Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4atlem11b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4atlem11b 38474
Description: Lemma for 4at 38479. Substitute π‘ˆ for 𝑄 (cont.). (Contributed by NM, 10-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
4at.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
4at.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4at.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
4atlem11b ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))

Proof of Theorem 4atlem11b
StepHypRef Expression
1 simp11 1203 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
2 simp12 1204 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴))
3 simp132 1309 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ 𝑉 ∈ 𝐴)
4 simp133 1310 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ π‘Š ∈ 𝐴)
52, 3, 43jca 1128 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴))
6 simp2l 1199 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
71, 5, 63jca 1128 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))))
8 simp32 1210 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
9 simp33 1211 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
10 simp111 1302 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
1110hllatd 38229 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
12 simp12l 1286 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
13 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
14 4at.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
1513, 14atbase 38154 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1612, 15syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
17 simp12r 1287 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
1813, 14atbase 38154 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ 𝐴 β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1917, 18syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
20 simp112 1303 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
21 simp131 1308 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
22 4at.j . . . . . . . . 9 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2313, 22, 14hlatjcl 38232 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2410, 20, 21, 23syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2513, 22, 14hlatjcl 38232 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) β†’ (𝑉 ∨ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2610, 3, 4, 25syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ (𝑉 ∨ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2713, 22latjcl 18391 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑉 ∨ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2811, 24, 26, 27syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
29 4at.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3013, 29, 22latjle12 18402 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ↔ (𝑅 ∨ 𝑆) ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
3111, 16, 19, 28, 30syl13anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ ((𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ↔ (𝑅 ∨ 𝑆) ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
328, 9, 31mpbi2and 710 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ (𝑅 ∨ 𝑆) ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
33 simp31 1209 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
34 simp13 1205 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴))
35 simp2r 1200 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š))
3629, 22, 144atlem11a 38473 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) β†’ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
371, 34, 35, 36syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
3833, 37mpbid 231 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
3932, 38breqtrrd 5176 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ (𝑅 ∨ 𝑆) ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
4029, 22, 144atlem10 38472 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑅 ∨ 𝑆) ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
417, 39, 40sylc 65 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
4241, 38eqtrd 2772 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  lecple 17203  joincjn 18263  Latclat 18383  Atomscatm 38128  HLchlt 38215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-lat 18384  df-clat 18451  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-llines 38364  df-lplanes 38365  df-lvols 38366
This theorem is referenced by:  4atlem11  38475
  Copyright terms: Public domain W3C validator