numclwlk2lem2f - Metamath Proof Explorer

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Theorem numclwlk2lem2f 30306

Description: 𝑅 is a function mapping the "closed (n+2)-walks v(0) ... v(n-2) v(n-1) v(n) v(n+1) v(n+2) starting at 𝑋 = v(0) = v(n+2) with v(n) =/= X" to the words representing the prefix v(0) ... v(n-2) v(n-1) v(n) of the walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.) (Revised by AV, 31-May-2021.) (Proof shortened by AV, 23-Mar-2022.) (Revised by AV, 1-Nov-2022.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
numclwwlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
numclwwlk.q	⊢ 𝑄 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑣)})
numclwwlk.h	⊢ 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})
numclwwlk.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↦ (𝑥 prefix (𝑁 + 1)))

**Assertion**
Ref	Expression
numclwlk2lem2f	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅:(𝑋𝐻(𝑁 + 2))⟶(𝑋𝑄𝑁))

Distinct variable groups: 𝑛,𝐺,𝑣,𝑤 𝑛,𝑁,𝑣,𝑤 𝑛,𝑉,𝑣 𝑛,𝑋,𝑣,𝑤 𝑤,𝑉 𝑥,𝐺,𝑤 𝑥,𝐻 𝑥,𝑁 𝑥,𝑄 𝑥,𝑉 𝑥,𝑋 Allowed substitution hints: 𝑄(𝑤,𝑣,𝑛) 𝑅(𝑥,𝑤,𝑣,𝑛) 𝐻(𝑤,𝑣,𝑛)

**Proof of Theorem numclwlk2lem2f**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ₀)
2		2z 12565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
4		nn0pzuz 12864	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘2))
5	1, 3, 4	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘2))
6	5	anim2i 617	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘2)))
7	6	3adant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘2)))
8		numclwwlk.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})
9	8	numclwwlkovh 30302	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) = {𝑤 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
10	9	eleq2d 2814	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))}))
11	7, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))}))
12		fveq1 6857	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤‘0) = (𝑥‘0))
13	12	eqeq1d 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ (𝑥‘0) = 𝑋))
14		fveq1 6857	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) = (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)))
15	14, 12	neeq12d 2986	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0) ↔ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))
16	13, 15	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ↔ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))))
17	16	elrab 3659	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ↔ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))))
18	11, 17	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))))
19		peano2nn 12198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
20		nnz 12550	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
21	20, 3	zaddcld 12642	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ ℤ)
22		uzid 12808	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 + 2) ∈ ℤ → (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 2)))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 2)))
24		nncn 12194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
25		1cnd 11169	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
26	24, 25, 25	addassd 11196	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
27		1p1e2 12306	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 + 1) = 2
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 + 1) = 2)
29	28	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + (1 + 1)) = (𝑁 + 2))
30	26, 29	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
31	30	fveq2d 6862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ℤ_≥‘((𝑁 + 1) + 1)) = (ℤ_≥‘(𝑁 + 2)))
32	23, 31	eleqtrrd 2831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 + 1) + 1)))
33	19, 32	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 + 1) + 1))))
34	33	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 + 1) + 1))))
35	34	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → ((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 + 1) + 1))))
36		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → 𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺))
37		wwlksubclwwlk 29987	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) → (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (((𝑁 + 1) − 1) WWalksN 𝐺)))
38	35, 36, 37	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (((𝑁 + 1) − 1) WWalksN 𝐺))
39		pncan1 11602	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
40	39	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 𝑁 = ((𝑁 + 1) − 1))
41	24, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = ((𝑁 + 1) − 1))
42	41	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 WWalksN 𝐺) = (((𝑁 + 1) − 1) WWalksN 𝐺))
43	42	eleq2d 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (((𝑁 + 1) − 1) WWalksN 𝐺)))
44	43	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (((𝑁 + 1) − 1) WWalksN 𝐺)))
45	44	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (((𝑁 + 1) − 1) WWalksN 𝐺)))
46	38, 45	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
47		numclwwlk.v	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
48	47	clwwlknbp 29964	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = (𝑁 + 2)))
49		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → (𝑥‘0) = 𝑋)
50		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → 𝑥 ∈ Word 𝑉)
51		peano2nn0 12482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ₀)
52	1, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ₀)
53		nnre 12193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
54	53	lep1d 12114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≤ (𝑁 + 1))
55		elfz2nn0 13579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
56	1, 52, 54, 55	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
57		2cnd 12264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
58		addsubass 11431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 2) − 1) = (𝑁 + (2 − 1)))
59		2m1e1 12307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (2 − 1) = 1
60	59	oveq2i 7398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 + (2 − 1)) = (𝑁 + 1)
61	58, 60	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 2) − 1) = (𝑁 + 1))
62	24, 57, 25, 61	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 2) − 1) = (𝑁 + 1))
63	62	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0...((𝑁 + 2) − 1)) = (0...(𝑁 + 1)))
64	56, 63	eleqtrrd 2831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 2) − 1)))
65		elfzp1b 13562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 2) ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 2) − 1)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2))))
66	20, 21, 65	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 2) − 1)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2))))
67	64, 66	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2)))
68	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2)))
69		oveq2 7395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) → (1...(♯‘𝑥)) = (1...(𝑁 + 2)))
70	69	eleq2d 2814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) → ((𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑥)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2))))
71	70	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → ((𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑥)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2))))
72	68, 71	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑥)))
73		pfxfv0 14657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑥))) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = (𝑥‘0))
74	50, 72, 73	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = (𝑥‘0))
75	74	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = (𝑥‘0)))
76	75	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = (𝑥‘0)))
77	76	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = (𝑥‘0))
78	77	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = (𝑥‘0))
79		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (𝑥‘0) = 𝑋)
80	78, 79	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋)
81		pfxfvlsw 14660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑥))) → (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑥‘((𝑁 + 1) − 1)))
82	50, 72, 81	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑥‘((𝑁 + 1) − 1)))
83	24, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
84	24, 57	pncand 11534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 2) − 2) = 𝑁)
85	83, 84	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = ((𝑁 + 2) − 2))
86	85	fveq2d 6862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥‘((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)))
87	86	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (𝑥‘((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)))
88	82, 87	eqtr2d 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) = (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))))
89	88	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) = (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1)))))
90	89	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) = (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1)))))
91	90	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) = (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))))
92	91	neeq1d 2984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0) ↔ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ (𝑥‘0)))
93	92	biimpcd 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0) → ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ (𝑥‘0)))
94	93	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)) → ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ (𝑥‘0)))
95	94	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ (𝑥‘0))
96	95	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ (𝑥‘0))
97		neeq2 2988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑋 = (𝑥‘0) → ((lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋 ↔ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ (𝑥‘0)))
98	97	eqcoms 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥‘0) = 𝑋 → ((lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋 ↔ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ (𝑥‘0)))
99	98	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → ((lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋 ↔ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ (𝑥‘0)))
100	96, 99	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋)
101	80, 100	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋))
102	49, 101	mpancom 688	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋))
103	102	exp31 419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)) → (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋))))
104	103	com23 86	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋))))
105	104	ancoms 458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = (𝑁 + 2)) → (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋))))
106	48, 105	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) → (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋))))
107	106	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋)))
108	107	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋)))
109	108	3adant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋)))
110	109	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋))
111	46, 110	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋)))
112	111	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋))))
113	18, 112	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋))))
114	113	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋)))
115		3simpc 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
116	115	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
117		numclwwlk.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑣)})
118	47, 117	numclwwlkovq 30303	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋𝑄𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋)})
119	116, 118	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑋𝑄𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋)})
120	119	eleq2d 2814	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑋𝑄𝑁) ↔ (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋)}))
121		fveq1 6857	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) → (𝑤‘0) = ((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0))
122	121	eqeq1d 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) → ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ ((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋))
123		fveq2 6858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) → (lastS‘𝑤) = (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))))
124	123	neeq1d 2984	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) → ((lastS‘𝑤) ≠ 𝑋 ↔ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋))
125	122, 124	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋) ↔ (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋)))
126	125	elrab 3659	. . . 4 ⊢ ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋)} ↔ ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋)))
127	120, 126	bitrdi 287	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑋𝑄𝑁) ↔ ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋))))
128	114, 127	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑋𝑄𝑁))
129		numclwwlk.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↦ (𝑥 prefix (𝑁 + 1)))
130	128, 129	fmptd 7086	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅:(𝑋𝐻(𝑁 + 2))⟶(𝑋𝑄𝑁))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2925 {crab 3405 class class class wbr 5107 ↦ cmpt 5188 ⟶wf 6507 ‘cfv 6511 (class class class)co 7387 ∈ cmpo 7389 ℂcc 11066 0cc0 11068 1c1 11069 + caddc 11071 ≤ cle 11209 − cmin 11405 ℕcn 12186 2c2 12241 ℕ₀cn0 12442 ℤcz 12529 ℤ_≥cuz 12793 ...cfz 13468 ♯chash 14295 Word cword 14478 lastSclsw 14527 prefix cpfx 14635 Vtxcvtx 28923 WWalksN cwwlksn 29756 ClWWalksN cclwwlkn 29953 ClWWalksNOncclwwlknon 30016 FriendGraph cfrgr 30187

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-rep 5234 ax-sep 5251 ax-nul 5261 ax-pow 5320 ax-pr 5387 ax-un 7711 ax-cnex 11124 ax-resscn 11125 ax-1cn 11126 ax-icn 11127 ax-addcl 11128 ax-addrcl 11129 ax-mulcl 11130 ax-mulrcl 11131 ax-mulcom 11132 ax-addass 11133 ax-mulass 11134 ax-distr 11135 ax-i2m1 11136 ax-1ne0 11137 ax-1rid 11138 ax-rnegex 11139 ax-rrecex 11140 ax-cnre 11141 ax-pre-lttri 11142 ax-pre-lttrn 11143 ax-pre-ltadd 11144 ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-reu 3355 df-rab 3406 df-v 3449 df-sbc 3754 df-csb 3863 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3934 df-nul 4297 df-if 4489 df-pw 4565 df-sn 4590 df-pr 4592 df-op 4596 df-uni 4872 df-int 4911 df-iun 4957 df-br 5108 df-opab 5170 df-mpt 5189 df-tr 5215 df-id 5533 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5591 df-we 5593 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6274 df-ord 6335 df-on 6336 df-lim 6337 df-suc 6338 df-iota 6464 df-fun 6513 df-fn 6514 df-f 6515 df-f1 6516 df-fo 6517 df-f1o 6518 df-fv 6519 df-riota 7344 df-ov 7390 df-oprab 7391 df-mpo 7392 df-om 7843 df-1st 7968 df-2nd 7969 df-frecs 8260 df-wrecs 8291 df-recs 8340 df-rdg 8378 df-1o 8434 df-oadd 8438 df-er 8671 df-map 8801 df-en 8919 df-dom 8920 df-sdom 8921 df-fin 8922 df-card 9892 df-pnf 11210 df-mnf 11211 df-xr 11212 df-ltxr 11213 df-le 11214 df-sub 11407 df-neg 11408 df-nn 12187 df-2 12249 df-n0 12443 df-xnn0 12516 df-z 12530 df-uz 12794 df-fz 13469 df-fzo 13616 df-hash 14296 df-word 14479 df-lsw 14528 df-substr 14606 df-pfx 14636 df-wwlks 29760 df-wwlksn 29761 df-clwwlk 29911 df-clwwlkn 29954 df-clwwlknon 30017

This theorem is referenced by: numclwlk2lem2f1o 30308

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