Theorem fzen2 13987

Description: The cardinality of a finite set of sequential integers with arbitrary endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
fzennn.1	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
fzen2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (◡𝐺‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))

Proof of Theorem fzen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12857	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		eluzelz 12862	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		1z 12622	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		zsubcl 12634	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1 − 𝑀) ∈ ℤ)
5	3, 1, 4	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (1 − 𝑀) ∈ ℤ)
6		fzen 13558	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (1 − 𝑀) ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ≈ ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))))
7	1, 2, 5, 6	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))))
8	1	zcnd 12698	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℂ)
9		ax-1cn 11187	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
10		pncan3 11490	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑀 + (1 − 𝑀)) = 1)
11	8, 9, 10	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 + (1 − 𝑀)) = 1)
12		zcn 12593	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
13		zcn 12593	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
14		addsubass 11492	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) = (𝑁 + (1 − 𝑀)))
15	9, 14	mp3an2 1451	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) = (𝑁 + (1 − 𝑀)))
16	12, 13, 15	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) = (𝑁 + (1 − 𝑀)))
17	2, 1, 16	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) = (𝑁 + (1 − 𝑀)))
18	17	eqcomd 2741	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + (1 − 𝑀)) = ((𝑁 + 1) − 𝑀))
19	11, 18	oveq12d 7423	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))) = (1...((𝑁 + 1) − 𝑀)))
20	7, 19	breqtrd 5145	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (1...((𝑁 + 1) − 𝑀)))
21		peano2uz 12917	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
22		uznn0sub 12891	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
23		fzennn.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
24	23	fzennn 13986	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0 → (1...((𝑁 + 1) − 𝑀)) ≈ (◡𝐺‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
25	21, 22, 24	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (1...((𝑁 + 1) − 𝑀)) ≈ (◡𝐺‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
26		entr 9020	. 2 ⊢ (((𝑀...𝑁) ≈ (1...((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∧ (1...((𝑁 + 1) − 𝑀)) ≈ (◡𝐺‘((𝑁 + 1) − 𝑀))) → (𝑀...𝑁) ≈ (◡𝐺‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
27	20, 25, 26	syl2anc 584	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (◡𝐺‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  ^◡ccnv 5653   ↾ cres 5656  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ωcom 7861  reccrdg 8423   ≈ cen 8956  ℂcc 11127  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   − cmin 11466  ℕ₀cn0 12501  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  ...cfz 13524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525

This theorem is referenced by:  fzfi  13990