numclwlk2lem2f - Metamath Proof Explorer

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Theorem numclwlk2lem2f 30243

Description: 𝑅 is a function mapping the "closed (n+2)-walks v(0) ... v(n-2) v(n-1) v(n) v(n+1) v(n+2) starting at 𝑋 = v(0) = v(n+2) with v(n) =/= X" to the words representing the prefix v(0) ... v(n-2) v(n-1) v(n) of the walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.) (Revised by AV, 31-May-2021.) (Proof shortened by AV, 23-Mar-2022.) (Revised by AV, 1-Nov-2022.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
numclwwlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
numclwwlk.q	⊢ 𝑄 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑣)})
numclwwlk.h	⊢ 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})
numclwwlk.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↦ (𝑥 prefix (𝑁 + 1)))

**Assertion**
Ref	Expression
numclwlk2lem2f	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅:(𝑋𝐻(𝑁 + 2))⟶(𝑋𝑄𝑁))

Distinct variable groups: 𝑛,𝐺,𝑣,𝑤 𝑛,𝑁,𝑣,𝑤 𝑛,𝑉,𝑣 𝑛,𝑋,𝑣,𝑤 𝑤,𝑉 𝑥,𝐺,𝑤 𝑥,𝐻 𝑥,𝑁 𝑥,𝑄 𝑥,𝑉 𝑥,𝑋 Allowed substitution hints: 𝑄(𝑤,𝑣,𝑛) 𝑅(𝑥,𝑤,𝑣,𝑛) 𝐻(𝑤,𝑣,𝑛)

**Proof of Theorem numclwlk2lem2f**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12509	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ₀)
2		2z 12624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
4		nn0pzuz 12919	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘2))
5	1, 3, 4	syl2anc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘2))
6	5	anim2i 615	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘2)))
7	6	3adant1 1127	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘2)))
8		numclwwlk.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})
9	8	numclwwlkovh 30239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) = {𝑤 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
10	9	eleq2d 2811	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))}))
11	7, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))}))
12		fveq1 6893	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤‘0) = (𝑥‘0))
13	12	eqeq1d 2727	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ (𝑥‘0) = 𝑋))
14		fveq1 6893	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) = (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)))
15	14, 12	neeq12d 2992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0) ↔ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))
16	13, 15	anbi12d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ↔ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))))
17	16	elrab 3680	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ↔ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))))
18	11, 17	bitrdi 286	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))))
19		peano2nn 12254	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
20		nnz 12609	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
21	20, 3	zaddcld 12700	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ ℤ)
22		uzid 12867	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 + 2) ∈ ℤ → (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 2)))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 2)))
24		nncn 12250	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
25		1cnd 11239	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
26	24, 25, 25	addassd 11266	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
27		1p1e2 12367	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 + 1) = 2
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 + 1) = 2)
29	28	oveq2d 7433	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + (1 + 1)) = (𝑁 + 2))
30	26, 29	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
31	30	fveq2d 6898	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ℤ_≥‘((𝑁 + 1) + 1)) = (ℤ_≥‘(𝑁 + 2)))
32	23, 31	eleqtrrd 2828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 + 1) + 1)))
33	19, 32	jca 510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 + 1) + 1))))
34	33	3ad2ant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 + 1) + 1))))
35	34	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → ((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 + 1) + 1))))
36		simprl 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → 𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺))
37		wwlksubclwwlk 29924	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) → (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (((𝑁 + 1) − 1) WWalksN 𝐺)))
38	35, 36, 37	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (((𝑁 + 1) − 1) WWalksN 𝐺))
39		pncan1 11668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
40	39	eqcomd 2731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 𝑁 = ((𝑁 + 1) − 1))
41	24, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = ((𝑁 + 1) − 1))
42	41	oveq1d 7432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 WWalksN 𝐺) = (((𝑁 + 1) − 1) WWalksN 𝐺))
43	42	eleq2d 2811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (((𝑁 + 1) − 1) WWalksN 𝐺)))
44	43	3ad2ant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (((𝑁 + 1) − 1) WWalksN 𝐺)))
45	44	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (((𝑁 + 1) − 1) WWalksN 𝐺)))
46	38, 45	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
47		numclwwlk.v	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
48	47	clwwlknbp 29901	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = (𝑁 + 2)))
49		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → (𝑥‘0) = 𝑋)
50		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → 𝑥 ∈ Word 𝑉)
51		peano2nn0 12542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ₀)
52	1, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ₀)
53		nnre 12249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
54	53	lep1d 12175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≤ (𝑁 + 1))
55		elfz2nn0 13624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
56	1, 52, 54, 55	syl3anbrc 1340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
57		2cnd 12320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
58		addsubass 11500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 2) − 1) = (𝑁 + (2 − 1)))
59		2m1e1 12368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (2 − 1) = 1
60	59	oveq2i 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 + (2 − 1)) = (𝑁 + 1)
61	58, 60	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 2) − 1) = (𝑁 + 1))
62	24, 57, 25, 61	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 2) − 1) = (𝑁 + 1))
63	62	oveq2d 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0...((𝑁 + 2) − 1)) = (0...(𝑁 + 1)))
64	56, 63	eleqtrrd 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 2) − 1)))
65		elfzp1b 13610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 2) ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 2) − 1)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2))))
66	20, 21, 65	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 2) − 1)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2))))
67	64, 66	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2)))
68	67	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2)))
69		oveq2 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) → (1...(♯‘𝑥)) = (1...(𝑁 + 2)))
70	69	eleq2d 2811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) → ((𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑥)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2))))
71	70	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → ((𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑥)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2))))
72	68, 71	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑥)))
73		pfxfv0 14674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑥))) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = (𝑥‘0))
74	50, 72, 73	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = (𝑥‘0))
75	74	ex 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = (𝑥‘0)))
76	75	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = (𝑥‘0)))
77	76	impcom 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = (𝑥‘0))
78	77	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = (𝑥‘0))
79		simpl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (𝑥‘0) = 𝑋)
80	78, 79	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋)
81		pfxfvlsw 14677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑥))) → (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑥‘((𝑁 + 1) − 1)))
82	50, 72, 81	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑥‘((𝑁 + 1) − 1)))
83	24, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
84	24, 57	pncand 11602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 2) − 2) = 𝑁)
85	83, 84	eqtr4d 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = ((𝑁 + 2) − 2))
86	85	fveq2d 6898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥‘((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)))
87	86	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (𝑥‘((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)))
88	82, 87	eqtr2d 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) = (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))))
89	88	ex 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) = (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1)))))
90	89	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) = (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1)))))
91	90	impcom 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) = (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))))
92	91	neeq1d 2990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0) ↔ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ (𝑥‘0)))
93	92	biimpcd 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0) → ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ (𝑥‘0)))
94	93	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)) → ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ (𝑥‘0)))
95	94	impcom 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ (𝑥‘0))
96	95	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ (𝑥‘0))
97		neeq2 2994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑋 = (𝑥‘0) → ((lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋 ↔ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ (𝑥‘0)))
98	97	eqcoms 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥‘0) = 𝑋 → ((lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋 ↔ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ (𝑥‘0)))
99	98	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → ((lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋 ↔ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ (𝑥‘0)))
100	96, 99	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋)
101	80, 100	jca 510	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋))
102	49, 101	mpancom 686	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋))
103	102	exp31 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)) → (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋))))
104	103	com23 86	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋))))
105	104	ancoms 457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = (𝑁 + 2)) → (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋))))
106	48, 105	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) → (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋))))
107	106	imp 405	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋)))
108	107	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋)))
109	108	3adant1 1127	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋)))
110	109	imp 405	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋))
111	46, 110	jca 510	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋)))
112	111	ex 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋))))
113	18, 112	sylbid 239	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋))))
114	113	imp 405	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋)))
115		3simpc 1147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
116	115	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
117		numclwwlk.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑣)})
118	47, 117	numclwwlkovq 30240	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋𝑄𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋)})
119	116, 118	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑋𝑄𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋)})
120	119	eleq2d 2811	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑋𝑄𝑁) ↔ (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋)}))
121		fveq1 6893	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) → (𝑤‘0) = ((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0))
122	121	eqeq1d 2727	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) → ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ ((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋))
123		fveq2 6894	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) → (lastS‘𝑤) = (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))))
124	123	neeq1d 2990	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) → ((lastS‘𝑤) ≠ 𝑋 ↔ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋))
125	122, 124	anbi12d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋) ↔ (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋)))
126	125	elrab 3680	. . . 4 ⊢ ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋)} ↔ ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋)))
127	120, 126	bitrdi 286	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑋𝑄𝑁) ↔ ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋))))
128	114, 127	mpbird 256	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑋𝑄𝑁))
129		numclwwlk.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↦ (𝑥 prefix (𝑁 + 1)))
130	128, 129	fmptd 7121	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅:(𝑋𝐻(𝑁 + 2))⟶(𝑋𝑄𝑁))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 394 ∧ w3a 1084 = wceq 1533 ∈ wcel 2098 ≠ wne 2930 {crab 3419 class class class wbr 5148 ↦ cmpt 5231 ⟶wf 6543 ‘cfv 6547 (class class class)co 7417 ∈ cmpo 7419 ℂcc 11136 0cc0 11138 1c1 11139 + caddc 11141 ≤ cle 11279 − cmin 11474 ℕcn 12242 2c2 12297 ℕ₀cn0 12502 ℤcz 12588 ℤ_≥cuz 12852 ...cfz 13516 ♯chash 14321 Word cword 14496 lastSclsw 14544 prefix cpfx 14652 Vtxcvtx 28865 WWalksN cwwlksn 29693 ClWWalksN cclwwlkn 29890 ClWWalksNOncclwwlknon 29953 FriendGraph cfrgr 30124

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7739 ax-cnex 11194 ax-resscn 11195 ax-1cn 11196 ax-icn 11197 ax-addcl 11198 ax-addrcl 11199 ax-mulcl 11200 ax-mulrcl 11201 ax-mulcom 11202 ax-addass 11203 ax-mulass 11204 ax-distr 11205 ax-i2m1 11206 ax-1ne0 11207 ax-1rid 11208 ax-rnegex 11209 ax-rrecex 11210 ax-cnre 11211 ax-pre-lttri 11212 ax-pre-lttrn 11213 ax-pre-ltadd 11214 ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3775 df-csb 3891 df-dif 3948 df-un 3950 df-in 3952 df-ss 3962 df-pss 3965 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4909 df-int 4950 df-iun 4998 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5575 df-eprel 5581 df-po 5589 df-so 5590 df-fr 5632 df-we 5634 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-pred 6305 df-ord 6372 df-on 6373 df-lim 6374 df-suc 6375 df-iota 6499 df-fun 6549 df-fn 6550 df-f 6551 df-f1 6552 df-fo 6553 df-f1o 6554 df-fv 6555 df-riota 7373 df-ov 7420 df-oprab 7421 df-mpo 7422 df-om 7870 df-1st 7992 df-2nd 7993 df-frecs 8285 df-wrecs 8316 df-recs 8390 df-rdg 8429 df-1o 8485 df-oadd 8489 df-er 8723 df-map 8845 df-en 8963 df-dom 8964 df-sdom 8965 df-fin 8966 df-card 9962 df-pnf 11280 df-mnf 11281 df-xr 11282 df-ltxr 11283 df-le 11284 df-sub 11476 df-neg 11477 df-nn 12243 df-2 12305 df-n0 12503 df-xnn0 12575 df-z 12589 df-uz 12853 df-fz 13517 df-fzo 13660 df-hash 14322 df-word 14497 df-lsw 14545 df-substr 14623 df-pfx 14653 df-wwlks 29697 df-wwlksn 29698 df-clwwlk 29848 df-clwwlkn 29891 df-clwwlknon 29954

This theorem is referenced by: numclwlk2lem2f1o 30245

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