP) → (1P +P 1P) ∈ P)
31, 1, 2mp2an 689 . . . . 5 (1P +P 1P) ∈ P
4 ltaddpr 11032 . . . . 5 (((1P +P 1P) ∈ P ∧ 1PP) → (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 1P))
53, 1, 4mp2an 689 . . . 4 (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 1P)
6 addcompr 11019 . . . 4 (1P +P (1P +P 1P)) = ((1P +P 1P) +P 1P)
75, 6breqtrri 5175 . . 3 (1P +P 1P)<P (1P +P (1P +P 1P))
8 ltsrpr 11075 . . 3 ([⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P (1P +P (1P +P 1P)))
97, 8mpbir 230 . 2 [⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R
10 df-0r 11058 . 2 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
11 df-1r 11059 . 2 1R = [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R
129, 10, 113brtr4i 5178 1 0R <R 1R
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2105  cop 4634   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412  [cec 8704  Pcnp 10857  1Pc1p 10858   +P cpp 10859  <P cltp 10861   ~R cer 10862  0Rc0r 10864  1Rc1r 10865   <R cltr 10869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-inf2 9639
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8706  df-ec 8708  df-qs 8712  df-ni 10870  df-pli 10871  df-mi 10872  df-lti 10873  df-plpq 10906  df-mpq 10907  df-ltpq 10908  df-enq 10909  df-nq 10910  df-erq 10911  df-plq 10912  df-mq 10913  df-1nq 10914  df-rq 10915  df-ltnq 10916  df-np 10979  df-1p 10980  df-plp 10981  df-ltp 10983  df-enr 11053  df-nr 11054  df-ltr 11057  df-0r 11058  df-1r 11059
This theorem is referenced by:  1ne0sr  11094  supsrlem  11109
  Copyright terms: Public domain W3C validator