Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4atlem11b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4atlem11b 38992
Description: Lemma for 4at 38997. Substitute π‘ˆ for 𝑄 (cont.). (Contributed by NM, 10-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
4at.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
4at.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4at.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
4atlem11b ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))

Proof of Theorem 4atlem11b
StepHypRef Expression
1 simp11 1200 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
2 simp12 1201 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴))
3 simp132 1306 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ 𝑉 ∈ 𝐴)
4 simp133 1307 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ π‘Š ∈ 𝐴)
52, 3, 43jca 1125 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴))
6 simp2l 1196 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
71, 5, 63jca 1125 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))))
8 simp32 1207 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
9 simp33 1208 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
10 simp111 1299 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
1110hllatd 38747 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
12 simp12l 1283 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
13 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
14 4at.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
1513, 14atbase 38672 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1612, 15syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
17 simp12r 1284 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
1813, 14atbase 38672 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ 𝐴 β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1917, 18syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
20 simp112 1300 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
21 simp131 1305 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
22 4at.j . . . . . . . . 9 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2313, 22, 14hlatjcl 38750 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2410, 20, 21, 23syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2513, 22, 14hlatjcl 38750 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) β†’ (𝑉 ∨ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2610, 3, 4, 25syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ (𝑉 ∨ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2713, 22latjcl 18404 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑉 ∨ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2811, 24, 26, 27syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
29 4at.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3013, 29, 22latjle12 18415 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ↔ (𝑅 ∨ 𝑆) ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
3111, 16, 19, 28, 30syl13anc 1369 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ ((𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ↔ (𝑅 ∨ 𝑆) ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
328, 9, 31mpbi2and 709 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ (𝑅 ∨ 𝑆) ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
33 simp31 1206 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
34 simp13 1202 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴))
35 simp2r 1197 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š))
3629, 22, 144atlem11a 38991 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) β†’ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
371, 34, 35, 36syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
3833, 37mpbid 231 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
3932, 38breqtrrd 5169 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ (𝑅 ∨ 𝑆) ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
4029, 22, 144atlem10 38990 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑅 ∨ 𝑆) ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
417, 39, 40sylc 65 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
4241, 38eqtrd 2766 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  lecple 17213  joincjn 18276  Latclat 18396  Atomscatm 38646  HLchlt 38733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lvols 38884
This theorem is referenced by:  4atlem11  38993
  Copyright terms: Public domain W3C validator