Theorem fzen2 13933

Description: The cardinality of a finite set of sequential integers with arbitrary endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
fzennn.1	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
fzen2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (◡𝐺‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))

Proof of Theorem fzen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12826	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		eluzelz 12831	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		1z 12591	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		zsubcl 12603	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1 − 𝑀) ∈ ℤ)
5	3, 1, 4	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (1 − 𝑀) ∈ ℤ)
6		fzen 13517	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (1 − 𝑀) ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ≈ ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))))
7	1, 2, 5, 6	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))))
8	1	zcnd 12666	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℂ)
9		ax-1cn 11167	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
10		pncan3 11467	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑀 + (1 − 𝑀)) = 1)
11	8, 9, 10	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 + (1 − 𝑀)) = 1)
12		zcn 12562	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
13		zcn 12562	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
14		addsubass 11469	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) = (𝑁 + (1 − 𝑀)))
15	9, 14	mp3an2 1449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) = (𝑁 + (1 − 𝑀)))
16	12, 13, 15	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) = (𝑁 + (1 − 𝑀)))
17	2, 1, 16	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) = (𝑁 + (1 − 𝑀)))
18	17	eqcomd 2738	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + (1 − 𝑀)) = ((𝑁 + 1) − 𝑀))
19	11, 18	oveq12d 7426	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))) = (1...((𝑁 + 1) − 𝑀)))
20	7, 19	breqtrd 5174	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (1...((𝑁 + 1) − 𝑀)))
21		peano2uz 12884	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
22		uznn0sub 12860	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
23		fzennn.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
24	23	fzennn 13932	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0 → (1...((𝑁 + 1) − 𝑀)) ≈ (◡𝐺‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
25	21, 22, 24	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (1...((𝑁 + 1) − 𝑀)) ≈ (◡𝐺‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
26		entr 9001	. 2 ⊢ (((𝑀...𝑁) ≈ (1...((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∧ (1...((𝑁 + 1) − 𝑀)) ≈ (◡𝐺‘((𝑁 + 1) − 𝑀))) → (𝑀...𝑁) ≈ (◡𝐺‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
27	20, 25, 26	syl2anc 584	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (◡𝐺‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ^◡ccnv 5675   ↾ cres 5678  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ωcom 7854  reccrdg 8408   ≈ cen 8935  ℂcc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   − cmin 11443  ℕ₀cn0 12471  ℤcz 12557  ℤ_≥cuz 12821  ...cfz 13483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484

This theorem is referenced by:  fzfi  13936