MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addsdilem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addsdilem3 27969
Description: Lemma for addsdi 27971. Show one of the equalities involved in the final expression. (Contributed by Scott Fenton, 9-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
addsdilem3.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
addsdilem3.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
addsdilem3.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ No )
addsdilem3.4 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ๐‘‚ โˆˆ (( L โ€˜๐ด) โˆช ( R โ€˜๐ด))(๐‘ฅ๐‘‚ ยทs (๐ต +s ๐ถ)) = ((๐‘ฅ๐‘‚ ยทs ๐ต) +s (๐‘ฅ๐‘‚ ยทs ๐ถ)))
addsdilem3.5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฆ๐‘‚ โˆˆ (( L โ€˜๐ต) โˆช ( R โ€˜๐ต))(๐ด ยทs (๐‘ฆ๐‘‚ +s ๐ถ)) = ((๐ด ยทs ๐‘ฆ๐‘‚) +s (๐ด ยทs ๐ถ)))
addsdilem3.6 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ๐‘‚ โˆˆ (( L โ€˜๐ด) โˆช ( R โ€˜๐ด))โˆ€๐‘ฆ๐‘‚ โˆˆ (( L โ€˜๐ต) โˆช ( R โ€˜๐ต))(๐‘ฅ๐‘‚ ยทs (๐‘ฆ๐‘‚ +s ๐ถ)) = ((๐‘ฅ๐‘‚ ยทs ๐‘ฆ๐‘‚) +s (๐‘ฅ๐‘‚ ยทs ๐ถ)))
addsdilem3.7 (๐œ“ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (( L โ€˜๐ด) โˆช ( R โ€˜๐ด)))
addsdilem3.8 (๐œ“ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (( L โ€˜๐ต) โˆช ( R โ€˜๐ต)))
Assertion
Ref Expression
addsdilem3 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (((๐‘‹ ยทs (๐ต +s ๐ถ)) +s (๐ด ยทs (๐‘Œ +s ๐ถ))) -s (๐‘‹ ยทs (๐‘Œ +s ๐ถ))) = ((((๐‘‹ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘Œ)) -s (๐‘‹ ยทs ๐‘Œ)) +s (๐ด ยทs ๐ถ)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘ฅ๐‘‚,๐‘ฆ๐‘‚   ๐ต,๐‘ฅ๐‘‚,๐‘ฆ๐‘‚   ๐ถ,๐‘ฅ๐‘‚,๐‘ฆ๐‘‚   ๐‘‹,๐‘ฅ๐‘‚,๐‘ฆ๐‘‚   ๐‘Œ,๐‘ฆ๐‘‚
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ๐‘‚,๐‘ฆ๐‘‚)   ๐œ“(๐‘ฅ๐‘‚,๐‘ฆ๐‘‚)   ๐‘Œ(๐‘ฅ๐‘‚)

Proof of Theorem addsdilem3
StepHypRef Expression
1 oveq1 7408 . . . . . 6 (๐‘ฅ๐‘‚ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ฅ๐‘‚ ยทs (๐ต +s ๐ถ)) = (๐‘‹ ยทs (๐ต +s ๐ถ)))
2 oveq1 7408 . . . . . . 7 (๐‘ฅ๐‘‚ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ฅ๐‘‚ ยทs ๐ต) = (๐‘‹ ยทs ๐ต))
3 oveq1 7408 . . . . . . 7 (๐‘ฅ๐‘‚ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ฅ๐‘‚ ยทs ๐ถ) = (๐‘‹ ยทs ๐ถ))
42, 3oveq12d 7419 . . . . . 6 (๐‘ฅ๐‘‚ = ๐‘‹ โ†’ ((๐‘ฅ๐‘‚ ยทs ๐ต) +s (๐‘ฅ๐‘‚ ยทs ๐ถ)) = ((๐‘‹ ยทs ๐ต) +s (๐‘‹ ยทs ๐ถ)))
51, 4eqeq12d 2740 . . . . 5 (๐‘ฅ๐‘‚ = ๐‘‹ โ†’ ((๐‘ฅ๐‘‚ ยทs (๐ต +s ๐ถ)) = ((๐‘ฅ๐‘‚ ยทs ๐ต) +s (๐‘ฅ๐‘‚ ยทs ๐ถ)) โ†” (๐‘‹ ยทs (๐ต +s ๐ถ)) = ((๐‘‹ ยทs ๐ต) +s (๐‘‹ ยทs ๐ถ))))
6 addsdilem3.4 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ๐‘‚ โˆˆ (( L โ€˜๐ด) โˆช ( R โ€˜๐ด))(๐‘ฅ๐‘‚ ยทs (๐ต +s ๐ถ)) = ((๐‘ฅ๐‘‚ ยทs ๐ต) +s (๐‘ฅ๐‘‚ ยทs ๐ถ)))
76adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ โˆ€๐‘ฅ๐‘‚ โˆˆ (( L โ€˜๐ด) โˆช ( R โ€˜๐ด))(๐‘ฅ๐‘‚ ยทs (๐ต +s ๐ถ)) = ((๐‘ฅ๐‘‚ ยทs ๐ต) +s (๐‘ฅ๐‘‚ ยทs ๐ถ)))
8 addsdilem3.7 . . . . . 6 (๐œ“ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (( L โ€˜๐ด) โˆช ( R โ€˜๐ด)))
98adantl 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (( L โ€˜๐ด) โˆช ( R โ€˜๐ด)))
105, 7, 9rspcdva 3605 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘‹ ยทs (๐ต +s ๐ถ)) = ((๐‘‹ ยทs ๐ต) +s (๐‘‹ ยทs ๐ถ)))
11 oveq1 7408 . . . . . . 7 (๐‘ฆ๐‘‚ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘ฆ๐‘‚ +s ๐ถ) = (๐‘Œ +s ๐ถ))
1211oveq2d 7417 . . . . . 6 (๐‘ฆ๐‘‚ = ๐‘Œ โ†’ (๐ด ยทs (๐‘ฆ๐‘‚ +s ๐ถ)) = (๐ด ยทs (๐‘Œ +s ๐ถ)))
13 oveq2 7409 . . . . . . 7 (๐‘ฆ๐‘‚ = ๐‘Œ โ†’ (๐ด ยทs ๐‘ฆ๐‘‚) = (๐ด ยทs ๐‘Œ))
1413oveq1d 7416 . . . . . 6 (๐‘ฆ๐‘‚ = ๐‘Œ โ†’ ((๐ด ยทs ๐‘ฆ๐‘‚) +s (๐ด ยทs ๐ถ)) = ((๐ด ยทs ๐‘Œ) +s (๐ด ยทs ๐ถ)))
1512, 14eqeq12d 2740 . . . . 5 (๐‘ฆ๐‘‚ = ๐‘Œ โ†’ ((๐ด ยทs (๐‘ฆ๐‘‚ +s ๐ถ)) = ((๐ด ยทs ๐‘ฆ๐‘‚) +s (๐ด ยทs ๐ถ)) โ†” (๐ด ยทs (๐‘Œ +s ๐ถ)) = ((๐ด ยทs ๐‘Œ) +s (๐ด ยทs ๐ถ))))
16 addsdilem3.5 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฆ๐‘‚ โˆˆ (( L โ€˜๐ต) โˆช ( R โ€˜๐ต))(๐ด ยทs (๐‘ฆ๐‘‚ +s ๐ถ)) = ((๐ด ยทs ๐‘ฆ๐‘‚) +s (๐ด ยทs ๐ถ)))
1716adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ โˆ€๐‘ฆ๐‘‚ โˆˆ (( L โ€˜๐ต) โˆช ( R โ€˜๐ต))(๐ด ยทs (๐‘ฆ๐‘‚ +s ๐ถ)) = ((๐ด ยทs ๐‘ฆ๐‘‚) +s (๐ด ยทs ๐ถ)))
18 addsdilem3.8 . . . . . 6 (๐œ“ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (( L โ€˜๐ต) โˆช ( R โ€˜๐ต)))
1918adantl 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (( L โ€˜๐ต) โˆช ( R โ€˜๐ต)))
2015, 17, 19rspcdva 3605 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐ด ยทs (๐‘Œ +s ๐ถ)) = ((๐ด ยทs ๐‘Œ) +s (๐ด ยทs ๐ถ)))
2110, 20oveq12d 7419 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐‘‹ ยทs (๐ต +s ๐ถ)) +s (๐ด ยทs (๐‘Œ +s ๐ถ))) = (((๐‘‹ ยทs ๐ต) +s (๐‘‹ ยทs ๐ถ)) +s ((๐ด ยทs ๐‘Œ) +s (๐ด ยทs ๐ถ))))
22 oveq1 7408 . . . . 5 (๐‘ฅ๐‘‚ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ฅ๐‘‚ ยทs (๐‘ฆ๐‘‚ +s ๐ถ)) = (๐‘‹ ยทs (๐‘ฆ๐‘‚ +s ๐ถ)))
23 oveq1 7408 . . . . . 6 (๐‘ฅ๐‘‚ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ฅ๐‘‚ ยทs ๐‘ฆ๐‘‚) = (๐‘‹ ยทs ๐‘ฆ๐‘‚))
2423, 3oveq12d 7419 . . . . 5 (๐‘ฅ๐‘‚ = ๐‘‹ โ†’ ((๐‘ฅ๐‘‚ ยทs ๐‘ฆ๐‘‚) +s (๐‘ฅ๐‘‚ ยทs ๐ถ)) = ((๐‘‹ ยทs ๐‘ฆ๐‘‚) +s (๐‘‹ ยทs ๐ถ)))
2522, 24eqeq12d 2740 . . . 4 (๐‘ฅ๐‘‚ = ๐‘‹ โ†’ ((๐‘ฅ๐‘‚ ยทs (๐‘ฆ๐‘‚ +s ๐ถ)) = ((๐‘ฅ๐‘‚ ยทs ๐‘ฆ๐‘‚) +s (๐‘ฅ๐‘‚ ยทs ๐ถ)) โ†” (๐‘‹ ยทs (๐‘ฆ๐‘‚ +s ๐ถ)) = ((๐‘‹ ยทs ๐‘ฆ๐‘‚) +s (๐‘‹ ยทs ๐ถ))))
2611oveq2d 7417 . . . . 5 (๐‘ฆ๐‘‚ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘‹ ยทs (๐‘ฆ๐‘‚ +s ๐ถ)) = (๐‘‹ ยทs (๐‘Œ +s ๐ถ)))
27 oveq2 7409 . . . . . 6 (๐‘ฆ๐‘‚ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘‹ ยทs ๐‘ฆ๐‘‚) = (๐‘‹ ยทs ๐‘Œ))
2827oveq1d 7416 . . . . 5 (๐‘ฆ๐‘‚ = ๐‘Œ โ†’ ((๐‘‹ ยทs ๐‘ฆ๐‘‚) +s (๐‘‹ ยทs ๐ถ)) = ((๐‘‹ ยทs ๐‘Œ) +s (๐‘‹ ยทs ๐ถ)))
2926, 28eqeq12d 2740 . . . 4 (๐‘ฆ๐‘‚ = ๐‘Œ โ†’ ((๐‘‹ ยทs (๐‘ฆ๐‘‚ +s ๐ถ)) = ((๐‘‹ ยทs ๐‘ฆ๐‘‚) +s (๐‘‹ ยทs ๐ถ)) โ†” (๐‘‹ ยทs (๐‘Œ +s ๐ถ)) = ((๐‘‹ ยทs ๐‘Œ) +s (๐‘‹ ยทs ๐ถ))))
30 addsdilem3.6 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ๐‘‚ โˆˆ (( L โ€˜๐ด) โˆช ( R โ€˜๐ด))โˆ€๐‘ฆ๐‘‚ โˆˆ (( L โ€˜๐ต) โˆช ( R โ€˜๐ต))(๐‘ฅ๐‘‚ ยทs (๐‘ฆ๐‘‚ +s ๐ถ)) = ((๐‘ฅ๐‘‚ ยทs ๐‘ฆ๐‘‚) +s (๐‘ฅ๐‘‚ ยทs ๐ถ)))
3130adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ โˆ€๐‘ฅ๐‘‚ โˆˆ (( L โ€˜๐ด) โˆช ( R โ€˜๐ด))โˆ€๐‘ฆ๐‘‚ โˆˆ (( L โ€˜๐ต) โˆช ( R โ€˜๐ต))(๐‘ฅ๐‘‚ ยทs (๐‘ฆ๐‘‚ +s ๐ถ)) = ((๐‘ฅ๐‘‚ ยทs ๐‘ฆ๐‘‚) +s (๐‘ฅ๐‘‚ ยทs ๐ถ)))
3225, 29, 31, 9, 19rspc2dv 3618 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘‹ ยทs (๐‘Œ +s ๐ถ)) = ((๐‘‹ ยทs ๐‘Œ) +s (๐‘‹ ยทs ๐ถ)))
3321, 32oveq12d 7419 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (((๐‘‹ ยทs (๐ต +s ๐ถ)) +s (๐ด ยทs (๐‘Œ +s ๐ถ))) -s (๐‘‹ ยทs (๐‘Œ +s ๐ถ))) = ((((๐‘‹ ยทs ๐ต) +s (๐‘‹ ยทs ๐ถ)) +s ((๐ด ยทs ๐‘Œ) +s (๐ด ยทs ๐ถ))) -s ((๐‘‹ ยทs ๐‘Œ) +s (๐‘‹ ยทs ๐ถ))))
34 leftssno 27723 . . . . . . . . . . 11 ( L โ€˜๐ด) โІ No
35 rightssno 27724 . . . . . . . . . . 11 ( R โ€˜๐ด) โІ No
3634, 35unssi 4177 . . . . . . . . . 10 (( L โ€˜๐ด) โˆช ( R โ€˜๐ด)) โІ No
3736, 8sselid 3972 . . . . . . . . 9 (๐œ“ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ No )
3837adantl 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ No )
39 addsdilem3.2 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
4039adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
4138, 40mulscld 27951 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘‹ ยทs ๐ต) โˆˆ No )
42 addsdilem3.3 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ No )
4342adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐ถ โˆˆ No )
4438, 43mulscld 27951 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘‹ ยทs ๐ถ) โˆˆ No )
45 pncans 27896 . . . . . . 7 (((๐‘‹ ยทs ๐ต) โˆˆ No โˆง (๐‘‹ ยทs ๐ถ) โˆˆ No ) โ†’ (((๐‘‹ ยทs ๐ต) +s (๐‘‹ ยทs ๐ถ)) -s (๐‘‹ ยทs ๐ถ)) = (๐‘‹ ยทs ๐ต))
4641, 44, 45syl2anc 583 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (((๐‘‹ ยทs ๐ต) +s (๐‘‹ ยทs ๐ถ)) -s (๐‘‹ ยทs ๐ถ)) = (๐‘‹ ยทs ๐ต))
4746oveq1d 7416 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((((๐‘‹ ยทs ๐ต) +s (๐‘‹ ยทs ๐ถ)) -s (๐‘‹ ยทs ๐ถ)) +s ((๐ด ยทs ๐‘Œ) +s (๐ด ยทs ๐ถ))) = ((๐‘‹ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘Œ) +s (๐ด ยทs ๐ถ))))
4841, 44addscld 27813 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐‘‹ ยทs ๐ต) +s (๐‘‹ ยทs ๐ถ)) โˆˆ No )
49 addsdilem3.1 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
5049adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
51 leftssno 27723 . . . . . . . . . . 11 ( L โ€˜๐ต) โІ No
52 rightssno 27724 . . . . . . . . . . 11 ( R โ€˜๐ต) โІ No
5351, 52unssi 4177 . . . . . . . . . 10 (( L โ€˜๐ต) โˆช ( R โ€˜๐ต)) โІ No
5453, 18sselid 3972 . . . . . . . . 9 (๐œ“ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ No )
5554adantl 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ No )
5650, 55mulscld 27951 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐ด ยทs ๐‘Œ) โˆˆ No )
5749, 42mulscld 27951 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs ๐ถ) โˆˆ No )
5857adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐ด ยทs ๐ถ) โˆˆ No )
5956, 58addscld 27813 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด ยทs ๐‘Œ) +s (๐ด ยทs ๐ถ)) โˆˆ No )
6048, 59, 44addsubsd 27906 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((((๐‘‹ ยทs ๐ต) +s (๐‘‹ ยทs ๐ถ)) +s ((๐ด ยทs ๐‘Œ) +s (๐ด ยทs ๐ถ))) -s (๐‘‹ ยทs ๐ถ)) = ((((๐‘‹ ยทs ๐ต) +s (๐‘‹ ยทs ๐ถ)) -s (๐‘‹ ยทs ๐ถ)) +s ((๐ด ยทs ๐‘Œ) +s (๐ด ยทs ๐ถ))))
6141, 56, 58addsassd 27839 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (((๐‘‹ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘Œ)) +s (๐ด ยทs ๐ถ)) = ((๐‘‹ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘Œ) +s (๐ด ยทs ๐ถ))))
6247, 60, 613eqtr4d 2774 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((((๐‘‹ ยทs ๐ต) +s (๐‘‹ ยทs ๐ถ)) +s ((๐ด ยทs ๐‘Œ) +s (๐ด ยทs ๐ถ))) -s (๐‘‹ ยทs ๐ถ)) = (((๐‘‹ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘Œ)) +s (๐ด ยทs ๐ถ)))
6362oveq1d 7416 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (((((๐‘‹ ยทs ๐ต) +s (๐‘‹ ยทs ๐ถ)) +s ((๐ด ยทs ๐‘Œ) +s (๐ด ยทs ๐ถ))) -s (๐‘‹ ยทs ๐ถ)) -s (๐‘‹ ยทs ๐‘Œ)) = ((((๐‘‹ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘Œ)) +s (๐ด ยทs ๐ถ)) -s (๐‘‹ ยทs ๐‘Œ)))
6448, 59addscld 27813 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (((๐‘‹ ยทs ๐ต) +s (๐‘‹ ยทs ๐ถ)) +s ((๐ด ยทs ๐‘Œ) +s (๐ด ยทs ๐ถ))) โˆˆ No )
6537, 54mulscld 27951 . . . . . 6 (๐œ“ โ†’ (๐‘‹ ยทs ๐‘Œ) โˆˆ No )
6665adantl 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘‹ ยทs ๐‘Œ) โˆˆ No )
6764, 44, 66subsubs4d 27917 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (((((๐‘‹ ยทs ๐ต) +s (๐‘‹ ยทs ๐ถ)) +s ((๐ด ยทs ๐‘Œ) +s (๐ด ยทs ๐ถ))) -s (๐‘‹ ยทs ๐ถ)) -s (๐‘‹ ยทs ๐‘Œ)) = ((((๐‘‹ ยทs ๐ต) +s (๐‘‹ ยทs ๐ถ)) +s ((๐ด ยทs ๐‘Œ) +s (๐ด ยทs ๐ถ))) -s ((๐‘‹ ยทs ๐ถ) +s (๐‘‹ ยทs ๐‘Œ))))
6844, 66addscomd 27800 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐‘‹ ยทs ๐ถ) +s (๐‘‹ ยทs ๐‘Œ)) = ((๐‘‹ ยทs ๐‘Œ) +s (๐‘‹ ยทs ๐ถ)))
6968oveq2d 7417 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((((๐‘‹ ยทs ๐ต) +s (๐‘‹ ยทs ๐ถ)) +s ((๐ด ยทs ๐‘Œ) +s (๐ด ยทs ๐ถ))) -s ((๐‘‹ ยทs ๐ถ) +s (๐‘‹ ยทs ๐‘Œ))) = ((((๐‘‹ ยทs ๐ต) +s (๐‘‹ ยทs ๐ถ)) +s ((๐ด ยทs ๐‘Œ) +s (๐ด ยทs ๐ถ))) -s ((๐‘‹ ยทs ๐‘Œ) +s (๐‘‹ ยทs ๐ถ))))
7067, 69eqtrd 2764 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (((((๐‘‹ ยทs ๐ต) +s (๐‘‹ ยทs ๐ถ)) +s ((๐ด ยทs ๐‘Œ) +s (๐ด ยทs ๐ถ))) -s (๐‘‹ ยทs ๐ถ)) -s (๐‘‹ ยทs ๐‘Œ)) = ((((๐‘‹ ยทs ๐ต) +s (๐‘‹ ยทs ๐ถ)) +s ((๐ด ยทs ๐‘Œ) +s (๐ด ยทs ๐ถ))) -s ((๐‘‹ ยทs ๐‘Œ) +s (๐‘‹ ยทs ๐ถ))))
7141, 56addscld 27813 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐‘‹ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘Œ)) โˆˆ No )
7271, 58, 66addsubsd 27906 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((((๐‘‹ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘Œ)) +s (๐ด ยทs ๐ถ)) -s (๐‘‹ ยทs ๐‘Œ)) = ((((๐‘‹ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘Œ)) -s (๐‘‹ ยทs ๐‘Œ)) +s (๐ด ยทs ๐ถ)))
7363, 70, 723eqtr3d 2772 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((((๐‘‹ ยทs ๐ต) +s (๐‘‹ ยทs ๐ถ)) +s ((๐ด ยทs ๐‘Œ) +s (๐ด ยทs ๐ถ))) -s ((๐‘‹ ยทs ๐‘Œ) +s (๐‘‹ ยทs ๐ถ))) = ((((๐‘‹ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘Œ)) -s (๐‘‹ ยทs ๐‘Œ)) +s (๐ด ยทs ๐ถ)))
7433, 73eqtrd 2764 1 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (((๐‘‹ ยทs (๐ต +s ๐ถ)) +s (๐ด ยทs (๐‘Œ +s ๐ถ))) -s (๐‘‹ ยทs (๐‘Œ +s ๐ถ))) = ((((๐‘‹ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘Œ)) -s (๐‘‹ ยทs ๐‘Œ)) +s (๐ด ยทs ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3053   โˆช cun 3938  โ€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   No csur 27489   L cleft 27688   R cright 27689   +s cadds 27792   -s csubs 27849   ยทs cmuls 27922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-ot 4629  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-1o 8461  df-2o 8462  df-nadd 8661  df-no 27492  df-slt 27493  df-bday 27494  df-sle 27594  df-sslt 27630  df-scut 27632  df-0s 27673  df-made 27690  df-old 27691  df-left 27693  df-right 27694  df-norec 27771  df-norec2 27782  df-adds 27793  df-negs 27850  df-subs 27851  df-muls 27923
This theorem is referenced by:  addsdi  27971
  Copyright terms: Public domain W3C validator