MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numclwlk2lem2f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numclwlk2lem2f 30406
Description: 𝑅 is a function mapping the "closed (n+2)-walks v(0) ... v(n-2) v(n-1) v(n) v(n+1) v(n+2) starting at 𝑋 = v(0) = v(n+2) with v(n) =/= X" to the words representing the prefix v(0) ... v(n-2) v(n-1) v(n) of the walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.) (Revised by AV, 31-May-2021.) (Proof shortened by AV, 23-Mar-2022.) (Revised by AV, 1-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
numclwwlk.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
numclwwlk.q 𝑄 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑣)})
numclwwlk.h 𝐻 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})
numclwwlk.r 𝑅 = (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↦ (𝑥 prefix (𝑁 + 1)))
Assertion
Ref Expression
numclwlk2lem2f ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅:(𝑋𝐻(𝑁 + 2))⟶(𝑋𝑄𝑁))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤,𝑉   𝑥,𝐺,𝑤   𝑥,𝐻   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑤,𝑣,𝑛)   𝑅(𝑥,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐻(𝑤,𝑣,𝑛)

Proof of Theorem numclwlk2lem2f
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12531 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 2z 12647 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
32a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
4 nn0pzuz 12945 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑁 + 2) ∈ (ℤ‘2))
51, 3, 4syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ (ℤ‘2))
65anim2i 617 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋𝑉 ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ‘2)))
763adant1 1129 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋𝑉 ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ‘2)))
8 numclwwlk.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})
98numclwwlkovh 30402 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) = {𝑤 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
109eleq2d 2825 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))}))
117, 10syl 17 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))}))
12 fveq1 6906 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤‘0) = (𝑥‘0))
1312eqeq1d 2737 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ (𝑥‘0) = 𝑋))
14 fveq1 6906 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) = (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)))
1514, 12neeq12d 3000 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0) ↔ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))
1613, 15anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ↔ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))))
1716elrab 3695 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ↔ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))))
1811, 17bitrdi 287 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))))
19 peano2nn 12276 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
20 nnz 12632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
2120, 3zaddcld 12724 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ ℤ)
22 uzid 12891 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 + 2) ∈ ℤ → (𝑁 + 2) ∈ (ℤ‘(𝑁 + 2)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ (ℤ‘(𝑁 + 2)))
24 nncn 12272 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
25 1cnd 11254 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
2624, 25, 25addassd 11281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
27 1p1e2 12389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 + 1) = 2
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (1 + 1) = 2)
2928oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + (1 + 1)) = (𝑁 + 2))
3026, 29eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
3130fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (ℤ‘((𝑁 + 1) + 1)) = (ℤ‘(𝑁 + 2)))
3223, 31eleqtrrd 2842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ (ℤ‘((𝑁 + 1) + 1)))
3319, 32jca 511 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ‘((𝑁 + 1) + 1))))
34333ad2ant3 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ‘((𝑁 + 1) + 1))))
3534adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → ((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ‘((𝑁 + 1) + 1))))
36 simprl 771 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → 𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺))
37 wwlksubclwwlk 30087 . . . . . . . . 9 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ‘((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) → (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (((𝑁 + 1) − 1) WWalksN 𝐺)))
3835, 36, 37sylc 65 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (((𝑁 + 1) − 1) WWalksN 𝐺))
39 pncan1 11685 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
4039eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℂ → 𝑁 = ((𝑁 + 1) − 1))
4124, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = ((𝑁 + 1) − 1))
4241oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 WWalksN 𝐺) = (((𝑁 + 1) − 1) WWalksN 𝐺))
4342eleq2d 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (((𝑁 + 1) − 1) WWalksN 𝐺)))
44433ad2ant3 1134 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (((𝑁 + 1) − 1) WWalksN 𝐺)))
4544adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (((𝑁 + 1) − 1) WWalksN 𝐺)))
4638, 45mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
47 numclwwlk.v . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4847clwwlknbp 30064 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = (𝑁 + 2)))
49 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → (𝑥‘0) = 𝑋)
50 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → 𝑥 ∈ Word 𝑉)
51 peano2nn0 12564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
521, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
53 nnre 12271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
5453lep1d 12197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≤ (𝑁 + 1))
55 elfz2nn0 13655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
561, 52, 54, 55syl3anbrc 1342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
57 2cnd 12342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
58 addsubass 11516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 2) − 1) = (𝑁 + (2 − 1)))
59 2m1e1 12390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (2 − 1) = 1
6059oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑁 + (2 − 1)) = (𝑁 + 1)
6158, 60eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 2) − 1) = (𝑁 + 1))
6224, 57, 25, 61syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 2) − 1) = (𝑁 + 1))
6362oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℕ → (0...((𝑁 + 2) − 1)) = (0...(𝑁 + 1)))
6456, 63eleqtrrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 2) − 1)))
65 elfzp1b 13638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 2) ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 2) − 1)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2))))
6620, 21, 65syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 2) − 1)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2))))
6764, 66mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2)))
6867adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2)))
69 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) → (1...(♯‘𝑥)) = (1...(𝑁 + 2)))
7069eleq2d 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) → ((𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑥)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2))))
7170ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → ((𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑥)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2))))
7268, 71mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑥)))
73 pfxfv0 14727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑥))) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = (𝑥‘0))
7450, 72, 73syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = (𝑥‘0))
7574ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ → (((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = (𝑥‘0)))
7675adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = (𝑥‘0)))
7776impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = (𝑥‘0))
7877ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = (𝑥‘0))
79 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (𝑥‘0) = 𝑋)
8078, 79eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋)
81 pfxfvlsw 14730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑥))) → (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑥‘((𝑁 + 1) − 1)))
8250, 72, 81syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑥‘((𝑁 + 1) − 1)))
8324, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
8424, 57pncand 11619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 2) − 2) = 𝑁)
8583, 84eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = ((𝑁 + 2) − 2))
8685fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥‘((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)))
8786adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (𝑥‘((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)))
8882, 87eqtr2d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) = (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))))
8988ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → (((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) = (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1)))))
9089adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) = (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1)))))
9190impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) = (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))))
9291neeq1d 2998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0) ↔ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ (𝑥‘0)))
9392biimpcd 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0) → ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ (𝑥‘0)))
9493adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)) → ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ (𝑥‘0)))
9594impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ (𝑥‘0))
9695adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ (𝑥‘0))
97 neeq2 3002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋 = (𝑥‘0) → ((lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋 ↔ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ (𝑥‘0)))
9897eqcoms 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥‘0) = 𝑋 → ((lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋 ↔ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ (𝑥‘0)))
9998adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → ((lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋 ↔ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ (𝑥‘0)))
10096, 99mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋)
10180, 100jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋))
10249, 101mpancom 688 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋))
103102exp31 419 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)) → (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋))))
104103com23 86 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋))))
105104ancoms 458 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = (𝑁 + 2)) → (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋))))
10648, 105syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) → (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋))))
107106imp 406 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋)))
108107com12 32 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋)))
1091083adant1 1129 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋)))
110109imp 406 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋))
11146, 110jca 511 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋)))
112111ex 412 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋))))
11318, 112sylbid 240 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋))))
114113imp 406 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋)))
115 3simpc 1149 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ))
116115adantr 480 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ))
117 numclwwlk.q . . . . . . 7 𝑄 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑣)})
11847, 117numclwwlkovq 30403 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋𝑄𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋)})
119116, 118syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑋𝑄𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋)})
120119eleq2d 2825 . . . 4 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑋𝑄𝑁) ↔ (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋)}))
121 fveq1 6906 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) → (𝑤‘0) = ((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0))
122121eqeq1d 2737 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) → ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ ((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋))
123 fveq2 6907 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) → (lastS‘𝑤) = (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))))
124123neeq1d 2998 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) → ((lastS‘𝑤) ≠ 𝑋 ↔ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋))
125122, 124anbi12d 632 . . . . 5 (𝑤 = (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋) ↔ (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋)))
126125elrab 3695 . . . 4 ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋)} ↔ ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋)))
127120, 126bitrdi 287 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑋𝑄𝑁) ↔ ((𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (((𝑥 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 prefix (𝑁 + 1))) ≠ 𝑋))))
128114, 127mpbird 257 . 2 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑋𝑄𝑁))
129 numclwwlk.r . 2 𝑅 = (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↦ (𝑥 prefix (𝑁 + 1)))
130128, 129fmptd 7134 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅:(𝑋𝐻(𝑁 + 2))⟶(𝑋𝑄𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  {crab 3433   class class class wbr 5148  cmpt 5231  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  cle 11294  cmin 11490  cn 12264  2c2 12319  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544  chash 14366  Word cword 14549  lastSclsw 14597   prefix cpfx 14705  Vtxcvtx 29028   WWalksN cwwlksn 29856   ClWWalksN cclwwlkn 30053  ClWWalksNOncclwwlknon 30116   FriendGraph cfrgr 30287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-lsw 14598  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-wwlks 29860  df-wwlksn 29861  df-clwwlk 30011  df-clwwlkn 30054  df-clwwlknon 30117
This theorem is referenced by:  numclwlk2lem2f1o  30408
  Copyright terms: Public domain W3C validator