numclwlk2lem2f - Metamath Proof Explorer

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Theorem numclwlk2lem2f 30364

Description: 𝑅 is a function mapping the "closed (n+2)-walks v(0) ... v(n-2) v(n-1) v(n) v(n+1) v(n+2) starting at 𝑋 = v(0) = v(n+2) with v(n) =/= X" to the words representing the prefix v(0) ... v(n-2) v(n-1) v(n) of the walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.) (Revised by AV, 31-May-2021.) (Proof shortened by AV, 23-Mar-2022.) (Revised by AV, 1-Nov-2022.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
numclwwlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
numclwwlk.q	⊢ 𝑄 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑣)})
numclwwlk.h	⊢ 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})
numclwwlk.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↦ (𝑥 prefix (𝑁 + 1)))

**Assertion**
Ref	Expression
numclwlk2lem2f	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅:(𝑋𝐻(𝑁 + 2))⟶(𝑋𝑄𝑁))

Distinct variable groups: 𝑛,𝐺,𝑣,𝑤 𝑛,𝑁,𝑣,𝑤 𝑛,𝑉,𝑣 𝑛,𝑋,𝑣,𝑤 𝑤,𝑉 𝑥,𝐺,𝑤 𝑥,𝐻 𝑥,𝑁 𝑥,𝑄 𝑥,𝑉 𝑥,𝑋 Allowed substitution hints: 𝑄(𝑤,𝑣,𝑛) 𝑅(𝑥,𝑤,𝑣,𝑛) 𝐻(𝑤,𝑣,𝑛)

**Proof of Theorem numclwlk2lem2f**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12394	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ₀)
2		2z 12510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
4		nn0pzuz 12809	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘2))
5	1, 3, 4	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘2))
6	5	anim2i 617	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘2)))
7	6	3adant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘2)))
8		numclwwlk.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})
9	8	numclwwlkovh 30360	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) = {𝑤 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
10	9	eleq2d 2817	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))}))
11	7, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))}))
12		fveq1 6827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤‘0) = (𝑥‘0))
13	12	eqeq1d 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ (𝑥‘0) = 𝑋))
14		fveq1 6827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) = (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)))
15	14, 12	neeq12d 2989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0) ↔ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))
16	13, 15	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ↔ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))))
17	16	elrab 3642	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ↔ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))))
18	11, 17	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))))
19		peano2nn 12143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
20		nnz 12495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
21	20, 3	zaddcld 12587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ ℤ)
22		uzid 12753	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 + 2) ∈ ℤ → (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 2)))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 2)))
24		nncn 12139	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
25		1cnd 11113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
26	24, 25, 25	addassd 11140	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
27		1p1e2 12251	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 + 1) = 2
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 + 1) = 2)
29	28	oveq2d 7368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + (1 + 1)) = (𝑁 + 2))
30	26, 29	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
31	30	fveq2d 6832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ℤ_≥‘((𝑁 + 1) + 1)) = (ℤ_≥‘(𝑁 + 2)))
32	23, 31	eleqtrrd 2834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 + 1) + 1)))
33	19, 32	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 + 1) + 1))))
34	33	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 + 1) + 1))))
35	34	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → ((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 + 1) + 1))))
36		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → 𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺))
37		wwlksubclwwlk 30045	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) → (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (((𝑁 + 1) − 1) WWalksN 𝐺)))
38	35, 36, 37	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (((𝑁 + 1) − 1) WWalksN 𝐺))
39		pncan1 11547	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
40	39	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 𝑁 = ((𝑁 + 1) − 1))
41	24, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = ((𝑁 + 1) − 1))
42	41	oveq1d 7367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 WWalksN 𝐺) = (((𝑁 + 1) − 1) WWalksN 𝐺))
43	42	eleq2d 2817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (((𝑁 + 1) − 1) WWalksN 𝐺)))
44	43	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (((𝑁 + 1) − 1) WWalksN 𝐺)))
45	44	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (((𝑁 + 1) − 1) WWalksN 𝐺)))
46	38, 45	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
47		numclwwlk.v	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
48	47	clwwlknbp 30022	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = (𝑁 + 2)))
49		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → (𝑥‘0) = 𝑋)
50		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → 𝑥 ∈ Word 𝑉)
51		peano2nn0 12427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ₀)
52	1, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ₀)
53		nnre 12138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
54	53	lep1d 12059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≤ (𝑁 + 1))
55		elfz2nn0 13524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
56	1, 52, 54, 55	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
57		2cnd 12209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
58		addsubass 11376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 2) − 1) = (𝑁 + (2 − 1)))
59		2m1e1 12252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (2 − 1) = 1
60	59	oveq2i 7363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 + (2 − 1)) = (𝑁 + 1)
61	58, 60	eqtrdi 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 2) − 1) = (𝑁 + 1))
62	24, 57, 25, 61	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 2) − 1) = (𝑁 + 1))
63	62	oveq2d 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0...((𝑁 + 2) − 1)) = (0...(𝑁 + 1)))
64	56, 63	eleqtrrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 2) − 1)))
65		elfzp1b 13507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 2) ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 2) − 1)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2))))
66	20, 21, 65	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 2) − 1)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2))))
67	64, 66	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2)))
68	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2)))
69		oveq2 7360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) → (1...(♯‘𝑥)) = (1...(𝑁 + 2)))
70	69	eleq2d 2817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) → ((𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑥)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2))))
71	70	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → ((𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑥)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2))))
72	68, 71	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑥)))
73		pfxfv0 14605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑥))) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = (𝑥‘0))
74	50, 72, 73	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = (𝑥‘0))
75	74	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = (𝑥‘0)))
76	75	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = (𝑥‘0)))
77	76	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = (𝑥‘0))
78	77	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = (𝑥‘0))
79		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (𝑥‘0) = 𝑋)
80	78, 79	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋)
81		pfxfvlsw 14608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑥))) → (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑥‘((𝑁 + 1) − 1)))
82	50, 72, 81	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑥‘((𝑁 + 1) − 1)))
83	24, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
84	24, 57	pncand 11479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 2) − 2) = 𝑁)
85	83, 84	eqtr4d 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = ((𝑁 + 2) − 2))
86	85	fveq2d 6832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥‘((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)))
87	86	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (𝑥‘((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)))
88	82, 87	eqtr2d 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) = (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))))
89	88	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) = (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1)))))
90	89	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) = (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1)))))
91	90	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) = (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))))
92	91	neeq1d 2987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0) ↔ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ (𝑥‘0)))
93	92	biimpcd 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0) → ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ (𝑥‘0)))
94	93	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)) → ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ (𝑥‘0)))
95	94	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ (𝑥‘0))
96	95	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ (𝑥‘0))
97		neeq2 2991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑋 = (𝑥‘0) → ((lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋 ↔ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ (𝑥‘0)))
98	97	eqcoms 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥‘0) = 𝑋 → ((lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋 ↔ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ (𝑥‘0)))
99	98	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → ((lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋 ↔ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ (𝑥‘0)))
100	96, 99	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋)
101	80, 100	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋))
102	49, 101	mpancom 688	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋))
103	102	exp31 419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)) → (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋))))
104	103	com23 86	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋))))
105	104	ancoms 458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = (𝑁 + 2)) → (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋))))
106	48, 105	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) → (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋))))
107	106	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋)))
108	107	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋)))
109	108	3adant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋)))
110	109	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋))
111	46, 110	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋)))
112	111	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋))))
113	18, 112	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋))))
114	113	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋)))
115		3simpc 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
116	115	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
117		numclwwlk.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑣)})
118	47, 117	numclwwlkovq 30361	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋𝑄𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋)})
119	116, 118	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑋𝑄𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋)})
120	119	eleq2d 2817	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑋𝑄𝑁) ↔ (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋)}))
121		fveq1 6827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) → (𝑤‘0) = ((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0))
122	121	eqeq1d 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) → ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ ((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋))
123		fveq2 6828	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) → (lastS‘𝑤) = (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))))
124	123	neeq1d 2987	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) → ((lastS‘𝑤) ≠ 𝑋 ↔ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋))
125	122, 124	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋) ↔ (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋)))
126	125	elrab 3642	. . . 4 ⊢ ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋)} ↔ ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋)))
127	120, 126	bitrdi 287	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑋𝑄𝑁) ↔ ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋))))
128	114, 127	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑋𝑄𝑁))
129		numclwwlk.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↦ (𝑥 prefix (𝑁 + 1)))
130	128, 129	fmptd 7053	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅:(𝑋𝐻(𝑁 + 2))⟶(𝑋𝑄𝑁))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1541 ∈ wcel 2111 ≠ wne 2928 {crab 3395 class class class wbr 5093 ↦ cmpt 5174 ⟶wf 6483 ‘cfv 6487 (class class class)co 7352 ∈ cmpo 7354 ℂcc 11010 0cc0 11012 1c1 11013 + caddc 11015 ≤ cle 11153 − cmin 11350 ℕcn 12131 2c2 12186 ℕ₀cn0 12387 ℤcz 12474 ℤ_≥cuz 12738 ...cfz 13413 ♯chash 14243 Word cword 14426 lastSclsw 14475 prefix cpfx 14584 Vtxcvtx 28981 WWalksN cwwlksn 29811 ClWWalksN cclwwlkn 30011 ClWWalksNOncclwwlknon 30074 FriendGraph cfrgr 30245

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2113 ax-9 2121 ax-10 2144 ax-11 2160 ax-12 2180 ax-ext 2703 ax-rep 5219 ax-sep 5236 ax-nul 5246 ax-pow 5305 ax-pr 5372 ax-un 7674 ax-cnex 11068 ax-resscn 11069 ax-1cn 11070 ax-icn 11071 ax-addcl 11072 ax-addrcl 11073 ax-mulcl 11074 ax-mulrcl 11075 ax-mulcom 11076 ax-addass 11077 ax-mulass 11078 ax-distr 11079 ax-i2m1 11080 ax-1ne0 11081 ax-1rid 11082 ax-rnegex 11083 ax-rrecex 11084 ax-cnre 11085 ax-pre-lttri 11086 ax-pre-lttrn 11087 ax-pre-ltadd 11088 ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2710 df-cleq 2723 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2929 df-nel 3033 df-ral 3048 df-rex 3057 df-reu 3347 df-rab 3396 df-v 3438 df-sbc 3737 df-csb 3846 df-dif 3900 df-un 3902 df-in 3904 df-ss 3914 df-pss 3917 df-nul 4283 df-if 4475 df-pw 4551 df-sn 4576 df-pr 4578 df-op 4582 df-uni 4859 df-int 4898 df-iun 4943 df-br 5094 df-opab 5156 df-mpt 5175 df-tr 5201 df-id 5514 df-eprel 5519 df-po 5527 df-so 5528 df-fr 5572 df-we 5574 df-xp 5625 df-rel 5626 df-cnv 5627 df-co 5628 df-dm 5629 df-rn 5630 df-res 5631 df-ima 5632 df-pred 6254 df-ord 6315 df-on 6316 df-lim 6317 df-suc 6318 df-iota 6443 df-fun 6489 df-fn 6490 df-f 6491 df-f1 6492 df-fo 6493 df-f1o 6494 df-fv 6495 df-riota 7309 df-ov 7355 df-oprab 7356 df-mpo 7357 df-om 7803 df-1st 7927 df-2nd 7928 df-frecs 8217 df-wrecs 8248 df-recs 8297 df-rdg 8335 df-1o 8391 df-oadd 8395 df-er 8628 df-map 8758 df-en 8876 df-dom 8877 df-sdom 8878 df-fin 8879 df-card 9838 df-pnf 11154 df-mnf 11155 df-xr 11156 df-ltxr 11157 df-le 11158 df-sub 11352 df-neg 11353 df-nn 12132 df-2 12194 df-n0 12388 df-xnn0 12461 df-z 12475 df-uz 12739 df-fz 13414 df-fzo 13561 df-hash 14244 df-word 14427 df-lsw 14476 df-substr 14555 df-pfx 14585 df-wwlks 29815 df-wwlksn 29816 df-clwwlk 29969 df-clwwlkn 30012 df-clwwlknon 30075

This theorem is referenced by: numclwlk2lem2f1o 30366

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