Theorem 4atlem11b 40045

Description: Lemma for 4at 40050. Substitute 𝑈 for 𝑄 (cont.). (Contributed by NM, 10-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
4at.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4at.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4at.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
4atlem11b	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))

Proof of Theorem 4atlem11b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11 1205	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
2		simp12 1206	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴))
3		simp132 1311	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑉 ∈ 𝐴)
4		simp133 1312	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑊 ∈ 𝐴)
5	2, 3, 4	3jca 1129	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴))
6		simp2l 1201	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
7	1, 5, 6	3jca 1129	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))))
8		simp32 1212	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
9		simp33 1213	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
10		simp111 1304	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝐾 ∈ HL)
11	10	hllatd 39801	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝐾 ∈ Lat)
12		simp12l 1288	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑅 ∈ 𝐴)
13		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
14		4at.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
15	13, 14	atbase 39726	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
16	12, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
17		simp12r 1289	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑆 ∈ 𝐴)
18	13, 14	atbase 39726	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
20		simp112 1305	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
21		simp131 1310	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑈 ∈ 𝐴)
22		4at.j	. . . . . . . . 9 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
23	13, 22, 14	hlatjcl 39804	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
24	10, 20, 21, 23	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
25	13, 22, 14	hlatjcl 39804	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) → (𝑉 ∨ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
26	10, 3, 4, 25	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝑉 ∨ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
27	13, 22	latjcl 18363	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑉 ∨ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
28	11, 24, 26, 27	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
29		4at.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
30	13, 29, 22	latjle12 18374	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ↔ (𝑅 ∨ 𝑆) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
31	11, 16, 19, 28, 30	syl13anc 1375	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ↔ (𝑅 ∨ 𝑆) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
32	8, 9, 31	mpbi2and 713	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝑅 ∨ 𝑆) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
33		simp31 1211	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
34		simp13 1207	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴))
35		simp2r 1202	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊))
36	29, 22, 14	4atlem11a 40044	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) → (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
37	1, 34, 35, 36	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
38	33, 37	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
39	32, 38	breqtrrd 5114	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝑅 ∨ 𝑆) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
40	29, 22, 14	4atlem10 40043	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑅 ∨ 𝑆) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
41	7, 39, 40	sylc 65	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
42	41, 38	eqtrd 2772	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Basecbs 17137  lecple 17185  joincjn 18235  Latclat 18355  Atomscatm 39700  HLchlt 39787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18218  df-poset 18237  df-plt 18252  df-lub 18268  df-glb 18269  df-join 18270  df-meet 18271  df-p0 18347  df-lat 18356  df-clat 18423  df-oposet 39613  df-ol 39615  df-oml 39616  df-covers 39703  df-ats 39704  df-atl 39735  df-cvlat 39759  df-hlat 39788  df-llines 39935  df-lplanes 39936  df-lvols 39937

This theorem is referenced by:  4atlem11  40046