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Theorem numclwlk2lem2f 29619
Description: 𝑅 is a function mapping the "closed (n+2)-walks v(0) ... v(n-2) v(n-1) v(n) v(n+1) v(n+2) starting at 𝑋 = v(0) = v(n+2) with v(n) =/= X" to the words representing the prefix v(0) ... v(n-2) v(n-1) v(n) of the walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.) (Revised by AV, 31-May-2021.) (Proof shortened by AV, 23-Mar-2022.) (Revised by AV, 1-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
numclwwlk.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
numclwwlk.q 𝑄 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ β„• ↦ {𝑀 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ ((π‘€β€˜0) = 𝑣 ∧ (lastSβ€˜π‘€) β‰  𝑣)})
numclwwlk.h 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↦ {𝑀 ∈ (𝑣(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑛) ∣ (π‘€β€˜(𝑛 βˆ’ 2)) β‰  𝑣})
numclwwlk.r 𝑅 = (π‘₯ ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↦ (π‘₯ prefix (𝑁 + 1)))
Assertion
Ref Expression
numclwlk2lem2f ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑅:(𝑋𝐻(𝑁 + 2))⟢(𝑋𝑄𝑁))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑀   𝑛,𝑁,𝑣,𝑀   𝑛,𝑉,𝑣   𝑛,𝑋,𝑣,𝑀   𝑀,𝑉   π‘₯,𝐺,𝑀   π‘₯,𝐻   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝑄   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑀,𝑣,𝑛)   𝑅(π‘₯,𝑀,𝑣,𝑛)   𝐻(𝑀,𝑣,𝑛)

Proof of Theorem numclwlk2lem2f
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12475 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 2z 12590 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ β„€
32a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„€)
4 nn0pzuz 12885 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 2 ∈ β„€) β†’ (𝑁 + 2) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
51, 3, 4syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 + 2) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
65anim2i 617 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 + 2) ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
763adant1 1130 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 + 2) ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
8 numclwwlk.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↦ {𝑀 ∈ (𝑣(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑛) ∣ (π‘€β€˜(𝑛 βˆ’ 2)) β‰  𝑣})
98numclwwlkovh 29615 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 + 2) ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) = {𝑀 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ ((π‘€β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘€β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)) β‰  (π‘€β€˜0))})
109eleq2d 2819 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 + 2) ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ ((π‘€β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘€β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)) β‰  (π‘€β€˜0))}))
117, 10syl 17 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ ((π‘€β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘€β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)) β‰  (π‘€β€˜0))}))
12 fveq1 6887 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘₯ β†’ (π‘€β€˜0) = (π‘₯β€˜0))
1312eqeq1d 2734 . . . . . . . 8 (𝑀 = π‘₯ β†’ ((π‘€β€˜0) = 𝑋 ↔ (π‘₯β€˜0) = 𝑋))
14 fveq1 6887 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘₯ β†’ (π‘€β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)) = (π‘₯β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)))
1514, 12neeq12d 3002 . . . . . . . 8 (𝑀 = π‘₯ β†’ ((π‘€β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)) β‰  (π‘€β€˜0) ↔ (π‘₯β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)) β‰  (π‘₯β€˜0)))
1613, 15anbi12d 631 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘₯ β†’ (((π‘€β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘€β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)) β‰  (π‘€β€˜0)) ↔ ((π‘₯β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘₯β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)) β‰  (π‘₯β€˜0))))
1716elrab 3682 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ ((π‘€β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘€β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)) β‰  (π‘€β€˜0))} ↔ (π‘₯ ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((π‘₯β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘₯β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)) β‰  (π‘₯β€˜0))))
1811, 17bitrdi 286 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ (π‘₯ ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((π‘₯β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘₯β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)) β‰  (π‘₯β€˜0)))))
19 peano2nn 12220 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•)
20 nnz 12575 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„€)
2120, 3zaddcld 12666 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 + 2) ∈ β„€)
22 uzid 12833 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 + 2) ∈ β„€ β†’ (𝑁 + 2) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 2)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 + 2) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 2)))
24 nncn 12216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
25 1cnd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„‚)
2624, 25, 25addassd 11232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
27 1p1e2 12333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 + 1) = 2
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ β„• β†’ (1 + 1) = 2)
2928oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 + (1 + 1)) = (𝑁 + 2))
3026, 29eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
3130fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„• β†’ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 + 1) + 1)) = (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 2)))
3223, 31eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 + 2) ∈ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 + 1) + 1)))
3319, 32jca 512 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 + 1) ∈ β„• ∧ (𝑁 + 2) ∈ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 + 1) + 1))))
34333ad2ant3 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝑁 + 1) ∈ β„• ∧ (𝑁 + 2) ∈ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 + 1) + 1))))
3534adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (π‘₯ ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((π‘₯β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘₯β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)) β‰  (π‘₯β€˜0)))) β†’ ((𝑁 + 1) ∈ β„• ∧ (𝑁 + 2) ∈ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 + 1) + 1))))
36 simprl 769 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (π‘₯ ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((π‘₯β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘₯β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)) β‰  (π‘₯β€˜0)))) β†’ π‘₯ ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺))
37 wwlksubclwwlk 29300 . . . . . . . . 9 (((𝑁 + 1) ∈ β„• ∧ (𝑁 + 2) ∈ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 + 1) + 1))) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) β†’ (π‘₯ prefix (𝑁 + 1)) ∈ (((𝑁 + 1) βˆ’ 1) WWalksN 𝐺)))
3835, 36, 37sylc 65 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (π‘₯ ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((π‘₯β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘₯β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)) β‰  (π‘₯β€˜0)))) β†’ (π‘₯ prefix (𝑁 + 1)) ∈ (((𝑁 + 1) βˆ’ 1) WWalksN 𝐺))
39 pncan1 11634 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„‚ β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
4039eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„‚ β†’ 𝑁 = ((𝑁 + 1) βˆ’ 1))
4124, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 = ((𝑁 + 1) βˆ’ 1))
4241oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 WWalksN 𝐺) = (((𝑁 + 1) βˆ’ 1) WWalksN 𝐺))
4342eleq2d 2819 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((π‘₯ prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (π‘₯ prefix (𝑁 + 1)) ∈ (((𝑁 + 1) βˆ’ 1) WWalksN 𝐺)))
44433ad2ant3 1135 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (π‘₯ prefix (𝑁 + 1)) ∈ (((𝑁 + 1) βˆ’ 1) WWalksN 𝐺)))
4544adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (π‘₯ ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((π‘₯β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘₯β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)) β‰  (π‘₯β€˜0)))) β†’ ((π‘₯ prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (π‘₯ prefix (𝑁 + 1)) ∈ (((𝑁 + 1) βˆ’ 1) WWalksN 𝐺)))
4638, 45mpbird 256 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (π‘₯ ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((π‘₯β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘₯β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)) β‰  (π‘₯β€˜0)))) β†’ (π‘₯ prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
47 numclwwlk.v . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
4847clwwlknbp 29277 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) β†’ (π‘₯ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘₯) = (𝑁 + 2)))
49 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((β™―β€˜π‘₯) = (𝑁 + 2) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) ∧ ((π‘₯β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘₯β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)) β‰  (π‘₯β€˜0))) β†’ (π‘₯β€˜0) = 𝑋)
50 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((β™―β€˜π‘₯) = (𝑁 + 2) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝑉)) β†’ π‘₯ ∈ Word 𝑉)
51 peano2nn0 12508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
521, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
53 nnre 12215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
5453lep1d 12141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ≀ (𝑁 + 1))
55 elfz2nn0 13588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (𝑁 + 1)))
561, 52, 54, 55syl3anbrc 1343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
57 2cnd 12286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„‚)
58 addsubass 11466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑁 + 2) βˆ’ 1) = (𝑁 + (2 βˆ’ 1)))
59 2m1e1 12334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (2 βˆ’ 1) = 1
6059oveq2i 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑁 + (2 βˆ’ 1)) = (𝑁 + 1)
6158, 60eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑁 + 2) βˆ’ 1) = (𝑁 + 1))
6224, 57, 25, 61syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 + 2) βˆ’ 1) = (𝑁 + 1))
6362oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ β„• β†’ (0...((𝑁 + 2) βˆ’ 1)) = (0...(𝑁 + 1)))
6456, 63eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 2) βˆ’ 1)))
65 elfzp1b 13574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑁 + 2) ∈ β„€) β†’ (𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 2) βˆ’ 1)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2))))
6620, 21, 65syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 2) βˆ’ 1)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2))))
6764, 66mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2)))
6867adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((β™―β€˜π‘₯) = (𝑁 + 2) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝑉)) β†’ (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2)))
69 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((β™―β€˜π‘₯) = (𝑁 + 2) β†’ (1...(β™―β€˜π‘₯)) = (1...(𝑁 + 2)))
7069eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((β™―β€˜π‘₯) = (𝑁 + 2) β†’ ((𝑁 + 1) ∈ (1...(β™―β€˜π‘₯)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2))))
7170ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((β™―β€˜π‘₯) = (𝑁 + 2) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝑉)) β†’ ((𝑁 + 1) ∈ (1...(β™―β€˜π‘₯)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2))))
7268, 71mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((β™―β€˜π‘₯) = (𝑁 + 2) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝑉)) β†’ (𝑁 + 1) ∈ (1...(β™―β€˜π‘₯)))
73 pfxfv0 14638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘₯ ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(β™―β€˜π‘₯))) β†’ ((π‘₯ prefix (𝑁 + 1))β€˜0) = (π‘₯β€˜0))
7450, 72, 73syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((β™―β€˜π‘₯) = (𝑁 + 2) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝑉)) β†’ ((π‘₯ prefix (𝑁 + 1))β€˜0) = (π‘₯β€˜0))
7574ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((β™―β€˜π‘₯) = (𝑁 + 2) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝑉) β†’ ((π‘₯ prefix (𝑁 + 1))β€˜0) = (π‘₯β€˜0)))
7675adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((β™―β€˜π‘₯) = (𝑁 + 2) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝑉) β†’ ((π‘₯ prefix (𝑁 + 1))β€˜0) = (π‘₯β€˜0)))
7776impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((β™―β€˜π‘₯) = (𝑁 + 2) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ ((π‘₯ prefix (𝑁 + 1))β€˜0) = (π‘₯β€˜0))
7877ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘₯β€˜0) = 𝑋 ∧ ((((β™―β€˜π‘₯) = (𝑁 + 2) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) ∧ ((π‘₯β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘₯β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)) β‰  (π‘₯β€˜0)))) β†’ ((π‘₯ prefix (𝑁 + 1))β€˜0) = (π‘₯β€˜0))
79 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘₯β€˜0) = 𝑋 ∧ ((((β™―β€˜π‘₯) = (𝑁 + 2) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) ∧ ((π‘₯β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘₯β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)) β‰  (π‘₯β€˜0)))) β†’ (π‘₯β€˜0) = 𝑋)
8078, 79eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯β€˜0) = 𝑋 ∧ ((((β™―β€˜π‘₯) = (𝑁 + 2) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) ∧ ((π‘₯β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘₯β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)) β‰  (π‘₯β€˜0)))) β†’ ((π‘₯ prefix (𝑁 + 1))β€˜0) = 𝑋)
81 pfxfvlsw 14641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((π‘₯ ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(β™―β€˜π‘₯))) β†’ (lastSβ€˜(π‘₯ prefix (𝑁 + 1))) = (π‘₯β€˜((𝑁 + 1) βˆ’ 1)))
8250, 72, 81syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((β™―β€˜π‘₯) = (𝑁 + 2) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝑉)) β†’ (lastSβ€˜(π‘₯ prefix (𝑁 + 1))) = (π‘₯β€˜((𝑁 + 1) βˆ’ 1)))
8324, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
8424, 57pncand 11568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 + 2) βˆ’ 2) = 𝑁)
8583, 84eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = ((𝑁 + 2) βˆ’ 2))
8685fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘₯β€˜((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) = (π‘₯β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)))
8786adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((β™―β€˜π‘₯) = (𝑁 + 2) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝑉)) β†’ (π‘₯β€˜((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) = (π‘₯β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)))
8882, 87eqtr2d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((β™―β€˜π‘₯) = (𝑁 + 2) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝑉)) β†’ (π‘₯β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)) = (lastSβ€˜(π‘₯ prefix (𝑁 + 1))))
8988ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((β™―β€˜π‘₯) = (𝑁 + 2) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝑉) β†’ (π‘₯β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)) = (lastSβ€˜(π‘₯ prefix (𝑁 + 1)))))
9089adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((β™―β€˜π‘₯) = (𝑁 + 2) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝑉) β†’ (π‘₯β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)) = (lastSβ€˜(π‘₯ prefix (𝑁 + 1)))))
9190impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((β™―β€˜π‘₯) = (𝑁 + 2) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ (π‘₯β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)) = (lastSβ€˜(π‘₯ prefix (𝑁 + 1))))
9291neeq1d 3000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((β™―β€˜π‘₯) = (𝑁 + 2) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ ((π‘₯β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)) β‰  (π‘₯β€˜0) ↔ (lastSβ€˜(π‘₯ prefix (𝑁 + 1))) β‰  (π‘₯β€˜0)))
9392biimpcd 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)) β‰  (π‘₯β€˜0) β†’ ((((β™―β€˜π‘₯) = (𝑁 + 2) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ (lastSβ€˜(π‘₯ prefix (𝑁 + 1))) β‰  (π‘₯β€˜0)))
9493adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘₯β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘₯β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)) β‰  (π‘₯β€˜0)) β†’ ((((β™―β€˜π‘₯) = (𝑁 + 2) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ (lastSβ€˜(π‘₯ prefix (𝑁 + 1))) β‰  (π‘₯β€˜0)))
9594impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((β™―β€˜π‘₯) = (𝑁 + 2) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) ∧ ((π‘₯β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘₯β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)) β‰  (π‘₯β€˜0))) β†’ (lastSβ€˜(π‘₯ prefix (𝑁 + 1))) β‰  (π‘₯β€˜0))
9695adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘₯β€˜0) = 𝑋 ∧ ((((β™―β€˜π‘₯) = (𝑁 + 2) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) ∧ ((π‘₯β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘₯β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)) β‰  (π‘₯β€˜0)))) β†’ (lastSβ€˜(π‘₯ prefix (𝑁 + 1))) β‰  (π‘₯β€˜0))
97 neeq2 3004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋 = (π‘₯β€˜0) β†’ ((lastSβ€˜(π‘₯ prefix (𝑁 + 1))) β‰  𝑋 ↔ (lastSβ€˜(π‘₯ prefix (𝑁 + 1))) β‰  (π‘₯β€˜0)))
9897eqcoms 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯β€˜0) = 𝑋 β†’ ((lastSβ€˜(π‘₯ prefix (𝑁 + 1))) β‰  𝑋 ↔ (lastSβ€˜(π‘₯ prefix (𝑁 + 1))) β‰  (π‘₯β€˜0)))
9998adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘₯β€˜0) = 𝑋 ∧ ((((β™―β€˜π‘₯) = (𝑁 + 2) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) ∧ ((π‘₯β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘₯β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)) β‰  (π‘₯β€˜0)))) β†’ ((lastSβ€˜(π‘₯ prefix (𝑁 + 1))) β‰  𝑋 ↔ (lastSβ€˜(π‘₯ prefix (𝑁 + 1))) β‰  (π‘₯β€˜0)))
10096, 99mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯β€˜0) = 𝑋 ∧ ((((β™―β€˜π‘₯) = (𝑁 + 2) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) ∧ ((π‘₯β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘₯β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)) β‰  (π‘₯β€˜0)))) β†’ (lastSβ€˜(π‘₯ prefix (𝑁 + 1))) β‰  𝑋)
10180, 100jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘₯β€˜0) = 𝑋 ∧ ((((β™―β€˜π‘₯) = (𝑁 + 2) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) ∧ ((π‘₯β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘₯β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)) β‰  (π‘₯β€˜0)))) β†’ (((π‘₯ prefix (𝑁 + 1))β€˜0) = 𝑋 ∧ (lastSβ€˜(π‘₯ prefix (𝑁 + 1))) β‰  𝑋))
10249, 101mpancom 686 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((β™―β€˜π‘₯) = (𝑁 + 2) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) ∧ ((π‘₯β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘₯β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)) β‰  (π‘₯β€˜0))) β†’ (((π‘₯ prefix (𝑁 + 1))β€˜0) = 𝑋 ∧ (lastSβ€˜(π‘₯ prefix (𝑁 + 1))) β‰  𝑋))
103102exp31 420 . . . . . . . . . . . . . 14 (((β™―β€˜π‘₯) = (𝑁 + 2) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝑉) β†’ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((π‘₯β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘₯β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)) β‰  (π‘₯β€˜0)) β†’ (((π‘₯ prefix (𝑁 + 1))β€˜0) = 𝑋 ∧ (lastSβ€˜(π‘₯ prefix (𝑁 + 1))) β‰  𝑋))))
104103com23 86 . . . . . . . . . . . . 13 (((β™―β€˜π‘₯) = (𝑁 + 2) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝑉) β†’ (((π‘₯β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘₯β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)) β‰  (π‘₯β€˜0)) β†’ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((π‘₯ prefix (𝑁 + 1))β€˜0) = 𝑋 ∧ (lastSβ€˜(π‘₯ prefix (𝑁 + 1))) β‰  𝑋))))
105104ancoms 459 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘₯) = (𝑁 + 2)) β†’ (((π‘₯β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘₯β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)) β‰  (π‘₯β€˜0)) β†’ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((π‘₯ prefix (𝑁 + 1))β€˜0) = 𝑋 ∧ (lastSβ€˜(π‘₯ prefix (𝑁 + 1))) β‰  𝑋))))
10648, 105syl 17 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) β†’ (((π‘₯β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘₯β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)) β‰  (π‘₯β€˜0)) β†’ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((π‘₯ prefix (𝑁 + 1))β€˜0) = 𝑋 ∧ (lastSβ€˜(π‘₯ prefix (𝑁 + 1))) β‰  𝑋))))
107106imp 407 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((π‘₯β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘₯β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)) β‰  (π‘₯β€˜0))) β†’ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((π‘₯ prefix (𝑁 + 1))β€˜0) = 𝑋 ∧ (lastSβ€˜(π‘₯ prefix (𝑁 + 1))) β‰  𝑋)))
108107com12 32 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((π‘₯β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘₯β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)) β‰  (π‘₯β€˜0))) β†’ (((π‘₯ prefix (𝑁 + 1))β€˜0) = 𝑋 ∧ (lastSβ€˜(π‘₯ prefix (𝑁 + 1))) β‰  𝑋)))
1091083adant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((π‘₯β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘₯β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)) β‰  (π‘₯β€˜0))) β†’ (((π‘₯ prefix (𝑁 + 1))β€˜0) = 𝑋 ∧ (lastSβ€˜(π‘₯ prefix (𝑁 + 1))) β‰  𝑋)))
110109imp 407 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (π‘₯ ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((π‘₯β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘₯β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)) β‰  (π‘₯β€˜0)))) β†’ (((π‘₯ prefix (𝑁 + 1))β€˜0) = 𝑋 ∧ (lastSβ€˜(π‘₯ prefix (𝑁 + 1))) β‰  𝑋))
11146, 110jca 512 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (π‘₯ ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((π‘₯β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘₯β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)) β‰  (π‘₯β€˜0)))) β†’ ((π‘₯ prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (((π‘₯ prefix (𝑁 + 1))β€˜0) = 𝑋 ∧ (lastSβ€˜(π‘₯ prefix (𝑁 + 1))) β‰  𝑋)))
112111ex 413 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((π‘₯β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘₯β€˜((𝑁 + 2) βˆ’ 2)) β‰  (π‘₯β€˜0))) β†’ ((π‘₯ prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (((π‘₯ prefix (𝑁 + 1))β€˜0) = 𝑋 ∧ (lastSβ€˜(π‘₯ prefix (𝑁 + 1))) β‰  𝑋))))
11318, 112sylbid 239 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) β†’ ((π‘₯ prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (((π‘₯ prefix (𝑁 + 1))β€˜0) = 𝑋 ∧ (lastSβ€˜(π‘₯ prefix (𝑁 + 1))) β‰  𝑋))))
114113imp 407 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) β†’ ((π‘₯ prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (((π‘₯ prefix (𝑁 + 1))β€˜0) = 𝑋 ∧ (lastSβ€˜(π‘₯ prefix (𝑁 + 1))) β‰  𝑋)))
115 3simpc 1150 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•))
116115adantr 481 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) β†’ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•))
117 numclwwlk.q . . . . . . 7 𝑄 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ β„• ↦ {𝑀 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ ((π‘€β€˜0) = 𝑣 ∧ (lastSβ€˜π‘€) β‰  𝑣)})
11847, 117numclwwlkovq 29616 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑋𝑄𝑁) = {𝑀 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((π‘€β€˜0) = 𝑋 ∧ (lastSβ€˜π‘€) β‰  𝑋)})
119116, 118syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) β†’ (𝑋𝑄𝑁) = {𝑀 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((π‘€β€˜0) = 𝑋 ∧ (lastSβ€˜π‘€) β‰  𝑋)})
120119eleq2d 2819 . . . 4 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) β†’ ((π‘₯ prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑋𝑄𝑁) ↔ (π‘₯ prefix (𝑁 + 1)) ∈ {𝑀 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((π‘€β€˜0) = 𝑋 ∧ (lastSβ€˜π‘€) β‰  𝑋)}))
121 fveq1 6887 . . . . . . 7 (𝑀 = (π‘₯ prefix (𝑁 + 1)) β†’ (π‘€β€˜0) = ((π‘₯ prefix (𝑁 + 1))β€˜0))
122121eqeq1d 2734 . . . . . 6 (𝑀 = (π‘₯ prefix (𝑁 + 1)) β†’ ((π‘€β€˜0) = 𝑋 ↔ ((π‘₯ prefix (𝑁 + 1))β€˜0) = 𝑋))
123 fveq2 6888 . . . . . . 7 (𝑀 = (π‘₯ prefix (𝑁 + 1)) β†’ (lastSβ€˜π‘€) = (lastSβ€˜(π‘₯ prefix (𝑁 + 1))))
124123neeq1d 3000 . . . . . 6 (𝑀 = (π‘₯ prefix (𝑁 + 1)) β†’ ((lastSβ€˜π‘€) β‰  𝑋 ↔ (lastSβ€˜(π‘₯ prefix (𝑁 + 1))) β‰  𝑋))
125122, 124anbi12d 631 . . . . 5 (𝑀 = (π‘₯ prefix (𝑁 + 1)) β†’ (((π‘€β€˜0) = 𝑋 ∧ (lastSβ€˜π‘€) β‰  𝑋) ↔ (((π‘₯ prefix (𝑁 + 1))β€˜0) = 𝑋 ∧ (lastSβ€˜(π‘₯ prefix (𝑁 + 1))) β‰  𝑋)))
126125elrab 3682 . . . 4 ((π‘₯ prefix (𝑁 + 1)) ∈ {𝑀 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((π‘€β€˜0) = 𝑋 ∧ (lastSβ€˜π‘€) β‰  𝑋)} ↔ ((π‘₯ prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (((π‘₯ prefix (𝑁 + 1))β€˜0) = 𝑋 ∧ (lastSβ€˜(π‘₯ prefix (𝑁 + 1))) β‰  𝑋)))
127120, 126bitrdi 286 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) β†’ ((π‘₯ prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑋𝑄𝑁) ↔ ((π‘₯ prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (((π‘₯ prefix (𝑁 + 1))β€˜0) = 𝑋 ∧ (lastSβ€˜(π‘₯ prefix (𝑁 + 1))) β‰  𝑋))))
128114, 127mpbird 256 . 2 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) β†’ (π‘₯ prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑋𝑄𝑁))
129 numclwwlk.r . 2 𝑅 = (π‘₯ ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↦ (π‘₯ prefix (𝑁 + 1)))
130128, 129fmptd 7110 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑅:(𝑋𝐻(𝑁 + 2))⟢(𝑋𝑄𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  {crab 3432   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  β„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440  β„•cn 12208  2c2 12263  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818  ...cfz 13480  β™―chash 14286  Word cword 14460  lastSclsw 14508   prefix cpfx 14616  Vtxcvtx 28245   WWalksN cwwlksn 29069   ClWWalksN cclwwlkn 29266  ClWWalksNOncclwwlknon 29329   FriendGraph cfrgr 29500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-lsw 14509  df-substr 14587  df-pfx 14617  df-wwlks 29073  df-wwlksn 29074  df-clwwlk 29224  df-clwwlkn 29267  df-clwwlknon 29330
This theorem is referenced by:  numclwlk2lem2f1o  29621
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