Theorem 4atlem11b 40665

Description: Lemma for 4at 40670. Substitute 𝑈 for 𝑄 (cont.). (Contributed by NM, 10-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
4at.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4at.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4at.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
4atlem11b	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))

Proof of Theorem 4atlem11b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11 1222	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
2		simp12 1223	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴))
3		simp132 1328	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑉 ∈ 𝐴)
4		simp133 1329	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑊 ∈ 𝐴)
5	2, 3, 4	3jca 1146	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴))
6		simp2l 1218	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
7	1, 5, 6	3jca 1146	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))))
8		simp32 1229	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
9		simp33 1230	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
10		simp111 1321	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝐾 ∈ HL)
11	10	hllatd 40421	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝐾 ∈ Lat)
12		simp12l 1305	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑅 ∈ 𝐴)
13		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
14		4at.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
15	13, 14	atbase 40346	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
16	12, 15	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
17		simp12r 1306	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑆 ∈ 𝐴)
18	13, 14	atbase 40346	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
19	17, 18	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
20		simp112 1322	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
21		simp131 1327	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑈 ∈ 𝐴)
22		4at.j	. . . . . . . . 9 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
23	13, 22, 14	hlatjcl 40424	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
24	10, 20, 21, 23	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
25	13, 22, 14	hlatjcl 40424	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) → (𝑉 ∨ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
26	10, 3, 4, 25	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝑉 ∨ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
27	13, 22	latjcl 18613	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑉 ∨ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
28	11, 24, 26, 27	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
29		4at.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
30	13, 29, 22	latjle12 18624	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ↔ (𝑅 ∨ 𝑆) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
31	11, 16, 19, 28, 30	syl13anc 1399	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ↔ (𝑅 ∨ 𝑆) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
32	8, 9, 31	mpbi2and 725	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝑅 ∨ 𝑆) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
33		simp31 1228	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
34		simp13 1224	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴))
35		simp2r 1219	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊))
36	29, 22, 14	4atlem11a 40664	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) → (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
37	1, 34, 35, 36	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
38	33, 37	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
39	32, 38	breqtrrd 5133	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝑅 ∨ 𝑆) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
40	29, 22, 14	4atlem10 40663	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑅 ∨ 𝑆) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
41	7, 39, 40	sylc 66	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
42	41, 38	eqtrd 2796	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  lecple 17435  joincjn 18485  Latclat 18605  Atomscatm 40320  HLchlt 40407

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18468  df-poset 18487  df-plt 18502  df-lub 18518  df-glb 18519  df-join 18520  df-meet 18521  df-p0 18597  df-lat 18606  df-clat 18673  df-oposet 40233  df-ol 40235  df-oml 40236  df-covers 40323  df-ats 40324  df-atl 40355  df-cvlat 40379  df-hlat 40408  df-llines 40555  df-lplanes 40556  df-lvols 40557

This theorem is used by:  4atlem11  40666